2007年(春)答案

2019民饥甚矣，必请而赈，是坐以待毙也；赈而勿请，罪在太守。

宁以一身活数万人。

百姓已经非常饥饿了，一定要请示后才能赈济，这就像坐着等死；赈济百姓却不请示，罪责就在太守。

我宁愿用一人性命救活数万百姓。

文言文翻译既是学习文言文的重要目标，也是文言阅读题考察的重要题型。

通常对于文言文的翻译，应坚持“直译为主，意译为辅”的原则，通过“增删留补调换”的方法，达到准确翻译的目的。

而在实际操作中，还有一些难点需要突破，已经超出了上文方法所能应对，下面拟从四个方面来探讨这个问题。

一是注意把握句子关系，准确添加关联词语省略句是文言文中常见的句式，这是由文言文行文简练的习惯造成的。

一般文言文句子中的主谓宾，乃至介词都容易补充出来，除了文言文中常见的的关联词（固定词组）外，主要靠意合连接，正是由于这一情况的存在，关联词语往往被忽略，这直接影响了句子的整体质量。

诸如：（一）假设复句1.微夫人之力不及此。

（《烛之武退秦师》）译文：（如果）没有那个人的力量我（就）没有今天的地位。

2.养生丧死无憾，王道之始也。

（《寡人之于国也》）译文：（如果）能做到让老百姓对生养死葬没有什么不满意的，这（就）是王道的开始了。

（二）转折复句1.君子生非异也，善假于物也。

（《劝学》）译文：（虽然）君子的天性与一般人相比没有什么区别，（但是）却善于利用外物。

2.大将军邓骘奇其才，累召不应。

（《张衡传》）译文：大将军邓骘认为张衡的才能很奇异，（虽然）多次征召他，（但是）他都没有接受。

（三）条件复句1.道之所存，师之所存也。

（《师说》）译文：（只要）道理存在的地方，（就）是老师所在的地方。

2.岁寒，然后知松柏之后凋也。

（《论语子罕》）译文：（只有）到了天气最寒冷的时候，（才）会知道松树和柏树是最后凋零的。

（四）因果复句1.知不可骤得，托遗响于悲风。

（《赤壁赋》）译文：（因为）知道这种空想不能得到，（所以）只能在悲凉的秋风中寄托袅袅的箫声。

2.家富良马，其子好骑，堕而折其髀。

2007年天津市（春季）公务员录用考试《申论》试卷满分：100分时限：150分钟一、注意事项1力并重的考试。

2341．2．际困难的事情，人民，群众的位置，3亟需摆上更加突出的位置。

他说：“感人心者，莫乎于情。

人非草木，孰能无情?”机关干部作为人民的公仆应该讲真情，对人民怀有真情，对工作具有热情。

这种真情，表观为严肃党的纪律，维护政府的形象；表现为牢记“群众利益无小事”；表现为牢固树立为群众、为基层服务的宗旨；表观为坚持权为民所用、情为民所系、利为民所谋。

4．去年，温州市委、市政府围绕“一房一堤一路一环一网”，开始启动了着眼于城市发展的“五个一”工程。

通过一组组详实的数据，市民可以看到市委、市政府的态度和决心，并由此表明了过去一年的努力，已经取得了令人鼓舞的业绩。

今年，在继续抓好“五个一”工程的基础上，该市市委、市政府又把着力于改善市民生产生活条件的“五件实事”摆上了重要的议事日程。

并明确提出具体的数字目标，这些数据虽然有一定的实施难度，但是，大家依然相信，和“五个一”工程一样，只要有决心、有信心，就一定会有一个良好的结果。

从“五个一”到“五件实事”，分成两步走，是一个渐进的过程，市民从这些目标中真切感受到了市委、市政府务实的工作态度，心系民生的工作作风，以及“群众利益无小事”的执政理念。

5．在有些党员干部中存在这样的现象：交通发达了，离群众却远了；通讯方便了，与群众打成一片的传统却丢了；生活条件好了，对群众的感情却淡了。

而在建立和谐社会中，全国“人民满意的公务员”、泰州市信访局局长张云泉情系百姓，权为民所用、利为民所谋，关注弱势群体，为民解难。

他深刻认识到，是人民的公务员，心里就必须装着群众；是共产党人，就必须始终代表人民群众的根本利益，充分体现了共产党人以人为本、以民为先的高尚品质。

22求过医，6批了，时，你认为是小事，政府好，7象，井盖、放小”，追求轰轰烈烈的所谓大事而对于群众的切身利益却熟视无睹，导致做不好小事，甚至搞砸了大事，大事便成了“水中月”、“镜中花”，失去了成功的可能，甚至会伤及民心，引发各种矛盾纠纷。

