2015高考数学(文)一轮方法测评练：1-基础回扣练——集合与常用逻辑用语

第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲1．(2015·高考上海卷)下列不等式中，与不等式x ＋8x 2＋2x ＋3<2解集相同的是( )A ．(x ＋8)(x 2＋2x ＋3)<2B ．x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)C.1x 2＋2x ＋3<2x ＋8D.x 2＋2x ＋3x ＋8>12解析：选B.依题意，注意到x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0，因此不等式x ＋8x 2＋2x ＋3<2等价于x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)，故选B.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， 所以－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．4．(2016·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：选D.不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D. 5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．6．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2] B ．(－2，2) C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2]解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意的x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， 所以－2<m <2，综合①②，得m 的取值范围是(－2，2]．7．(2016·合肥一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：若x >0，由f (x )<0得x 2－1<0，解得0<x <1.若x ≤0，由f (x )<0得－|x ＋1|<0，解得x ≤0且x ≠－1，综上不等式的解为x <1且x ≠－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)．答案：(－∞，－1)∪(－1，1)8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a <x <1a9．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以g (x )<g (4)＝－2， 所以a <－2.答案：(－∞，－2)10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则实数x 的取值范围为________．解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立不等式解得x <1或x >3. 答案：{x |x <1或x >3}11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？ 解：假设一次上网x (x <17)小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为 1.7＋(1.7－0.1)＋ (1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x －1)×0.1]＝x （35－x ）20(元)． 由x （35－x ）20>1.5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，故当0<x <5时，公司A 收费低于公司B 收费，当x ＝5时，A ，B 两公司收费相等，当5<x <17时，公司B 收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时时，选择公司B 的费用少．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有( )A ．a ＝3，b ＝4B ．a ＝3，b ＝－4C ．a ＝－3，b ＝4D ．a ＝－3，b ＝－4解析：选D.法一：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.法二：易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3，4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．2．(2016·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－2x －1，x <0，其图像如图所示：由图可知：不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0x 2－2x <3x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，1<x <4，即1<x <2，所以不等式的解集为(1，2)．答案：(1，2)3．(2016·西安交大附中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B 等于()A．{x|x>2}B．{x|0<x<2}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<1}[答案] C[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．∅[答案] B[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于() A．{－2,2} B．{－2,0,2}C．{－2,0} D．{0}[答案] B[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1,2] D．[1，＋∞)[答案] B[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则∁U(M∪N)＝()A．{1,2,3} B．{5}C．{1,3,4} D．{2}[答案] B[解析] ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ∪N ＝{1,2,3,4,6}， ∴∁U (M ∩N )＝{5}．(理)(2014·文登市期中)已知集合A ＝{x |log 4x <1}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2) C ．(－∞，2] D ．[2,4)[答案] B[解析] ∵A ＝{x |log 4x <1}＝{x |0<x <4}，B ＝{x |x ≥2}，∴∁R B ＝{x |x <2}，所以A ∩∁R B ＝(0,2)，故选B.5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0 D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0 [答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x [答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x >0B ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βC ．∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ” [答案] D[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π3，β＝2π时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示( )A ．{2,4}B ．{1,3}C ．{5}D ．{2,3,4,5} [答案] C[解析] 阴影部分在集合B 中，不在集合A 中，故阴影部分为B ∩(∁U A )＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β [答案] D[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x为偶函数，故D 为假命题．12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)} [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确； ∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件； ②⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1；③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为92；④若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π3的值为－3；⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) [答案] ②③④[解析] x <－1⇒/ x <－2，x <－2⇒x <－1，故①错误；⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，等号在⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴3a ＝9，∴a＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正确答案为②③④.15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) [答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x －72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题： ①∃α，β∈R ，α>β，使得tan α<tan β；②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的充要条件；④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tan α<0<tan β，∴①为真命题；∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>22，从而f (sin θ)<f (cos θ)，∴②为假命题；③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝12，∴③为假命题；④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>ab，则a <b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立； ③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>ab ，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，(1)求A ∩B ；(2)试求实数a 的取值范围，使C ⊆(A ∩B )．[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x >1或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1<x <4}．(2)①当a ＝0时，C ＝∅，符合C ⊆(A ∩B )； ②当a >0时，C ＝{x |a <x <2a }，要使C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a ≤4，解得1≤a ≤2；③当a <0时，C ＝{x |2a <x <a }，∵a <0，C ⊆(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设． ∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ⊆(A ∩B )，求实数p 的取值范围．[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2<x ≤3}；(2)∵C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0}(p >0)，∴C ＝{x |－2－p <x <－2＋p }， ∵C ⊆(A ∩B )，∴－2－p ≥－3，且－2＋p ≤－1， ∴0<p ≤1，∴实数p 的取值范围是{p |0<p ≤1}．18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1； 函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2， 因此1≤m <2.19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0得，3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a ；由x 2＋2x －8>0得，x <－4或x >2，∴q ：x <－4或x >2.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴a ≤－4.(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3； 由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2.20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3.∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)， 由(ax －1a)(x ＋4)≤0，知a ≠0，当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ；当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，解得：－22≤a <0或0<a ≤22， 又a <0，所以－22≤a <0， 综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)． 22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2<x ≤2).(2)f (x )＝x ·V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2<x ≤2).当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时； 当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50， 当x ＝1时，f (x )取到最大值50，所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．。

