专题1-第4讲

专题一 “概念辨析”专题第四讲 水圈、自然带【易错概念1】高山冰雪融水补给、冬季积雪融水补给高山冰雪融水：指的是高大山脉地区，山顶永久性冰川的融水和冬季积雪融水的总称。

以这种补给为主的河流，冬季无河水（断流），春季流量先增多后减少，夏季流量最大。

春季河流流量增多是因为积雪融化，随着积雪融化结束，流量减小；夏季河流流量最大，是因为山顶永久性冰川随气温升高，融化量增大。

我国以这种补给为主的河流，主要分布在西北地区。

冬季积雪融水：我国东北地区，纬度较高，冬季积雪量较大；山脉较低，无永久性冰川。

冬季河流结冰，春季河流径流量先增多后减少，夏季流量最大。

春季河流流量增多是因为积雪融化，随着积雪融化结束，流量减小；夏季河流流量最大，是因为夏季风带来丰沛的雨水。

【经典例题】（期末复习单选题训练二）左图为我国某河流河道示意图，甲为一河心沙洲，P 河道为该河主航道，右图为沙洲一年内面积变化统计图。

读图完成1～2题： 1. 该河流的基本流向是 A ．自东向西流 B ．自西向东流C ．自东北向西北方向流D ．自西南向东北方向流 2. 根据图中信息判断，关于该河流说法正确的是①位于我国西北地区 ②有春汛现象 ③夏季以雨水补给为主 ④河流含沙量大 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【易错概念2】凌汛凌汛指的是冰凌堵塞河道，河水上涨的现象。

凌汛的产生，需要同时具备两个条件：①河流有结冰期；②河流由较低纬度流向较高纬度。

【经典例题】（期末复习双选题训练）青藏高原拥有庞大的淡水资源，“藏水北调”的设想引起极大关注和争论。

读图回答第3-4题。

)东北地区某河流月平均流量西北地区某河流月平均流量3.（双选）下列天于雅鲁藏布江的描述，正确的是A．径流量年际变化小B．常发生凌汛C．雨水补给为主D．径流量从上游往下游递增4.（双选）“藏水北调”工程可能会A．诱发沿线地质灾害B．加剧青藏地区冰川消融C．改善调入地生态环境D．降低我国水资源利用率【易错概念3】内流河、外流河最终能够汇入海洋的河流，称为外流河。

专题1 第4讲A阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。

(2020·北京通州一模)Infectious diseases and associated deaths have reduced，but they remain a significant threat throughout the world.Infectious diseases outbreaks and the fear and panic that accompany them present various economic risks.First，there are costs to the health system，both public and private，of medical treatment of the infected and of outbreak control.Concern over the spread of a relatively contained outbreak can lead to decreased trade.Travel and tourism to regions affected by outbreaks are also likely to decline.Some long-running outbreaks，such as HIV，prevent foreign direct investment.The economic risks are large.It is estimated that the expected yearly cost of infectious diseases is at roughly $500 billion.Even when the health impact of an outbreak is relatively limited，its economic consequences can quickly become expanded.Liberia，for example，saw GDP growth decline 8 percentages from 2013 to 2014 during the Ebola outbreak in Africa.The risk is complex，but policymakers have tools in response.Investing in improved health care，supply of clean water，and better health systems can reduce the frequency of human contact with viruses.Investment in reliable disease monitoring in both human and animal populations is also critical.Within formal global watch systems，instead of discouraging reporting possible outbreaks，it may be beneficial to develop incentives for reporting suspected cases，as countries may reasonably fear the effects of such reporting on trade，tourism，and other economic rmal monitoring systems，social media for example，which collect information from official reports，media reports，online discussions，and eyewitness observations，can also help national health systems and international responders get ahead of the outbreak news during the early stages.Cooperations for monitoring infectious diseases readiness at the national level provide information national governments can use to react timely to their outbreaks.There is a significant market failure when it comes to vaccines(疫苗) against individual low-probability viruses that collectively are likely to cause panic.Giventhe low probability that any single vaccine of this type will be needed，high Research and Development(R&D) costs，and delayed returns，medical companies hesitate to invest in their development.However，responsible international corporations such as CFPI can overcome this market failure.Its goals include advancing candidate vaccines against specific low-probability，high-severity viruses through proof of concept to enable rapid clinical testing in the event of outbreaks.It also aims to fund development of institutional and technical platforms to speed R&D in response to outbreaks for which there are no vaccines.Undoubtedly，humans and infectious viruses will coexist.However，we can take effective measures to manage the risk of the diseases.Joint action now at the local，national，and multinational levels can go a long way toward protecting our collective well-being in the future.1．What does the underlined word “incentives” in Paragraph 5 probably mean?A．Habits. B．Opinions.C．Arguments D．Rewards.2．CFPI is a special company which .A．is able to predict the trend of the marketB．develops vaccines against infectious virusesC．makes huge profits by selling general medicineD．employs staff who graduate from famous universities3．What does the passage imply?A．More importance should be attached to health care systems.B．All-level cooperations are required to handle infectious diseases.C．It will not be long before mankind thoroughly defeats the viruses.D．Technologies hold the key to the settlement of medical problems.4．Which of the following would be the best title for the passage?A．Health Risks and Research of Infectious DiseasesB．Global Cooperation and Spread of Infectious DiseasesC．Economic Impact and Solutions of Infectious DiseasesD．Medical Service and Development of Infectious Diseases【答案】 1.D 2.B 3.B 4.C【解析】这是一篇说明文。