资源与运营管理形成性考核册答案春作业 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#电大天堂【资源与运营管理】形成性考核册答案注：本答案仅供参考，如有错误敬请指正来源：【电大天堂】电大天堂【资源与运营管理】形考作业一答案：指导：你可以把在本单元内学习的内容与自己的实际工作结合起来，思考与整个招聘和就职过程相关的问题：(1)设想你的团队中有两名成员因为个人的原因要离职，那么，他们所承担的工作怎么办你是否需要马上向人事部f1报告你的招聘计划(2)假设主管经理告诉你，她无法保证这两个离开的人都能由新员工来接替。

园为公司当前需要压缩人员编制，裁员是肯定的，要么在你的团队，要么是别的团队。

在这种情况下，你能向她提供什么信息，以帮助她决定你的团队是否需要重新招聘人员(3)你可以试着为空缺职位准备工作描述。

．工作描述应包括以下内容：该项工作的主要目的：该项工作的主要任务；该项工作的范围。

(4)接下来，请准备人员规范。

你既可以利用基于资格的方法制定人员规范，也可以列出基本能力和优先能力。

(5)根据你制定的人员规范，列出在面试时要问的问题。

记住，你需要寻找证据来证明应聘者能够胜任这份工作。

(6)然后，为新团队成员工作第一周的就职过程作计划。

计划中应包括他们要做什么、什么时间做、谁要参与等。

(7)下一步，制定你的行动计划，该计划将监督新团队成员前3个月的工作情况，以确保他们能尽快适应工作。

记住，你需要定期进行回顾，以保证一切按计划进行。

(8)以3个月为期限，召开绩效管理会议。

会议上你可以设定绩效目标，听取反馈意见，并讨论进一步发展的需求。

(9)你需要准备一份备忘录，备忘录的内容可以有：你多长时间与团队成员进行一次谈话；你怎样核查培训效果：什么时候你会提高团队成员的目标；是否让其他团队成员扮演指导伙伴的角色。

总结：这个大作业可以帮助你利用自己的工作环境作为背景，完整地思考整个招聘过程及引导新员工就职过程中的所有问题。

2007年春季发展经济学作业2 参考答案1．A国的人口比B国的人口年轻，而且储蓄率高于B国。

你如何证明A国较高的储蓄率与人口红利有关？具体地，你要收集什么数据来支持你的观点，以及反驳可能的反对意见？答：人口红利对储蓄率的影响理论根据是莫迪里亚尼（Franco Modigliani）的储蓄生命周期假说（life cycle hypothesis），即年轻人的储蓄率比老年人更高。

要想证明储蓄率与人口红利的直接关系，关键是要证明A国较高的储蓄率主要由该国年轻人更多的人口结构造成。

而这又要基于两个假设：a. 两个国家年轻人比老年人都有更高的储蓄率；b. 两个国家同一年龄段的储蓄率之间不存在系统差异。

所以要收集两个国家各年龄段人群（可以从20岁开始，排除无收入人群）储蓄率的数据，看是否符合以上两个假设。

如果符合，则可以证明人口红利的影响；如果不符合，也不能证伪。

反对意见可能会是，较低年龄段比较高年龄段储蓄率高可能是由其他因素决定。

一个比较正式的做法是找到两国相关的微观数据做多元回归分析，将储蓄率作为因变量，年龄和其他可能的解释因素作为自变量。

假设a看两国年龄变量的参数是否显著，假设b可以用邹至庄检验。

2．“贫穷但有效”指的是传统农业达到了最高的技术效率吗？传统农业是否不存在制度方面的改进空间？答：“贫穷但有效”是美国经济学家舒尔茨（Theodore Schultz）关于传统农业的观点。

贫穷是指收入低，有效是指生产组织是有效率的，也就是所有要素的边际产出等于其价格，所以，这里的有效不是技术效率层面上的。

随着技术的进步，之前的生产组织可能就不再是有效率的，制度可能会出现诱致性变迁。

所以，传统农业的有效是在假设技术水平不变的情况下的，随着技术水平的提高，传统农业在制度方面仍然可以改进。

3．简要评述伊懋可（Mark Elvin）的高水平陷阱理论。

答：伊懋可（Mark Elvin）的高水平陷阱理论的主要观点是：中国之所以在工业革命之前一千多年里领先世界，而后又被欧洲所赶超，是因为中国受到人口众多而资源匮乏的限制。

