正十七边形绘图步骤

[正五边形的画法](1)已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.(2) 圆内接正五边形的画法如下:①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP.②平分半径ON,得OK=KN.③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长.④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.3.民间口诀画正五边形口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."作法:画法:1.画线段AB=20mm,2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.3.在l上连续截取GH,HD,使GH=5.9/5*10mm=19mm,HD=5.9/5*10mm=11.8mm4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,5.连结DE,EA,EC,BC,CD,五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.这里提供以下两种作法仅供参考：1、已知边长作正五边形的近似画法如下：（1）作线段AB等于定长l，并分别以A、B为圆心，已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. （2）以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CH=2/3AB （3）以C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M、N. （4）顺次连接A、B、N、C、M各点即近似作得所要求的正五边形.2、圆内接正五边形的画法如下：（1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形.尺规做法如下：1.做正方形ABCD的外接圆圆O。

正十七边形尺规作法(无刻度）步骤一：给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

历史最早的十七边形画法创造人为高斯。

高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。

在童年时代就表现出非凡的数学天才。

三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。

同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。

1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k 等分。

高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

道理当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。

这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。

正十七边形的证明方法正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinaco sacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+co s6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出数学未解之谜一数学基础问题。

入门Logo编程第一课：认识海龟小画家学习任务：1、启动和关闭LOGO，了解LOGO的界面2、认识LOGO绘图功能教学重点：1、LOGO操作界面的应用2、LOGO的退出关闭方法教学过程：1、打开LOGO，认识一下它的操作界面。

标题栏、菜单栏、工具按钮栏、命令提示符、命令窗口2、连一连，看看它们有什么功能：图形窗口接收并显示输入命令工具按钮可用来代替某些命令快速完成命令窗口小海龟用LOGO语言画图的画纸3、根据小面一段程序，看看小海龟做了什么？FD 150 LT 90 FD 1504、关闭退出LOGO①在命令窗口中输入“BYE”，再回车，会出现对话框，选“是（Y），就要以退出LOGO。

②直接按X，选“是”，退出LOGO。

③在菜单FILE——EXIT，选“是”，退出LOGO。

百宝箱：LOGO是一种计算面程序设计语言，是20世纪60年代由美国教授设计开发，是为了向儿童教授计算机编程技能的一种语言。

实践练习：学生练习，教师巡视指导教后记：学生对LOGO语言比较感兴趣，有的学生还试着做后几节课的例子，表现出浓厚的学习欲望。

第二课：基本命令学习任务：3、学习LOGO的基本命令一4、掌握前进、后退、左转、右转命令的使用格式教学重点：3、显龟、隐龟、清屏、清文本的使用不同点4、命令使用格式教学过程：5、在命令窗口中输入以下命令，看看小海龟都画了什么图案小海龟画图法宝：法宝1：让小海龟向前走、向后退FD 150BK 300法宝2：小海龟转弯LT 90RT 180法宝3：小海龟隐身大变法HT法宝4：图画不见了CS法宝5：命令窗口的文本被清空了CT6、想一想：你是如何知道控制小海龟运动来画图？7、说一说，你能总结出LOGO命令的常用格式吗？8、连一连，看看它们有什么功能FD N 后退N步BK N 前进N 步LT N 左转N 度RT N 右转N 度ST 清屏HT 清除命令窗口文本CT 隐藏海龟CS 显示海龟9、用刚才学到的法宝来画一把小椅子吧课堂思考：1、查一查LOGO帮助，看看小海龟有何本领2、输入命令错误时，小海龟有反应？3、操作中忘记输入空格，小海龟有什么反应？实践练习：学生练习，教师巡视指导教后记：通过实例的操作，让学生记忆LOGO语言中的一些基本命令，可以达到事半功倍的效果。

