2020届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省南京市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学试题(解析版)2020年6月一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共计70分．不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<,B ＝{}13x x <<,则A U B ＝ ．答案：(1,4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<,B ＝{}13x x <<,∴A U B ＝(1,4)．2．若i 1i a z =++（i 是虚数单位）是实数,则实数a 的值为 ． 答案：2考点：复数 解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数,∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 ．答案：60考点：分层抽样 解析：12512006030012001000⨯=++． 4．如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ．答案：10考点：伪代码解析：第一步：i ＝1,S ＝1；第一步：i ＝2,S ＝3；第一步：i ＝3,S ＝6； 第一步：i ＝4,S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率 解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+ (其中ω＞0,22ππϕ-<≤ )部分图象如图所示,则()2f π 的值为 ．考点；三角函数的图像与性质 解析：首先222[()]33πππω=--,解得ω＝1,。

6分 (QI +Q “)n 2 ), 小 (QI +Q “-i ) Cn —1) S”_] = 5 (力22),TT因为CG (0,兀)，所以中华中学高三数学试卷参考答案一、 填空题答案：1 31. (-00, 2],2. 1-i, 3・[一8, +oo), 4・ 2, 5.刁 6・ 1, 7. (1,㊁)& (—2, 1), 9. (0,需)U(10, +oo), 10. 1, 11. (-oo, -|)U(1, +oo), 12. 204613. [10, +oo), 14. b=l, aw(—1, 0],或 be[0, 1], a=~l二、 解答题：2 115. ................................................................................................................................. 解：若P 为真,则|才W1或|一才W1,得°上1或aW — 1 ................................................................ 5分若q 为真,则△=(),。

=0或a=2 而》或g”为假，故p, g 均为假 —1GV1, Q HO 且Q H2・............................................................. 9分............................................................ 12分即Q 的取值范围是(一1, 0) U (0, 1).............................................................. 14分—小 ” Q c sinA A /3COS C16. 解：(1)因为—2=—^，—=^— 所以sinC=^/3cosC ................................................................................................................ 2 分 所以tanC=V3 ....................................................................................................................... 4分(2)因为CA CB= I C4 I • I CS I cosC=^ab,又CA CB=4,所以ab —S .............................................................................................................................. 10分 因为a+b = 6,根据余弦定理，得圧=/+圧一2〃cosC=(Q+b)2—3Qb=12. ...12 分 所以C 的值为2书 ................................................................ 14分17. 解由题意知，(1 )Z(x)=R(x)—C(x)=3 OOOx-20.r-(500.r+4000)= -20.r+2500x-4000, xW[l, 100],且 ................................... 3 分 ML(x)=Z(x+l)_Z(x)=-20(X +1)2+2500(X + 1)-4000 -(-20?+2500A —4000)=2480—40x, xW[l, 99],且 ............................................ 7 分(2)Z(x)= —20F+2500X —4000 = —20(x —乎尸+74125,当x=62或63时，P(x)的最大值为74120元........ 12分 因为ML(x)是关于x 的减函数，所以当x=l 时，ML(x)的最大值为2440元.故利润函数Z(x)与边际利润函数血(x)不具有相同的最大值....... 14分 18. 证明：(1)充分性1- 4 2 ‘IX? 1-4+-一(1) — (2)得：(2—n) a n —a\-\~ (1—n) d n -i (3),(3—n) a n -\ —a\ + (2—巾)a n -2 (〃三3) (4)..(3) — (4)得：(2—Z?) a n — (4—2n) a n -\ = — (2—n) a n -i (〃上3).由于〃鼻3,故a”—2 a n -\ — —a n -2f 艮卩Q”—Q”T =Q“T —ct n -i (〃上3) ..................... 7 分 数列｛弔｝成等差数列....... 8分 (2)必要性数列｛如｝成等差数列,S”=。

1 绝密★启用前
江苏省南京市普通高中
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学试题参考答案
2020年6月
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8．62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94
14．38
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,。