必做题：[1]. 若求解某个问题的程序要反复多次执行，则在设计求解算法时，应重点从________代价上考虑。

时间[2]. 数字电子文本的输出展现过程包含许多步骤，________不是步骤之一。

AA对文本的格式描述进行解释B对文本进行压缩C传送到显示器或打印机输出D生成文字和图表的映像[3]. 信息化的过程就是工业社会向信息社会前进的过程。

F[4]. 在计算机中为景物建模的方法有多种，它与景物的类型有密切关系，例如对树木、花草、烟火、毛发等，需找出它们的生成规律，并使用相应的算法来描述其形状的规律，这种模型称为_____。

CA线框模型B线框模型C实体模型D过程模型[5]. 下列可作为一台主机IP地址的是_________。

CA 202.115.1.0B 202.115.1.255C 202.115.255.1D 202.115.255.255[6]. 下列汉字输入方法中，属于自动识别输入的是________ AA把印刷体汉字使用扫描仪输入，并通过软件转换为机内码形式B键盘输入C语音输入D 联机手写输入[7]. 在使用Pentium处理器的计算机上开发的新程序，在________计算机上肯定不能直接执行。

CA PentiumⅡB Pentium ProC PowerPCD Pentium 4[8]. 公共数据网的包交换机上所连计算机的地址用两段式层次地址表示，某计算机D的地址为[3,5]，它表示连接在________上的计算机。

CA 5号包交换机端口3B 5号包交换机端口13C 3号包交换机端口5D 15号包交换机端口3[9]. CPU除了运算器和控制器外，还包括一组用来临时存放参加运算的数据和中间结果的________。

寄存器[10]. 某显示器的分辨率是1024×768，其数据含义是________。

DA横向字符数×纵向字符数B纵向字符数×横向字符数C纵向点数×横向点数D横向点数×纵向点数[11]. 局域网利用专用的共享的传输介质进行通信，接入一个局域网的计算机台数不受限制。

2009年秋季：1.对于自由表来说, 不可以创建的索引类型是( )A.主索引B.候选索引C.唯一索引D.普通索引2. 在下列有关数据库及表的叙述中,错误的是( )A.一个项目中可以包含多个数据库文件,且一个数据库文件也可以包含在多个项目中B.一个表可以属于两个或两个以上的数据库C.创建一个数据库后,通常在外部存储器中生成三个文件D.表与表之间的永久性关系只能基于索引来创建3. 在VFP中,除了自由表的字段名、表的索引标识名至多只能有个字符外,其余名称的长度可以是1-128个字符。

(提示:课本41页)4. VFP支持空值(用NULL或.NULL.表示),从而简化了对未知数据的处理。

在表的浏览窗口中,若要以交互方式给某字段输入空值,可以按组合键。

(提示:课本63页)5. 一个远程数据源通常是一个远程数据库服务器或文件,并且已为它在本地安装了0DBC驱动程序并设置了ODBC数据源名称。

在VFP中,建立远程数据连接的主要目的是创建(提示:课本72页)6. 如果用户移动了数据库文件或与数据库关联的表文件,则这些文件的相对路径改变,从而可能会破坏用于关联数据库和表的双向链接。

使用命令OPEN DATABASE打开数据库JXGL时,系统将检查数据库的有效性。

(提示:课本74页)7. 与自由表相比,数据库表可以设置许多字段属性和表属性。

其中,表属性主要有表名(即长表名)、表注释、记录有效性和等。

8. 如果一个表同时在多个工作区中打开且均未指定别名,则在第一次打开的工作区别名与表名相同,其他工作区中用以及WII～W32747中的一个表示。

(提示:课本85页)9. 利用UPDATE-SQL命令可以批量地修改记录的字段值。

例如,某档案表(表名为DA)中有一个数值型字段(字段名为NL),则使用命令UPDATE DA NL=NL+1 WHERE NL<100可以将所有NL字段值小于100的记录的NL字段值增加1。

10. 利用COPY TO命令可以将当前工作区中表的全部或部分数据复制到其他表文件或者其他类型的文件中。

2007年春江苏省高等学校非计算机专业学生计算机基础知识和应用能力等级考试二级试卷试卷语种：Visual C++说明：1.本试卷包括计算机基础知识部分和程序设计部分，考试时间共120分钟2.本试卷满分为60分，分选择题和填空题，试卷不分A、B类型；3.计算机基础知识部分全部是选择题(20分)，程序设计部分分为选择题(10分)和填空题(30分)两种；4.选择题用答题卡答题。