第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题一、选择题1．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝x＋2－x（x＋2）2＝2（x＋2）2，所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝21＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案 A2．(2015·雅安诊断)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为()A．－1 B．0 C．1 D．2解析∵f′(x)＝－a sin x，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.答案 C3．(2015·威海模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a ＋b的值为()A．2 B．－1 C．1 D．－2解析∵y′＝3x2＋a.∴y′|x＝1＝3＋a＝k，又3＝k＋1，∴k＝2，∴a＝－1.又3＝1＋a＋b，∴b＝3，∴2a＋b＝－2＋3＝1.答案 C4．(2015·武汉模拟)曲线y＝x ln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2，故选A.答案 A5．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (a )＜f (1)＜f (b ) B ．f (a )＜f (b )＜f (1) C ．f (1)＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (1)＜f (a )解析 由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x ＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2. 因为f (x )在R 上是单调递增的， 所以f (a )＜f (1)＜f (b )．答案 A二、填空题6．已知f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线斜率是________．解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，令x ＝23，可得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，所以f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线斜率是－1.答案 －17．(2015·青岛模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎨⎧－a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4，0)8．(2015·安徽卷)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)． ①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使f (x )＝0仅有一个实根，则而f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案 ①③④⑤三、解答题9．已知曲线C ：y ＝e ax . (1)若曲线C 在点(0，1)处的切线为y ＝2x ＋m ，求实数a 和m 的值；(2)对任意实数a ，曲线C 总在直线l ：y ＝ax ＋b 的上方，求实数b 的取值范围． 解 (1)y ′＝a e ax ，因为曲线C 在点(0，1)处的切线为y ＝2x ＋m ， 所以1＝2×0＋m 且y ′|x ＝0＝2，解得m ＝1，a ＝2.(2)法一 对于任意实数a ，曲线C 总在直线y ＝ax ＋b 的上方，等价于∀x ，a ∈R ，都有e ax ＞ax ＋b ， 即∀x ，a ∈R ，e ax －ax －b ＞0恒成立． 令g (x )＝e ax －ax －b ，①若a ＝0，则g (x )＝1－b ，所以实数b 的取值范围是b ＜1；②若a ≠0，g ′(x )＝a (e ax －1)，由g ′(x )＝0得x ＝0，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以g (x ) 所以实数b 的取值范围是b ＜1. 综上，实数b 的取值范围是b ＜1.法二 对于任意实数a ，曲线C 总在直线y ＝ax ＋b 的上方，等价于∀x ，a ∈R ，都有e ax ＞ax ＋b ，即∀x ，a ∈R ，b ＜e ax －ax 恒成立．令t ＝ax ，则等价于∀t ∈R ，b ＜e t －t 恒成立． 令g (t )＝e t －t ，则g ′(t )＝e t －1.由g ′(t )＝0得t ＝0，g ′(t )，g (t )的变化情况如下：所以g (t )所以实数b 的取值范围是b ＜1.10．(2015·济南模拟)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ， f ′(x )＝2x －2x ＋2，切点坐标为(1，1)， 切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e 2，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.11．(2014·四川卷)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点． 证明：e －2＜a ＜1.解 (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12＜a＜e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)证明设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负，故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点．当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点．所以12＜a＜e2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2，由g(0)＝a－e＋2＞0，g(1)＝1－a＞0.解得e－2＜a＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.。

