高等数学优秀课件(完整版)

2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
x
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{xaxb} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{xaxb} 称为半开区间, 记作 (a,b]
数集间的关系: N Z ,Z Q ,Q R . 若 A B ,且 B A ,就称 A 与 B 相 集 .(A等 合 B) 例如 A{1,2},
C{xx23x20},则AC. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {xxR ,x210}
规定 空集为任何集合的子集.
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一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征限集
若 x A ,则 x B 必 ,就 A 是 说 B 的.子集 记作 AB.
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数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
yf(x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yy f(x),xD}称为函数的 . 值域
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函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
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如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如 x2， y2a2．
则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 增加的
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
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设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 间 D , 为
如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 2 )f有 (x 1 ) f(x 2 ), 则称函 f(x)在 数区 I上 间是单调 ; 减少的
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
解
f(x) 12
0x1 1x2
f(x3) 121 0 x x 3 3 2 1
12
3x2 2x1
故 Df :[3,1]
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三、函数的特性
1．函数的有界性:
若 X D , M 0 , x X ,有 f ( x ) M 成 , 立
则称f(函 x)在 X 数 上有 .否界 则称 . 无界
所示,写出电压U与时间 t(t 0)的函数关系式.
解 当t[0,]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当t(,]时,
2
U
( ,E)
2
E
o
2
(,0) t
单三角脉冲信号的电压
U0E0(t ),
即U2E(t)
2
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例2 设 f(x) 1 21 0 x x 2 1,求函 f(x数 3)的定 .
U ( a ) { x a x a } .
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记作 U0(a).
U ( a ) { x 0 x a } .
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4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
(x, y)
x
x
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x01ox源自-1xsgxn x
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(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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2．函数的单调性:
设函 f(x)的 数定D ,义 区I域 间 D , 为 如果 I上 对任 于 x 1 及 x 2 意 ,区 当 x 1 两 x 2 间 时 , 点 恒 ( 1 )f 有 (x 1 ) f(x 2 ),
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
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(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
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在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例,如 f(x) 2 xx 2 1 1,,
x0 x0
yx2 1
y2x1
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例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
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5.绝对值: a aa
a0 a0
运算性质:
abab;
(a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b .
绝对值不等式:
xa(a0)
axa ;
xa(a0)
xa或 x a;
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二、函数概念
定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 , D 是 一 个 给 定 的 数 集 ， 如 果 对 于 每 个 数 xD, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作