每一项有A、B、C、D四个可供选择的答案，请选择其中一个你认为正确的答案，用HB铅笔涂写在答题卡的相应答题号内。

每选对一项得1分，不选或选错不得分；5.填空题用答题纸答题。

请将答案用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写在答题纸的相应答题号内，每个答案只占一行，不得换行。

每填对一个答案得1分，不填或填错不得分；6.请认真填写并仔细核对答题卡和答题纸上的学校名称、准考证号和姓名是否填写正确。

7.考试结束时将试卷、答题卡和答题纸放在桌上，不得带走。

待监考人员收点第一部分计算机基础知识1．下面关于比特的叙述中，错误的是( 1 )A．比特是组成数字信息的最小单位B．比特只有“O”和“1”两个符号C．比特既可以表示数值和文字，也可以表示图像和声音D. 比特”1”总是大于比特“0”2．在下列有关集成电路的叙述中，错误的是( 2 )A．现代集成电路使用的半导体材料主要是硅B．大觑模集成电路一般以功能部件、子系统为集成对象C．我国第2代居民身份证中包含有IC芯片D• 目前超大规模集成电路中晶体管的基本线条已小到l纳米左右3．在下列有关通信技术的叙述中，错误的是( 3 )A.通信的基本任务是传递信息，因而至少需由信源、信宿和信道组成B.通信可分为模拟通信和数字通信，计算机网络属于模拟通信c.在通信系统中，采用多路复用技术的目的主要是提高传输线路龟利用率’D•学校的计算机机房一般采甩5类无屏蔽双绞线作为局域网的传输介质4.下面是关于PC机主存储器的一些叙述，其中正确的是( 4 )A.主存储器是一种动态随机存取存储器(RAM)B.主存储器的基本编址单位是字(即32个二进位)C.目前市场上销售的PC机，其内存容量可达数十GBD.所有PC机的内存条都是通用的：可以互换5．现行PC机中，IDE(或SATA)接口标准主要用于( 5 )A．打印机与主机的连接c．声卡与主机的连接B．显示器与主机的连接D．硬盘与主机的连接6. 下列有关PC机的CPU、内存和主板的叙述中，正确的是( 6 ) 。