基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·新课标高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n ∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}[答案] A[解析]本题考查了集合的运算，由x＝n2，n∈A，得B＝{1,4,9,16}，则A∩B＝{1,4}，选A，注意集合B中的元素是集合A中元素的平方．(理)(2013·新课标高考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5 <x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B[答案] B[解析]本题考查集合的关系与运算．A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}∴A∪B＝R，故选B.2．(文)(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}[答案] A[解析]本题考查了集合的运算、补集、交集．(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(理)(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案] B[解析]本题考查集合的交集运算问题．∵A∩B＝{－1,0,1}∩{x|－1≤x<1}＝{－1,0}，∴选B.3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅[答案] B[解析]由题意可得，A＝{x|－1<x<2}，而B＝{x|－1<x<1}，故B A.4．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}[答案] D[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的非空真子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个[答案] A[解析]由已知得P＝M∩N＝{1,3}，所以P的非空真子集有22－2＝2个．故选A.6．(文)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝() A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，2][答案] D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－2，2]，∴M∩N＝[0，2]，故选D.[点评]本题特别易错的地方是将数集误认为点集．(理)若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案] A[解析]考查集合的基本概念及运算．A⊆A∪B＝B∩C，∴A⊆C，选A.二、填空题7．已知集合A＝{3，2，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．[答案]－ 2[解析]因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝2或a＝－2；当a＝2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－ 2.8．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵∁R B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．[答案] 6[解析]由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．三、解答题10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．[分析](1)求A、B→确定A∪B，∁U B→求得A∩(∁U B)；(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的范围；(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的范围．[解析](1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，∴A＝{x|－2<x<4}．当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁U B＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.能力强化训练一、选择题1．(文)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9[答案] C[解析]当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y ＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复．故集合B中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C.(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于() A．A B．BC．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)[分析]本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B 所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．[答案] B[解析]画一个一般情况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.2．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4a2＋4a＋2，a ∈R}，则下列关系正确的是()A．M＝N B．M NC．M N D．M⊆N[分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解．[答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R )， 得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}． 由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R )，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A. 二、填空题3．(文)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝______. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x 2＝y 2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．(理)已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] (2,3)[解析] B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a . ∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.4．(2014·兰州模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为________．[答案] 0或2或3[解析] 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝{6m }⊆{2,3}可得 6m ＝2或6m ＝3， 解得m ＝3或m ＝2， 综上可得实数m ＝0或2或3. 三、解答题5．(文)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，求a 2 015＋b 2 015的值．[解析] 由已知得a ≠0， ∴ba ＝0，即b ＝0.又a ≠1，∴a 2＝1，∴a ＝－1. ∴a 2 015＋b 2 015＝(－1)2 015＝－1.(理)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .[解析] (1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈A 且9∈B ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3， 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，此时A∩B＝{9}，当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．综上知a＝－3.6．(文)(2014·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．[分析]由A∪B＝B，可以得出A⊆B，而A⊆B中含有特例A＝∅，应注意．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.(理)(临川模拟)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． [解析] ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }．要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4不等式组无解，即不存在符合条件的a ，∴综上可知，当A ⊆B 时，a 的取值范围是43≤a ≤2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， 若A ∩B ＝∅，则a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，若A∩B＝∅，则a≤2或a≥4，3∴a<0；验证知当a＝0时也成立．或a≥4时，A∩B＝∅.综上所述，a≤23(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，显然a>0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.。

[课堂练通考点]1．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4B．2C．0 D．0或4解析：选A由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．2．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：选A n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．3．(2014·北京东城区统一检测)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．8解析：选C根据已知，满足条件的集合B为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．故选C.4.(创新题)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)()A．①③B．①②C．②③D．③④解析：选B①对，当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的实部与虚部均为整数；②对，当x＝y时，0∈S；③错，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S＝{0}⊆T，T＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此，真命题为①②.5.(创新题)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是()A．2 B．3C ．4D ．5解析：选B 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |x >2或x <0} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选C 解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}； 集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域， 由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A ，B ，则∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，xy ∈A }，则B 的所有真子集的个数为( )A ．512B ．256C ．255D ．254解析：选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．(2013·佛山一模)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{1,5}解析：选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD.A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．(2014·太原诊断)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(∁R B )∩A ＝( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}解析：选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}， 则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．(2013·郑州质检)若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．(2014·湖北八校联考)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个解析：选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．(2014·江西七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]解析：选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z . 故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1212．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，43.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5， 即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1， 解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

阶段考查(一)考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x＞0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＞0}B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|－3＜x＜0}D．{x|x＜－1}解析：依题意，得集合A＝{x|－3＜x＜0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3＜x＜－1}，故选B项．答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D．∃b∈R，f(x)为偶函数解析：注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．故选D项．答案：D3．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin2x ＋cos2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．綈p ∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．綈p ∨q 是真命题解析：p 命题中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中y ＝2(sin2x ＋cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8(k ∈Z )，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B.答案：B4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ≤－4或x ≥1}B ．{x |x ＜－4或x ＞1}C ．{x |x ＜－2或x ＞1}D ．{x |x ≤－2或x ≥1}解析：A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}，选D.答案：A5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C6．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.答案：C7．不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1(－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D8．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．(a ＋c )4＞(b ＋c )4 B ．ac 2＞bc 2 C ．lg|b ＋c |＜lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13＞(b ＋c )13解析：当a ＞b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0＞a ＋c ＞b ＋c ，得0＜－(a ＋c )＜－(b ＋c )．∴0＜[－(a ＋c )]4＜[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4＜(b ＋c )4.∴A 不成立； 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立；当a ＞b 时，a ＋c ＞b ＋c ，但若a ＋c 、b ＋c 均为负数时， |a ＋c |＜|b ＋c |，即lg|a ＋c |＜lg|b ＋c |. 故C 不恒成立．故选D 项． 答案：D9．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13 B ．a ≥13 C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC .目标函数化为y ＝－1a x ＋z a ，当z 最大时，z a 最大，根据图形只要－1a ＞k AB ＝－3，即a ＞13即可．故选C 项．答案：C10．若第一象限内的点A (x ，y )，落在经过点(6，－2)且具有方向向量a ＝(3，－2)的直线l 上，则log 32y －log 23x 有( )A ．最大值32 B ．最大值1 C ．最小值32D ．最小值1解析：直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)，即2x ＋3y ＝6，所以log 32y－log 23 x ＝log 32 y ＋log 32 x ＝log 32 (xy )≤log 32 ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 262＝1，故选B. 答案：B11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0,1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－5，∴a ≥－5. 答案：C12．对于函数f (x )，在使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f (x )的“上确界”．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1＋a (x ∈[－2,2])是奇函数，则f (x )的上确界为( )A ．2 B.95 C ．1 D.45 解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝1＋a ＝0， 解得a ＝－1.于是f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1－1＝2xx 2＋1.当0＜x ≤2时，f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以M 的最小值为1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为__________．解析：由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成__________个正确命题．解析：此题共可组成三个命题即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.若ab ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得bc －ad ＞0，即可得命题①②⇒③正确；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则bc －ad ab ＝c a －d b ＞0，得c a ＞db ，即命题①③⇒②正确；若bc －ad ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得ab ＞0，即命题②③⇒①正确．综上可得正确的命题有3个．答案：315．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min≥a ，解得，a ≤12； 若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，解得a ≤－4或a ≥－2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1216．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解析：(1)对任意的x 1, x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.(3分)由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0， 解得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，0.(6分)(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a .化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5. (10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12，则f (x )＞1的解集为{x |x ＞－1＋62或x ＜－1－62}．(4分)(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，则a ＞－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．(6分)令g (x )＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)，则g (x )的对称轴为x ＝－1，又x ∈[1，＋∞)， (8分)则当x ＝1时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝－3， (10分)所以a ＞－3.(12分)19．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析：由0＜a －32＜1，得32＜a ＜52.(2分)若f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.(4分) ∵“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题， ∴p 、q 中一真一假，若p 真q 假，得32＜a ＜2，(6分) 若p 假q 真，得52≤a ≤4，(8分)综上，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4. (12分)20．(本小题满分12分)已知命题p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，命题q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(2分)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(7分)(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ， 而∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1， ∴m ＞5或m ＜－3.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图像过点(2,1)，且方向向量v ＝(1，－1)．若不等式f (x )≥x 2＋x －5的解集为A ，且A ⊆(－∞，a ]．(1)求a 的取值范围；(2)解不等式x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )＜1.解析：(1)∵直线的方向向量v ＝(1，－1)， ∴k ＝－1，由点斜式可得f (x )＝3－x . 由f (x )≥x 2＋x －5，得x 2＋2x －8≤0， ∴解得A ＝{x |－4≤x ≤2}， 又A ⊆(－∞，a ]，∴a ≥2即可， ∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(5分)(2)由x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )－1＝x 2－(a ＋2)x ＋2a 3－x ＝(x －2)(x －a )3－x ＜0，得(x －2)(x －a )(x －3)＞0且x ≠3.(6分) ①当a ＝2时，x ＞3；②当2＜a ＜3时，x ＞3或2＜x ＜a ； ③当a ＝3时，x ＞2且x ≠3； ④当a ＞3时，x ＞a 或2＜x ＜3.(10分)综上，当a ＝2时，不等式的解集为(3，＋∞)；当2＜a ≤3时，不等式的解集为(2，a )∪(3，＋∞)；当a ＞3时，不等式的解集为(2,3)∪(a ，＋∞)．(12分)22．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)当m ＜12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析：(1)B ＝{x |(x －1)(x －2m )＜0}，(1分)当m ＜12时，2m ＜1，∴集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}．(3分)(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A .(4分)A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12；②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1.(8分)(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2，∴－32≤m ＜－1；②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4，∴32＜m ≤2.综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.(12分)。

