2021-2022年高考数学一轮复习阶段测试卷(第13周)理

2021年高三数学一轮复习阶段检测卷三数列与不等式理(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列结论正确的是( )A.ac2<bc2B.<C.>D.a2>ab>b22.若集合A={x|x(x-2)<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0},且A∩B=B,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<3B.0<a<3C.0<a<4D.1<a<43.已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.844.已知{a n}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{a n}的第n项到第n+5项的和为T n,则|T n|取得最小值时的n的值为( )A.5或6B.4或5C.6或7D.9或105.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( )A.-7B.-4C.1D.26.已知函数f(x)=若数列{a n}(n∈N*)的前n项和为S n,且a1=,a n+1=f(a n),则S2 016=( )A.895B.896C.897D.8987.已知定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若函数f(x+1)为奇函数,则不等式f(1-x)>0的解集为( )A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(1,+∞)8.已知不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-10,+∞)B.(-∞,-10)C.(-∞,+∞)D.(-∞,-8)9.已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则+的最小值为( )A.-3B.3C.16D.410.函数y=f(x)为定义在R上的减函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若x,y满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,则当1≤x≤4时,·的取值范围为( )A.[12,+∞)B.[0,3]C.[3,12]D.[0,12]11.已知数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N*),设S n为{b n}的前n项和,若a12=a5>0,则当S n取得最大值时n的值为( )A.15B.16C.17D.18 12.在数列{a n}中,对于任意n∈N*,若存在常数λ1,λ2,…,λk,使得a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+…+λk a n(λi≠0,i=1,2,…,k)恒成立,则称数列{a n}为k阶数列.现给出下列三个结论:①若a n=2n,则数列{a n}为1阶数列;②若a n=2n+1,则数列{a n}为2阶数列;③若a n=n2,则数列{a n}为3阶数列.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=.14.已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若曲线y=x a过点P,则a的值为.15.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1-a n=sin,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 016= .16.已知公差为2的等差数列{a n}及公比为2的等比数列{b n}满足a1+b1>0,a2+b2<0,则a3+b3的取值范围是.三、解答题(共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a2=2,S4=4,a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在平面直角坐标系中,设u=(4,S2),v=(4k,-S3),若u∥v,求实数k的值.18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)当c∈R时,解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(用c表示).19.(本小题满分12分)设数列{a n}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(a n-a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x满足f '=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=2,求数列{b n}的前n项和S n.20.(本小题满分12分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.在xx 年“双十一”网购狂欢节前,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足p=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润. 21.(本小题满分12分)已知正项数列{a n},{b n},{c n}满足b n=a2n-1,c n=a2n,n∈N*,数列{b n }的前n项和为S n,(b n+1)2=4S n,数列{c n}的前n项和T n=3n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和A n.22.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=2,S5=15,数列{b n}满足:b1=,b n+1=b n(n∈N*),数列{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和;(2)求数列{b n}的通项公式及前n项和;(3)记集合M=,若M的子集个数为16,求实数λ的取值范围.阶段检测三数列与不等式一、选择题1.D 因为a<b<0,所以>,<1,>1,故<,>均不成立;当c2=0时,ac2<bc2不成立.故选D.2.B 因为集合A={x|x(x-2)<3}={x|-1<x<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0}={a,a-1},且A∩B=B,所以B⊆A,即B中的两个元素a,a-1都在集合A中,则-1<a<3且-1<a-1<3,那么a的取值范围是0<a<3.3.B 由于a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21,a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.4.A 由得从而等差数列{a n}的通项公式为a n=40-5n,得T n=(40-5n)+…+(15-5n)=165-30n,因为|T n|≥0,且n∈N*,故当n=5或6时,|T n|取得最小值15.5.A 解法一:将z=y-2x化为y=2x+z,作出可行域和直线y=2x(如图所示),当直线y=2x向右下方平移时,直线y=2x+z 在y轴上的截距z减小,数形结合知当直线y=2x+z经过点B(5,3)时,z取得最小值3-10=-7.故选A.解法二:易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,0),(5,3),分别代入z=y-2x得z的值为1,-4,-7,故z的最小值为-7.故选A.6.B a1=,a2=f =,a3=f =-3=-,a4=,……,可得数列{a n}是周期为3的数列,一个周期内的三项之和为,又2 016=672×3,所以S2 016=672×==896.7.B 令x1<x2,因为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数.由f(x+1)为奇函数,得f(x)的图象关于点(1,0)对称,由不等式f(1-x)>0,得1-x>1,即x<0.8.A 解法一:不等式2x+m+>0可化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x-1)+≥2×2=8,当且仅当x=3时取等号.∵不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,∴-m-2<8,解得m>-10,故选A.解法二:不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立可化为m>,x∈(1,+∞),令f(x)=-2x-,x∈(1,+∞),则f(x)=--2≤-2-2=-2×4-2=-10,当且仅当x=3时取等号, ∴m>-10,故选A.9.C 因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以=,即2m+n=-6,又>0,>0,所以+≥2=2=2=16,当且仅当即2m=n=-3时取等号.10.D由题意得函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0,得f(x2-2x)≤f(-2y+y2),又y=f(x)为定义在R上的减函数,所以x2-2x≥-2y+y2,即(x-y)(x+y-2)≥0.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易得·=x+2y,设t=x+2y.易知当直线t=x+2y过点C(4,-2)时,t取得最小值0,当直线过点B(4,4)时,t取得最大值12,即·的取值范围为[0,12].11.B 设{a n}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,d<0,所以a n=d,从而当1≤n≤16时,a n>0,当a≥17时,a n<0,所以当1≤n≤14时,b n>0,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,当n≥17时,b n<0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故当S n取得最大值时n=16.12.D ①∵a n=2n,∴∃k=1,λ=2,使a n+k=λa n+k-1成立,∴{a n}为1阶数列,故①正确;②∵a n=2n+1,∴∃k=2,λ1=2,λ2=-1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2成立,∴{a n}为2阶数列,故②正确;③∵a n=n2,∴∃k=3,λ1=3,λ2=-3,λ3=1,使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+λ3a n+k-3成立,∴{a n}为3阶数列,故③正确.二、填空题13.答案(2,3]解析因为A={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以A∩B=(2,3]. 14.答案解析+=(m+n)=17++≥17+2=25,当且仅当n=4m=时取等号,故点P,由于曲线y=x a过点P,所以=,从而可得a=.15.答案 1 008解析由a n+1-a n=sin⇒a n+1=a n+sin,∴a2=a1+sin π=1+0=1,a3=a2+sin=1+(-1)=0,a4=a3+sin2π=0+0=0,a5=a4+sin=0+1=1,如此继续可得a n+4=a n(n∈N*),数列{a n}是一个以4为周期的数列,而2 016=4×504,因此S2 016=504×(a1+a2+a3+a4)=504×(1+1+0+0)=1 008.16.答案(-∞,-2)解析由题意可得该不等式组在平面直角坐标系a1Ob1中表示的平面区域如图中阴影部分所示.当直线a3+b3=a1+4+4b1经过点(2,-2)时a3+b3取得最大值-2,又(2,-2)不在平面区域内,则a3+b3<-2.三、解答题17.解析(1)∵a n+a n+2=2a n+1对任意n∈N*恒成立,∴数列{a n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d,∵a2=2,S4=4,∴解得∴a n=a1+(n-1)d=-2n+6.(2)S n=·n=·n=-n2+5n,∴S2=6,S3=6,∴u=(4,6),v=(4k,-6),∵u∥v,∴4×(-6)=6×4k,∴k=-1.18.解析(1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b≥1,a>0,所以解得(2)由(1)得原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,所以当c>2时,所求不等式的解集为{x|2<x<c},当c<2时,所求不等式的解集为{x|c<x<2},当c=2时,所求不等式的解集为⌀.19.解析(1)由题设可得f '(x)=a n-a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x.对任意n∈N*, f '=a n-a n+1+a n+2-a n+1=0,即a n+1-a n=a n+2-a n+1,故{a n}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,求得{a n}的公差d=1,所以a n=2+(n-1)×1=n+1.(2)b n=2=2=2n++2,故S n=b1+b2+…+b n=2n+2·+=n2+3n+1-.20.解析(1)由题意知y=p-x-(10+2p),将p=3-代入,化简得y=16--x(0≤x≤a).(2)由(1)知y=17-,当a≥1时,y≤17-2=13,当且仅当=x+1,即x=1时取等号.所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,最大利润为13万元.当a<1时,函数y=17-在[0,a]上单调递增,所以当x=a时,函数有最大值,所以促销费用投入a万元时,厂家的利润最大,最大利润为万元.综上,当a≥1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大,且最大利润为13万元;当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大,且最大利润为万元.21.解析(1)由(b n+1)2=4S n,得(b1+1)2=4b1,∴b1=1.又(b n-1+1)2=4S n-1,n≥2,则(b n+1)2-(b n-1+1)2=4S n-4S n-1=4b n,n≥2,化简得-=2(b n+b n-1),n≥2,又b n>0,所以b n-b n-1=2,n≥2,则数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,所以b n=1+2(n-1)=2n-1=a2n-1,所以当n为奇数时,a n=n.由T n=3n-1得c1=2,T n-1=3n-1-1,n≥2,则c n=3n-3n-1=2×3n-1,n≥2,当n=1时,上式也成立,所以c n=2×3n-1=a2n,所以当n为偶数时,a n=2×.所以a n =(2)①当n为偶数时,A n中有个奇数项,个偶数项,奇数项的和为=,偶数项的和为=-1,所以A n=+-1;②当n为奇数时,n+1为偶数,A n=A n+1-a n+1=+-1-2×=+-1.综上,可得A n =22.解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意得解得所以a n=n,S n=.(2)由题意得=·,当n≥2时,b n=··…··b1=·=,又b1=也满足上式,故b n=.故T n=+++…+①,T n=+++…++②,①-②得T n=+++…+-=-=1-,所以T n=2-.(3)由(1)(2)知=,令f(n)=,n∈N*,则f(1)=1, f(2)=, f(3)=, f(4)=, f(5)=.因为f(n+1)-f(n)=-=,所以当n≥3时, f(n+1)-f(n)<0, f(n+1)<f(n),因为集合M的子集个数为16,所以M中的元素个数为4,所以不等式≥λ,n∈N*的解的个数为4,所以<λ≤1.。