专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．专题目录：第1讲、圆锥曲线与内心问题第2讲、圆锥曲线与重心问题第3讲、圆锥曲线与垂心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题：三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 知识储备：(1)、O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222OC OB OA ==)；(2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0.(3)、若O 是ABC ∆的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ⋅+⋅+⋅=; (4)、多心组合：ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH 经典例题例1．（2019年成都七中半期16题）1F ,2F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为12，则该双曲线的离心率为_______ .1 【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，122PF PF a -=，则()()2222212121224PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，()()2222121212484PFPF PFPF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =，=，整理得24c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1e =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.例2．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点P 的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为____.1- 【解析】由120PF PF ⋅=，知1290PPF ∠=︒.设12,PF m PF n ==， 又122F F c =，则可得()1,22R c r m n c ==+-， 2224m n c +=， ① 2m n a -=. ②设rk R=，则()122r kR kc m n c ===+-，即有()22m n k c +=+. ③由①②③可得()22222248k c a c ++=，所以()22222213122c a k c e -+==-=，解得1k =-.故12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R1- 例3.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，则2ABGF 的值为 .【答案】4【解析】由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212221213434m AB y m m +=-=-++. 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++，所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题.例4.（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由题,因为()0OD OI λλ=≠,所以O 、D 、I 三点共线,因为点D 为线段FP 的中点,∆POF 的外心为I ,所以DI PF ⊥,即OD PF ⊥, 设双曲线的左焦点为(),0F c '-,则点O 为线段F F '的中点,则在PFF '中,//PF OD ',即PF PF '⊥,所以PFF '是直角三角形,所以222F F F P PF ''=+,因为PF b =,由双曲线定义可得2PF PF a '-=,所以2PF a b '=+, 则()()22222c a b b =++,因为222c a b =+,整理可得2b a =,所以c =,则ce a==,故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例5.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5【答案】C【解析】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241aca a c c--=，化简可得225c a =，即e =当点M 在第三象限时，同理可得e =故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例6.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，若OAB ∆的外心为(M O 为坐标原点）,则当AB MO最大时，AB =____.【答案】.【解析】由题意知,MO 为OAB 外接圆的半径，在OAB 中,由正弦定理可知,2sin AB R AOB=∠(R 为OAB 外接圆的半径),当sin 1AOB ∠=,即90AOB ∠=︒时,AB MO取得最大值2.设()11,A x y ,()22,B x y ,易知10y ≠,20y ≠,则12120x x y y +=,得221212016y y y y ⋅+=,即12160y y +=.设直线AB 的方程为y x t =+,即x y t =-,代入24y x =得,2440y y t -+=,则124y y +=,124y y t =,所以4160t +=,解得4t =-.故12AB y y =-==.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.课后训练：变式1．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 为右支上的点，则122PF PF a -=，设双曲线的半焦距为c ，则22b PF a=，212b PF a a =+，又12Rt PF F 外接圆半径为21122b PF a a=+. 12Rt PF F 内切圆的半径为222222-22b bc ac a a a r c a+---===， 因为12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，故252=2b aac a +-， 故22560c ac a -+=，所以2c a =或3c a =，即2e =或3e =.故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．变式2．（2018上海市高三模拟）已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为△ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____. 【答案】16.【解析】已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，焦距相等所以焦点相同，设(,0),(,0),B c C c c -=A 为两曲线在第二象限的交点，||||AB AC <，84AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，||2AB =， 设000(,),42A x y x -<<-，220016m y m x =-，||AB ==0424c x ===+=，08x c ∴=-，因为O 为BC 中点，△ABC 的外心T 在y 轴上，0OT BC ⋅=，08()(,)(2,0•)16AT B OT OA BC OA BC y c cC =-⋅=-⋅=--⋅=【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.变式3. P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A．3 B．4 C．3或3 D．4或4-【答案】C【解析】212PF F F ⊥，∴点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b PF a =,则212b PF a a =+12PF F ∆的外接圆半径21122PF b r a a==+ 其内切圆半径222222b bc a a a r c a +--==- 12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，123r r ∴=,即()232b a c a a+=-化简可得22670c ac a --=即2670e e --=解得3e =±C【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题.变式4．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为__________． 【答案】4【解析】由G 是△PF 1F 2的外心，则G 在y 轴的正半轴上，120GF GF GP λ++=， 则1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点，则△PF 1F 2的面积S=12×b×2c=bc=8，由a 2=b 2+c 2≥2bc=16，则a ≥4，当且仅当时取等号， ∴a 的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，得到P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点.变式5．F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ，b >0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足12PF PF ⋅=0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为13，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】120PF PF =，12PF PF ∴⊥．∴12PF F ∆的外接圆半径为1212F F c =，∴12PF F ∆的内切圆的半径为3c．设12PF F ∆的内切圆的圆心为M ，过M 作x 轴的垂线MN ，连接1MF ，2MF ，则3cMN =，设1NF m =，2NF n =，则2m n c +=，①不妨设P 在第一象限，由双曲线的定义可知122PF PF m na -=-=，② 由①②可得m a c =+，n c a =-，12PF PF ⊥，且1MF ，2MF 分别是12PF F ∠，21PF F ∠的角平分线，12214MF F MF F π∴∠+∠=，又121tan 33()MN c c MF F NF m a c ∠===+，2123()MN cMF F NF c a ∠==-， ∴2223()3()119()c c c a c a c c a ++-=--，化简可得2292a c =，故292e =，32e ∴=．故答案为：322．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题变式6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点)4,0(),0,2(B A ，若其欧拉线方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标是 ．【答案】()4,0-【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得，ABC ∆的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭, 代入欧拉线方程得：242033m n++-+=,整理得：40m n -+= ① AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，AB 的中垂线方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩.．ABC ∴∆的外心为()1,1-．则()()22221131m n ∴++-=+，整理得：22228m n m n ++-= ②联立①②得：4,0m n =-=或0,4m n ==．当0,4m n ==时,B C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是()4,0-． 考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心.。

