台球桌面上的角[下学期]--北师大版-

台球桌面上的角教学设计教学设计思想：本节内容需一课时讲授；教师通过“台球桌面上的角”为现实背景，自然地呈现补角、余角、对顶角，以及“等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等”的几何事实及其简单应用，并使学生在对现实图形及其与角有关的简单图形进行观察、分析、测量和猜测、验证等过程中，发展合情推理的意识和有条理思考的习惯。

在教学时，让学生在比较自然、现实的状态下认识各种基本的角，通过具体的操作活动发现“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”是十分必要的。

一、教学目标(一)知识与技能1．叙述余角、补角及对顶角的定义．2．熟记并会应用余角、补角及对顶角的性质．(二)过程与方法1．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．2．在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题．(三)情感、态度与价值观通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念．二、教学重难点（一）教学重点1．互为余角、互为补角的定义及其性质．2．对顶角的定义及性质．（二）教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解．三、教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题．四、教学安排1课时.五、教具准备一些与本节内容有关的图片；电脑、投影片.六、教学过程Ⅰ．创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……这些大自然的杰作和人类的创造物．这其中蕴涵着大量的平行线和相交线．下面大家来看几幅图片：你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容．从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线．在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案．相信大家，一定会学得很好．台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去．如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋．［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确定一个角度，否则是不可能打球入袋的．［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系．那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”．Ⅱ．讲授新课［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋．如图所示(电脑显示P50的上图)．此时：∠1＝∠2．让我们来看看模拟实例(电脑演示：台球桌面上的角——台球)下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际)．我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：图2-1其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？大家来分组讨论一下．［生甲］因为CD与EF垂直，所以∠EDC＝∠CDF＝90°，因此，∠1＋∠ADC＝90°，∠2＋∠BDC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDC＝90°．［生乙］因为球桌边框是直的，所以∠EDF＝180°．因此，∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDE ＝180°．［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠1有关系的角．看：∠1＋∠ADC＝90°，我们就可以称∠1与∠ADC是互为余角．再看：∠1＋∠BDC＝90°，我们也可以称∠1与∠BDC是互为余角．由此，我们得到了一个新的概念：互为余角．即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle)，也就是说其中一个角是另一个角的余角．（参看视频：余角）只要有∠BDC＋∠1＝90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC 是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角．再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角．大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角．同学们应注意：(强调)(1)互为余角是对两个角而言的．(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系．［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角．刚才我们还讨论了：∠1＋∠ADF＝180°，∠EDB＋∠1＝180°．那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角．即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle)．（参看课件：补角的概念）互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样．哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足∠1＋∠ADF＝180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角．反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角．［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角．［生丙］互为补角也是对两个角而言的．与角的大小有关，而与位置无关．［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角．［师］同学们回答得真棒．互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系．好，下面大家来想一想．在下图中，CD与EF垂直，∠1＝∠2．(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？图2-2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角．∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角．［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠1＝90°所以：∠ADC＝90°-∠1＝∠BDC．［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠2＝90°，所以∠ADC＝90°-∠1，∠BDC＝90°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC．［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC 与∠BDC就相等．因此可以说：同一个角的余角相等．∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等．所以∠ADC与∠BDC相等．因此可以说：相等的角的余角相等．［师］丁同学总结得很好．大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对．［师］很好，这就得出互为余角的性质：同角或等角的余角相等．（参看课件补角的性质）接下来看第三个问题：(同学们踊跃发言，得出结论)［生］∠ADF与∠BDE相等．因为∠1＋∠ADF＝180°，∠1＋∠BDE＝180°，所以，∠ADF＝180°-∠1＝∠BDE．还可以这样说：因为∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°，所以∠ADF＝180°-∠1，∠BDE＝180°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADF＝∠EDB．因此得出结论：同角或等角的补角相等．［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．接下来，我们议一议．(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问．)(出示投影片台球桌面上的角B)(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2-3［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小．［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线．∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角．由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等．［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角．如图中的∠AO D与∠BOC也是对顶角．由对顶角的概念可知，对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线．所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角；(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角．另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个．接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等．［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质．下面大家来议一议如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°．［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°-140°＝40°．［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好．下面我们来做一练习，以巩固所学内容．Ⅲ．课堂练习1．下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由．图2-4答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的．图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4．2．判断对错(1)顶点相对的角是对顶角．( )(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角．( )(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角．( )(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角．( )答案：××× √(举反例说明)Ⅳ．课时小结这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角．互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角．对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．注意：(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关．(2)对顶角的判断条件：⎪⎩⎪⎨⎧无公共边有公共顶点两条直线相交性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．对顶角相等．Ⅴ．课后作业(一)课本P52习题2．1 1、2、3(二)1．预习内容：P53~542．预习提纲(1)直线平行的条件是什么？(2)同位角的概念．(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．Ⅵ．活动与探究两条直线相交于一点，有_______对对顶角，三条直线相交于一点，有_______对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成_______对对顶角．［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳．两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出．那n条直线呢？设n条直线为a1，a2，…，a n以a1为边所得到的对顶角数为2(n-1)．以a2为边所得到的新对顶角数为2(n-2)．…以a n-2为边得到的新对顶角数为2×2．以a n-1为边得到的新对顶角数为2×1．加起来得n(n-1)对对顶角．［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n(n-1)对对顶角．七、板书设计台球桌面上的角一、台球桌面上红球滑过的痕迹图2-5∠1＋∠ADC＝90°∠1＋∠BDC＝90°∠1＋∠ADF＝180°∠1＋∠BDE＝180°二、互为余角、互为补角的定义三、互为补角、互为余角的性质同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．四、对顶角的定义⎪⎩⎪⎨⎧延长线两个角的两边互为反向两个角有公共顶点个角由两条直线相交得到两五、对顶角的性质： 对顶角相等．六、练习七、小结八、作业。

知识点一：余角、补角的概念、性质1. 如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

2. 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

3. 性质：① 同角的余角（补角）相等 ② 等角的余角（补角）相等注意事项：1. 互为余角与互为补角是“两个角”的度量关系，三个角的和为90度不能称这三个角互为余角。

2. 互余、互补的两个角不限制位置关系。

知识点二：对顶角的基本概念、性质1.定义：如图，两条直线相交于点O,∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角。

2.性质：对顶角相等。

注意事项：1. 对顶角是两条直线相交构成的两个角，没有相交直线就没有对顶角。

2. 对顶角相等的依据是同角的补角相等。

一、填空题: 1.∠α＝50°24′，那么∠α的余角等于____________。

2.已知∠α、∠β互为补角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。

3.若∠1和∠2互余，∠2 和∠3 互补，∠1＝63°，则∠3 ＝________.4.如图1，直线AB 和CD 相交于点O ，∠DOE 是直角，若∠1＝30°，则∠2＝________,∠3＝________。

∠4＝__________。

4321OEDCB Acba 5432121F EDCBA(1) (2) (3) （4）5.①若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A______∠C ，理由是_________________;②若∠1＋∠3＝180°,∠2＋∠4＝180°,且∠1＝∠2，则∠4_____ ∠3，理由是_______________________。

6.∠1与∠2互余，∠1＝5x °＋2°，∠2＝4x °－2°，则∠1＝______,∠2=______.7.如图2，直线a 、b 、c 两两相交，∠1＝60°，∠2=23∠4，则∠3=_____,∠5=_______。