2021年高考数学一轮复习阶段测试卷（第11周）理14.3．[xx·湖南卷] 已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．315.3．[xx·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f(x)g(x)是偶函数B ．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f(x)|g(x)|是奇函数D ．|f(x)g(x)|是奇函数16.15．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x －1)＞0，则x 的取值范围是________．（五） 二次函数17.16．[xx·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x ＋asin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．（六） 指数与指数函数18.4．[xx·福建卷] 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D图1­219.3．[xx·江西卷] 已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－120.3．[xx·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a21.2．[xx·山东卷] 设集合A ＝{x||x －1|＜2}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)22.5．[xx·山东卷] 已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x2＋1＞1y2＋1B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C. sin x ＞sin yD. x3＞y3 23.7．[xx·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝f (x)·f(y)”的单调递增函数是( )A ．f(x)＝x 12B ．f(x)＝x3C ．f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f(x)＝3x 24.[xx·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．（七） 对数与对数函数25.5．[xx·山东卷] 已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x2＋1＞1y2＋1B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C. sin x ＞sin yD. x3＞y326.3．[xx·山东卷] 函数f(x)＝1（log2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)27.4．[xx·福建卷] 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­128.13．[xx·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．29.3．[xx·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a30．[xx·天津卷] 函数f(x)＝log 12(x2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)31.7．[xx·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )A BC D图1­232.12．[xx·重庆卷] 函数f(x)＝log2x ·log 2(2x)的最小值为________．答案提示：14．[解析]3．C 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.15.[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.16.[xx·新课标全国卷Ⅱ] 15． 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x －1)＞0，则x 的取值范围是________．[解析] (－1，3) 根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x<3.（六）指数与指数函数18. [解析]4．B 由函数y ＝logax 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log3(－x)，则其函数图像不正确．19. [xx·江西卷] 3．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x (a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1[解析] 3．A g(1)＝a －1，由f[g(1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.20. [xx·辽宁卷] 3．已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a[解析]3．C 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c>a>b. 21．[xx·山东卷]2. 设集合A ＝{x||x －1|＜2}，B ＝{y|y ＝2x ，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)[解析] 2．C 根据已知得，集合A ＝{x|－1＜x ＜3}，B ＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x ＜3}．故选C.22.[xx·山东卷] 5． 已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x2＋1＞1y2＋1B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C. sin x ＞sin yD. x3＞y3 [解析]5．D 因为ax ＜ay(0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，1x2＋1＞1y2＋1都不一定正确，故选D. 23. [xx·陕西卷] 7．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f (x)·f(y)”的单调递增函数是( )A ．f(x)＝x 12B ．f(x)＝x3C ．f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f(x)＝3x[解析]7．B 由于f(x ＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A ，C.又f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为单调递减函数，所以排除选项D. 24.11．[xx·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．[解析]11.10 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012＝10. (七)对数与对数函数25. [xx·山东卷] 5．已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x2＋1＞1y2＋1B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C. sin x ＞sin yD. x3＞y35．D [解析] 因为ax ＜ay(0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，1x2＋1＞1y2＋1都不一定正确，故选D.26. [xx·山东卷] 3．函数f(x)＝1（log2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) [解析] 3．C 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 28.[解析]13．50 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a 10a11＝e5，∴ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.29. [xx·辽宁卷] 3． 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c>a>b. 30. [xx·天津卷] 4． 函数f(x)＝log 12(x2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)4．D [解析] 要使f(x)单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x2－4>0，x<0，解得x<－2. 32.[xx·重庆卷] .12． 函数f(x)＝log2x ·log 2(2x)的最小值为________．12．－14 [解析] f(x)＝log2 x ·log 2(2x)＝12log2 x ·2log2(2x)＝log2x ·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f(x)取得最小值－14.。

2021年高考数学一轮复习（第1周）阶段测试卷理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1．（2011北京理）1.已知集合，，若，则a的取值范围是（） A. B. C.D.2. （2011福建理）若，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件C．既不充分又不必要条件3．（2011辽宁文）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为（）A．n∈N，2n≤1000B．n∈N，2n＜1000C．n∈N，2n＞1000 D．n∈N，2n≤10004．（2011天津文）设集合，．若，则实数的取值范围是（）．Ａ． B． C．D．5．下列命题中，真命题是（）．Ａ．，使函数是奇函数Ｂ．，使函数是偶函数Ｃ．，使函数都是奇函数Ｄ．，使函数都是偶函数6．命题“对于a，b，c∈R，若=3，则≥3”，的否命题是（）（A）a，b，c∈R，若a+b+c≠3，则<3（B）a，b，c∈R，若a+b+c=3，则<3（C）a，b，c∈R，若a+b+c≠3，则<3（D）a，b，c∈R，若a+b+c=3，则<37．已知：命题p：“对于，总有”；命题q：“，能使式子”。

若“”为假，则（）A． B． C ． B．8．下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( )A.p：0＝∅；q：0∈∅B.p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限是增函数C.p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)D.p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1＞0 9．已知p: <1,q:(x-a)(x-3)>0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.[1,3]C. [3,+∞)D. [1,+∞)10．已知条件p ：，条件q ：，若满足p 或q 为真，p 且q 为假，那么的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 11. （2011上海理2）若全集，集合，则 。

理科数学参考答案·第1页（共10页）文山州2021~2022学年高三年级一轮备考复习质量监测理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DABCDAABBCCB【解析】1．2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|ln 1}(0e)B x x =<=，，所以(0e)A B = ，，故选D ．2．∵3i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+-====---+，∴11i 22z =+，∴复数z 在复平面内对应的点1122⎛⎫⎪⎝⎭，，故选A ． 3．命题“0[22]x ∃∈-，，使得0()0f x >”的否定是：[22]x ∀∈-，，都有()0f x ≤，故选B．4．∵112n n a a ++=，∴112(1)n n a a ++=+，∵11a =，∴12n a +=，∴数列{1}n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴6612a+=，∴663a=，故选C ．5．根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正三棱柱，如图1所示：所以2ABCD S ==侧，故选D ．6．双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线方程为30x y +=，可得13b a =，可得双曲线的离心率c e a ====，故选A ． 7．因为1πxy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且0.20-<，所以0.2111ππ-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1P >；因为ln y x = (0)+∞，上为增函数，且1 1.5e <<，所以0ln1ln1.5ln e 1=<<=，即01Q <<；因为8πππsinsin πsin 0777R ⎛⎫==+=-< ⎪⎝⎭，所以R Q P <<，故选A ． 图1理科数学参考答案·第2页（共10页）8．由正弦定理得22()a a b b c -+=，即222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，又∵(0π)C ∈，，∴π3C =，又∵24a b c +==，∴2c =，4a b +=，∵22222a b c a b +-=+ 4ab -=，2()34a b ab +-=，∴4ab =，∴11πsin 22sin 223ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△，故选B ． 9．因为4cos 3x x -=，所以π42sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得π2sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22ππππ21sin 2cos 2cos 212sin 12636639x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ．