江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案 精品

南康中学2018～2019学年度第二学期高二第一次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设()sin cos f x x x =-，则()f x 在4x π=处的导数()4f π'=（ ）AB ．C ．0D 2、双曲线2221x y -=的离心率为（ ）AB CD 3、下列3个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”； ②若2:(2)0,:log 1p x x q x -≤≤，则p 是q 的充要条件；③若命题:p x R ∃∈，使得22x x <，则:p ⌝x R ∀∈，均有22x x ≥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4、利用数学归纳法证明22111(1,)1n n a a a aa n N a+++-++++=≠∈-时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++5、如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算6、抛物线28y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，则MFO ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．67、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则18()4xy -的最大值为（ ）A ．64B ．32C ．D ．18、如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =--B ．2sin 41x x y x =+C ．ln x y x=D ． 2(2)x y x x e =-9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点对称点为B ，F 为其右焦点，若,6AF BF ABF π⊥∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．2B 1C ．12D ．211、已知球的直径2SC =，,A B 是该球球面上的两点，1,45AB ASC BSC =∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为（） AB ．4C ．3D ．612、已知函数21()xax f x e+=（e 为自然对数的底数），函数()g x 满足()()2()g x f x f x ''=+，其中(),()f x g x ''分别为函数()f x 和()g x 的导函数，若函数()g x 在[1,1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）正视图俯视图A ．1a ≤B ．113a -≤≤ C ．1a >D ．13a ≥-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在题中相应的横线上. 13、函数4()3(0)f x x x x=+>的最小值为 14、函数()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是15、已知()sin(1)f x x =-，若{}1,3,5,7p ∈，则()0f p ≤的概率为 16、若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别是,A B ，点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，那么αβ+=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。

2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23 3．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）4．（5分）在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝（）A．3B．6C．27D．95．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln28．（5分）若（2x+）dx＝3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．29．（5分）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是（）A．B．2C．3D．010．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）11．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n＝（）A．1936B．2016C．2017D．220812．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）．14．（5分）曲线y＝﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx在x＝1及x＝2时取得极值，则b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1．（1）当k＝2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a＝1时，求函数y＝f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y＝f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．22．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2＝4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R【解答】解：由得，即，解得﹣1＜x≤2，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x≤2}，故选：B．2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，左侧的特点是，由1一直加到2n+1项结束．所以在验证n＝1时，左端计算所得的项为：1+2+22．故选：C．3．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）【解答】解：∵抛物线的方程为y＝4x2，即x2＝y∴2p＝，解得因此抛物线y＝4x2的焦点坐标是（0，）．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝（）A．3B．6C．27D．9【解答】解：在等比数列{a n}中，a4a5a6＝27，∵a4a6＝a5•a5，∴（a5）3＝27，∴a5＝3，∴a1a9＝a5•a5＝9，故选：D．5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1＝＝＝，故选：D．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），其中c＝∴一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝，即7b2＝2a2，由此可得双曲线的离心率为e＝＝．故选：C．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln2【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y＝2时，x＝，所以阴影部分E的面积为+＝1+＝1+ln2故选：D．8．（5分）若（2x+）dx＝3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：因为（2x+）dx＝3+ln2，所以（x2+lnx）＝a2﹣1+lna＝3+ln2，所以a＝2；故选：D．9．（5分）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【解答】解：y＝ln（2x﹣1）的导函数为y′＝，设与曲线y＝ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3＝0平行的直线方程为：2x﹣y+m＝0，设切点为（x0，y0）∴＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2x0﹣1）＝ln1＝0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3＝0的距离为＝．即曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是．故选：A．10．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x∴f′（x）＝（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A．