第一部分专题四第1讲基础题——知识基础打牢1. (2022·四川自贡三诊)如图甲所示为一种自耦变压器(可视为理想变压器)的结构示意图．线圈均匀绕在圆环型铁芯上，滑动触头P在某一位置，在BC间接一个交流电压表和一个电阻R.若AB间输入图乙所示的交变电压，则( C )A．t＝2×10－2 s时，电压表的示数为零B．电阻R中电流方向每秒钟改变50次C．滑动触头P逆时针转动时，R两端的电压增大D．滑动触头P顺时针转动时，AB间输入功率增大【解析】电压表的示数是交流电的有效值，则t＝2×10－2 s时，电压表的示数不为零，选项A错误；交流电的周期为0.02 s，一个周期内电流方向改变2次，则电阻R中电流方向每秒钟改变100次，选项B错误；滑动触头P逆时针转动时，次级匝数变大，则次级电压变大，即R两端的电压增大，选项C正确；滑动触头P顺时针转动时，次级匝数减小，次级电压减小，次级消耗的功率减小，则AB间输入功率减小，选项D错误．2. (2022·四川成都三诊)发电站通过升压变压器和降压变压器给某用户端供电，发电机组输出交变电压的有效值恒定，输电线总电阻r保持不变．当用户端用电器增加后( A )A．若滑片P位置不变，则输电线上损失的功率变大B．若滑片P位置不变，则用户端电压升高C．若将滑片P上移，则用户端电压可能不变D．若将滑片P上移，则输电线上损失的功率可能减小【解析】若滑片P位置不变，当用户端用电器增加后，用户端总功率变大，发电机的输出功率增大，输电线的电流变大，ΔU＝Ir，输电线两端承担的电压变大，损耗的功率增大；发电机的输入电压不变，升压变压器、降压变压器的匝数不变，故用户端电压降低，A正确，B 错误；若将滑片P 上移，升压变压器的副线圈与原线圈的匝数比变小，发电机组输出交变电压的有效值恒定，则副线圈两端电压变小．用户端用电器使用相同功率，则输电线上的电流会更大，输电线两端承担的电压更大，损耗的功率更大，则用户端的电压更小，故C 、D 错误．3. (多选)(2022·河南押题卷)图甲是一种振动式发电机的截面图，半径r ＝0.1 m 、匝数n ＝30的线圈位于辐射状分布的磁场中，磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，线圈所在位置的磁感应强度大小均为B ＝12πT .如图乙，施加外力使线圈沿轴线做往复运动，线圈运动的速度随时间变化的规律如图丙中正弦曲线所示．发电机通过灯泡L 后接入理想变压器，对图乙中电路供电，三个完全相同的小灯泡均正常发光，灯泡的阻值R L ＝1 Ω，电压表为理想电压表，线圈及导线电阻均不计．下列说法正确的是( AC )A ．发电机产生电动势的瞬时值为e ＝6sin 5πt (V)B ．变压器原、副线圈的匝数之比为1∶3C ．每个小灯泡正常发光时的功率为2 WD ．t ＝0.1 s 时电压表的示数为6 V【解析】 由图丙可知，线圈运动的速度最大值v m ＝2 m/s ，速度变化周期为T ＝0.4 s ，则线圈运动的速度瞬时值v ＝v m sin 2πTt ＝2sin 5πt (m/s)，发电机产生电动势的瞬时值为e ＝nB ·2πr ·v ＝6sin 5πt (V)，A 正确；设灯泡正常发光时通过灯泡的电流为I ，则通过原线圈的电流I 1＝I ，通过副线圈的电流I 2＝2I ，变压器原、副线圈的匝数之比为n 1n 2＝I 2I 1＝21，B 错误；根据能量关系可知，U 出I 1＝3I 2R L ，其中U 出＝E m 2＝62 V ＝3 2 V ，I 1＝I ，解得I ＝ 2 A ，每个小灯泡正常发光时的功率为P L ＝I 2R L ＝2 W ，C 正确；电压表示数为发电机两端电压的有效值，即电压表示数为U ＝E 2＝62V ＝3 2 V ，D 错误．故选AC. 4. (多选)(2022·四川巴中一诊)在如图所示的电路中，定值电阻R 1＝R 4＝3 kΩ，R 2＝2 kΩ，R 3＝R 5＝12 kΩ，电容器的电容C ＝6 μF，电源的电动势E ＝10 V ，内阻不计，当开关S 1闭合电流达到稳定时，处在电容器中间带电量q ＝2×10－3C 的油滴恰好保持静止，当开关S 2闭合后，则以下判断正确的是( BD )A ．电容器上极板是高电势点B ．带电油滴加速向下运动C ．a 、b 两点的电势差U ab ＝8 VD ．通过R 3的电量Q ＝4.8×10－5C【解析】 当开关S 2闭合后，由电路图可知，电容器上极板是低电势点，A 错误；当开关S 1闭合电流达到稳定时，处在电容器中油滴保持静止，而开关S 2闭合后，电容器上极板是低电势点，油滴受到的电场力方向发生变化，故可得带电油滴加速向下运动，B 正确；由电路图可知，a 、b 两点的电势差为U R 5－U R 2＝8 V －4 V ＝4 V ，C 错误；由开关S 1闭合电流达到稳定时，再到当开关S 2闭合后的过程中，通过R 3的电量为Q ＝Q 1＋Q 2＝4×6×10－6 C ＋(8－4)×6×10－6 C ＝4.8×10－5 C ，D 正确．5. (多选)(2022·天津南开二模)如图甲所示电路中，L 1为标有“4 V,2 W”字样的小灯泡，L 2、L 3为两只标有“8 V，6 W”字样的相同灯泡，变压器为理想变压器，各电表为理想电表，当ab 端接如图乙所示的交变电压时，三只灯泡均正常发光．下列说法正确的是( ACD )A ．电流表的示数为1.5 AB ．交变电压的最大值U m ＝28 VC ．变压器原、副线圈的匝数之比为3∶1D ．电压表的示数为24 V【解析】 L 2、L 3的额定电流为I 23＝P 23U 23＝34A ，所以电流表的示数为I 2＝2I 23＝1.5 A ，故A 正确；通过原线圈的电流等于L 1的额定电流，为I 1＝P 1U 1′＝0.5 A ，所以变压器原、副线圈的匝数之比为n 1n 2＝I 2I 1＝31，故C 正确；副线圈两端电压等于L 2和L 3的额定电压，为U 2＝8 V ，所以电压表的示数，即原线圈两端电压为U 1＝n 1n 2U 2＝24 V ，故D 正确；根据闭合电路的欧姆定律可得U m2－U 1′＝U 1，解得U m ＝28 2 V ，故B 错误．故选ACD.6. (多选)(2022·广西桂林模拟)在一小型交流发电机中，矩形金属线圈abcd 的面积为S ，匝数为n ，线圈总电阻为r ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕轴OO ′(从上往下看逆时针转动)以角速度ω匀速转动，从如图甲所示的位置作为计时的起点，产生的感应电动势随时间的变化关系如图乙所示，矩形线圈与阻值为R 的电阻构成闭合电路，下列说法中正确的是( AD )A ．在t 1～t 3时间内，穿过线圈的磁通量的变化量大小为2BSB ．