10．某学校从5名男生、4名女生中选出2名担任招生宣讲员，基本事件总数29C 36n ==，在这2名宣讲员中男、女生各1人包含的基本事件个数1154C C 20m ==，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为205369m P n ===，故选C ． 11．如图2，设PA PB PC x ===，则PM =而2CM =， ∵PM PC ⊥，∴由勾股定理可得222PM PC MC +=，即223922x x -+=，则x =，由对称性可知，三棱锥P ABC -外接球的球心O 在高PG 上，由PC =，CG =得1PG ==，设OP OC R ==，则222(1)R R +-=，解得32R =．∴三棱锥P ABC -外接球的体积为3439ππ322⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故选C ．12．在(1)(1)f x f x -=+中，把x 换成1x +，得(1(1))(1(1))f x f x -+=++，即(2)f x +=()f x -，故A 错误；把x 换成1x -，得(1(1))(1(1))f x f x --=+-，即()(2)f x f x =-，故D 错误；根据()()0f x f x -+=，得(2)(2)0f x f x ++-=，在()y f x =的图象上任取图2理科数学参考答案·第3页（共10页）一点(2)P x y +，，则(2)(2)y f x f x =+=--，即点(2)P x y '--，在()y f x =的图象上，而点(2)P x y +，和点(2)P x y '--，关于(20)，对称，所以由点P 的任意性，知函数()y f x =的图象关于点(20)，对称，故B 正确；因为(1)(1)f x f x -=+，即(1)(1)f x f x -+=+，所以(1)y f x =+是偶函数，故C 不正确，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．根据题意，(6)3(6)13g f -=-+=-，则有3(6)4f -=-，又由()f x 为奇函数，(6)(6)f f =--，则(6)3(6)1415g f =+=+=．14．根据题意得222(2)444a b a a b b +=++= ，222()27a b a a b b -=-+= ，联立消去a b得2226a b += ，又||2a =，解得||1b = ．15．平面直角坐标系中，(01)(02)A B ，，，，在x 轴正半轴有点(0)C t ，，所以1tanACO t∠=，2tan BCO t ∠=，所以22211tan 2221t t t ACB t t t t-∠===+++，当且仅当t =时，等号成立．16．设线段PF 的中点为M ，连接OM ，连接PF '，如图3所示，则//OM PF '，∵椭圆的方程为22195x y +=，∴29a =，25b =，2224c a b =-=，即3a =，2c =，∵1||||||2OM OF F P c '===，∴1||||2FM PF == 图3理科数学参考答案·第4页（共10页）1(22)12a c a c -=-=，设MFO α∠=，在OMF △中，2222121cos 2214α+-==⨯⨯，∴sin 4α==，∴sin tan cos 4k ααα====，故直线PF 的方程为2)y x =+．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 解：（1）因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，1a ，3a ，7a 成等比数列，所以2317a a a =， …………………………………………（1分）所以2111(4)(12)a a a +=+， ……………………………………………（2分） 解得14a =， ……………………………………………（4分） 所以4(1)222n a n n =-⨯=+． ……………………………………………（6分） （2）321n n b a n =-=-， ……………………………………………（8分） 所以12211(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+， …………………………（10分） 因此111111121133521212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图知，0.0250.0200.0140.0040.0020.065++++=，由10(0.065)1a ⨯+=，解得0.035a =， ………………………………………（2分） 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ⨯⨯+=，解得2000N =人， 不满意的频率为10(0.0020.004)0.06⨯+=，所以共有20000.06120⨯=人，即不满意的人数为120人． ………………………（5分）理科数学参考答案·第5页（共10页）（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则青年人抽取4人分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，老年人抽取2人分别记为B 1，B 2， 从6人中选取3人担任整改督导员，X 的所有取值为1，2，3， ……………………………………………（6分）212436C C 1(1)C 5P X ===，122436C C 3(2)C 5P X ===，032436C C 1(3)C 5P X ===，……………………………………………（9分）故X 的分布列为：……………………………………………（10分）131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，连接PD 且交CE 于点T ，连接FT ． 由题意可知，PD ，CE 为中线， 所以T 为重心，||||2||||1PF PT FB TD ==， ……………………………………………（2分）所以//FT BD ，FT ⊂平面CEF ，BD ⊄平面CEF ，所以//BD 平面CEF ． …………………………………………（4分） （2）解：因为PA AC ⊥，1AC =，PC =，所以2PA =， 又因为AB AC =，PB PC =，图4理科数学参考答案·第6页（共10页）所以222PA AB PB +=，即PA AB ⊥，所以AB ，AC ，AP 两两垂直， ……………………………………………（5分） 故以A 为原点，AB ，AC ，AP为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图5，由图可知，22(001)(010)0(100)33E C F B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，， 所以2212(011)103333EC CF FB ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， …………………………………………………………（6分）设平面CEF 的法向量为1111()n x y z =，，，则有1100n EC n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即11111022033y z x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，令11x =，112y z ==， 所以1(122)n =，，， ……………………………………………（8分） 设平面CFB 的法向量为2222()n x y z =，，，则有2200n CF n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即222222203312033x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，令222x y ==，21z =， 所以2(221)n =，，， ……………………………………………（10分）因为1212128|cos |=9||||n n n n n n <，， 所以二面角E CF B --所成锐角的余弦值为89． …………………………………（12分）图5理科数学参考答案·第7页（共10页）20．（本小题满分12分）（1）解：设1122()()A x y C x y ，，，，则124y y +=，由21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得2212124()y y x x -=-， 即12121241y y x x y y -==-+， 所以直线AC 的斜率为1． ……………………………………………（5分） （2）证明：由题意可设直线AC 的方程为2x my =+，1122()()A x y C x y ，，，，则由224x my y x =+⎧⎨=⎩，，得2480y my --=，则124y y m +=， …………………………（7分） 设AC 的中点M 的坐标为()M M x y ，，则1222M y y y m +==，2222M M x my m =+=+，所以2(222)M m m +，， 同理2222N m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ……………………………………………（9分）①当1m =±时，M ，N 两点坐标为(42)，和(42)-，，直线MN 的方程为4x =，②当1m ≠±时，直线MN 的斜率为2222212112MNm m m k m m m m m +===---， 直线MN 的方程为222(22)1my m x m m -=---， 即2224(4)111m m my x x m m m =-=----， 所以直线MN 过定点(4，0)，综合①②可知直线MN 过定点(4，0)． …………………………………………（12分）理科数学参考答案·第8页（共10页）21．（本小题满分12分）解：（1）由()ln g x x =，得1()g x x'=，∴(1)1g '=， 又(1)0g =，∴曲线()y g x =在1x =处的切线方程为1y x =-， 则1k =，1b =-，则()y m k x n b -=++，即1y x m n =++-． ………………………………………（2分） 由()e x f x =，得()e x f x '=，则曲线()y f x =在点00(e )x x ，处的切线方程为000e e ()x x y x x -=-， 即0000e e e x x x y x x =-+，从而0e 1x =，解得00x =，则11m n +-=，∴2m n +=. …………………………………………（4分） （2）由题意知()e (ln )x x x a x x ϕ=+-，(0)x ∈+∞，， 函数()x ϕ有零点，即()0x ϕ=有根． 当0a =时，()0x x ϕ=>，不符合题意； 当0a ≠时，函数()x ϕ有零点等价于1ln e 1x x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有根． ………………………（6分） 设ln ()e 1x x h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22ln 1ln e ()e 1e (1)(1ln )x xx x x h x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………………（8分）设()1ln s x x x =+-，则1()1s x x'=-， 当(01)x ∈，时，()0s x '<，()s x 单调递减， 当(1)x ∈+∞，时，()0s x '>，()s x 单调递增，∴()(1)20s x s =>≥， ……………………………………………（10分）理科数学参考答案·第9页（共10页）∴()0h x '=仅有一根1x =，当(01)x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1)x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()(1)e h x h =≥，∴若函数()x ϕ有零点，则1e a ≥，从而10e a <≤． ……………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）设11()()(00)Q P ρθρθρρ>>，，，，，， 则1sin cos ρθθ=+， ……………………………………………（1分） 又||||6OP OQ = ，则16ρρ= ，则16ρρ=， ……………………………………（2分）∴6sin cos ,θθρ=+即sin cos 6ρθρθ+=． ……………………………………（3分）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入sin cos 6ρθρθ+=，得点Q 的轨迹方程为6x y +=． ……………………………………………（5分） （2）设点(,)(0)P ρθρ>，则cos sin ρθθ=+， 又∵3π84M ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴MOP △的面积13π8sin 24S ρθ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭24sin )sin 2)2ρθθθθθ=+=+=+， 当π22θ=，即π4θ=时，max S =， 此时点π4P ⎫⎪⎭，， ……………………………………………（9分）即点P 的直角坐标为(1，1)． ……………………………………………（10分）理科数学参考答案·第10页（共10页）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当5x >时，()284f x x =-<，解得6x <，故56x <<，……………………………………………（1分）当3≤x ≤5时，()24f x =<恒成立， ………………………………………（2分） 当3x <时，()824f x x =-<，解得2x >，故2<x <3．…………………………………………………………………………（3分）综上所述，不等式()4f x <的解集为(2，6)． ……………………………………（5分） （2）()|3||5||3||5|35|2f x x x x x x x =-+-=-+--+-=≥|， 当且仅当3≤x ≤5时等号成立，故2m =， 故212a b+=，即22a b ab +=， ……………………………………………（7分）又222222222a b a b a b a b ab b a ++==+=+≥当且仅当222a b =，即22a +=，12b =， …………………………………（9分） 故2222a b a b++． ……………………………………………（10分）。

