人教数学七下-实数三个专题

第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析+针对训练专题1特殊到一般的思想专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以121=11；用样，因为1112=12321，所以12321=111；…；由此猜想76543211234567898=________．针对训练11．观察下面的式子：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15⋯请你将猜想到的规律用含正整数n （n ＞1）的式子表示出来是 ．专题2 转化思想专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A ，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B ，从而获得问题A 的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：−√13和−√25．针对训练22．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较√6+12与32的大小？专题3 分类思想专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．实数⎩⎨⎧无理数有理数， 实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数0．典例3 求方程(21x －3)2＝9中x 的值．针对训练33．求x 的值：4（x ﹣1）2＝25．专题4 数形结合思想专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．典例4 实数a 、b 在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a ＋b|＋2)(a b -．图6－1针对训练44．（2021秋•福田区校级期末）a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b ＞ 0，b ﹣a ＞ 0，a ﹣c ＜ 0；（2）化简：|﹣b |﹣|b ﹣a |+|a ﹣c |．5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 的位置如图所示： 化简：√b 33−√a 2−|b +c |+√(a −b −c)2．专题5 实数的大小比较在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法． 方法一、绝对值比较法典例5 比较－6与－3的大小．典例6 当0＜x ＜1时，x 2,x ,x1从小到大的顺序是 .方法三、取近似值法 典例7 比较－417和3π-的大小． 方法四、平方法典例8 比较35和8的大小方法五、放缩法典例9 比较27+与257-的大小．针对训练56．（2021秋•双牌县期末）比较大小：6√3 7√2（填＞，＜，＝）．7．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：√13−1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a △b ＝a •b ﹣a +1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△√2与√2△（﹣3）的大小．。

