2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 直观图讲义 北师大版必修2

第一章 立体几何初步

章末复习

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积．

1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积

名称 定义 图形 侧面积 体积

多

面

体 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 S直棱柱侧＝Ch，C为底面的周长，h为高 V＝Sh

棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 S正棱锥侧＝12Ch′，C为底面的周长，h′为斜高 V＝13Sh，h为高

棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 S正棱台侧＝12(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h，h为高

旋转体 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 S侧＝2πrh，

r为底面半径，h为高 V＝Sh＝πr2h

圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 S侧＝πrl，

r为底面半径，

h为高，l为母线 V＝13Sh＝13πr2h 圆台

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分

S侧＝π(r1＋r2)l，

r1，r2为底面半径，l为母线 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h

球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 S球面＝4πR2，

R为球的半径 V＝43πR3

2．空间几何体的直观图

(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

2 直观图

时间：45分钟 满分：80分

班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)

1．水平放置的梯形的直观图是( )

A．梯形 B．矩形

C．三角形 D．任意四边形

答案：A

解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.

2．利用斜二测画法可以得到：

①水平放置的三角形的直观图是三角形；

②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；

③水平放置的正方形的直观图是正方形；

④水平放置的菱形的直观图是菱形．

以上结论正确的是( )

A．①② B．①

C．③④ D．①②③④

答案：A

解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．

3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

)

答案：A

解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为22.

4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )

A．16 B．64

C．16或64 D．以上都不对

答案：C

解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y′轴，则正方形的边长为8，面积是64.

5．若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则该圆柱的高应画成( )

A．平行于z′轴且长度为10 cm

B．平行于z′轴且长度为5 cm

C．与z′轴成45°且长度为10 cm

D．与z′轴成45°且长度为5 cm

答案：A

解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.

3.2 由三视图还原成实物图

1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是( )

A.圆柱 B.圆台

C.圆锥 D.棱台

答案:B

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )

A.棱台 B.棱柱

C.棱锥 D.以上均不对

解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.

答案:A

3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D. 答案:D

4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台

解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.

答案:B

5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 B.三棱柱

C.四棱锥 D.四棱柱

解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.

答案:B

6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r= -

=2,这就是做成的最大球的半径.

答案:B

7.把边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为 .

解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三角形,所以左视图的面积为

1 1.2 直观图

[核心必知]

1．斜二测画法的规则

(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．

(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的12.

2．立体图形的直观图的画法

立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．

[问题思考]

1．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？

提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45°，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半．

2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？

提示：平行．

3．空间几何体的直观图一定唯一吗？

提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．

讲一讲

1．用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 2 [尝试解答] 法一：(1)如图①所示， 以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．