邕衡金卷广西2023届高三一轮复习诊断性联考理科数学答案12345678101112DCCCDACBDAA1．D【解析】1i,(1i)(1222i)12 3.z zz =-=+-=+=1i 22616i 36z zz +==++故选：D 2．C3.C【解析】因为{}225A x y x ==-，2250x -≥ ，所以{}55A x x ∴-≤≤={}{}2412062B x x x x x =+-<=-<< ，则{R 6B x x =≤-ð或}2x ≥故(){}R 25A B x x =≤≤ ð，故选：C.4.C【解析】由几何体的三视图可知几何体的直观图如下：所以24432V Sh ==⨯⨯=.故选：C5.D【解析】因为()2(sin 2)()22x xx x f x f x --==--，所以()f x 是偶函数，故A，C 错误；2111sin 2(1)022f -=>-，选项B 符合函数()f x ，B 不符合.故选：D.6.A【解析】∵函数()e 2xf x ax =+，∴22e (2)e e (2)()(2)(2)x x x ax a ax a f x ax ax +-+-'==++∴12e (2)(1)0(2)a a f a --+-'-==-+，∴1a =∴22e (2)e e (1)()(2)(2)x x x x x f x x x +-+'==++()2,x ∈-+∞∴当2<1x --<时，()0f x '<，即函数()f x 在(2,1)--上单调递减，当1x >-时，()0f x '>，即函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，所以()f x 在1x =-处取得极小值即最小值，∴min ()(1)f x f =-，∵函数()e 2xf x x =+在()2,b -上有最小值，∴1b >-，即()1,b ∈-+∞；故选：A.7.C【解析】如图取AC 中点M ，连接EM ，取EM 的中点N .连接BN ，则有//EF BN ,则直线EF 与平面BCD 所成角可转化成求则直线BN 与平面BCD 所成角.因为2,AB BC AC ===1CC ⊥平面ABC ，E 为11AC 中点，22112EF B F B E =+=，又由等体积法N BCD B CDN V V --=可求得点N 到面BCD 的距离34d =，所以直线EF 与平面BCD 所成角的正弦值sin 8d EF θ==.8.B【解析】设圆心角l rα=，1,(0,)222l l r r α<=∈，所以222()2cos cos 11=2228rlCO l l r r r α=≈-=-，28l CO r r ≈-，所以22()88l l CD r r r r≈--=.故选：B.9.B【解析】设圆锥高为h,底面圆半径33r =，圆锥的体积为32111339h V h h π=⨯⨯=，圆柱的半径39r =，高为23h，体积为32212227381h V h h π=⨯⨯=，所以=12:2:9V V .10.D【解析】依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,666x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、三个零点，作出2sin =y t 的图象，容易得到则5<326ππωππ-≤，解得819<36ω≤，即19,683ω⎛⎤⎥⎝⎦∈．故选：D．11.A【解析】由题意得，点M 为PQ 中点12PQ BF BF bk k k c =-==- 22OM PQ b k k a= ，M （-4,1）224PQb b kc a ∴=-=-24bc a ∴=22416b c a ∴=，42161610e e ∴--=224e +∴=12．A【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111xf x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以()37(0)0f f <=，所以10n 07l 37-<，故37710ln ln 0.7>=-，即c a >，所以()(30)010f f -<=，所以ln +1073010<，故310e 710-<，所以1303e 1037<，故b c <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.3)(0)0g g >=，即0.30.3e ln 0.7>-，所以b a >故选：A.方法二：比较法解：0.3ln(10.3),0.0.310.33e a b c -==-=-，①ln ln 0.3ln(10.3)b c -=+-，令()ln(1),(0,0.3],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.3]上单调递减，可得(0.3)(0)0f f <=，即ln ln 0b c -<，所以b c <；②0.30.3ln(10.3)b a e -=+-，令()ln(1),(0,0.3],x g x xe x x =+-∈则()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.3]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.3]上单调递增，可得(0.3)(0)0g g >=，即0b a ->，所以.b a >故.a b c <<13.1【解析】由投影的定义知，a 在b 12123cos =⨯=π.14.35【解析】不防设第一次取到新球的事件为A，第二次取到旧球的事件为B，则53)()()(==A P AB P A B P .15.2【解析】由题意得，四边形12PF QF 是矩形，由焦点三角形面积公式得212tan 1tan 4512F PF b θ∆==⨯︒=，11222F PF PF QF S S ∆∴==矩形.16.9364【解析】在ABC ∆中，设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，则1344BD BA BC =+ ，则2221(93)16BD c a ac =++ ，22216939c a ac ac=++≥，即9256≤ac ，9364433sin 21≤==∴∆ac ac S ABC π，当且仅当c a =3时取等号．所以ABC ∆面积的最大值为9364．17.解：（1）当1,n =111112,,44S a a =-=....................................（1分）因为12.4n n S a =-①，当2n ≥时，1112.4n n S a --=-②，............................................（2分）①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，.............................................（3分）即122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以14为首项，2为公比的等比数列．...............................（6分）（2）由（1）可得32n n a -=，32log 23n n b n -==-................................（8分）所以()2211515252222228n n n T n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，..........................（10分）所以，当2n =或3n =时，()min 3n T =-．.....................................（12分）18.解：（1）延长DC AB E =I ，连接ME 交PB 于F ，连接FC ，...............（1分）如图，四边形MFCD 为截面α.....................（2分）ADE ∆中，//BC AD ，由12BC AD =，则C 为DE 中点，B 为AE 中点..........（3分）过M 作//MN AB 交PB 于N ，则112MN AB ==，//MN AB 12∴∆∆∴==FN MN MNF EBF BF BE :.........................（4分）2BF NF ∴=，即13BF BP =.........................（5分）F ∴为棱PB 上靠近点B 位置的三等分点..................（6分）（2）以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间坐标系如图,则有:()()()()()0,0,4,2,0,0,0,4,0,2,2,0,0,0,2P B D C M ,44,0,33F ⎛⎫⎪⎝⎭......（7分）设平面PBC 的一个法向量为(),,p x y z = ,()()2,0,4,0,2,0=-=PB BC 则有·0·0p PB p BC ⎧=⎨=⎩ ,解得24020-=⎧⎨=⎩x z y ,令1=z ,则()2,0,1=p .....................（8分）设平面α的一个法向量为(),,q a b c = ,()()0,4,2,2,2,0=-=-DM CD ·0·0q DM q CD ⎧=⎨=⎩,解得420220-+=⎧⎨-+=⎩b c a b ,令1a =,则1b =,2=c ,()1,1,2=q ........................................（9分）设平面α与平面PBC 的锐二面角的平面角为θ,则cos p qp qθ⋅=⋅ ............（10分）==...................................（11分）所以平面α与平面ABC 的二面角的锐平面角的余弦值为23015...............（12分）19.解析：（1）设“甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜”为事件C B A ,,，“甲班级获得冠军”为事件D ，.............................................（1分）则536.0)(,548.0)(,524.0)(======C P B P A P ，..........................（2分）所以)()(BC A C B A C AB ABC P D P +++=,.................................（3分）5354)521(53)541(52531(5452535452⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯=12582=（或者656.0）.....................................................（5分）（2）X 的可能取值为24,16,8,0，...........................................（6分）12524535452)()0(=⨯⨯===ABC P X P ，....................................（7分）)()8(BC A C B A C AB P X P ++==24324324358(1(1)(1)555555555125=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.........................（8分）)()16(C B A C B A C B A P X P ++==24324324337(1)(1)(1)(1))555555555125=--+--+--=.....................（9分）1256531)(541)(521()()24(=---===C B A P X P ...........................（10分）所以X 的分布列为.......................（11分）期望5481256241253716125588125240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ......................（12分）20.解：（1）抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=.........................................................（2分）所以2p =.................................................................（3分）所以抛物线C 的方程为24y x =...............................................（4分）（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y P y Q y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然直线PQ 的斜率不为0，................................................（5分）设直线PQ ：1x my =-，与抛物线24y x =联立可得2440y my +=-，且0∆>则12.4y y =................................................................（6分）由P ，B ，R 三点共线，...................................................（7分）故BR PR k k =，∴31322233114144y y y y y y --+=-即32313114y y y y +=-+，即13141y y y --=+...............（9分）同理：由Q ，B ，S 三点共线，故BS QS k k =，∴42222244414144y y y y y y --+=-即42424114y y y y +=-+，即24241y y y --=+.............（10分）所以23141231422314211222224444444114444QR PS k k y y y y y y y y y y y y y y y y y y +=++=-----+--+==-++++-+，所以直线QR 与直线PS 的斜率之和为定值-4.......................................（12分）21．解：（1）当1a =时，函数()(ln 1)f x x x =+.()ln 2f x x '=+，................（1分）则(1)2f '=，即切线斜率为2，................（2分）又(1)1f =，.............（3分）则切线l 的方程为12(1)y x -=⨯-，即切线方程为210x y --=...................（4分）（2）∵12x x ，是方程2()f x x =的两个不等实根，212x x >，且1>0x ，20x >，则2111122222ln 0ln 0x x ax x x x ax x ⎧-+=⎨-+=⎩，即1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，....................................（6分）∴12211221ln ln 2ln ln x x x x a x x x x ++-==+-，即()21211221ln ln 2xx x x x x x x ++=-，.................（7分）令21x t x =，则2t >，则12(1)ln ln 21t t x x t ++=-，令(1)ln ()1t t g t t +=-，则212ln ()(1)t t tg t t -=-'-（8分）令1()2ln h t t t t=--，则22(1)()0t h t t -'=>，则()h t 单调递增，......................（9分）∴3()(2)2ln 202h t h >=->，即()0g t '>，则()g t 单调递增，∴()(2)3ln 2g t g >=...（10分）∴12ln 23ln 2x x +>，即1228ln 3ln 22ln ex x >-=，即1228e x x >，..................（11分）则2212122x x x x +≥ （由于12x x ≠，故不取等号），∴2212216ex x +>.得证..........（12分）22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ是参数）消去参数ϕ得：22143x y+=........（2分）将θρθρsin ,cos ==y x 代入上式..........................................（3分）所以曲线C 的极坐标方程为12sin 4cos 322=+θρθρ（或θρ22sin 312+=）..