【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第1章 第1节 集合与常用逻辑用语 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲2，3，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·某某模拟)设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a等于(A) B. 2 C. 3 D. 4∵3∈B，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.经检验，a ＝1符合题意．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则下列集合等于{2，7}的是(B)A. M ∩NB. (∁I M )∩(∁I N) I M )∪(∁I N) D. M∪N求出集合M ，N 的补集，逐一验证可得B 正确．(2013·某某检测)集合A ＝{x|0＜x≤2}，B ＝{x∈R|x 2－x －2＞0}，则A∩(∁RB)等于(D)A. (－1，2)B. [－1，2]，2) D. (0，2]＝{x∈R|x 2－x －2＞0}＝{x|x ＜－1或x ＞2}，∁RB ＝{x|－1≤x ≤2}，则A∩(∁RB)＝{x|0＜x≤2}．故选D.(2013·枣庄模拟)已知a∈R，集合M ＝{1，a 2}，N ＝{a ，－1}．若M∪N 有三个元素，则M∩N 等于(C) A. {0，1} B. {0，－1}C. {0}D. {1}∵a∈R，M ∪N 有三个元素，∴a 2＝a ，∴a ＝0或1(舍去)，∴a ＝0，则M∩N＝{0}．二、 填空题(每小题5分，共15分)(2013·某某模拟)已知A ＝{x|x>3或x<－1}，B ＝{x|a≤x ≤b}．若A∪B＝R ，A ∩B ＝{x|3a ，b 的值分别为__－1，4__.画出数轴可知a ＝－1，b ＝4.已知集合A ＝{x|log 2 x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是(c ，＋∞)，其中c ＝__4__.∵A＝{x|log 2 x ≤2}＝{x|log 2 x ≤log 2 4}＝{x|0＜x≤4}＝(0，4]，B ＝(－∞，a)，且A ⊆B ，∴a ＞4，即a 的取值X 围是(4，＋∞)．故c ＝4.(2013·某某调研)若集合{x|ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x 2－1＝0}的元素个数相同，则实数__{0，1}__．∵集合{x 2－1＝0}的元素个数为1，∴方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个实数解．∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，Δ＝0，即a ＝0或1. 三、 解答题(共15分)已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈A∩B；＝A∩B.(1)∵9∈A∩B，∴9∈A 且9∈B，(2分)∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a＝5或a ＝－3或a ＝3.(5分)经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a＝5或a ＝－3. (7分)(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A 且9∈B，(9分)由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，此时A∩B＝{9}，(11分)当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}，(13分)此时A∩B＝{－4，9}，不合题意．∴a ＝－3. (15分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲2，4，9一、 选择题(每小题5分，共20分)(2012·某某高考)设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x|x 2≤x}，则M∩N＝(B)A. {0}B. {0，1}C. {－1，1}D. {－1，0，1}由x 2≤x 得x 2－x≤0，x(x －1)≤0，0≤x ≤1，∴N ＝{x|0≤x ≤1}，∴M∩N＝{0，1}．故选B.(2012·某某高考)已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{－2，2}，下列结论成立的是(D)A. N ⊆MB. M∪N＝MC. M∩N＝ND. M∩N＝{2}∵－2∉M ，可排除A ；M∪N＝{－2，1，2，3，4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}，故选D.(2012·某某高考)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为(D)A. 1B. 2C. 3D. 4解出集合A ，B 后，再确定集合C 的个数．∵集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，∴当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C 有4个．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x|y＝2x －x 2}，B ＝{y|y ＝3x ，x ＞0}，则A#B 为(D)A. {x|0＜x ＜2}B. {x|1＜x≤2}C. {x|0≤x ≤1或x≥2}D. {x|0≤x≤1或x ＞2}由已知得A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y ＞1}，∴A ∪B ＝{x|x ≥0}，A ∩B ＝{x|1＜x≤2}，A#B 表示A∪B 中除去A∩B 部分，故选D.二、 填空题(每小题5分，共15分)设集合A ＝{x|(x ＋3)(x －4)≤0}，集合B ＝{x|m －1≤x≤3m －2}，若A∩B＝B ，则实数m 的取值X 围为__{m|m≤2}__．A ＝{x|－3≤x≤4}，由A∩B＝B ，得B ⊆A. ①若B≠∅，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤3m－2，3m －2≤4，m －1≥－3，解得12≤m≤2； ②若B ＝∅，则满足B ⊆A ，此时m －1＞3m －2，解得m ＜12. 综上得实数m 的取值X 围为{m|m≤2}．(2012·某某高考)设全集U ＝{a ，b ，c ，d}，集合A ＝{a ，b}，B ＝{b ，c ，d}，则(∁U A )∪(∁U B)＝__{a ，c ，d}__．依题意得∁U A ＝{c ，d}，∁U B ＝{a}，(∁U A )∪(∁U B)＝{a ，c ，d}．对于非空实数集A ，记A *＝{y|∀x ∈A ，y ≥x}．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P.给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是__①②__.(填序号) 对于①，由M ⊆P 得集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y|y≥p}，M *＝{y|y≥m}，又m≤p，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，设M 中的最大元素为m ，则m ∈M *，由M ⊆P ，知m∈P，故 m ∈M *∩P ，即M *∩P ≠∅，②正确；对于③，取M ＝{0，－1，1}，P ＝{y|y≤1}，此时P *＝{y|y≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①②.三、 解答题(共15分)(7分)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，某某数a 组成的集合C.由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A＝{3，5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B ⊆A.(2分)(2)∵A＝{3，5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.(4分)若B≠∅，则a≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，(6分) ∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.(7分) (8分)(2013·某某模拟)已知集合A ＝{x|x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）<0. (1)当a ＝2时，求A∩B；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值X 围．(1)当a ＝2时，A ＝{x|x 2－9x ＋14＜0}＝(2，7)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2分) (2)当a≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅.又A ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]＜0}，①当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；(5分)②当a ＝13时，A ＝∅，B≠∅，∴B ⊆A 不成立．(6分) ③当3a ＋1＞2，即a ＞13时， A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a＋1，a ≠1或a ＝1，解得1≤a≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的X 围为[1，3]∪{－1}．(8分)。

