高中数学第1章立体几何初步1.1_1.1.4直观图画法练习苏教版必修2

解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8，
所以正方形的面积为 16 或 64.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2．利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正 确的是图中的________ ． ③
解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边 长之比为 2∶1.
在直观图中与 z 轴平行的线段长度不变，仍为 5 cm.
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1． 斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁， 可根据它们之 间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可 根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等， 而求原图形的面积可把直观图还原为原图形． 2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平 行线段之比仍然等于它的真实长度之比， 但所画夹角大小 不一定是其真实夹角大小．
研一研· 问题探究、课堂更高效
设它们的交点分别为 A，B，C，D，四边形 ABCD 就是长方 体的底面 ABCD.
(3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在 这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′，BB′，CC′， DD′. (4)成图．顺次连结 A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉 辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线)， 就得到长方体的直观图．
例 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置 的正三角形的直观图．
解 (1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45° . 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝2 cm，在 y′轴上截取 1 O′A′＝ OA， 连结 A′B′， A′C′， 则三角形 A′B′C′ 2

1.1.4 直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点 斜二测画法思考1 边长为2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？★★答案★★ A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ， A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？★★答案★★ 没有都画成正方形.梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.类型一 平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示.(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示.反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示.由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________.★★答案★★ 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)， ∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形.命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝ O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连结BC ，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________.★★答案★★2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱.过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面.①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P －ABCDEF 的顶点.在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′. (3)成图.连结P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3).1.利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________.★★答案★★ 16或64解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm. ★★答案★★ 5解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析 在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或与y 轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，连结AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图.1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.课时作业一、填空题1.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形.★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.3.给出以下说法，其中不正确的是________.(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形.★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确.4.下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.5.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________.(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确.6.如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________.★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO.7.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________.(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点.★★答案★★ ①③④解析 根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直.8.一个长方体的长，宽，高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________. ★★答案★★ 4,4,4解析 根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.9.在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC 为______(填形状)，面积为________ cm 2.★★答案★★ 矩形 8解析 由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，∴四边形OABC 的面积为S ＝2×4＝8(cm 2).10.如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________.★★答案★★ 1解析 作CD 、BE ⊥OA 于点D 、E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)，∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2＝1(cm).二、解答题11.如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图.解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示.画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示.(2)如图②所示，在x ′轴的正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴的正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连结B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.12.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .解 (1)过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于点D ′，E ′.(2)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上取两点E ，D ，使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′D ′，再分别过E ，D 作y 轴的平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′，连结OB ，OC ，BC ，并擦出辅助线及x 轴，y 轴，即求出原△ABC .13.如图所示，在△ABC 中，AC ＝12 cm ，AC 边上的高BD ＝12 cm ，求其水平放置的直观图的面积.解 方法一 画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ， 所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2). 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2). 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2).三、探究与拓展14.水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是______三角形.★★答案★★ 钝角解析 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形.15.用斜二测画法画出正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形的直观图△ABC .(3)画侧棱.过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，使得AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图.。

第
一
1.1
章
空
1.1.4
间
立
(kō
直观 图画
体 ngj
法
几
iān
(huà
何 初 步
)几 何 体
fǎ)
理解
(lǐjiě)
知
教材
识
新知
点
把握热点考向
应用创新演练
入门答辩 新知自解 考点一
考点二
第一页，共26页。
第二页，共26页。
第三页，共26页。
第四页，共26页。
第五页，共26页。
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似 毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联 系，在美术画中，空间图形或实物在画板上画得既富有 立体感，又能表达出各主要部分(bù fen)的位置关系和 度量关系．
第十一页，共26页。
第十二页，共26页。
画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定 )．
[思路点拨(diǎn bo)] 先建立适当坐标系后利用斜二测 画法得直观图．
[精解详析] 如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy， 再建立坐标系x′O′y′，如图(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′ ＝OB.
．
90°
水平面
第九页，共26页。
(3)已知图形中平行(píngxíng)于x轴、y轴或z轴的线段，在直
观图中分别画成平行(于pínx′g轴xí、ngy)′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行(píngxíng)于x轴或z轴的线段，在直观图
中保持原长不度变
的．
；平行(píngxíng)于y轴的线段，长度为一原半来(yībàn)
③连结AB，BC，去掉辅助线， 则△ABC为△A′B′C′原来(yuánlái)的图形.

的长方体的直观图 你觉得x,y,z轴长度该怎么画？
1 画 轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三 轴 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5 ,
x O z 9 0 .
Z
y
说明：注意建系的原那么
O
x
空间几何体的斜二测画法
2画 底 面 . 以 O为 中 心 , 在 x轴 上 取 线 段 MN, 使 MN= 4cm; 在
斜二测画法
.....
例：画出边长为2的正方形的直观图
y
①画出边长为2的正方形， 建立直角坐标系
.
.
.o .
. x
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、 y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
y
y’
.....
.
.
..
o
.. x
.
..
O’
. X’
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
F ME
A
O
D
x
B NC
y
F M E
A
D
O
x
B N C
新知探析
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于 点O.画直观图时，把它画成对应的x ' 轴、y ' 轴,使
x'Oy'=45 或135 ，它确定的平面表示水平平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分 别画成平行于x ' 轴和y ' 轴的线段.
前面我们学习了空间几何体的三视图，根据三视图我们
可以推测所表示的空间几何体的形状，但是，三视图缺乏直观