（5分）（Ⅱ）∵点1(,)A ρθ，32,(),3,(32πθρπθρ++C B 在在曲线C 上，∴232221222111111ρρρ++=++OCOB OA .....................................（6分）)]32(sin 3)3(sin 3sin 3[121222πθπθθ+++++++=])cos 23sin 21(3)cos 23sin 21(3sin 3[121222θθθθθ+-++++++=..........（7分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++=θθθθθθθθθ22222cos 43cos sin 23sin 41cos 43cos sin 23sin 41sin 9121（8分）)cos 23sin 21sin 9(121222θθθ+++=.......................................（9分）87239121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=........................................................（10分）23.解：（1）解法一：由柯西不等式得：])()[(])()[())((24524524124125252121b a b a b a b a +⋅+=++.........................（3分）4)(])()[(])()[(22323245245241241=+≥+⋅+b a b a b a ..............................（4分）当a b =时，等号成立．所以原式得证........................................（5分）解法二：212525213325252121))((b a a b a b a b a +++=++..................................（1分）232321252521223232)(a b a a b a -+++=.........................................（2分）232326262232322)(b a b a b a -++≥............................................（3分）当a b =时，等号成立.....................................................（4分）即≥++))((2525b a b a 4)(22323=+=b a ....................................（5分）（2）解法一：由22323=+b a 及2()4a b ab +≤.................................（6分）]3))[(()()(2212122121212121212121b a b a b a a b a b a -++=-+⋅+=.................（7分）]43)[()(22121221212121）（b a b a b a +-+⋅+≥4232121）（b a +≥............................................................（8分）当1a b ==时，等号成立...................................................（9分）所以2≤+b a .........................................................（10分）解法二：因为22323=+b a 所以：)(4)(8)(23233212132121b a b a b a +-+=-+................................（6分）2323232121234433ba b b a ab a --+++=221212121212121212121))((3))((3)(3)(3b a b a b a b a b a b a b a -+-=-+-=-+-=.......（7分）又0,0a b >>，所以:0))((3221212121≤-+-b a b a .................................................（8分）8)(32121≤+b a 当1a b ==时，等号成立.................................（9分）所以，2≤+b a ......................................................（10分）。

10.[xx·天津卷] 4．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a [（七） 对数与对数函数1. [xx·天津卷] 12． 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．2.[xx·安徽卷] 11．⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.3. [xx·浙江卷] 8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D2021年高三一轮复习阶段测试卷（第13周）数学文 缺答案4.[xx·福建卷] 8．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-35.[xx·广东卷]13． 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．6.[xx·辽宁卷]3． 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bA ．a >1，x >1 B ．a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1 D ．0<a <1，0<c <18.[xx·四川卷]7． 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c9.[xx·重庆卷] 9． 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 (八)幂函数与函数的图像 1.[xx·浙江卷] 8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D2.[xx·福建卷] 8．若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）A．B．C．D．4.[xx·江苏卷]13．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．5.[xx·全国新课标卷Ⅰ] 15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．6.[xx·山东卷] 6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 （九） 函数与方程1.[xx·北京卷] 6．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 2.[xx·浙江卷]7． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9 D ．c ＞93.[xx·重庆卷]10． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，234.[xx·福建卷]15． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．5.[xx·湖北卷] 9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}6.[xx·江苏卷]13．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试13-3 北师大版一、选择题1．(xx·天津)设集合S ＝{x||x －2|>3}，T ＝{x|a<x<a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3<a<－1B ．－3≤a≤－1C ．a≤－3或a≥－1D ．a<－3或a>－1[答案] A[解析] ∵|x －2|>3，∴x>5或x<－1.∴S ＝{x|x>5或x<－1}．又T ＝{x|a<x<a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋8>5，a<－1.∴－3<a<－1.2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )A ．[－2,1)∪[4,7)B ．(－2,1]∪(4,7]C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －5|<9|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －9<2x －5<92x －5≥3，或2x －5≤－3 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7x≥4，或x≤1，得(－2,1]∪[4,7)． 3．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a>a b >a b2B.a b2>a b >aC.a b >a b2>a D.a b >a>a b2[答案] C[解析] ∵b<－1，∴1b <0<1b2<1， 又∵a<0，∴a b >a b2>a ，∴选C. 4．(xx·天津理)设集合A ＝{x||x －a|<1，x ∈R}，B ＝{x||x －b|>2，x ∈R}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b|≤3B ．|a ＋b|≥3C ．|a －b|≤3D ．|a －b|≥3[答案] D[解析] 由题知：A ＝{x|a －1<x<a ＋1，x ∈R}，B ＝{x|x<b －2或x>b ＋2}，若A ⊆B ，则有a －1≥2＋b 或a ＋1≤b－2，解得a －b≥3或a －b≤－3，即|a －b|≥3，故选D.5．已知loga(－b)<0，ab<1，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系为( )A ．a>b>－b>－aB ．a>－b>－a>bC ．a>－b>b>－aD ．a>b>－a>－b[答案] C[解析] ∵－b>0，∴b<0.又ab<1，∴a>1，又∵loga(－b)<0，∴0<－b<1，∴－1<b<0.∴a>－b>b>－a.6．不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集是( )A ．{x|0≤x<1}B ．{x|x<0且x≠－1}C ．{x|－1<x<1}D ．{x|x<1且x≠－1}[答案] D[解析] 解法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x>0，1－|x|>0①或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x<0，1－|x|<0②由①式得－1<x<1，由②式得x<－1，故知原不等式的解集是{x|x<1且x≠－1}，故选D.解法二：取x ＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A 、B 、C ，从而选D.解法三：函数y ＝(1＋x)(1－|x|)的零点为－1,1，在(－∞，－1)，(－1,1)，(1，＋∞)上y 的正负号依次为正、正、负，故选D.二、填空题7．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a2＋a ＋1的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1,0)[解析] |x －1|＋|x －2|≥|(x－1)－(x －2)|＝1，要使原不等式解集为空集，则必须a2＋a ＋1<1，解得－1<a<0.8．(xx·陕西理)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．[答案] {x|x≥1}[解析] |x ＋3|－|x －2|≥3的几何意义表示数轴上到－3点的距离比到2点的距离大于或等于3的点，可知x≥1.9．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝2，a2＋2b2＋3c2＝4，则a 的取值范围为____________．[答案] 211≤a≤2 [解析] 由已知得b ＋c ＝2－a,2b2＋3c2＝4－a2，联想柯西不等式可得(2b2＋3c2)(12＋13)≥(b＋c)2，得(4－a2)×56≥(2－a)2，所以11a2－24a ＋4≤0，得211≤a≤2.10．关于x 的不等式|x ＋logax|<x ＋|logax|(a>1)的解集为________．[答案] {x|0<x<1}[解析] ∵|a ＋b|≤|a|＋|b|，“＝”当且仅当ab≥0时成立，∴ 若|a ＋b|<|a|＋|b|，则ab<0.故xlogax<0.又x>0，∴logax<0，∵a>1，∴0<x<1.所求不等式的解集为{x|0<x<1}．三、解答题11．如图，O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和．(1)将y 表示成x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？[解析] (1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x≤30.(2)依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x≤30.解不等式组，其解集为[9,23]．所以x ∈[9,23]．12．(xx·江苏)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2[证明] 3a3＋2b3－(3a2b ＋2ab2)＝3a2(a －b)＋2b2(b －a)＝(3a2－2b2)(a －b)∵a≥b>0，∴a －b≥0,3a2－2b2>0∴(3a2－2b2)(a －b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.13．(xx·新课标理)设函数f(x)＝|2x －4|＋1.(1)画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．[解析] (1)由于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x<2，2x －3，x≥2，则函数y ＝f(x)的图像如图所示．(2)由函数y ＝f(x)与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a≥12或a<－2时，函数y ＝f(x)与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)．14．(xx·辽宁理)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．[解析] 本题考查的内容是均值不等式的应用．解题思路是可以用三个数的均值不等式证明，也可以用基本不等式证明．证明：(证法1)因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)23① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc)－13所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23② 故a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． (证法2)因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ac ①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab ＋1bc ＋1ac② 故a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．37664 9320 錠u |27672 6C18 氘AB38111 94DF 铟O26501 6785 枅/ e38472 9648 陈+。