单元质检一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.设全集U=R,集合M={x|x>1},P={x|x2>1},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⊆MC.M⊆PD.(∁U M)∩P=⌀答案:C解析:∵x2>1,∴x>1或x<-1.故M⊆P.2.(2015浙江,文1)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案:A解析:因为P={x|x≤-1或x≥3},所以P∩Q={x|3≤x<4},故选A.3.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则()A. p:存在x0∈A,2x0∈BB. p:存在x0∉A,2x0∈BC. p:存在x0∈A,2x0∉BD. p:任意x∉A,2x∉B答案:C解析:原命题的否定是存在x0∈A,2x0∉B.4.“p或q是真命题”是“ p为假命题”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析: p为假命题,p为真命题,可得p或q是真命题;p或q是真命题,可以p为假命题,q为真命题,从而 p为真命题.故选A.5.(2015太原模拟)已知集合A=,则满足A∪B={-1,0,1}的集合B的个数是()A.2B.3C.4D.9〚导学号32470560〛答案:C解析:解方程x-=0,得x=1或x=-1,所以A={1,-1},又A∪B={-1,0,1},所以B={0}或{0,1}或{0,-1}或{0,1,-1},集合B共有4个.6.(2015吉林一中质检)若命题p:任意x∈R,cos x≤1,则 p为()A.存在x0∈R,cos x0>1B.任意x∈R,cos x>1C.存在x0∈R,cos x0≥1D.任意x∈R,cos x≥1答案:A解析:由全称命题的否定得, p:存在x0∈R,cos x0>1,故选A.7.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=答案:C解析:根据互为逆否命题的特征,即“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 p”,知C正确.8.(2015杭州质量检测)设直线l1:2x-my=1,l2:(m-1)x-y=1,则“m=2”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为当l1∥l2时,-2+m(m-1)=0,解得m=2或m=-1,所以“m=2”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选A.9.下列命题中的真命题是()A.存在x∈R,sin x+cos x=B.任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.任意x∈(0,π),sin x>cos x答案:B解析:任意x∈R,sin x+cos x≤,任意x∈(-∞,0),2x>3x,sin=cos,故A,C,D都是假命题.令f(x)=e x-x-1,则f'(x)=e x-1>0对于x∈(0,+∞)恒成立,故f(x)在(0,+∞)上递增,则f(x)>f(0)=0,故e x>x+1,B是真命题.10.(2015贵阳一模)下列命题中正确的是()A.存在x0∈R,+2x0+3=0B.任意x∈N,x3>x2C.x>1是x2>1的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b2答案:C解析:因为+2x0+3=(x0+1)2+2>0,则选项A错;因为x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,则选项B不正确;若x>1,则x2>1成立,反之,不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错,故选C.11.(2015广东汕头一模)已知命题p:存在x∈R,x-2>lg x,命题q:任意x∈R,e x>1,则()A.命题p或q是假命题B.命题p且q是真命题C.命题p且( q)是真命题D.命题p或( q)是假命题答案:C解析:因为命题p:存在x∈R,x-2>lg x是真命题,而命题q:任意x∈R,e x>1是假命题,由复合命题的真值表可知命题p且( q)是真命题,选C.12.(2015成都一诊)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“存在x∈R使得x2+x+1<0”的否定是:“任意x∈R均有x2+x+1<0”答案:C解析:否命题应同时否定条件与结论,则选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之,不成立,选项B 错;因为原命题为真命题,则其逆否命题为真命题,选项C正确;应同时否定结论,选项D错,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.命题p:“存在x0∈R,-x0+1>0”的否定 p为.答案:任意x∈R,x2-x+1≤0解析:特称命题的否定是全称命题.命题p:“存在x0∈R,-x0+1>0”的否定 p为“任意x∈R,x2-x+1≤0”.14.已知集合A=,集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=,n=.〚导学号32470561〛答案:-1 1解析:∵|x+2|<3,∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.∴A=(-5,1).又∵B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n是区间(-5,1)的右端点,∴m=-1,n=1.15.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“存在x0>0,f(x0)<0”为真,则实数m的取值范围是.〚导学号32470562〛答案:(-∞,-2)解析:命题“存在x0>0,f(x0)<0”为真,即方程f(x)=x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,且至少有一个正根.因为函数f(x)为二次函数,图像开口向上,且f(0)=1>0,所以⇒m<-2,即m的取值范围是(-∞,-2).16.设命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p或q为真,p且q为假的实数m的取值范围是.〚导学号32470563〛答案:(-∞,-2]∪[-1,3)解析:设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由得m<-1,所以命题p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,所以命题q为真时,-2<m<3.由p或q为真,p且q为假,可知命题p,q一真一假,当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3,所以所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.。

[课堂练通考点]1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x <y ，则x 2<y 2” B ．“若x >y ，则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________． 答案：若a ≤b ，则a －1≤b －16.(创新题)已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.答案：(4，＋∞)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A. 4．(2013·潍坊模拟)命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．(2013·江西七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x <1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非必要条件解析：选A 由x >1得1x <1；反过来，由1x <1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.7．(2014·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行解析：选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．8．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ． 2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.9．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________． 解析：否命题既否定题设又否定结论． 答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 10．(2013·南京模拟)有下列几个命题： ①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确． 答案：②③ 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150° ⇒/ 30°＝150°， 所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1， 所以③正确；④显然正确． 答案：①③④12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0] 第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。