2007年初中数学竞赛试题赏析2007年春末夏初，国内的初中数学竞赛基本告一段落，暑假期间，在放松避暑纳凉的同时，对数学爱好者来说，把玩一下新的试题，也是一件乐事．下面为大家选析一些试题，供同学们玩赏．一、代数问题例1 已知a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．（2007年北京市初二数学竞赛试题三）证明 由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1， 即（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0， 通分，分子部分因式分解，（请自己完成演算）可得()()()2a b c c a b c a b abc+-+--+=0． 所以，或者a+b-c=0或者c+a-b=0或者b+c-a=0．①若a+b-c=0，则222222222222222222()21;222()21;222()2 1.222b c a b c b c bc bc bc bcc a b c a c a ac ac ac cab c a a b a b ab bc ab ab+-+--===+-+--===+-+-+-===- ②若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=1，2222c a b ac +-=-1，2222a b c ab+-=1， ③若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=-1，2222c a b ac +-=1，2222a b c ab+-=1． 综合①、②、③可得，三个分数2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-的值有两个为1，一个为-1．评析：由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1，要证这三个分数的值有两个为1，一个为-1，想到证（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0 是关键．其中分子部分的因式分解，可检验你的代数式恒等变形的基本功是否过硬． 例2 设a 是正整数，二次函数y=x 2+（a+17）x+38-a ，反比例函数y=56x，•如果这两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值．（2007年全国初中数学联合竞赛（B 组）试题第三大题）解 联立方程组2(17)38,56,y x a x a y x ⎧=+++-⎪⎨=⎪⎩消去y 得x 2+（a+17）x+38-a=56x， 即x 3+（a+17）x 2+（38-a ）x-56=0，分解因式得（x-1）[x 2+（a+18）x+56]=0． （1）显然x 1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点， 因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2+（a+18）x+56=0 （2）的判别式△=（a+18）2-224>0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，•因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．设（a+18）2-224=k 2（其中k 为非负整数），则（a+18）2-k 2=224，即（a+18+k ）（a+18-k ）=224．显然a+18+k 与a+18-k 的奇偶性相同，且a+18+k ≥8，而224=112×2=56×4=28×8，18112,1856,1828,182,184,188.39,12,0,55,26,10.a k a k a k a k a k a k a a a k k k ++=++=++=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+-=+-=+-=⎩⎩⎩===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩所以或或解得或或 而a 是正整数，所以只可能39,12,55,26,a a k k ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当a=39时，方程（2）即x 2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）．当a=12时，方程（2）即x 2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（-2，-28）和（-28，-2）．评析：这是初中数学的重点知识与方法高度综合的题目，要求会自行演算独立解答．二、几何问题在初中阶段，图形的运动主要是合同变换，包含平移、轴对称、旋转和中心对称．另外，在我国的几何教学中，对等积变换的知识日益普及，主要是利用“同底等高的两个三角形面积相等”和三角形面积公式来证题、计算，包括解决线段的比例问题．例3 如图1所示，△ABC 中，∠ABC=46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB=21°，•试确定∠CAD 的度数．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题四）图1 图2解如图2，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即∠EAD=21°，AE=AB，•所以DE=BD．易知∠ADC=21°+46°=67°，所以∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°，连接CE，DC=AB，△ABD≌△CDE≌△ADE．设O为AE与DC的交点，由于∠ODE=∠OED=46°，所以OD=OE．又DC=AE，所以AO=CO ∠OCA=∠OAC ∠COE=2∠ACO．易知∠COE=2×46°=92°，因此2∠ACO=∠COE=92°∠ACO=46°=∠OAC．所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=21°+46°=67°．例4如图3，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=•QB=BC，则∠PCQ=______．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）图3 图4解：如图4，过P作AB的平行线，过B作PQ的平行线，二平行线相交于O，则PQBO•是个菱形．连接CO．由AB=AC，AP=QB，则PC=AQ，AP=QB=PO，∠CPO=∠PAQ，所以△PQC≌△APQ，因此CO=PQ=CB=OB，可知△BCO为等边三角形，∠BCO=∠CBO=60°，•设∠CAB=θ，•则∠PCO=∠QBO=θ，由三角形内角和定理，得3θ+2×60°=180°⇒θ=20°，因此∠PCQ=80°-•50°=30°．例5 如图5，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底AD 边上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线CD 交的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：∠AFN=∠DME ．（2007全国初中数学联合竞赛试题）例5分析 延长BF ，CM 相交于Q ，因为EM ∥AF ，所以∠DME=∠DQA ．要证∠AFN=∠DME ，只需证∠AFN=∠DQA 即可．为此，只需证FN ∥MC ．证明 （面积法）连接FM ，BE ，CN ，因为EM ∥AF ，所以S △PFM =S △PBE ，因为AD ∥BC ，S △BNE =S △CNE ，因此S △BNE +S △PNE =S △CNE +S △PNE ．即S △PBE =S △PNC ，所以S △PFM =S △PNC ．两边同加S △PMC 得S △FMC =S △NMC ，所以FN ∥MC ，又已知FB ∥ME ，所以∠AFN=∠DME ．至于其它的证法我们就不再例举了．例6 试问：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3•个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． （第12届华杯赛初一组决赛试题14）解：（1）由于18=14×12=14×（112+16+14）=114824++116，所以18能表示为3个互异的正整数的倒数的和．（2）不妨设三个正整数a<b<c ，满足18=21a +21b +21c． 由于a ，b ，c 是互异的正整数，则21c <21b <21a， 从而18=21a +21b +21c <23a ，所以a 2>24．又18>21a，所以a 2>8，故a 2=9或16． 若a 2=9，则21b +21c =18-19=172，于是172>21b，有b 2>72； 又因为21c <21b ，所以172=21b +21c <22b ， 因此b 2<144，所以72<b 2<144．故b 2=81，100或121，将b 2=81，100，121分别代入c 2=227272b b -，没有一个是完全平方数，此时无解．若a 2=16，则21b +21c =18-116=116， 同上讨论可得：16<b 2<32，所以b 2=25，c 2=22161625169b b ⨯=-不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和． 