2021年高考数学一轮复习阶段测试卷（第12周）理（八）幂函数与函数的图像33.4．[xx·福建卷] 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 图1­234.10．[xx·湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x －a2|＋|x －2a2|－3a2)．若∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3335.8．[xx·山东卷] 已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)36.7．[xx·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )（九） 函数与方程37.10．[xx·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex －12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x ＋a)的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e38.14．[xx·天津卷] 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．39.6．[xx·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c>9（十） 函数模型及其应用40.8．[xx·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1 41.10．[xx·陕西卷] 如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1­2 A ．y ＝1125x3－35x B ．y ＝2125x3－45x C ．y ＝3125x3－x D ．y ＝－3125x3＋15x （十一） 导数及其运算42.18．[xx·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．43.21．[xx·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N*. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ；(2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1p.44.20．[xx·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.45.10．[xx·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．46.13．[xx·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．47.18．[xx·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R )． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．48.7．[xx·全国卷] 曲线y ＝xex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．149.8．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．350.21．[xx·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．51.19．[xx·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n∈N *)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 的前n 项和Tn.（十二） 导数的应用52.21．[xx·四川卷] 已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．53.18．[xx·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．答案提示：(八) 幂函数与函数的图像33. B [解析] 由函数y ＝logax 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log3(－x)，则其函数图像不正确．因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.35.8．B [解析] 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.36. [xx·浙江卷] 7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.(九) 函数与方程 37.10．B [解析] 依题意，设存在P(－m ，n)在f(x)的图像上，则Q(m ，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e －m －12＝m2＋ln(m ＋a)，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m(m ＞0)，可得a∈(－∞，e)．38．[解析] 14．(0，1)∪(9，＋∞) 在同一坐标系内分别作出y ＝f(x)与y ＝a|x －1|的图像如图所示．当y ＝a|x －1|与y ＝f(x)的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x2－3x ，a>0，整理得x2＋(3－39． [xx·浙江卷] .6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c>96．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f(x)＝x3＋6x2＋11x ＋c ，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（十）函数模型及其应用 40.[解析] 8．D 设年平均增长率为x ，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1.41. [xx·陕西卷] 9. 如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1­2 A ．y ＝1125x3－35x B ．y ＝2125x3－45x C ．y ＝3125x3－x D ．y ＝－3125x3＋15x 10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax3＋bx2＋cx ＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y′＝3ax2＋c ，得当x ＝－5时，y′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x3－35x.(十一) 导数及其运算42. [xx·安徽卷] 18． 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x)＝1＋a －2x －3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a 3，x1<x2，所以f′(x)＝－3(x －x1)(x －x2)． 当x<x1或x>x2时，f′(x)<0； 当x1<x<x2时，f′(x)>0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a<4时，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， 所以f(x)在x ＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a ，所以当0<a<1时，f(x)在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f(x)在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x ＝0处取得最小值．43. [xx·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ；(2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x)2＝1＋2x ＋x2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式(1＋x)k>1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x)k ＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k ＋1)x ＋kx2>1＋(k ＋1)x. 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明an>c 1p .①当n ＝1时，由题设知a1>c 1p成立．由ak>c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c apk －1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋1ak p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap k －1p>1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap k －1＝c ap k . 因此ap k ＋1>c ，即ak ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式an>c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>c 1p 均成立．再由an ＋1an ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap n －1可得an ＋1an <1，即an ＋1<an.综上所述，an>an ＋1>c 1p，n∈N *.方法二：设f(x)＝p －1p x ＋c p x1－p ，x≥c 1p ，则xp ≥c ，所以f′(x)＝p －1p ＋c p (1－p)x －p ＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c xp >0.由此可得，f(x)在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x>c 1p 时，f(x)>f(c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a1>c 1p>0，即ap 1>c 可知a2＝p －1p a1＋c p a1－p 1＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap 1－1<a1，并且a2＝f(a1)>c 1p ，从而可得a1>a2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式an>an ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k(k≥1，k∈N *)时，不等式ak>ak ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f(ak)>f(ak ＋1)>f(c 1p)，即有ak ＋1>ak ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>an ＋1>c 1p均成立．44. [xx·福建卷] 20．已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 20．解：方法一：(1)由f(x)＝ex －ax ，得f ′(x)＝ex －a. 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f(x)＝ex －2x ，f ′(x)＝ex －2. 令f ′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1>0， 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)证明：①若c≥1，则ex ≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex. 故当x>0时，x2<cex.取x0＝0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.②若0<c<1，令k ＝1c >1，要使不等式x2<cex 成立，只要ex>kx2成立．而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x ＋ln k 成立． 令h(x)＝x －2ln x －ln k ，则h′(x)＝1－2x ＝x －2x .所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x0＝4c ，由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex ＝e x 2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x>x0时，ex>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1c x2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3<ex. 证明如下：令h(x)＝13x3－ex ，则h′(x)＝x2－ex. 由(2)知，当x>0时，x2<ex ，从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝－1<0，即13x3<ex. 取x0＝3c ，当x>x0时，有1c x2<13x3<ex. 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.45. [xx·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.46. [xx·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x0，y0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．47. [xx·江西卷] 18．已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R )．