2015高考数学（文）质量检测 集合、常用逻辑用语、不等式(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1∈{a －3，9a2－1，a 2＋1，－1}则实数a 的值为( )A ．0或4B ．4 C.49D ．4或49解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49.故选C.答案：C2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg (x －1)}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ＝{x |x 2－2x >0}＝{x |x >2或x <0}，∁U A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{x |y ＝lg (x －1)}＝{x |x >1}，(∁U A )∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：C3．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是 A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a <b B ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a >b C ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <b D ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a >b解析：根据逆否命题的定义可知，逆否命题为“若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a<b”．答案：C4．(2014·河南洛阳模拟)下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R,2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2解析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后判断真假．A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝110时，lg110＝－1<1；D项，当x∈R时，tan x∈R，∴∃x∈R，tan x＝2.故选B.答案：B5．已知a，b∈(0，＋∞)，若命题p：a2＋b2<1，命题q：ab＋1≤a＋b，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：綈q即：ab＋1>a＋b，即a2b2＋2ab＋1>a2＋b2＋2ab(∵a，b∈(0，＋∞))，即a2＋b2<1＋a2b2.∵a2＋b2<1⇒a2＋b2<1＋a2b2；而a2＋b2<1＋a2b2不能推出a2＋b2<1，∴p是綈q的充分不必要条件．答案：A6．下列命题错误的是() A．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x ＋2≠0”C．对命题：“对∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是：“∃k>0，方程x2＋x－k＝0无实根”D ．若命题p ：x ∈A ∪B ，则綈p ：x ∉A 且x ∉B解析：A 、C 、D 正确，对于B ，逆否命题：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0. 答案：B7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1≥2ab ，所以ab ≤14，故选A.答案：A8．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：由p 是假命题可知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0恒成立，故Δ＝4a 2－4a <0，解之得0<a <1.答案：A9．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是 ( )A ．(1－a )>(1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b >(1－a )D ．(1－a )a >(1－b )b解析：∵0<a <b <1，∴0<1－a <1，∴y ＝(1－a )x为减函数．又∵1b >b >b2>0，故A 、C 排除．由(1＋a )a <(1＋b )a <(1＋b )b 知B 也不正确．∵a <b ，∴(1－a )a >(1－b )b ，故选D.答案：D10．如果实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15D ．不存在解析：A (1,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225，B (5,2)，可行域为图中阴影部分，z ＝kx ＋y 的最小值为3，最大值为12，则k >0.故当最优解为(1,1)时，z min ＝k ＋1＝3，∴k ＝2，故选A.答案：A11．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x >0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：由于f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上为减函数，则在(－∞，0)上为增函数，又f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0，则x >0，f (x )≥0，x <0，f (x )<0，又f (2)＝f (－2)＝0，如图所示，∴x <－2或0<x <2. 答案：B12．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－136，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：由x 2＋ax ＋1≥0得－a ≤x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，又函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23上单调递减，当x ＝23时，函数y ＝x ＋1x 取得最小值136，∴－a ≤136，即a ≥－136.选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧ x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)．答案：(－4，3)14．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －y －2≤0，2x ＋y －5>0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形，目标函数z ＝x ＋2y ，所以y ＝－12x ＋z 2.要使目标函数取得最大值，即直线的截距最大，观察图象可知，当直线过点A 时取得截距最大．由⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －5＝0解得点A (1,3)，所以z max ＝1＋2×3＝7. 答案：715.下列四个命题：(1)“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； (2)“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；(3)在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； (4)“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k ∈Z )”． 其中真命题的序号是________(填所有真命题的序号)．解析：“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题，其余两个很显然是假命题．答案：(1)(2)16．记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max{x 2，25y (x －y )}的最小值为________．解析：25y (x －y )≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋x －y 22＝100x 2，当且仅当y ＝x －y ，即x ＝2y 时等号成立，当x 2＝100x 2，即x 2＝10时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2，25y (x －y )取最小值10.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}． (1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝Ø，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}． ∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}；∁U B ＝{x |1<x <4}，A ∪(∁U B )＝{x |－1≤x ≤5}． (2)∵A ∩B ＝Ø，∴当A ＝Ø时，2－a >2＋a ，得a <0；当A ≠Ø时，由⎩⎨⎧2－a ≤2＋a ，2－a >1，2＋a <4得0≤a <1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1)．18．设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．解：由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减可知0<a <1，即p ：0<a <1； 由曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，可得(2a －3)2－4>0，得a <12或a >52，即q ：0<a <12或a >52.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真． ∴p 、q 一真一假．(1)当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，得12≤a <1； (2)当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<a <12或a >52，得a >52.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.19．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解：(1)M ＝Ø时，由4a 2－4(a ＋2)<0，得－1<a <2； (2)M ≠Ø时，令f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，依题意得⎩⎨⎧1≤a ≤4，f (a )≤0，f (1)≥0，f (4)≥0，即⎩⎨⎧1≤a ≤4，－a 2＋a ＋2≤0，－a ＋3≥0，－7a ＋18≥0，解得1≤a ≤187.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，187.20．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， |a2|≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．21．(2012年青岛期末)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1，a ∈R 的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a >0.解：因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．(*)当a ＝0时，1≥0恒成立，满足题意；当a ≠0时，为满足(*)必有a >0且Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. 原不等式可化为(x －a )[x －(1－a )]>0.①当0≤a <12时，不等式的解为x <a 或x >1－a ；②当a ＝12时，不等式的解为x ≠12；③当12<a ≤1时，不等式的解为x <1－a 或x >a .综上，当0≤a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }； 当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12}；当12<a ≤1时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }．22．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书定价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时， 由⎩⎨⎧1.5－0.1x >0，x >0得0<x <150. 依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，∴P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120， ∵0<x <150，∴150－x >0， 由(150－x )＋100150－x ≥2 (150－x)·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x＝100150－x，即x＝140时等号成立，此时P max＝－20＋120＝100.答：(1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；(2)每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．。