专题6.15 实数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）【类型一】实数✭✭平方根✭✭立方根【类型①】实数➼➻平方根✭✭立方根➼➻解方程（两个题）1．求下列x 的值(1) ()2251360x +-=(2) ()3218x -=-2．求下列各式中x 的值：(1) 225640x -＝；(2) ()33433270x ++＝；(3) 2(21)16x +=【类型②】实数➼➻平方根✭✭立方根➼➻运算求值（两个题）3．计算： (1) 33(1)128-+ (2) 3223(5)(3)2532(3)--+．4．计算 (1)310.0184- (2) 332【类型③】实数➼➻平方根✭✭立方根➼➻综合化简与运算（四个题） 5．如图，有一只蚂蚁从点B 沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A ，若点B 3设点A 所表示的数为m ．(1) 实数m 的值是_________；(2) 求()221m m +++的值．(3) 在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有24c +4d -求238c d ++的平方根．6．已知：x 的平方根是3a +与215a -213b -．(1) 求a ，b 的值；(2) 求x 的值；(3) 求1a b +-的立方根．7．已知235,4,8a b c ===-．(1) 若,a b ＜求a b +的值；(2) 若0abc ＞，求32a b c --的值．8．计算： (1) 239(6)27--(2) 51的整数部分为a 51的小数部分为b ，求23a b +的值．【类型二】实数✭✭平方根✭✭立方根【类型①】实数➼➻混合运算（四个题）9．计算(1) ()29234--； (2) 223184(3)2⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．计算： (1)23327(3)1--- (2) 23164(2)9-+-11．（1）用“＜”“＞”或“＝”填空： 1 22 3（2）由以上可知：①|12＝ ， 23＝ ．（3）计算：12233420212022++．（结果保留根号）12．知识链接：①对于任意两个实数a ，b ，如果0a b ->，那么a b >；如果0a b -=，那么a b =；如果0a b -<，那么a b <；①任意实数a 的平方都是非负数，即20a ≥．知识运用：(1) 7______53； (2) 已知a 为实数，2(32)A a =-，()()21432B a a a =---，请你比较A 、B 的大小；(3) 已知x 、y 均为正数，比较2x y +与82xy x y+的大小．【类型②】实数➼➻大小比较✭✭估算✭✭整数部分与小数部分（两个题） 13．已知21a -的平方根是3±，9b -的立方根是2，c 12(1) 求a 、b 、c 的值； (2) 若x 12的小数部分，求1212x 的值．14．阅读材料，解答下面的问题： 479<273<<，7272．(1) 6的整数部分．(2) 已知56a ，56的小数部分是b ，求2021()a b +的值．【类型③】实数➼➻运算✭✭化简✭✭规律（三个题）15．观察下列等式，并回答问题： ①1221=； 2332= 3443= 4554=……(1) 请写出第①个等式：______356=______；(2) 写出你猜想的第n 个等式：______；（用含n 的式子表示） (3) 241-1的大小．16．观察下列各等式及验证过程：11122323-=211121223232323-==⨯⨯ 11113()23438-=21111313()23423423843-===⨯⨯⨯⨯ 11114()345415-=21111414()345345534541-==⨯⨯⨯⨯ 针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式_____．17．观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)从表格中探究a a①10 3.16≈1000≈________；①8.973b=，用含m的代数式表示b，则b=________；m897.3(3)a a的大小．当________a a>；当________a a=；当________a a．【类型四】实数✭✭平方根（算术平方根）✭✭立方根➽拓展与应用【类型①】实数➼➻应用➼➻化简✭✭求值（四个题）18．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．(1)图中拼成的正方形的面积是___________；边长是___________；(2)你能把十个小正方形组成的图形纸（图3），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图的形式把它重新拼成一个正方形．并求出这个正方形的边长是___________．19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y6）x的值．20．综合与实践如图是一张面积为2400cm的正方形纸片．(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）(2)若用此正方形纸片制作一个体积为3216cm的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．21．“2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1) 22我们知道面积是222 1.4=+，画出如下示意图．>．2 1.4x由面积公式，可得2x+______2=．因为x值很小，所以2x更小，略去2x，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），2≈_____．(2) 22过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．x x>．依题意，割补前后图形的面积相等，小敏同学的做法是：设新正方形的边长为()0有22x =，解得2x 1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【类型②】实数➼➻综合➼➻拓展✭✭提升（三个题）22．先阅读然后解答提出的问题：设a 、b 是有理数，且满足2322=-a b b a 的值．解：由题意得(3)(2)20-++a b ，因为a 、b 都是有理数，所以a ﹣3，b+2也是有理数，2是无理数，所以a -3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2， 所以3(2)8=-=-a b ．问题：设x 、y 都是有理数，且满足225y 1035x y -=+x+y 的值．23．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：3表示的点与数表示的点重合；①若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.24．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x＝；y= ;(2)从表格中探究a a①101000≈ ；① 3.24 1.8a 180，则a ＝ ；(3) 312 2.289≈30.2289z =，则z= ．参考答案1．(1)10.2x =，2 2.2x =-(2)12x =-【分析】（1）首先移项，然后利用直接开平方，即可求出答案； （2）先直接开立方，即可求出答案． 解：（1）()2251360x +-=，∴()225136x +=，∴()236125x +=， ∴10.2x =，2 2.2x =-．（2）()3218x -=-，∴212x -=-，∴12x =-．【点拨】本题主要考查了解方程，熟练掌握求平方根和求立方根的方法是解本题的关键． 2．(1)x ＝85±(2)x ＝247-(3)121322x x ==-，【分析】（1）移项，系数化为1后求平方根即可； （2）移项，系数化为1后求立方根即可解题； （3）先求平方根，然后解一元一次方程解题． 解：（1）225640x -=， 22564x ＝，26425x =， x =85±；（2）()33433270x ++=， ()3343327x +=-，327(3)343x +=-， 3x +=-37， x =247-； （3）2(21)16x +=212x +=±，212x +=，212x +=-，①121322x x ==-，．【点拨】本题考查平方根，立方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 3．2(2)43【分析】（1）先计算立方值、绝对值、立方根，再把有理数和无理数分别计算即可； （2）先计算立方根、平方值、平方根、绝对值，再把有理数和无理数分别计算即可． （1）解：原式=12122-+2 （2）解：原式=595233-+-+=43【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握立方根、立方值、平方值、平方根、绝对值的计算方法是解题关键．4．(1) 2.4- (2)2【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义及性质分别计算后再根据有理数加减运算法则求解即可；（2）根据相反数的定义及性质直接运算即可得到答案．（1310.0184-()1=0.1+22--0.120.5=-- 2.4=-；（23322=-【点拨】本题考查有理数的运算，涉及到算术平方根、立方根的定义及性质和相反数的定义及性质，熟练掌握相关运算法则及性质是解决问题的关键．5．32；(2)23 (3)4±【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数； （2）代入m 求值即可；（3）根据非负数的性质，求得c,d 的值，代入即可求解． （1）解：（1）32m =， 32； （2）解：()221m m +++=)2322321++=313+ =23+故答案为：23+（3）解：①24c + 4d -， ①|24|c + 4d -， ①24|0|c ≥+ 4d -， ①|2|40c += 4d -， ①24c d -=，=，①()2382234816c d ++=⨯-+⨯+=， ①164±=±．【点拨】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．6．(1) 4a =，5b =(2)49(3)2【分析】（1）根据一个数的两个平方根互为相反数可得答案； （2）求出3a +或者215a -的平方即可得出答案； （3）将,a b 的值代入1a b +-中，求其立方根即可． （1）解：x 的平方根是3a +与215a -，(3)(215)0a a ∴++-=，解得4a =， 213b -=，5b ∴=；（2）x 的平方根是3a +与215a -，22(3)(43)49x a ∴=+=+=；（33314512a b +-+-=．【点拨】本题考查了平方根以及立方根，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解本题的关键．7．(1)3-或7-(2)15 或7-【分析】（1）利用绝对值的定义求出a 的值，利用平方根的定义求出b 的值，利用立方根的定义求c 的值，代入即可求出a ＋b 的值；（2）根据ab 小于0，得到ab 异号，求出a 与b 的值，代入所求式子中计算即可求出值．（1）解：①235,4,8a b c ===-．①5,2,2a b c =±=±=-， ①a b ＜， ①5,2a b =-=±，①523a b +=-+=-或527a b +=--=-， 即a b +的值为3-或7-； （2）①0,2abc c =-＞， ①0ab ＜，①5,2==-a b 或 5,2a b =-=， ①当5,2,2a b c ==-=-时，()()3253222a b c --=-⨯--⨯-5+64=+15.=当5,2,2a b c =-==-时，()3253222a b c --=--⨯-⨯-564=--+ 7.=-①3215a b c --=或7-．【点拨】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a 与b 的值是解本题的关键．8．(1)0 (2)35【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义计算即可；（25151介于那两个连续整数之间，从而确定它们的整数部分和51的小数部分，继而求出23a b +的值.（1）解：原式()3630=---=（2）①459①253<<①3514<<，1512<<51的整数部分3a =51的整数部分为1， 51的小数部分)51152b =-，①)232335235a b +=⨯+⨯=【点拨】本题考查算术平方根与立方根，算术平方根有关的整数部分和小数部分问题，掌握算术平方根和立方根的定义，会估算无理数的范围是解题的关键。