在t 1～t 3时间内，通过电阻R 电流方向先向上然后向下C ．t 4时刻穿过线圈的磁通量的变化率大小为E 0D ．在t 1～t 3时间内，通过电阻R 的电荷量为2E 0R ＋r ω【解析】 由图乙可知t 1和t 3时刻，线圈的感应电动势都为0，可知这两个时刻穿过线圈的磁通量一正一负，大小均为BS ，故此过程穿过线圈的磁通量的变化量大小为ΔΦ＝BS －(－BS )＝2BS ，A 正确；由图乙可知，在t 1～t 3时间内，线圈中的电流方向不变，根据右手定则可知通过电阻R 电流方向始终向上，B 错误；由图乙可知，t 4时刻的感应电动势为E 0，根据法拉第电磁感应定律可得E 0＝n ΔΦΔt 可得穿过线圈的磁通量的变化率大小为ΔΦΔt ＝E 0n，C 错误；在t 1～t 3时间内，通过电阻R 的电荷量为q ＝n ΔΦR ＋r ＝2nBS R ＋r，又E 0＝nBSω，联立可得q ＝2E 0R ＋r ω，D 正确．故选AD. 7. (多选)(2022·河北秦皇岛三模)如图所示，变压器为理想变压器，原、副线圈的匝数比为2∶1，原线圈的输入端接有正弦交变电流，开关S 闭合．已知L 1、L 2、L 3是相同的电灯且灯丝的电阻不随温度变化，灯丝不会被烧断．下列说法正确的是( BD )A ．L 1、L 2中的电流之比为1∶2B ．L 1两端的电压与原线圈两端的电压之比为1∶2C ．开关S 断开后，L 1、L 2中的电流之比为1∶1D ．开关S 断开后，L 1两端的电压与原线圈两端的电压之比为1∶4【解析】 原、副线圈中的电流之比为1∶2，由于开关S 闭合时L 2与L 3并联，因此L 1、L 2中的电流之比I 1∶I 2＝1∶1，A 错误；设电灯的电阻为R ，由于原、副线圈两端的电压之比为2∶1，因此原线圈两端的电压U ＝2I 2R ，L 1两端的电压U 1＝I 1R ，结合I 1∶I 2＝1∶1，解得U 1U＝12，B 正确；开关S 断开后，L 1、L 2中的电流与线圈匝数成反比I 1′∶I 2′＝1∶2，C 错误；开关S 断开后，原线圈两端的电压U ′＝2I 2′R ，L 1两端的电压U 1′＝I 1′R ，结合I 1′∶I 2′＝1∶2解得U 1′U ′＝14，D 正确．故选BD. 8. (多选)(2022·辽宁鞍山预测)如图甲所示，理想变压器的原副线圈匝数之比n 1∶n 2＝2∶1，定值电阻R 1和R 2的阻值分别为5 Ω和3 Ω，电表均为理想交流电表，电源输出的电流如图乙所示，图中的前半周期是正弦交流的一部分，后半周期是稳恒直流的一部分，则( BD )A ．电流表示数为2 AB ．电压表示数为6 VC ．R 1的功率为10 WD ．R 2的功率为12 W【解析】 设电源输出电流的有效值即电流表示数为I 1，根据等效热值法可得I 21RT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i m 22RT 2＋i 2m ·RT 2，解得I 1＝ 3 A ，故A 错误；由于变压器不能对稳恒直流电进行变压，所以每个周期内有半个周期副线圈无电流，设副线圈中电流的有效值为I 2，根据等效热值法有⎝⎛⎭⎪⎫n 1n 2·i m 22RT 2＝I 22RT ，解得I 2＝2 A ，电压表示数为U 2＝I 2R 2＝6 V ，故B 正确；R 1的功率为P 1＝I 21R 1＝15 W ，故C 错误；R 2的功率为P 2＝I 22R 2＝12 W ，故D 正确．故选BD.9. (多选)(2022·湖南押题卷)如图所示在竖直平面的电路，闭合开关S 1和S 2后，带电油滴在电容器内部处于静止状态，R 1为滑动变阻器，R 2为定值电阻，二极管为理想二极管，电容器的下极板接地，则下列说法正确的是( AC )A ．滑动变阻器的滑动头P 向右滑动，油滴向上运动B ．滑动变阻器的滑动头P 向左滑动，油滴向下运动C ．极板M 向上运动，M 板的电势升高D ．断开S 2，油滴不动【解析】 滑动变阻器的滑动头P 向右滑动，则R 1阻值减小，回路电流变大，则R 2两端电压变大，则电容器要充电，此时电容器两板电压变大，场强变大，则油滴向上运动，选项A 正确；滑动变阻器的滑动头P 向左滑动，则R 1阻值变大，回路电流变小，则R 2两端电压变小，则电容器要放电，但是由于二极管的单向导电性使得电容器不能放电，则使得电容器两板电压不变，则油滴仍静止，选项B 错误；极板M 向上运动，根据C ＝εr S 4πkd可知电容器电容减小，则带电量应该减小，但是由于二极管的单向导电性使得电容器不能放电，则两板间电量不变，结合E ＝U d ＝Q Cd ＝Q εr S 4πkdd ＝4πkQ εr S 可知两板间场强不变，则根据U ＝Ed 可知，两板电势差变大，则M 板的电势升高，选项C 正确；断开S 2，则电容器两板间的电压等于电源的电动势，即电压变大，电容器充电，两板间场强变大，则油滴向上运动，选项D 错误．故选AC.10. (多选)(2022·山东威海二模)如图所示为远距离输电的原理图，升压变压器T 1、降压变压器T 2均为理想变压器，T 1、T 2的原、副线圈匝数比分别为k 1、k 2.输电线间的总电阻为R 0，可变电阻R 为用户端负载．U 1、I 1分别表示电压表V 1、电流表A 1的示数，输入电压U 保持不变，当负载电阻R 减小时，理想电压表V 2的示数变化的绝对值为ΔU ，理想电流表A 2的示数变化的绝对值为ΔI ，下列说法正确的是( BD )A ．R 0＝U 1I 1B ．R 0＝ΔU ΔI k 22C ．电压表V 1示数增大D ．电流表A 1的示数增加了ΔI k 2【解析】 设降压变压器T 2原线圈电压为U 3，副线圈电压为U 2，根据题意可知，电阻R 0两端的电压等于U R 0＝U 1－U 3，则R 0＝U 1－U 3I 1，故A 错误；设降压变压器T 2原线圈电压变化为ΔU 3，则ΔU 3ΔU ＝k 2，设降压变压器T 2原线圈电流变化为ΔI 3，则ΔI 3ΔI ＝1k 2，可得ΔI 3＝ΔI k 2，根据欧姆定律得ΔU 3＝ΔI 3R 0，即k 2ΔU ＝ΔI k 2R 0，解得R 0＝ΔU ΔIk 22，故B 、D 正确；输入电压不变，升压变压器T 1原副线圈匝数比不变，则升压变压器T 1副线圈的电压不变，电压表V 1示数不变，故C 错误．故选BD.应用题——强化学以致用11. (多选)(2022·安徽合肥预测)如图所示，理想变压器的原、副线圈分别接有R 1＝250 Ω与R 2＝10 Ω的电阻．当原线圈一侧接入u ＝311sin 100πt (V)的交流电时，两电阻消耗的功率相等，则有( AC )A ．原、副线圈的匝数比为5∶1B ．电阻R 1两端电压有效值是电阻R 2两端电压有效值的2倍C ．电阻R 2消耗的功率为48.4 WD ．