正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。

正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。

计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。

画正七边形的方法嘿，朋友们！今天咱来唠唠怎么画个正七边形。

这可不是个容易事儿啊，但别怕，跟着我一步步来，保证你能学会。

你想想看，画个正七边形就好比盖房子，得先把根基打牢了。

那第一步呢，就是找个合适的地方开始。

就像你找块好地盖房子一样。

拿张纸，把笔准备好。

然后呢，在纸上随便找个点，这就是正七边形的中心啦。

嘿，这就好比是房子的地基中心呀。

接下来，以这个点为中心，画个圆。

这圆就像是房子的框架，把正七边形给框起来。

然后呢，把圆分成七等份。

哎呀，这可有点难咯，就跟切蛋糕似的，得切得均匀才行。

你可以用圆规量量角度，别马虎呀。

分好了这七等份，就顺着这些点开始连线吧。

嘿，你看，这一条条线连起来，不就有点正七边形的样子了嘛。

但是别急呀，这还不是完美的正七边形呢。

你得仔细瞅瞅，有些线可能歪了，有些角可能大小不一样。

这时候就得像个细心的工匠一样，慢慢调整。

你说画个正七边形咋就这么难呢？可比画个三角形、四边形难多了吧。

但咱不能怕呀，咱得有耐心。

你再看看，这一笔一划的，不就慢慢勾勒出正七边形的模样了嘛。

就像盖房子，一砖一瓦地搭起来，最后才能有个漂亮的房子。

咱这正七边形也是一样呀，一点点地画，最后就能有个好看的图形啦。

你说要是画错了咋办？哎呀，画错了就重新来呗，怕啥呀！谁还没有个画错的时候呀。

就当是练手了，多画几次，不就熟练了嘛。

等你真的画出个漂亮的正七边形，那感觉，就跟自己盖了栋大楼似的，老有成就感了。

你想想，别人不会画，你会画，多牛呀！所以呀，别嫌麻烦，别嫌难，跟着我这方法，好好画。

我就不信你画不出来个正七边形！加油吧，朋友们！。

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300三、正十七边形的尺规作法：步骤1.在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O步骤2.在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’， 易知|OF|＝2a ，|OF’|＝2b 步骤3.此时|FB|＝122+⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2422++a a ＝c步骤 4.类似地，|F’B|＝122+⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e步骤5.以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e步骤 6.以H 为圆心，21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -⎪⎭⎫ ⎝⎛＝222e c -⎪⎭⎫ ⎝⎛＝242e c - 步骤7.以K 为圆心，|KH|＝21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝242e c c -+ 步骤8.取OL 的中点M ，则|OM|＝442e c c -+＝ cos 172π 步骤9.过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。

四、正十七边形边长的表达式在上面得到的一系列等式：a ＝2171+-，b ＝2171-- ，c ＝242++a a ， e ＝242++b b ， cos 172π＝442e c c -+中 依次求出c ＝417234171-++-e ＝417234171++-- 从而求出cos172π的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。

在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为172cos 22π-，将cos 172π的值代入，即可求出正十七边形的边长。

美如画，正多边形的尺规作图法，数学原来如此美丽！
导读：他10岁时巧妙算出1-100的等差数列之和；24岁时发表《算术研究》，奠定近代数论的基础，还独立给代数基本定理作出4个证明；他希望自己的墓碑上能刻一个正十七边形。

1777年的今天，数学家高斯出生。

认真看，这就是美如画的正十七边形尺规作图方法
所谓的尺规作图是指只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟现实中的并非完全相同，具体而言，有以下的限制：直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