集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·某某河西质量调查)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：由题意得A ∩B ＝{4,7,9}，U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，所以∁U (A ∩B )＝{3,5,8}． 答案：A2．(2014·某某质检)若集合A ＝{x ||x ＋1|＝x ＋1}，B ＝{x |x 2＋x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－1,0]D ．[－1,0]解析：因为A ＝{x |x ≥－1}，B ＝{x |－1＜x ＜0}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0}． 答案：A3．(2014·某某某某十校期末)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意得{a 1，a 2}⊆M ⊆{a 1，a 2，a 4}， 所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}． 答案：B4．(2014·某某调研)设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝12x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q＝( )A ．{m |－1≤m ＜2}B ．{m |－1＜m ＜2}C ．{m |m ≥2}D ．{－1}解析：P ＝{x |x ≥2或x ≤－1}，又x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈[－12，＋∞)，故Q ＝{y |y ≥－12}，故P ∩Q ＝{m |m ≥2}． 答案：C5．(2013·某某)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－2解析：因f (x )为奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：D6．(2014·某某综合测试)设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2＞4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x ＜2}B ．{x |－2≤x ＜1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |－2≤x ≤2}解析：M ＝{x |x ＞2或x ＜－2}，N ＝{x |3－xx －1≥0}＝{x |1＜x ≤3}，阴影部分所表示的集合为(∁R M )∩N ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |1＜x ≤3}＝{x |1＜x ≤2}．答案：C7.(2013·某某)“(2x－1)x ＝0”是“x＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x＝12或0”是“x＝0”的必要不充分条件，故答案选B .答案：B8．(2014·东城期末)有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B ，则A B”的逆否命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③解析：①中逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，为真命题． ②中否命题为“若两三角形面积不相等，则两三角形不全等”，为真命题． ③中x 2－2x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝4－4m≥0⇔m≤1， 故原命题正确，其逆否命题为真命题．④若A∩B＝B ，则B ⊆A ，为假命题，故其逆否命题为假命题． 答案：D9．(2014·某某某某期末)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有Ø与{1}两个，故命题q 是真命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，②③正确．答案：C10．(2014·某某某某第二次测试)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：本题主要考查抽象函数的性质．由函数f (x ＋1)为偶函数知f (x )的对称轴为x ＝1.当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0得到f (x )在(1，＋∞)上是递增的， 所以f (－12)＝f (52)，所以f (2)＜f (52)＜f (3)．即b ＜a ＜c .答案：A11．(2014·某某苏北四市第一次调研)若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＋f (x )＞0恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )＞bf (b )B ．af (b )＞bf (a )C ．af (a )＜bf (b )D ．af (b )＜bf (a )解析：由题意设F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，则F ′(x )＞0，∴F (x )为单调增函数，又a＞b，∴F(a)＞F(b)．∴af(a)＞bf(b)．答案：A12．(2014·某某调研)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x≥2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2＞4，且(x1－2)(x2－2)＜0，则f(x1)＋f(x2)的值为( ) A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负解析：可以由f(x)＝－f(4－x)得函数图象关于点(2,0)成中心对称直观解答；也可直接推理，由(x1－2)(x2－2)＜0不妨设x1＞2，x2＜2，由条件得f(x2)＝－f(4－x2)，故f(x1)＋f(x2)＝f(x1)－f(4－x2)，由x2＜2且x1＋x2＞4⇒x1＞4－x2＞2，由于函数在[2，＋∞)上为增函数，可得f(x1)＞f(4－x2)，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