江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环； 则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若12F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________.【答案】y = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，12F F=，)222c a c a-∴==2220ac --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________.【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos AB C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 736tan 3B B ∴+≥=（当且仅当2tan 736tan B B =，即tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++. . 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m+++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k+-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k +<<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在⎝⎭上单调递减，11,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭，综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值.【答案】（1）3π （2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1sin sin 2B B B ∴=+1sin 2B B =，tan B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，b ∴=，由正弦定理得：sin sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，cos 7A ∴=，sin 22sin cos A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭1127⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k k k S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则4t ≥=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程； （2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x xx x x x h x e e --+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k Nb q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】 【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n Nk m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：102k +<<， k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n q n --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C经过点4P π⎫⎪⎭，圆心为直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：1sin cos 222ρθρθ+=， ∴0y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60BAD ∠=，E 为BC 的中点， DE BC ∴⊥，又//AD BC ，DE AD ∴⊥.则以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A ，()3,2M ,()13,4C -，()3,0E ，()113,2A M →∴=--，()11,0,4C E →=-，111111734cos ,2217A M C E A M C E A M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅， ∴异面直线1A M 与1C E 734.（2）由（1）得：()1,0,2N ，()2,0,0A ，则()10,0,4A A →=-，()13,2A M →=--，()13,2A N →=--，()0,3,0MN →=-， 设(),,m x y z →=为平面1A MA 的法向量，则1132040m A M x z m A A z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则3x 0z =，)3,1,0m →∴=；设(),,n p q r →=为平面1A MN 的法向量，则130320n MN q n A N p q r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r =-，则2p =，0q =，()2,0,1n →∴=-；2315cos ,25m nm n m n→→→→→→⋅∴<>===⋅ ∴二面角1A MA N --21510155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。

绝密★启用前江苏省南京市普通高中2020届高三毕业班下学高考模拟考试数学试题(解析版)2020年5月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合M ＝{m |﹣3＜m ＜2，m ∈Z }，N ＝R ，则M ∩N ＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题．2.复数z 1i i=+复平面上对应的点位于第_____象限． 【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限． 【详解】∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-,∴复数对应的点的坐标是（12,12） ∴复数1i i+在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题．3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6；80,4．则这20名学生成绩的方差为_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n 个数与其平均数,方差间关系x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差．【详解】设x 1,x 2…x n 的方差S 21n =[（x 1x -）2+（x 2x -）2+…+（x n x -）2]1n=[x 21+x 22++x 2n -2x （x 1+x 2+…+x n ）+n x 2]1n =[x 12+x 22++x 2n -n x 2] ∴x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2, 则x 21+x 22++x 210=10×36+10×902＝81360,x 211+x 212++x 220=10×16+10×802＝64160, 1220109010802020x x x +++⨯+⨯==85． ∴S 2120=[x 21+x 22++x 220-20x 2]120=[81360+64160﹣20×852]＝51, 故答案：51．【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题．4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为_____．。

