高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理练习北师大版必修2
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-1 4．2 空间图形的公理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法正确的个数为( )
①有三个公共点的两平面必重合；
②平面α和平面β只有一个公共点；
③三点肯定一个平面．
A．1 B．2
C．3 D．0
答案：D
解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理3，知两个平面如有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能肯定一个平面，③错误．故选D.
2．已知α，β表示两个不同的平面，l表示直线，A，B表示两个不同的点．给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；
②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l⃘α，A∈l，则A∉α.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：由公理2可知①正确；由公理3可知②正确；当点A为直线l与平面α的交点时，③错误．
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA，O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1，且射线OB，O1B1的方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不必然平行
答案：D
解析：如图，在图1中OB∥O1B1，在图2中，OB与O1B1不平行． 百度文库 -
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4．设α为两条异面直线所成的角，则α知足( )
A．0°<α<90° B．0°<α≤90°
C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
答案：B
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.
5．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2别离是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
答案：B
解析：连接SG1，SG2并延长，别离与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N别离为AB，AC的中点，由重心的性质，知SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN.又M，N别离为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.
6．给出下列四个命题：
①不共面的四点中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点肯定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确．②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．不共面的四点可以肯定__________个平面．
答案：4
解析：任何三点都可以肯定一个平面，从而可以肯定4个平面．
8．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为__________；
(2)AD与BC′所成的角为__________．
答案：(1)60° (2)45° 百度文库 - 好好学习，天天向上
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解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
9．用一个平面去截一个正方体，截面可能是______．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
答案：①②③④
解析：
(注：这儿画了其中的特例来讲明有这几种图形)
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD共面．
设ABβ，CDβ，∴ACβ，
又E∈AC，∴E∈β.
又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，按照公理3，知B，E，D三点共线．
11.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必相交于一点．设AB∩CD＝M，
又AB⊂α，CD⊂β，
∴M∈α，M∈β，
∴M在α与β的交线上．
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
12．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N别离是△PAB和△PBC的重心，AC＝9. 百度文库 - 好好学习，天天向上
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(1)求MN的长；
(2)若点P，B的位置转变，会影响M，N的位置和MN的长度吗？
解：(1)如图，连接PM并延长交BA于E，连接PN并延长交CB于F，连接EF.
∵M，N别离是△ABP和△BPC的重心，故E，F别离是AB，BC的中点，
∴EF＝12AC，且EF∥AC.
又PMPE＝PNPF＝23，
∴MN＝23EF，且MN∥EF.
∴MN＝23×12AC＝13AC＝3.
(2)由(1)知MN的长与B，P的位置无关，恒是定值．但如果P，B位置发生转变，M，N的位置也会改变．