正三角形尺规作图法
正五边形。

正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。

前两道题在两个小时内就顺利完成了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。

他感到非常吃力。

时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。

这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。

困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。

当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。

见到导师时，青年有些内疚和自责。

他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。

他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。

但是，我花了整整一个通宵。

”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。

青年很快做出了一个正17边形。

导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。

你是一个真正的天才！” 原来，导师也一直想解开这道难题。

那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。

”这位青年就是数学王子高斯。

高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。

父算了好一会儿，于将果算出来了。

可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。

的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。

有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。

小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。

高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。

”布德勒抬一看，大吃一惊。

小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。

前两道他不吹灰之力就做了出来了。

第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。

道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。

一分一秒的去了，第三道竟毫无展。

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。

前两道题在两个小时内就顺利完成了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。

他感到非常吃力。

时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。

这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。

困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。

当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。

见到导师时，青年有些内疚和自责。

他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。

他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。

但是，我花了整整一个通宵。

”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。

青年很快做出了一上正17边形。

导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。

你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。

那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。

”这位青年就是数学王子高斯。

高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。

注册登录•分栏模式•论坛•搜索•导航•christmas•blue•gray•green•orange•purpleICE论坛» 数字家园» 高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图返回列表发帖超级版主1#跳转到»倒序看帖打印字体大小: t Tzpabuaa发表于 2010-10-26 22:15 | 只看该作者高斯19岁时提出的正十七边形尺规作图如下所示：附件: 您需要登录才可以下载或查看附件。

没有帐号？注册收藏分享2#zpabuaa发表于 2010-10-26 22:25 | 只看该作者超级版主1976年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。

正常情况下，青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。

像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。

第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。

青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来。

然而，做着做着，青年感到越来越吃力。

困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题。

当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题。

作业交给导师后，导师当即惊呆了。

他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。

”多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。

”这个青年就是数学王子高斯。

有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好，这就是人们常说的无知者无畏。

TOP超级版主3#zpabuaa发表于 2010-10-26 22:27 | 只看该作者步骤一：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤一：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17/4y1+y2=(-1-根号17/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。

正十七边形编辑正十七边形是指有17条边的正边形，最早画出该形状的是德国大学者高斯。

[活动]“你好，地球”百科大神之巅峰对决！目录1简介2步骤一3步骤二4步骤三5简易作法6历史1简介最早的十七边形画法创造人是高斯。

高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。

高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。

年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。

解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。

并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。

下附正十七边形作法先计算或作出cos(360°/17)设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a故sin16a=-sina，而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0，两边除之有：16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等，有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有：x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1因而：x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+√17)/4y1+y2=(-1-√17)/4最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出2步骤一给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，在OB上作C点使OC=1/4OB，在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

x=cosα+cos2α+cos4α+cos8α=y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α=x+y=xy=解方程组⑪、⑫得x、y的值，见上面数值。

x1=cosα+cos4α=x-x2=(-1+√17)/4+2×oj= x2=cos2α+cos8α=2cos平方α+2cos平方4α-2=-2×oj= x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2y1=cos3α+cos5α= y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α=2cos平方3α+2cos平方5α-2 y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=5y1+2y1平方-4x1平方+2解方程组③、④得x1、y1的值，见上面数值。

cosα+cos4α=x1=1.024740589cosαcos4α=(cos3α+cos5α)/2=y1/2=0.086037683解方程组⑤、⑥得cosα、cos4α的值（这是正宗的符合作图原理的解法，但这里不采用，只用来求解方程组的值），见下面数值(此时有cos4α的值，只要能在圆中作出它对应的线段，17边形就画出来了)。

cosα=cos4α=验算：cosα+cos4α=cosαcos4α=x1+2x12-2y1-2=5y1+2y12-4x1平方+2=解方程组⑦、⑧得cos3α、cos5α的值，见下面数值(此时有cos3α的值，只要能在圆中作出它对应的线段，17边形同样能够画出来了)。

类似地，COS3α、COS5α的值也可以解出来了。

cos3α=0.5（y1+根号(2+y-y1-y1平方)）=cos5α=0.5（y1-根号(2+y-y1-y1平方)）=cosα=0.5（x1+根号(2+x-x1-x1平方)）=cos4α=0.5（x1-根号(2+x-x1-x1平方)）=od=0.25oA=1dA=17^0.5/4=oA1=(17^0.5-1)/16=A1A=(17-17^0.5)/16=D A1=根号（34-2×根号17）/16）=y1=2×O O1=（根号17+1）×(根号（34-2×根号17)-4）/32=y2=y-y1=-（根号17+1）×(根号（34-2×根号17)+4）/32=o1a1=oA1-oo1do1=(1/16+oo1^2)^0.5=0.5×x2=cos3αcos5α=0.5(cos2α+cos8α)=-oj=解方程组⑨、⑩，同样可得cos3α、cos5α的值（这里的解法才符合正宗的作图原理）。