(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2）1－2x，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4. (2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0， 依题意当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 48. [xx·全国卷] 7．曲线y ＝xex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y′＝(xex －1)′＝ex －1＋xex －1，所以y ＝xex －1在点(1，1)处的导数是y′|x ＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y ＝xex －1在点(1，1)处的切线斜率是2.49. [xx·新课标全国卷Ⅱ] 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 50. [xx·陕西卷] 21． 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g(x)＝x 1＋x (x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝x 1＋x ，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，那么，当n ＝k ＋1时，gk ＋1(x)＝g(gk(x))＝gk （x ）1＋gk （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax 1＋x恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－ax 1＋x(x≥0)， 则φ′(x)＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax 1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]． (3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋n n ＋1， 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则1n ＋1<ln n ＋1n. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)． 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n>1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． 方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，51.[xx·四川卷] .19．设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n∈N *)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 的前n 项和Tn.19．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d ＝a8－a7＝2，所以Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在点(a2，b2)处的切线方程为y －2a2＝(2a2ln 2)(x －a2)，其在x 轴上的截距为a2－1ln 2. 由题意有a2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a2＝2. 所以d ＝a2－a1＝1.从而an ＝n ，bn ＝2n ，所以数列{an bn }的通项公式为an bn ＝n 2n， 所以Tn ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n， 2Tn ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1， 因此，2Tn －Tn ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，Tn ＝2n ＋1－n －22n. （十二） 导数的应用52. [xx·四川卷] 21． 已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．21．解：(1)由f(x)＝ex －ax2－bx －1，得g(x)＝f′(x)＝ex －2ax －b.所以g′(x)＝ex －2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a ，e －2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增， 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ；于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b. 综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ； 当12<a<e 2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ； 当a≥e 2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b. (2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点； 当a≥e 2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a<e 2. 此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e －2a －b>0.由f(1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e －2<a<1.当e －2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln (2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0.故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．53. [xx·安徽卷] 18．设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a －2x －3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a 3， x2＝－1＋4＋3a 3，x1<x2， 所以f′(x)＝－3(x －x1)(x －x2)．当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试13-2 北师大版一、选择题1．(文)(xx·湖南文)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆D ．圆、直线[答案] D[解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化和直线的参数方程形式．把⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x2＋y2cosθ＝xx2＋y2代入ρ＝cosθ，可得x2＋y2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t 中的参数t ，可得x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．(理)(xx·湖南理)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线[答案] A[解析] 极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为：x2＋y2＝x ，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t，可化为3x ＋y ＋1＝0. 2．若P(－2，－π3)是极坐标系中的一点，则Q(2，2π3)、R(2，8π3)、M(－2，5π3)、N(2,2kπ－4π3)(k ∈Z)四点中与P 重合的点有____________个( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] (－2，－π3)的统一形式(2,2kπ＋2π3)或(－2,2kπ－π3)(k ∈Z)，故四个点都与P(－2，－π3)重合．3．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)( ) A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线[答案] B[解析] 原方程变形为：y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ.设抛物线的顶点为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝3sinθy＝4cosθ，消去参数θ得轨迹方程为x29＋y216＝1.它是椭圆．4．设集合S＝⎩⎨⎧x，y⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cosθy＝3sinθ，0<θ<π，集合T＝⎩⎨⎧x，y⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x＝－22ty＝－22t＋b，若S∩T中有两个元素，则b的取值范围是( )A．|b|≤3 2 B．b∈(－3,32)C．b∈(3,32) D．b∈(0,32)[答案] C[解析] 如图，集合S表示的图形是上半圆，集合T表示的图形是直线y＝x＋b.∵S∩T中有两个元素，∴b∈(3,32)．应选C.5．(xx·安徽理)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 曲线C为圆，圆心为(2，－1)，半径r＝3，圆心到直线x－3y＋2＝0的距离d＝|2＋3＋2|1＋－32＝71010<3.32<71010<3由图形知点的个数为2，故选B. 6．(xx·重庆理)直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cosθ，y ＝1＋3sinθ(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( ) A.76π B.54π C.43πD.53π [答案] C[解析] 设直线与圆交于点(3＋3cosθ，1＋3sinθ) ∵点在直线y ＝33x ＋2上， ∴1＋3sinθ＝33(3＋3cosθ)＋ 2 即sin(θ－π6)＝22，∵－π6<θ－π6<116π∴θ－π 6＝π4或θ－π6＝34π， 解得θ1＝512π θ2＝1112π，不妨设A(3＋3cosθ1,1＋3sinθ1)，B(3＋3cosθ2,1＋3sinθ2)，则kAD ＝tanθ1，∴直线AD 的倾斜角为θ1＝512π，同理直线BD 的倾斜角为θ2＝1112π，∴ 倾斜角之和为θ1＋θ2＝43π.二、填空题7．(xx·天津理)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t ，(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为______．[答案] (x ＋1)2＋y2＝2[解析] 直线为y ＝x ＋1，故圆心坐标为(－1,0)，半径R ＝|－1＋3|2＝2，则圆的方程：(x ＋1)2＋y2＝2.8．(xx·安徽)以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(p ∈R)，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cosαy ＝2＋2sinα(α为参数)相交于两点A 和B ，则|AB|＝________.[答案] 14[解析] 本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程之间的关系，以及直线被圆截得的弦长等基础知识．极坐标方程为θ＝π4(p ∈R)的直线方程为y ＝x ，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cosαy ＝2＋2sinα(α为参数)的圆的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22，∴弦AB 的长为24－12＝14.9．(文)(xx·广东文)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2[解析] 本题考查了直角坐标系与极坐标系方程的互化，原极坐标方程化为直角坐标方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1再化为相应的极坐标系为点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.体现了转化与化归的数学思想． (理)(xx·广东理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________． [答案] (2，3π4) [解析] 由ρ＝2sinθ与ρcosθ＝1得2sinθcosθ＝－1， ∴sin2θ＝－1，θ＝3π4，∴ρ＝2sin3π4＝ 2. 10．(xx·陕西理)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosα，y ＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为____________． [答案] (－1,1)(1,1)[解析] 由题意知圆的方程为x2＋(y －1)2＝1，直线方程为y ＝1，故交点为(－1,1)，(1,1)． 三、解答题11．(xx·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[解析] (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosθ＋32sinθ＝1， 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)，θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233， 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)． 12．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos(θ＋π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：由ρ＝1得x2＋y2＝1， 又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cosθ－3sinθ， ∴ρ2＝ρcosθ－3ρsinθ. ∴x2＋y2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x2＋y2＝1x2＋y2－x ＋3y ＝0得，A(1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝ 3. 解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3得，cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12. ∵0≤θ<2π，∴θ＋π3＝π3或5π3，∴θ＝0或4π3，∴A(1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，∴|AB|＝12＋12－2×1×1·co s ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π3＝ 3. [点评] 在极坐标系下求两点间的距离：(一)转化为直角坐标求解．