人教版七年级下册数学实数集合概述本文档旨在介绍人教版七年级下册数学教材中的实数集合知识。

通过研究本节内容，学生将了解什么是实数集合，以及实数集合的分类和性质。

实数集合的定义实数集合是由所有实数所组成的集合，表示为R。

实数是一种无穷无尽的数集，包括整数、分数和无理数等。

实数集合是数学中非常重要的一个概念，它涵盖了所有可能的数值。

实数集合的分类根据实数的不同性质，实数集合可以分为以下几类：1. 自然数集合(N)：包括正整数和零，表示为N = {0, 1, 2, 3, ...}。

2. 整数集合(Z)：包括正整数、负整数和零，表示为Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。

3. 有理数集合(Q)：包括所有可以表示为两个整数的比例的数，表示为Q = {a/b | a和b为整数，且b ≠ 0}。

4. 无理数集合(I)：包括不能表示为两个整数的比例的数，表示为I = {x | x不是有理数}。

5. 实数集合(R)：包括所有的实数，表示为R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I。

实数集合的性质实数集合有以下几个重要的性质：1. 密集性：实数集合中的任意两个数之间都存在另一个实数。

换句话说，实数集合没有空隙。

2. 有序性：实数集合中的数可以按大小进行比较，即存在大小关系。

3. 可加性：实数集合中的两个数相加（或相减）的结果仍然是实数。

4. 封闭性：实数集合是对加法、减法、乘法和除法封闭的，即对于任意两个实数进行运算，结果仍然是实数。

总结实数集合是数学中非常重要的一个概念，涵盖了所有可能的数值。

根据实数的不同性质，实数集合可以分为自然数集合、整数集合、有理数集合、无理数集合和实数集合。

实数集合具有密集性、有序性、可加性和封闭性等重要性质。

通过研究实数集合的知识，可以帮助学生深入理解数学中的数值概念和性质。

参考文献:。

人教版数学七年级下册教学设计6.3《实数》一. 教材分析人教版数学七年级下册第6.3节《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统认识的一节内容。

本节内容主要包括实数的定义、实数与数轴的关系以及实数的分类。

通过本节课的学习，使学生了解实数的丰富性和广泛性，培养学生对实数的认识和理解。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数和无理数的基本概念，对数轴也有了一定的认识。

但学生在实数的分类方面可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生充分理解实数的内涵和外延。

三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数与数轴的关系。

2.能够对实数进行分类，了解实数的丰富性和广泛性。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.实数的定义和实数与数轴的关系。

2.实数的分类和各类实数的特征。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；通过案例分析，使学生直观地理解实数的概念；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和表达能力。

六. 教学准备1.准备与实数相关的案例和图片，以便在教学中进行展示和分析。

2.准备实数的分类表格，方便学生理解和记忆。

3.准备数轴的道具或图片，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。

例如：“同学们，我们已经学习了有理数和无理数，那么你们能总结一下有理数和无理数的特征吗？”2.呈现（10分钟）教师通过PPT或板书，呈现实数的定义和实数与数轴的关系。

同时，结合案例和图片，使学生直观地理解实数的概念。

例如：“同学们，今天我们要学习的是实数。

实数包括有理数和无理数，它们都可以用数轴上的点来表示。

请大家观察这个数轴，找出一些特殊的点，并试着解释它们的含义。

”3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据实数的定义和实数与数轴的关系，对给定的实数进行分类。