1 s 内流过电阻R 2的电流方向改变200次【解析】 设原线圈电流为I 1，副线圈电流为I 2，由题意可知I 21R 1＝I 22R 2，故n 1n 2＝I 2I 1＝R 1R 2＝5，A 正确；电阻R 1两端电压有效值和电阻R 2两端电压有效值之比为U R 1U R 2＝I 1R 1I 2R 2＝5，B 错误；设原线圈输入电压为U 1，副线圈输出电压为U 2，故U 1U 2＝n 1n 2＝5，解得U 1＝5U 2，又U R 1＝I 1R 1，U 2＝I 2R 2，又因为U ＝U R 1＋U 1，外接交流电压有效值为220 V ，联立代入数据解得U 2＝110U ＝22 V ，电阻R 2消耗的功率为P ＝U 22R 2＝48.4 W ，C 正确；由题意可知，交流电的频率为f ＝ω2π＝50 Hz ，变压器不改变交流电的频率，一个周期内电流方向改变2次，故1 s 内流过电阻R 2的电流方向改变100次，D 错误．故选AC.12. (多选)(2022·湖北恩施预测)为了适应特高压输电以实现地区间电力资源的有效配置，需要对原来线路中的变压器进行调换．某输电线路可简化为如图所示，变压器均为理想变压器，调换前后发电机输出电压、输电线电阻、用户得到的电压均不变，改造后输送电压提升为原来的5倍，假设特高压输电前后输送的功率不变，下列说法正确的是( AB )A ．线路改造后升压变压器原、副线圈的匝数比改变B ．线路上电阻的功率变为原来的125C ．特高压输电后，电压损失变为原来的125D ．线路改造后用户端降压变压器匝数比不变【解析】 发电机输出电压不变，应改变升压变压器原、副线圈的匝数比，故A 项正确；根据线路上功率的损失ΔP ＝I 22r ，输送功率不变，电压提升为原来的5倍，输送的电流变为原来的15，线路电阻不变，损失的功率变为原来的125，故B 项正确；输电线上的电压损失为ΔU ＝I 2r ，输送功率为P 2＝U 2I 2则输送功率不变，电压增为原来的5倍，电流变为原来的15，损失的电压变为原来的15，故C 项错误；用户端的降压变压器改造前后输出端电压U 4不变，输入端电压U 3变大，根据U 3U 4＝n 3n 4，可得原、副线圈的匝数比一定变化，故D 项错误．故选AB.13. (多选)(2022·湖北襄阳模拟)如图所示，矩形线圈abcd 在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO ′匀速转动，线圈的电阻为R ，线圈共N 匝，理想变压器原、副线圈的匝数比为1∶2，定值电阻R 1＝R ，当线圈转动的转速为n 时，电压表的示数为U ，则( ACD )A ．电流表的示数为2U RB ．从线圈转动到图示位置开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时表达式为e ＝52U cos2πntC ．线圈在转动过程中通过线圈磁通量的最大值为52U 4Nn πD ．当线圈转动的转速为2n 时，电压表的示数为2U 【解析】 依题意有I 2＝U R 1＝U R ，I 1∶I 2＝2∶1则有I 1＝2I 2＝2U R，故A 正确；根据欧姆定律，发电机产生的感应电动势的最大值为E m ，有E m 2＝R ×I 1＋U 1，U 1U ＝12，ω＝2n π rad/s，从线圈转动到图示位置开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时表达式为e ＝E m cos ωt ＝52U 2cos 2n πt (V)，故B 错误；依题意有，线圈在转动过程中通过线圈磁通量的最大值为Φm ，则有52U 2＝NΦm 2n π，解得Φm ＝52U 4Nn π，故C 正确；当线圈转动的转速为2n 时，线圈中产生的电动势的最大值为E m ′＝NΦm 4n π，因52U 2＝NΦm 2n π＝E m ，所以E m ′＝52U ，其有效值为5U ，假定电压表示数为U 2′，则有5U ＝I 1′R ＋U 1′＝2U 2′R 1×R ＋U 1′＝12U 2′＋2U 2′＝52U 2′，解得U 2′＝2U ，当线圈转动的转速为2n 时，电压表的示数为2U ，故D 正确．故选ACD.。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <mnC ．m －p<n －pD ．log m p >log n p答案 D解析 方法一 设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二 对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<m n<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝p －m n －m p －n n p －n ＝p n －m n p －n >0，所以p －m p －n >mn，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p>n －p，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( ) A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0， 则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0， 即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练 1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65. 考点二 基本不等式 核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag x＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a＋2－a≥22a ·2－a＝2 答案 D解析 由于b a ，a b的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4a≤－2－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________．答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－45舍去.故x 2＋y 2的最小值为45.专题强化练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |1<x <3} C ．{x |x <－1或x >3} D ．