11．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n＝（）A．1936B．2016C．2017D．2208【解答】解：OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，构成等差数列，由第n棵树所在点坐标是（46，0），则n＝46×3+×2＝2208棵树．故选：D．12．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＜0，得：＞＜，∴＞x，∴0＜x＜1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）．【解答】解：由＝x2dx+dx，由x2dx＝x3＝，由定积分的几何意义可知：dx表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的一半，则dx＝，＝x2dx+dx＝，故答案为：．14．（5分）曲线y＝﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2＝0．．【解答】解：y′＝﹣5e x，∴y′|x＝0＝﹣5．因此所求的切线方程为：y+2＝﹣5x，即5x+y+2＝0．故答案为：5x+y+2＝0．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题⇔命题“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”为真命题．△＝4a2﹣4≤0⇒﹣1≤a≤1故答案为：[﹣1，1]16．（5分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx在x＝1及x＝2时取得极值，则b的值为4．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx，∴f′（x）＝6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x＝1及x＝2取得极值，∴f′（1）＝0，f′（2）＝0．即，解得a＝﹣3，b＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．【解答】解：（1）由3a≤9，得a≤2，即p：a≤2．由△＝9（3﹣a）2﹣4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．∵“p∧q”为真命题，∴，解得1≤a≤2．（2）又t：a＜m或，从而．∵r是¬t的必要不充分条件，即¬t是r的充分不必要条件，∴，解得，∵m∈N*，∴m＝118．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．【解答】解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A＝1．函数f（x）的周期为T＝4×（+）＝π．而T＝，则ω＝2．又x＝﹣时，y＝0，∴sin[2×（﹣）+φ]＝0．而﹣＜φ＜，则φ＝，∴函数f（x）的表达式为f（x）＝sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）＝，得sin（2α+）+sin（2α﹣）＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝．∴（sinα+cosα）2＝1+＝．∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα＝．19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1．（1）当k＝2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当k＝2时，f（x）＝lnx﹣2x+1，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由，所以函数的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即在（0，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令，则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以g（x）在（0，1）为增区间，在（1，+∞）为减区间，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝1．故k≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE＝a，BG＝2，GH＝a，（a≠2），BH＝2﹣a，EH＝BH tan60°＝，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），＝（﹣a，0，a），＝（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，则x＝，y＝﹣1，即＝（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞＝＝即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即＝0，∵＝（a﹣2，﹣，0），＝（﹣2，，0），∴＝﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2＝0，解得a＝．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a＝1时，求函数y＝f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y＝f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）a＝1时，函数f（x）＝lnx+x2﹣2x，（x＞0）则f′（x）＝+x﹣2＝＝≥0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）＝﹣＜0，f（4）＝ln4＞0，故函数y＝f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）∵f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a＞0），∴f′（x）＝+ax﹣（a+1）＝，令f′（x）＝0，则x＝1，或x＝，当≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1．e]上恒成立，函数y＝f（x）为增函数，此时当x＝1时，函数取最小值﹣（a+1）＝﹣2，解得：a＝2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f′（x）＜0在区间[1.]上恒成立，函数y＝f（x）为减函数，f′（x）≥0在区间[．e]上恒成立，函数y＝f（x）为增函数，此时当x＝时，函数取最小值﹣lna+﹣＝﹣2，不存在满足条件的a值；当≥e，即0＜a≤时，f′（x）≤0在区间[1．e]上恒成立，函数y＝f（x）为减函数，此时当x＝e时，函数取最小值1+e2﹣e（a+1）＝﹣2，解得：a＝（舍去）；综上可得：a＝222．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2＝4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C的焦点在y轴上设椭圆方程为由题意可得c＝1，，，∴椭圆方程为…（3分）（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是由即两圆相切于点（1，0）…（5分）因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…（6分）证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴…（9分）又∵＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），∴＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝＝＝＝0…（11分）∴即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．…（12分）。