绝密★启用前2020届江苏省南京十三中、中华中学高三下学期联合调研数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题1．已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>，则M N =I ________________. 答案：{|12}x x << 根据交集的定义，即得解. 解：集合{}02,{1}M x x N x x =<<=> 根据交集定义，{|12}M N x x =<<I 点评：本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为______. 答案：32根据复数的除法运算，化简得1322z i =+，进而求得复数的虚部，得到答案. 解：由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+，所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 点评：本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 答案：9先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数. 解：解：由题意可得：抽样比30111001000900100f ==++，故高三年级应抽取的学生人数为：19009100⨯=， 故答案为：9. 点评：本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键.4．如图是一个算法的程序框图，当输入的值x 为8时，则其输出的结果是__________．答案：2试题分析：x=8＞0，不满足条件x ≤0，则执行循环体，依此类推，当x=-1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y 值即可．解：x=8＞0，执行循环体，x=x-3=5-3=2＞0，继续执行循环体， x=x-3=2-3=-1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5-1=（12）-1=2．故答案为2 【考点】当型循环结构点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5．函数()1x f x +=的定义域是______． 答案：[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 解：由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．6．小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______． 答案：710分析：先求出基本事件总数2510C =，A 、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A 、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A 、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数2510C =，A 、B2首歌曲都没有被播放的概率为：2325310C C =，故A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-371010=，故答案为710点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______.答案：2y x =±求出抛物线的焦点坐标，根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标，结合双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系求出b 的值，最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可. 解：因为抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)，所以双曲线22214x y b-=的右焦点也是(3,0)，即3c =，而2222945c a b b b =+⇒=+⇒=，所以该双曲线的渐近线方程为52y x =±. 故答案为：52y x =± 点评：本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了抛物线的焦点，考查了数学运算能力. 8．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是_________答案：{|30x x -<<或}03x <<利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式()0f x >和()0f x <的解，然后将不等式()0x f x ⋅<转化为()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩进行求解.解：()f x Q 是奇函数，且在()0,∞+内是增函数，()f x ∴在(),0-∞内是增函数， ()()()330,30f f f -=-=∴=Q ，则当30x -<<或3x >时，()0f x >， 当03x <<或3x <-时，()0f x <，则不等式()0xf x <等价为：()00x f x >⎧⎨<⎩，①或()00x f x <⎧⎨>⎩，②由①得003,3x x x >⎧⎨<<<-⎩，解得03x <<，由②得得030,3x x x <⎧⎨-<⎩，解得30x -<<，综上，03x <<或30x -<<，故答案为{|30x x -<<或}03x <<. 点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 9．若数列为等差数列，且18153120a a a ++=，则9102a a -的值等于 ________．.答案：解：因为1815113535120724a a a a d a d ++=+=⇒+=， 所以91012724a a a d +==-，故答案为24.10．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的值为__________.答案：12由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知：1122AE AC CE AC AB =+=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．则λμ+的值为：12．故答案为1211．已知圆O ：221x y +=， 圆N ：()()2221x a y a -++-=. 若圆N 上存在点Q ，过点Q 作圆O 的两条切线. 切点为,A B ，使得60AQB ∠=o，则实数a 的取值范围是_______答案：122⎡-+⎢⎣⎦由已知可得问题转化为圆N 和圆224x y +=有公共点，从而根据几何法即可求出答案． 解：解：已知有2QO =，即点Q 的轨迹方程为圆T ：224x y +=，问题转化为圆N 和圆T 有公共点，则13≤≤，故1122a -≤≤+，故答案为：1⎡-+⎢⎣⎦． 点评：本题主要考查圆和圆的位置关系，属于基础题．12．已知x ，0y >，()29xy x y +=，则2x y +的最小值为______．答案：设x m =，x y n +=,由条件可得()29m n mn-=，而()()()2224x y m n m n mn +=+=-+代换后用均值不等式求最小值.解：解：令x m =，x y n +=，则已知得0m >，0n >，且()29mn n m -=．()()()()22229994412mn m n m n m n m n mn mn mn mn-=⇒-=⇒+=-+=+≥，当且仅当m =-，n =+时等号成立，此时2x y m n +=+≥．故答案为：点评：本题考查利用均值不等式求最小值，利用换元法化简变形是本题的难点，属于难题. 13．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为__________．答案：3先用正弦定理边化角，得2tan tan B C =，再结合诱导公式和内角和代换tan A ，进而求得最值 解：由正弦定理2cos cos b C c B =可转化为2sin cos sin cos B C C B =，两边同时除以cos cos B C 可得2tan tan B C =，()()()tan tan tan A B C πA πB C A πB C B C ⎡⎤++=⇒=-+⇒=-+=-+⎣⎦，即()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B+=-+=-=---则21112tan 11127=tan tan tan tan 3tan tan 2tan 36tan 3B B A BC B B B B -++++=+≥，当且仅当tan B =时取到等号；点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题14．已知函数(),248,25xexx e f x x x x ⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()22320f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为________.答案：241,52e ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭U 作出()f x 图象，求出方程的根，分类讨论()f x 的正负，数形结合即可. 解：当2x „时，令()10xef x e '=-=，解得1x =， 所以当1x „时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当2x>时，4848()555x f x x x -==-单调递减，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件； （2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=， 则()20f x a =-<，()0f x a =-<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a -+=--=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e>⎧⎪⎨<⎪⎩„，解得245a e <„，故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意．综上：a 的范围是2[e ，4)51{}2⋃故答案为：2[e ，4)51{}2⋃点评：本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考。