基础回扣练——集合与常用逻辑用语(建议用时：60分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝________.解析∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案{1,4}2．(2013·合肥一模)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，M∪P＝________.解析∵x2＞1，∴x＞1或x＜－1.故M∪P＝{x|x＞1，或x＜－1}．答案{x|x＞1，或x＜－1}3．(2014·常州质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则x∈P是x ∈Q的________条件．解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．答案充分不必要4．(2013·湖南卷改编)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的________条件．解析当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．答案充分不必要5．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则命题綈p∧q为________，綈p∧綈q为________．(填“真”或“假”)解析当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．答案真假6．(2013·深圳调研)下列命题为真命题的是________．①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件；③命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x ＜－1，则x2－2x－3≤0”；④已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0.解析对于①，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故①错；对于③，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故③错；对于④，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以④错．答案②7．已知命题p：“∃x∈(0，＋∞)，x＞1x”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤1 x.答案∀x∈(0，＋∞)，x≤1x假8．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析所给集合的子集个数为23＝8个．答案89．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N ＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)10．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析由题意知a2＝4，所以a＝±2.答案±211．(2014·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是________．解析 ∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，且A ＝{1,2}, B ＝{0,2}，∴z 的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A *B ＝{0,2,4}．∴集合A *B 的所有元素之和为0＋2＋4＝6.答案 612．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A ＝{x |x (x －3)＜4}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．解析 解不等式x (x －3)＜4，得－1＜x ＜4，所以A ＝{x |－1＜x ＜4}；又B 是非空集合，所以a ≥0，B ＝{x |0≤x ≤a 2}．而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，借助数轴可知a 2＜4，解得0≤a ＜2.答案 [0,2)13．(2013·太原五中检测)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．①(2＋2，＋∞)；②(－∞，2＋2]；③[2，＋∞)；④[6，＋∞)解析 x －1x ≤0⇒0＜x ≤1⇒1＜2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6.答案 ④14．已知数列{a n }是等比数列，命题p ：“若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列”，则在命题p 及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________． 解析 若已知a 1＜a 2＜a 3，则设数列{a n }的公比为q ，有a 1＜a 1q ＜a 1q 2.当a 1＞0时，解得q ＞1，此时数列{a n }是递增数列；当a 1＜0时，解得0＜q ＜1，此时数列{a n }也是递增数列．反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1＜a 2＜a 3，所以命题p 及其逆命题都是真命题．由于命题p 的逆否命题和命题p 是等价命题，命题p 的否命题和命题p 的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p 的否命题和逆否命题都是真命题．答案 415．(2013·盐城模拟)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)16．(2013·宿迁质检)下面有三个命题：①关于x 的方程mx 2＋mx ＋1＝0(m ∈R )的解集恰有一个元素的充要条件是m ＝0或m ＝4；②∃m 0∈R ，使函数f (x )＝m 0x 2＋x 是奇函数；③命题“x ，y 是实数，若x ＋y ≠2，则x ≠1或y ≠1”是真命题．其中真命题的序号是________．解析 ①中，当m ＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m ＝0时，f (x )＝x 显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x ，y 是实数，若x ＝1且y ＝1，则x ＋y ＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．答案 ②③二、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18．已知命题p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a ＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a ＞0，1－4a 2＜0，解得a ＞12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞12，⇒a ＞1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，a ≤12⇒0＜a ≤12. 综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞).。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习集合与常用逻辑用语第一篇集合与常用逻辑用语第 1 讲集合及其运算基础巩固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1 ．(2013 ?安徽卷改编 ) 已知 A＝ {x|x ＋ 1＞ 0} ，B＝ { － 2，－1,0,1} ．则 ( ?RA)∩ B＝ ________.解析因为 A＝ {x|x ＞－ 1} ，则 ?RA＝ {x|x ≤－ 1} ，所以( ?RA)∩B＝ { － 2，－ 1} ．答案{ －2，－ 1}2．已知集合＝ {1,2,3} ，N＝ {2,3,4} ，则下列各式不正确的是 ________．①? N；② N? ；③∩ N＝{2,3} ；④∪ N＝ {1,4} ．解析由已知得∩ N＝{2,3}，故选①②④ .答案①②④3．已知集合＝{0,1,2,3,4}，N＝ {1,3,5}，P＝∩N，则P 的子集个数有________．解析P＝∩ N＝ {1,3}，故P 的子集共有 4 个．答案44．已知集合 A＝ {x|x2 －x－ 2＜ 0} ，B＝ {x| － 1＜x＜ 1} ，则 A 与 B 的关系是 ________．解析集合 A＝ {x| － 1＜ x＜2} ，B＝ {x| －1＜ x＜ 1} ，则BA.答案BA5．设集合 A＝ {x|x2 ＋ 2x－ 8＜ 0} ， B＝ {x|x ＜ 1} ，则图中阴影部分表示的集合为 ________．解析阴影部分是A∩ ?RB.集合 A＝ {x| － 4＜ x＜2} ，?RB＝{x|x ≥1} ，所以 A∩?RB＝ {x|1 ≤ x＜2} ．答案 {x|1 ≤ x＜ 2}6 ．(2013 ?湖南卷 ) 已知集合 U＝ {2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝ {2,6,8}，则( ?UA)∩ B＝________.解析由集合的运算，可得 ( ?UA)∩ B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8} ．答案 {6,8}7 ．集合A＝ {0,2 ， a} ， B＝ {1 ， a2} ，若A∪ B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为________．解析根据并集的概念，可知{a， a2}＝ {4,16}，故只能是a＝ 4.答案48．集合 A＝ {x ∈ R||x － 2| ≤ 5} 中的最小整数为________．解析由 |x－ 2|≤ 5，得－5≤ x－ 2≤ 5，即－3≤ x≤ 7，所以集合 A 中的最小整数为－ 3.答案－ 3二、解答题9．已知集合 A＝ {a2 ， a＋ 1，－ 3} ， B＝{a － 3，a－ 2，a2＋ 1} ，若 A∩ B＝{ －3} ，求 A∪ B.解由 A∩B＝{ －3} 知，－ 3∈B.又 a2＋ 1≥ 1，故只有 a－ 3， a－ 2 可能等于－ 3.①当 a－3＝－ 3 时，a＝ 0，此时 A＝ {0,1 ，－ 3} ，B＝ { －3，－ 2，1} ， A∩B＝ {1 ，－ 3} ．故 a＝ 0 舍去．②当 a－2＝－ 3 时， a＝－ 1，此时 A＝{1,0 ，－ 3} ， B＝ { － 4，－ 3,2} ，满足 A∩B＝ { － 3} ，从而 A∪ B＝ { － 4，－ 3,0,1,2}．10．设 A＝ {x|x2 ＋ 4x＝ 0} ， B＝ {x|x2＋ 2(a ＋1)x ＋ a2－1＝0} ，(1)若 B? A，求 a 的值；(2)若 A? B，求 a 的值．解(1)A ＝ {0 ，－ 4} ，①当 B＝?时，＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得 a＜－ 1；②当 B 为单元素集时，a＝－ 1，此时 B＝ {0} 符合题意；③当 B＝A 时，由根与系数的关系得：－2 a＋ 14， a2－1＝ 0，解得 a＝1.综上可知： a≤－ 1 或 a＝ 1.(2)若 A? B，必有 A＝ B，由 (1) 知 a＝ 1.能力提升题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1 ．若集合 A＝ { － 1,1} ，B＝ {0,2} ，则集合 {z|z ＝ x＋ y，x∈ A， y∈ B} 中的元素的个数为 ________．解析当 x＝－ 1，y＝ 0 时， z＝－ 1；当 x＝－ 1， y＝ 2时， z＝1；当 x＝ 1，y＝ 0 时， z＝ 1；当 x＝ 1，y＝ 2 时， z＝ 3. 故z 的值为－ 1,1,3 ，故所求集合为 { － 1,1,3} ，共含有 3 个元素．答案32．已知集合A＝ {x∈ R||x＋ 2|解析A＝ {x|－ 5答案－113．设g(x) ＝ (axa， b， c＋ 1)(cx2为实数，＋ bx＋1)f(x)＝(x．记集合＋ a) ?(x2S＝ {x|f(x)＋ bx＋ c) ，＝0， x∈R}， T＝ {x|g(x)＝0，x∈ R}．若|S|，|T|分别为集合S， T 的元素个数，则下列结论：①|S| ＝ 1 且|T| ＝ 0；② |S| ＝ 1且 |T| ＝1，③ |S| ＝2 且 |T| ＝ 2；④ |S| ＝ 2 且 |T| ＝3，其中不可能成立的是________．解析取 a＝ 0，b＝ 0，c＝ 0，则 S＝ {x|f(x)＝x3＝0}，|S| ＝ 1，T＝ {x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝ 1， b＝ 0， c＝1，则 S＝ {x|f(x)＝ (x ＋ 1)(x2 ＋ 1) ＝ 0} ，|S| ＝ 1， T＝ {x|g(x) ＝ (x ＋ 1)(x2＋ 1) ＝0} ， |T| ＝1，因此②可能成立．取 a＝－ 1， b＝ 0， c＝－ 1，则 S＝ {x|f(x)＝(x － 1)(x2 － 1) ＝ 0} ， |S| ＝ 2， T＝ {x|g(x) ＝ ( － x＋1)?( －x2＋ 1) ＝0} ，|T| ＝ 2. 因此③可能成立．对于④，若 |T|＝ 3，则＝ b2－ 4c＞ 0，从而导致 f(x)＝ (x ＋ a)(x2 ＋ bx＋c)也有3 解，因此 |S| ＝ 2 且 |T| ＝3 不可能成立．故④不可能成立．答案④二、解答题4．已知集合A＝ {y|y＝ 2x－ 1,0＜ x≤ 1}， B＝ {x|(x－a)[x－ (a ＋ 3)]＜ 0} ．分别根据下列条件，求实数 a 的取值范围．(1)A∩ B＝A；(2)A∩ B≠ ?.解因为集合 A 是函数 y＝ 2x－ 1(0 ＜ x≤ 1) 的值域，所以 A＝ ( － 1,1] ， B＝ (a ， a＋ 3) ．(1)A∩ B＝A? A? B? a≤－1，a＋3＞1，即－ 2＜ a≤－ 1，故当 A∩ B＝A 时，a 的取值范围是 ( － 2，－1] ．(2)当 A∩B＝ ?时，结合数轴知， a≥ 1 或 a＋ 3≤－ 1，即a≥ 1 或 a≤－ 4.故当 A∩B≠ ?时， a 的取值范围是 ( － 4,1).。