例7 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程x 2-abx+12（a+b ）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．解 不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为x 1，x 2（x 1≤x 2），则有12121()2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以x 1x 2-x 1-x 2=12a+12b-ab ，4（x 1-1）（x 2-1）+（2a-1）（2b-1）=5． 因为a ，b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数．于是x 1-1≥0，x 2-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1，所以12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩或12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩ （1）当12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ，b 都是正整数，且a ≤b ，可得a=1，b=3． 此时，一元二次方程为x 2-3x+2=0，它的两个根为x=1，x=2．（2）当12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a=1，b=1，此时，一元二次方程为x 2-x+1=0，它无整数解．综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x 1=1，x 2=2．例8 （1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？ 解:（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）． 则（m+1）2=n 2+n+1，显然n>1．于是n 2<n 2+n+1<（n+1）2，所以n 2+n+1不是平方数，矛盾．（2）当k=3时，若存在正整数m ，n ，使得m （m+3）=n （n+1），则4m 2+12m=4n 2+4n ⇔（2m+3）2=（2n+1）2+8即（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8⇔ （m-n+1）（m+n+2）=2， 而m+n+2>2，故上式不可能成立．当k ≥4时，若k=2t （t 是不小于2的整数）为偶数，取m=t 2-t ，n=t 2-1，则m （m+k ）=（t 2-t ）（t 2+t ）=t 4-t 2，n （n+1）=（t 2-1）t 2=t 4-t 2，因此这样的（m ，n ）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取m=22t t-，n=222t t+-，则m（m+k）=22t t-（22t t-+2t+1）=14（t4+2t3-t2-2t）n（n+1）=222t t+-·22t t+=14（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．（注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．）四、组合与极值组合问题对锻炼思维意义重大，初中只适宜分类计数、加法原理、乘法原理的简单运用，简单的包含排除原理，基本的抽屉原理也是重要的内容．但在初中阶段，不应提前引入排列组合的计算公式．特别是提前较大范围的培训高中的排列组合知识，会激起大范围超前学习的竞争热，从而影响基础教育，并且也影响竞赛的公平性．建议命一些以几何元素为背景的构造性的问题，容易引发学生兴趣，又使套用组合公式的人容易出错，这类问题的研制特别引人注目．例9 平面上有6个点，其中任何3个点不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共点，则最多可以选出多少个三角形？（第12届华杯赛初一组决赛试题12）解答:（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；•再从余下的5点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个点做三角形的第三个顶点者，有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出一个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，•三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造654321⨯⨯⨯⨯=20个不同的三角形．（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能做出2个三角形，•它们没有公共顶点，如图4（1）．（3）用英文大写字母A，B，C，D，E，F记这6个点，如果可以选出5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母．但是，不同的英文大写字母仅有6个，因此，这5•个三角形中至少有三个三角形有同一个顶点，不妨设为点A．根据题目条件，这三个三角形没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6•个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同．否则，根据题目条件，它们将有公共边．但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母，所以，不可能存在5个三角形，它们没有公共边．如图4（2）所示，△ABC，△ADE，△BDF和△CEF这4个三角形没有公共边，所以，最多可以选出4个三角形，它们没有公共边．例10 若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和8是的倍数．试确定n的最小值，并说明你的理由．（2007北京市中学生数学竞赛初二年级试题五）解先证n≤14时题设的性质不成立．因为，当n=14时，对于9999993，9999994，…，999999，…，10000006这14个连续整数中，任意一个数字的数字之和均不能被8整除．所以n≤14时题设的性质不成立．因此要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0•的整数最多有两个，最少有一个，可分为：（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，设a i<a j，且a i，a j的个位数字为0．则满足a i，a i+1，a i+2，…，a i+9，a j为连续的11个整数，其中a i，a i+1，a i+2，…，a i+9无进位设n i表示a i各位数字之和．则前10个数的各位数字之和分别为n i，n i+1，…，n i+9则这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，设其中的a i的个位数字为0，•①若整数满足1≤i≤8，则在a i后面至少有7个连续整数，则a i，a i+1，a i+2，…，a i+7这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15，则在a前面至少有8个连续整数，不妨设为a i-8，a i-7，a i-5，a i-4，a i-3，a a-2，a a-2，a i-1，这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．由①、②可知，当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．综上（1）、（2）所述，对于任意15个连续整数中，必有一个数，•其各位数字之和是的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质，所以n的最小值是15．例11 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试23题）解：（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•按题设规则用线段连接，可以连出3×3+3×3+3×3=27条线段．（2）平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，按题设规则用线段连接，可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段．（3）设平面上三组点数为m，n，p个，s=m+n+p，目标求s的最小值？按题设规则用线段连接，可以连出mn+mp+np=192条线段．由于s2=（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3mn+3mp+3np=•3（mn+mp+np）=3×192=576=242所以s≥24．s的最小值是24．事实上，当这24个点平分为3组，每组8个点，按题设规则用线段连接，恰可以连出8×8+8×8+8×8=3×64=192条线段．因此平面上至少有24个点．- 11 -。