江西省南康中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}240,8M x x x N x m x =->=<<，若{}6M N x x n =<<，则m n +=（ ）A ．10B ．12C ．14D ．162．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)13z i i +=-，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+3．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p 为（ ） A ．x R ∃∈，使得210x x ++< B ．,x R ∀∉使得210x x ++<C ．x R ∃∈，使得210x x ++≥D ．x R ∀∈使得210x x ++≥4．在ABC ∆中，sin cos A B >是ABC ∆为锐角三角形的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（ ）A ．15B ．31C ．63D ．1276．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边增加了（ ）A ．221121+-+k k B ．12(1)k +C ．11212(1)k k +++D ．11k + 7．若曲线ln y x x =在P 点处的切线平行于直线210x y -+=，则P 点的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（e ，1）C ．(,)e eD ．(1,0)8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）A ．3125B ．5625C ．0625D ．81259．从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．14D ．2310．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=，2BC =，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（ ） A 2B 22C 2D 4211．已知圆221:(1)16C x y -+=及圆2222:(1)(01)C x y r r ++=<<，动圆M 与两圆相内切或外切，动圆M 的圆心M 的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1212,()e e e e >，则122e e +的最小值为（ ）A 322+ B ．32C 2D ．3812．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有2()()f x f x x +-=且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-则实数a 的取值范围为（ ）A ．),1[+∞B ．]1,(-∞C ．),1()0,(+∞⋃-∞D ．))1,0(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 是虚数单位，i 2018=_____14．()____1112=-+⎰-dx x x15．已知点12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线的离心率为 16．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c（1）若,,a b c 成等差数列，证明：sinA sinC 2sin(A C)+=+ （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值 .18．（本小题满分12分）如图，已知五面体CD AB E ，其中C ∆AB 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DC BE 为平行四边形，且DC ⊥平面C AB ．（1）证明：平面ADC ⊥平面DCBE ；（2）若4AB =，C 2B =，且二面角D C A-B -所成角θ的余弦值为5，试求该几何体CD AB E 的体积．19．（本小题满分12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.x (个)2 3 4 56y (百万元) 2.5344.5 6(1)来自同一区的概率(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；(3)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为z ＝y －0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：()()()^^^121,niii ni i x x y y b a y b x x x==--==--∑∑20．（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=x x a x f . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）对任意的),0(,21+∞∈x x ，若12x x >,有)(4)()(2121x x x f x f -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知椭圆 C: 离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线l （与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．22. （本小题满分12分）已知函数ax xxx f -=ln )(。

南康中学2017～2018学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】为第三象限角，则，点在位于第三象限角，故选C.2. 在等比数列中，，且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为数列公比为，，且，解得或，当时，则；当时，则，故选B.3. 若函数同时具有以下两个性质：①是偶函数；②对任意实数，都有.则的解析式可以是 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，函数是偶函数，且它的图象关于直线对称，是偶函数，当时，函数，不是最值，故不满足图象关于直线对称，故排除；函数，是奇函数，不满足条件，故排除B；函数，是偶函数，当时，函数，是最小值，故满足图象关于直线对称，故满足条件；函数是偶函数，当时，函数，不是最值，故不满足图象关于直线对称，故排除，故选C.4. 若在一次试验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由四组数值，可得，则，，，，与之间的回归直线方程是，故选B.5. 某公共汽车的班车在三个时间发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则小明等车时间不超过分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设小明到达时间为，当在至，或至时，小明等车时间不超过分钟，故由几何概型概率公式可得小明等车时间不超过分钟的概率是，故选B.............6. 执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由程序框图可知.输出.故本题答案应选D.考点：程序框图．7. 已知满足（为常数），若最大值为，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：由，解得，将转化为，显然直线过时，最大，的最大值为，解得，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高，几何体的体积，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 抛一颗均匀的正方体骰子三次，则向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛一颗均匀的正方体骰子三次，共有种情况，构成公差为的等差数列只能是四种情况，因此由古典概型概率公式可得向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是，故选A.10. 已知函数，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以ab=1，又因为，所以a－b>0,=,故选A.考点：1.对数的性质；2.基本不等式的性质.11. 过正方体的顶点作直线，使直线分别与三条棱所成的角都相等，则这样的直线有（）条A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：由于平面，平面，平面上不存在满足条件的直线，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知在平面内的射影为的角平分线,在平面内的射影为的角平分线，则在正方体内部的情况为体对角线；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另条棱夹角度数相等，有条.所以共有条满足条件的直线,故选D.12. 已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项；第二组有二项；第项有项，前项组共有，，故选A.【方法点晴】本题主要考查归纳推理及等比数列的求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量，若向量与垂直，则_____________【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充要条件有：，解得： .点睛：(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.14. 在边长为的正方形内任取一点，则小于的概率为_____________ 【答案】。