{x |x <1或x >3}答案 D解析 不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}．2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c <b d，故B 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误． 由不等式的性质知D 正确．3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (10x)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg3} B ．{x |－2<x <lg3} C ．{x |x >lg3} D ．{x |x <lg3}答案 D解析 一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}， 则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x)>0可化为－2<10x<3，解得x <lg3， 所以所求不等式的解集为{x |x <lg3}．4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a答案 B解析 由题意得a >1,0<b <1， ∴b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1， 12a b+>a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B.7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2a ＋1b ＋2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为( ) A ．3B.94C ．1D ．0答案 C解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0， 所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b 24＝1，当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题9．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p <qC ．p ＝rD ．p >q 答案 BC解析 r ＝12(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab <q ＝ln a ＋b 2.10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 ABC解析 方法一 设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.方法二 分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5<a ≤8.11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1bB ．ln a >ln bC ．a ln a <b ln bD ．a －b <e a－e b答案 BD解析 对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，所以a >b >0⇔ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a <b ln b ，故C 错误；对于D ，设g (x )＝x－e x(x >0)，则g ′(x )＝1－e x.因为x >0，所以e x>1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a )<g (b )，即a －e a<b －e b，即a －b <e a－e b，充分性成立；当a >0，b >0，且a －b <e a －e b 时，易证得a >b ，必要性成立，故D 正确．12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b>12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b＝22a －1＝12×22a， 因为a >0，所以22a>1，即2a －b>12，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确． 三、填空题13．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a1＋a<11aa+；④a1＋a>a 1＋1a.其中正确的是________．(填序号)答案 ②④解析 由于0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a <1＋1a，所以②④是正确的．14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴m >xx 2－x ＋1恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1≤121－1＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．∴m >1.15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1ex ＝－f (x )，又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x·1ex＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立， 所以f (x )在R 上单调递增， 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ，又⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9， 当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9，即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，∴1x－1＋1y的最大值为9.11。