江苏省南京市区中学2020年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点和的直线斜率为，那么的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4参考答案：A2. 若，，则下列不等式正确的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. “a＞1”是“函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上存在零点”的（）B略4. 函数的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意有且，则称为上的度低调函数.已知定义域为的函数，且为上的度低调函数，那么实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D5. “” 是“方程表示椭圆”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A6. 对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数．下面有三个命题：若函数为理想函数，则；函数是理想函数；若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有（）A．3个 B．2个 C ．1个 D ．0个参考答案：A试题分析：（1）取，代入，可得,即，由已知对任意的，总有可得，∴;（2）显然在上满足；②．若，且，则有,故满足条件①②③，所以为理想函数．由条件③知，任给，当时，由知，∴．若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故．∴三个命题都正确，答案为．考点：1．新定义问题；2．函数的定义域、值域；3．函数的单调性．7. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生。

则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为A．B．C．D．参考答案：C由程序框图知，输出y的值为3时x为3的倍数的偶数，即，概率为，选C.8. 函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称参考答案：D略9. 已知函数的定义域为，满足且函数为偶函数，，则实数的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当n m时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则；②若函数的定义域是，则；③已知x ∈（0，π），则y =sin x +的最小值为；④已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是________． 参考答案： ①，④12. 在△ABC 中，若b 2=ac ，∠B=，则∠A=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理求解出a ，c 的关系，即可判断角A 的大小． 【解答】解：由b 2=ac ，，根据余弦定理cosB=，可得a 2+c 2=2ac ，即（a ﹣c ）2=0， ∴a=c ，由b 2=ac ，可得a=b=c ． △ABC 是等边三角形．∴A=故答案为：．13. （5分）在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为 ．参考答案：100【考点】： 频率分布直方图．【专题】： 概率与统计．【分析】： 根据频率分布直方图，求出中间一组数据的频率，由频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量是多少． 解：根据频率分布直方图，得；中间一组数据的频率为=0.25，它的频数为25， ∴样本容量为 25÷0.25=100． 故答案为：100．【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图中各小矩形的面积和等于1，求出对应的频率，即可求出正确的答案，是基础题．14. 设函数，若是奇函数，则当时，的最大值是参考答案：15. 正三棱锥S —ABC 内接于球O ，且球心O 在平面ABC 上，若正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，则该三棱锥的体积是 .参考答案：16. 在中，若,，则.参考答案：3 因为，，所以，即，因为，所以，所以。

2020届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1．集合{}(){}230,lg 2A x x x B x y x =-≤==-，则A B =I ______.（用区间表示）【答案】[)0,2【解析】化简集合,A B ，根据交集运算，即可求得答案. 【详解】Q {}230,A x x x =-≤∴(){}[]300,3A x x x =-≤= Q (){}lg 2B x y x ==-∴{}()20,2B x x =->=-∞ ∴[)0,2A B =I故答案为：[)0,2. 【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为______. 【答案】50人【解析】先计算出三个年级的总人数为4003005001200++=，根据比例即可计算出高三年级应该抽取的人数，即可求得答案. 【详解】总体人数为：4003005001200++=人． 从高三抽取的人数应为：500120501200⨯= ∴ 从高三抽取的人数应为50人故答案为：50人. 【点睛】本题考查了分层抽样，解题关键是掌握分层抽样的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知i为虚数单位，,a b∈R，复数12ii a bii+-=+-，则a bi-=______.【答案】12 55i +【解析】根据复数除法运算，根据复数相等，即可求得答案. 【详解】由12ii a bii+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i ia bi i i ii i++++=-=-=--+，∴1255a bi i -=+．故答案为：12 55i +.【点睛】本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．有四条线段其长度分别为2，3，5，7.从中任取3条，能构成三角形的概率为______.【答案】1 4【解析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，则P(构成三角形)1 4 =能构成三角形的概率为：1 4 .故答案为：1 4 .【点睛】本题主要考查了构成三角形概率问题，解题关键是掌握概率的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．如图，程序执行后输出的结果为_______.【答案】64【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】第一次执行循环体后，101123PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，134325PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，459527PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，9716729PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，169259211PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，25113611213PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，36134913215PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，49156415217PI=+=⎧⎨=+=⎩，满足退出循环的条件，故输出的P 值为64 故答案为：64. 【点睛】本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6．设()221,026,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，若()2f t >，则实数t 的取值范围是__________．【答案】0t <或3t >【解析】当0t ≥时，由()2f t >得，22120t t t ⎧-->⎨≥⎩，即22300t t t ⎧-->⎨>⎩，解得3t >；当0t <时，由()2f t >得，262t t -+>⎧⎨<⎩，解得0t <。