2015高考数学(文)第一章集合与常用逻辑用语一轮复习题有解析05限时规范特训A级基础达标1．2014•金版原创]设全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝－1，＋∞)，则下列关系正确的是()A．B⊆AB．A⊆∁UBC．(∁UA)∪B＝BD．A∩B＝∅解析：借助数轴逐一判断．画出数轴易知A，B错误；因为∁UA⊆B，所以(∁UA)∪B＝B，故C正确；又A∩B＝(1，＋∞)，所以D错误，故选C.答案：C2．2014•江西教学质量检测]已知集合A＝{y|y＝(12)x2＋1，x∈R}，则满足A∩B＝B的集合B可以是()A．{0，12}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|00}解析：由题意得A＝{x|0答案：C3．2014•郑州质量预测]若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.答案：B4.2014•长沙质检]如图，已知R是实数集，集合A＝{x|log12(x－1)>0}，B ＝{x|2x－3xA．0,1]B．0,1)C．(0,1)D．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合B∩∁RA，又A＝{x|1答案：D 5．2014•江西省七校联考]若集合M＝{x|log2(x－1)A．{x|1C．{x|0解析：由log2(x－1)答案：A6．已知集合A＝{x∈R|x－4x＋1≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)A．(2，＋∞)B．2，＋∞)C．{1}∪2，＋∞)D．(1，＋∞)解析：由x－4x＋1≤0，得A＝{x∈R|－1答案：C7．2014•金版原创]设集合A＝{x|x＝5k＋1，k∈N}，B＝{x|0≤x≤6，x∈Q}，则A∩B＝________.解析：由A∩B可得0≤5k＋1≤36且5k＋1为完全平方数，k∈N，所以k 取0,3,7，A∩B＝{1,4,6}．答案：{1,4,6}8．设A是整数集的一个非空子集，若集合A满足：①∃k∈A，k＋1∈A；②对于∀k∈A，都有k－2∉A，此时就称集合A具备M性质．给定S＝{1,2,3,4,5,6}，由S的3个元素构成的所有集合中，具备M性质的集合共有________个．解析：符合题意的集合是：{1,2,5}，{1,2,6}，{2,3,6}，{1,4,5}，{1,5,6}，{2,5,6}，共6个．答案：69．若集合A＝{x|x2＋2x－8解析：由空集的概念以及集合的运算，结合数轴求解．易知A＝{x|－4答案：(－∞，3]10．2014•潍坊模拟]已知集合M＝{x|x(x－a－1)解：由已知得N＝{x|－1≤x≤3}，∵M∪N＝N，∴M⊆N.又M＝{x|x(x－a－1)①当a＋1要使M⊆N成立，只需－1≤a＋1②当a ＋1＝0，即a＝－1时，M＝∅，显然有M⊆N，∴a＝－1符合．③当a＋1>0即a>－1时，集合M＝{x|0要使M⊆N成立，只需0综上所述，a的取值范围是－2,2]．11．2014•南宁模考]已知集合A＝{x|6x＋1≥1，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1解：由6x＋1≥1，得x－5x＋1≤0，∴－1∴A＝{x|－1(1)当m＝3时，B＝{x|－1则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2故实数m的值为8.12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得2m－1≥m＋1m＋1≥－22m－1≤5，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B＝∅时，由(1)知m可得2m－1≥m＋12m－1或2m－1≥m＋1m＋1>5，解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．B级知能提升1．2014•广西模拟]已知集合A＝{x|0A．(13，12)B．∅C．(1e，12)D．(12，e)解析：0答案：C2．设集合A＝{1,2，a}，B＝{x|－1A．(1，＋∞)B．(32，＋∞) C．(1，32)D．(32，2)∪(2，＋∞)解析：∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴2a－1>22a－1>aa>－1，∴a>32，由集合元素的互异性知a≠2，∴a∈(32，2)∪(2，＋∞)．选D.答案：D3．2014•原创题]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|＝λ}，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是________．解析：集合A表示圆x2＋y2＝1上点的集合，集合B表示菱形|x|＋|y|＝λ上点的集合，由λ＝|x|＋|y|≥0知λ表示直线在y轴正半轴上的截距，如图，若A∩B≠∅，则1≤λ≤2.答案：1，2]4．2014•枣庄模拟]已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2f(x1＋x22)≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|解：(1)对任意x1，x2∈R，有f(x1)＋f(x2)－2f(x1＋x22)＝12a(x1－x2)2≥0，要使上式恒成立，∴a≥0.由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a>0.由f(x)＝ax2＋x＝ax(x＋1a)∴不等式f(x)(2)解得B＝(－a－4，a－4)，∵B⊆A，∴a－4≤0，－a－4≥－1a，解得0∴a的取值范围为(0，－2＋5]．。

之1。

集合与常用逻辑用语（含精析）一、选择题。

1．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义A ＊B=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C 。

若A ={1，2｝,B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A ＊B=1,设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C （S ）=（ ) A.4 B.3 C 。

2 D 。

12．下列命题:①△ABC 的三边分别为c b a ,,则该三角形是等边三角形的充要条件为bc ac ab c b a ++=++222；②数列{}n a 的前n 项和为n S ，则Bn An S n +=2是数列{}n a 为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中,A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分必要条件;④已知222111,,,,,c b a c b a 都是不等于零的实数，关于x 的不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别为P ，Q ，则212121c c b b a a ==是Q P =的充分必要条件，其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①③3．若存在实常数k 和b ,使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足:≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线"．已知函数=∈=<=21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x．有下列命题：①=-()()()F x f x g x 在∈-31(,0)2x 内单调递增;②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”， 且b 的最小值为—4； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”， 且k 的取值范围是-(4,0]; ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”=-2y ex e ． 其中真命题的个数有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ,用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈;②存在集合A ,使得()3n P A =⎡⎤⎣⎦; ③用∅表示空集，若AB =∅，则()()P A P B =∅；④若A B ⊆,则()()P A P B ⊆;⑤若()n A -()1n B =，则()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其中正确的命题个数为（ )A 。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()．A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q解析根据特称命题的否定为全称命题知，选D.答案 D2．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是()．A．“p∨q”为真，p为假B．“p∧q”为假，q为真C．“p∧q”为假，p为假D．“p∧¬q”为真，“p∨q”为真解析∵p为真，∴¬p为假．又∵q为假，∴¬q为真，∴“p且¬q”为真，“p或q”为真．答案 D3．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是()．A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根C．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根D．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根解析将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根”．故选C.答案 C4．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝ 3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析 当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时 x 3＜0，故命题“∀x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x ∈R,2x ＞0，故命题“∀x ∈R,2x ＞0”是真命题．答案 C5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬ p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬ p 2)中，真命题是 ( )．A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 答案 C二、填空题6．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是________．答案 ∃x 0∈R ，e x 0＞x 07．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬ p ”、“¬ q ”中，是真命题的有________．解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为 假、“¬ p ”为真、“¬ q ”为真．答案 ¬ p ，¬ q8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0， 得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8,0]三、解答题9．分别指出“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬ p ”的真假．(1)p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有两组对边相等．(2)p ：1是方程x 2－4x ＋3＝0的解；q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解．(3)p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ；q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. 解 (1)p 真q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬ p ”为假．(2)p 真q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真，“¬ p ”为假．(3)p 假q 假，∴“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬ p ”为真．10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴¬ p ：c ＞1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12，∵c ＞0且c ≠1，∴¬ q ：c ＞12且c ≠1.又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假．①当p 真， q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ |c ＞12，且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1. ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )． A ．∃α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点解析对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝1x，满足条件；对于D，令ln x＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B2．(2013·衡水二模)已知命题p：“∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足()．A．[－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析“∃x0∈R，x20＋2ax0＋1＜0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解，∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1.答案 B二、填空题3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；③“∀x∈R，x20＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x20＋1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x20＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x20＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可得sin A＞sin B，所以④正确．故不正确的命题有①③.答案①③三、解答题4．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞ 2，即命题p ：m ＞2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p 且q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧m ≤2，1＜m ＜3.解得：m ≥3或1＜m ≤2，即实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。