第4讲不等式[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式是考查重点．试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题．不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值．2．基本不等式第10题第13题第10题3．不等式成立问题4．线性规划5．不等式的实际应用1．必记的概念与定理已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大) 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．2．记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤⎝⎛⎭⎫a＋b22(a，b∈R)；⎝⎛⎭⎫a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(3)简单分式不等式的解法①变形⇒f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)且g (x )≠0；②变形⇒f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0．(4)两个常用结论①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0．②ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0．3．需要关注的易错易混点(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．不等式的解法 [典型例题](1)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，则实数m 的值为________．(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln （x －1），1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24．关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0．又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a 2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(a 2)2－4(a 216＋m4)＝64，解得m ＝－64． (2)作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，并数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52．【答案】 (1)－64 (2)⎣⎡⎦⎤0，52二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x－3，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (a )＞f (f (－2))，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，f (－2)＝(12)－2－3＝1，f (1)＝1，所以不等式化为f (a )>1．当a ≤0时，f (a )＝(12)a －3>1，解得a <－2；当a >0时，f (a )＝a >1，解得a >1．因而a 的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A ，2∉A ，则a 的取值范围是________． [解析] 因为2∉A ，所以4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3． [答案] 1<a <3基本不等式 [典型例题](1)(2019·南通市高三调研)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．【解析】 (1)因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4（x ＋y ）y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4x y ＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时，取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8． (2)设P ⎝⎛⎭⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4．【答案】 (1)8 (2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．[对点训练]3．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数x ，y 满足15x －y ＝22，则x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为________．[解析] x 3＋y 3－x 2－y 2＝x 3＋94x ＋y 3＋14y －x 2－y 2－94x －14y ≥3x 2＋y 2－x 2－y 2－94x －14y ＝2x 2－94x －14y ＝2x 2＋92－94x －14y －92≥6x －94x －14y －92＝15x －y 4－92＝224－92＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时取等号，故x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为1．[答案] 14．(2018·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．[解析] 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．[答案] 9线性规划 [典型例题](1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0．若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【解析】 (1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2，3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k ＝2．【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤45，13 (2)2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[对点训练]5．(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋6≥0y ≥0，则⎝⎛⎭⎫12x ＋y的最小值为________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB (含边界)所示，作直线l ：x ＋y ＝0，若向上平移直线l ，则x ＋y 的值增大，当平移至过点B (2，4)时，x ＋y 取得最大值6，此时⎝⎛⎭⎫12x ＋y取得最小值18．[答案] 186．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为M ，且M 的取值范围是[1，2]，则点P (a ，b )所组成的平面区域的面积是________．[解析] 作出约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB 及其内部)． 将目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)化为直线方程的形式为y ＝－a b x ＋zb，若－a b ≤－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点A (1，0)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝a ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b≤－2a ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．若－a b >－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点B (0，2)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝2b ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b>－22b ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．综上，点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为32．[答案] 32不等式的实际应用[典型例题]“第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日－7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x 万套与年促销费用t 万元之间满足关系：x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)．预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完．(1)将该企业2017年的利润y 万元表示为关于年促销费用t 万元的函数； (2)该企业2017年的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定成本＋可变成本) 【解】 (1)由题意可知在x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)中，当t ＝0时，x ＝1．25×0．8＝1，代入上式得m ＝1， 所以x ＝4t ＋1t ＋1(t ≥0)．当年生产x 万套时，年生产成本为 27x ＋4＝27×4t ＋1t ＋1＋4．当年销售x 万套时，年销售收入为160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t ． 由题意，生产x 万套该品牌套餐正好销售完，由利润＝销售收入－生产成本－促销费用，得y ＝160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t －⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4－t ．所以y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）(t ≥0)．(2)y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1＋81t ＋1≤35×(113－18)＝57， 当且仅当t ＋1＝81t ＋1，即t ＝8时等号成立，即当该企业2017年的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[对点训练]7．(2019·苏州调研)如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB ＝y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上)，现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？[解] (1)因为AB ＝y ，AB ＝AC ＋1，所以AC ＝y －1． 在直角三角形BCF 中，因为CF ＝x ，∠ABC ＝60°， 所以∠CBF ＝30°，BC ＝2x ． 由于2x ＋y －1 >y ，得x >12．在△ABC 中，因为AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°，所以(y －1)2＝y 2＋4x 2－2xy ．则y ＝4x 2－12（x －1）．由y ＞ 0，及x >12，得x ＞ 1．即y 关于x 的函数解析式为y ＝4x 2－12（x －1）(x ＞ 1)． (2)M ＝3(2y －1)＋4x ＝12x 2－3x －1－3＋4x ．令x －1＝t ，则M ＝12（t ＋1）2－3t －3＋4(t ＋1)＝16t ＋9t＋25≥49，在t ＝34，即x ＝74，y ＝152时，总造价M 最低．所以x ＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低．1．函数f (x )＝1xlg(2＋x －x 2)的定义域为__________．[解析] ⎩⎨⎧x ≠0，2＋x －x 2>0，⇒－1<x <0或0<x <2，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，2) [答案] (－1，0)∪(0，2)2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．[解析] 因为t >0，所以y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．[答案] －23．(2019·高三第一次调研测试)若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为______． [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，数形结合易知当直线z ＝x ＋y 过点A (－3，－3)时，z 取得最小值，z min ＝－6．4．(2019·苏北四市高三质量检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．[解析] 因为当x ＞0时，f (x )＝2x －3，所以当x ＜0，即－x ＞0时，f (－x )＝2－x －3，因为函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝2－x －3＝－f (x )， 所以f (x )＝－2－x ＋3．当x ＞0时，不等式f (x )≤－5等价为2x －3≤－5， 即2x ≤－2，无解，故x ＞0时，不等式不成立； 当x ＜0时，不等式f (x )≤－5等价为－2－x ＋3≤－5， 即2－x ≥8， 得x ≤－3；当x ＝0时，f (0)＝0，不等式f (x )≤－5不成立． 综上，不等式f (x )≤－5的解集为(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3]5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30． [答案] 306．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5， 即实数a 的取值范围是(1，5]．7．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为______．[解析] x ＋4y －xy ＝0，即x ＋4y ＝xy ，等式两边同时除以xy ，得4x ＋1y＝1，由基本不等式可得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，因为m ≤9．[答案] m ≤98．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32． [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，32 9．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．[解析] 因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2（x 2＋2y 2）x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为2．[答案] 210．(2019·宁波统考)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________．[解析] 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，a ≠1) 设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a >1，1≤a 2，g （1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2≤12，g ⎝⎛⎭⎫12>0，则2≤a <4或0<a <1． [答案] (0，1)∪[2，4)11．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． [解] (1)因为x ＞0，a ＞2x ， 所以y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28．(2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2． 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2．12．已知关于x 的不等式x ＋2x 2－（1＋a ）x ＋a >0．(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．[解] (1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －2）>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －a ）>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}； 当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．13．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD 用来种植草莓，其中AB ＝99 m ，AD ＝49．5 m ．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n (n ∈N *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF ＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．(1)当n ＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14) [解] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r ．当n ＝20时，共有19块空地，所以r ＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49．5＝103π(m 2)， 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m 2． (2)设两项费用的和为f (n )．因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×100－n 2n ， 则f (n )＝10nS ＋31．4×1×49．5(n －1)＝10n [π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n ]＋31．4×1×49．5(n －1)＝31．4×[（100－n ）24n ＋49．5×100－n2＋49．5(n －1)]＝31．44×[（100－n ）2n＋99(100－n )＋198(n －1)]＝31．44×(1002n ＋100n ＋9 502)＝31．44×[100×⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋9 502]， 因为100n＋n ≥2100n·n ＝20，当且仅当n ＝10时等号成立， 所以，当且仅当n ＝10时，f (n )取得最小值， 即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．14．设m 是常数，集合M ＝{m |m >1}，f (x )＝log 3(x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1)．(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有的实数x 都有意义； (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值；(3)求证：对每个m ∈M ，函数f (x )的最小值都不小于1． [解] (1)证明：f (x )＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2m ）2＋m ＋1m －1，当m ∈M ，即m >1时，(x －2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R ．(2)令g (x )＝x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1，因为y ＝log 3g (x )是增函数，所以当g (x )最小时f (x )最小，而g (x )＝(x －2m )2＋m ＋1m －1， 显然当x ＝2m 时，g (x )的最小值为m ＋1m －1．此时f (x )min ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1． (3)证明：m ∈M 时，m ＋1m －1＝m －1＋1m －1＋1 ≥2＋1＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1≥log 33＝1，结论成立．。

学习目标本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。

在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v)和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下： 路程 = 速度×时间 可简记为：s vt = 速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t = 时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v = 路程一定，速度与时间成反比 速度一定，路程与时间成正比 时间一定，路程与速度成正比显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是 4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为 20千米，此人走完全程需多少时间？【例 2】甲、乙两地相距60千米，自行车队 8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行 1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。

自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3 时50分钟，那么下山用多少时间？【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。

【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【例7】一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1 小时到达；如果以原速度行驶100千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前 1 小时到达，求甲、乙两地的距离。