江苏省南京市中华中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知条件或，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A2. 函数，对任意，总有，则（）A．0 B．2 C． D．28参考答案：C略3. 已知集合，集合，从集合中随机选取一个数，从集合中随机选取一个数，则的概率为（）A． B．C． D．参考答案：C考点：古典概型的计算公式及运用．4. 已知函数，则（）A. 2017B. 1513C.D.参考答案：D5. 设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a=0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲?0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙?甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选B．【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．6. 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 （ ）A ．B ．C.D ．参考答案：D8. 已知函数f （x ）=asinx+acosx （a ＜0）的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为（ ） ﹣﹣2C ． ﹣DD9. 在中，，若，则面积的最大值是（ ） A ．B ．4 C.D ．参考答案：D10. 若向量；则( )参考答案： B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知曲线C 1的方程为，过平面上一点P 1作C 1的两条切线，切点分别为A 1，B 1，且满足.记P 1的轨迹为C 2，过平面上一点P 2作C 2的两条切线，切点分别为A 2，B 2，且满足.记P 2的轨迹为C 3，按上述规律一直进行下去，…，记，且S n 为数列{a n }的前n 项和，则满足的最小正整数n 为 ．参考答案：5由题设可知轨迹分别是半径为的圆.因为，所以，所以.由，得，故最小的正整数为.12. 已知函数，则关于的不等式的解集是_______参考答案：13. 钝角的面积为，则角▲ ,▲ .参考答案：;14. 已知函数为奇函数，若，则 ．参考答案： 答案：1 解析：由函数为奇函数得，填115. 已知把向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量，则的坐标为 参考答案：因为向量，所以。

2020届江苏省南京十三中、中华中学2017级高三下学期联合调研考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)第一卷 必做题（160分）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>,则MN =________________. 【答案】{|12}x x <<【解析】根据交集的定义,即得解. 【详解】集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>根据交集定义,{|12}MN x x =<< 2.已知复数21i z i +=-,则复数z 的虚部为______. 【答案】32【解析】 根据复数的除法运算,化简得1322z i =+,进而求得复数的虚部,得到答案. 【详解】由题意,复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+,所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人,为了解不同年级学生的视力情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本,则高三年级应抽取的学生人数为____.【答案】9【解析】先求出抽样比,由此可求出高三年级应抽取的学生人数.【详解】解：由题意可得：抽样比30111001000900100f ==++, 故高三年级应抽取的学生人数为：19009100⨯=, 故答案为：9.4.如图是一个算法的程序框图,当输入的值x 为8时,则其输出的结果是__________．【答案】2试题分析：x=8＞0,不满足条件x≤0,则执行循环体,依此类推,当x=-1＜0,满足条件,退出循环体,从而求出最后的y 值即可．解：x=8＞0,执行循环体,x=x-3=5-3=2＞0,继续执行循环体, x=x-3=2-3=-1＜0,满足条件,退出循环体,故输出y=0.5-1=（12）-1=2．故答案为2 5.函数()1x f x x +=的定义域是______． 【答案】[)()1,00,∞-⋃+【解析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠,得1x ≥-且0x ≠．。