(二)用余弦定理求解． 13．(xx·江苏卷)在极坐标系中已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a ＝0相切，求实数a 的值．[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力．将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，则有 |3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.14．(xx·辽宁理)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosθy ＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[分析] 解题思路是通过对极径、极角的理解，写出极坐标，再利用参数方程中斜率意义(即cosα，sinα)，写出参数方程．[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A(1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．W24056 5DF8 巸p2*22270 56FE 图 d25757 649D 撝20484 5004 倄! -B36304 8DD0 跐。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1| =|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试12-3 北师大版一、选择题1．(xx·陕西理)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5(x ∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1B.12 C ．1D ．2[答案] D[解析] C5r·xr(a x)5－r ＝Cnr·a5－rx2r －5， 令2r －5＝3，∴r ＝4，由C54·a＝10，得a ＝2.2．(xx·江西理)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 [答案] B[解析] (2－x)8展开式的通项为Tr ＋1＝C8r28－r(－x)r ＝(－1)r·28－rC8rx r 2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.3．(xx·潍坊一模)设(x2＋1)(2x ＋1)9＝a0＋a1(x ＋2)＋a2(x ＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 赋值法：令x ＝－1，a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2·(－1)9＝－2.4．(xx·信阳调研)在(x －12x )10的展开式中，x4的系数为( )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[答案] C[解析] Tr ＋1＝C10rxr·(－12x )10－r.令xr·(－12x )10－r ＝a·x4(a 为常数)，∴r ＝7，∴a ＝(－12)3.∴系数为C107·(－12)3＝－15.5．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x2－2x3n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为()A ．3B ．5C ．6D ．10[答案] B[解析] ∵Tr ＋1＝Cnr(3x2)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x3r＝(－2)r3n －rCnrx2n －5r ，当2n －5r ＝0时，2n ＝5r ，又∵n ∈N*，r ∈N ，∴n 是5的倍数．∴n 的最小值为5.6．(xx·巢湖一模)已知(x2－1x)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( )A ．－1B ．1C ．－45D ．45[答案] D[解析] 由题知第三项的系数为Cn2(－1)2＝Cn2，第五项的系数为Cn4(－1)4＝Cn4，则有Cn2Cn4＝314，解之得n ＝10， 由Tr ＋1＝C10rx20－2r·x－r 2(－1)r ， 当20－2r －r 2＝0时，即当r ＝8时． 常数项为C108(－1)8＝C102＝45，选D.7．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28[答案] B [解析] 由题意可知n ＝8，Tr ＋1＝C8r ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r(－1)rC8r·x8－43r. ∴r ＝6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－1)6C86＝7. 8．(xx·江西)(1＋ax ＋by)n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 [答案] D[解析] 考查二项式定理的灵活运用．不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋b)n ，故(1＋b)n ＝243，同理，不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋a)n ＝32.即⎩⎨⎧ 1＋b n ＝243＝351＋a n ＝32＝25，所以a ，b ，n 的可能取值为a ＝1，b ＝2，n ＝5.二、填空题9．若(2x －1)6(x ＋1)2＝a0x8＋a1x7＋a2x6＋a3x5＋a4x4＋a5x3＋a6x2＋a7x ＋a8，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝________.[答案] 4[解析] 令x ＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝4.10．(xx·安师大附中期中)(13x ＋2x x)n 的二项展开式中，若各项的二项式系数的和是128，则x5的系数是________．(以数字作答)[答案] 560[解析] 因为(13x ＋2x x)n 的二项展开式中，各项的二项式系数的和为128，所以2n ＝128，n ＝7.该二项展开式中的第r ＋1项为Tr ＋1＝C7r·2r(x－13)7－r(x 32)r ＝C7r·2rx 11r －146，令11r －146＝5得r ＝4，所以展开式中x5的系数为C74×24＝560.11．(xx·辽宁理)(1＋x ＋x2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________． [答案] －5[解析] (1＋x ＋x2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x2⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x2项的系数，Tr ＋1＝C6rx6－r(－1)rx －r ＝C6r(－1)rx6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解．令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C63＋C64＝－5.三、解答题12．求x(1－x)4＋x2(1＋2x)5＋x3(1－3x)7展开式中各项系数的和．[分析] 如果展开各括号，则会使运算量增大，如果设展开后为a0x10＋a1x9＋…＋a9x ，则问题转化为求a0＋a1＋…＋a9的值，再令等式中x ＝1，即可求解．[解析] 在原式中，令x ＝1，得1×(1－1)4＋12×(1＋2)5＋13×(1－3)7＝115. ∴展开式各项系数和为115.[点评] 在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．13．已知(a2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x2＋1x)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值(a ∈R)．[解析] (165x2＋1x)5的通项公式为Tr＋1＝C5r(165x2)5－r·(1x)r＝C5r·(165)5－r·x20－5r2令20－5r＝0，则r＝4，∴常数项为T5＝C54×165＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，依题意得2n＝16，n＝4，由二项式系数的性质知(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，所以C42(a2)2＝54，即a4＝9，所以a＝± 3.14．(1)已知(x＋13x2)n的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是143，求展开式中不含x的项；(2)求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数．[解析] (1)依题意有Cn4Cn2＝143，化简得(n－2)(n－3)＝56.解之得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)．设该展开式中第(r＋1)项为所求的项．则Tr＋1＝C10rx 10－r2(3x2)－r＝C10rx10－5r2·3－r.令10－5r2＝0，得r＝2.故不含x的项为第三项，且T3＝C102·3－2＝5.(2)原式＝x －1[1＋x －15]1＋x －1＝1x[(x －1)＋(x －1)6]． 为了求x2的系数，只需求(x －1)6中x3的系数，显然该展开式中的第4项含x3，即T4＝C63x3(－1)3＝－20x3.故所求x2的系数等于－20.15．已知在二项式(axm ＋bxn)12中，a>0，b>0，mn≠0且2m ＋n ＝0.(1)如果在它的展开式中，系数最大的项是常数项，则它是第几项？(2)在(1)的条件下，求a b的取值范围． [解析] (1)设Tk ＋1＝C12k(axm)12－k·(bxn)k＝C12ka12－kbkxm(12－k)＋nk 为常数项，则有m(12－k)＋nk ＝0，即m(12－k)－2mk ＝0.∵m≠0，∴k ＝4，∴它是第5项．(2)∵第5项是系数最大的项，∴⎩⎨⎧ C124a8b4≥C123a9b3C124a8b4≥C125a7b5 ①②由①得a b ≤94，由②得a b ≥85， ∴85≤a b ≤94.38504 9668 陨20729 50F9 價27957 6D35 洵37165 912D 鄭Vd21622 5476 呶31445 7AD5 竕E827064 69B8 榸@35294 89DE 觞。

2021高考理科数学一轮复习阶梯训练（含答案与解析）12解读 a级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．例如图就是今年元宵花灯展上一款五角星灯已连续转动闪光阿芒塔的三个图形，照此规律闪光，下一个呈现出出的图形就是()．解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是a.答案a?ππ??2．“三角函数就是周期函数，y＝tanx，x∈??－2，2?就是三角函数，所以y ＝tanx，?ππ??x∈??－2，2?就是周期函数．”在以上演绎推理中，以下观点恰当的就是()．1(2)三角形的面积s＝2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边1的2；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；1(2)四面体的体积v＝3×底面积×低；1(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等同于第四个面的面积的4.10．(12分)如图所示，d，e，f分别是bc，ca，ab上的点，∠bfd＝∠a，且de∥ba.澄清：ed＝af(建议标明每一步推理小说的大前提、小前提和结论，并最终把推理小说过程用简略的形式则表示出)．解(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠bfd与∠a是同位角，且∠bfd＝∠a，(小前提)所以df∥ea.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形就是平行四边形，(大前提)de∥fa且df∥ea，(小前提)所以四边形afde为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ed和af为平行四边形的对边，(小前提)所以ed＝af.(结论)∠bfd＝∠a?df∥ea?上面的证明可简略地写成：de∥fa?四边形afde是平行四边形?ed＝af.b级综合技术创新候选(时间：30分钟满分：40分后)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2021江西)观测以下各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()．a．3125b．5625c．0625d．8125解析∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…nn∴5(n∈z，且n≥5)的末四位数字呈圆形周期性变化，且最轻正周期为4，记5(n∈z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)20117∴5与5的末四位数字相同，均为8125.故挑选d.答案d2．古希腊人常用小石子在沙滩上排成各种形状去研究数．比如说：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．a．289b．1024c．1225d．1378解析观测三角形数：1,3,6,10，…，记该数列入{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n?n＋1?n＝2，2观测正方形数：1,4,9,16，…，记该数列入{bn}，则bn＝n.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案c二、填空题(每小题4分后，共8分后)14273．(2021南昌调研)未知m＞0，不等式x＋x≥2，x＋x2≥3，x＋x3≥4，可以推展为x＋xn≥n＋1，则m的值________．4xx427xxx27x＋x3＝3＋3＋3＋x3，解析x＋x2＝2＋2＋x2，养胃其进行后各项之四维定值1，mxxxmn所以可以悖论出来x＋xn＝n＋n＋…＋n＋xn，也满足用户各项乘积为定值1，于是m＝n.答案nn4．(★)在rt△abc中，若∠c＝90°，ac＝b，bc＝a，则△abc外接圆半径ra2＋b2b，＝2.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，c，则其外接球的半径r＝________.a2＋b2＋c2.证明：作一个在同一个顶点处棱2a2＋b2＋c2，解析(构造法)通过类比可得r＝短分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度就是故这个长方体的外接球的半径是半径．a2＋b2＋c22a2＋b2＋c2，这也就是所求的三棱锥的外接球的2答案【评测】本题结构长方体.解题时题设条件若就是三条线两两互相横向，就要考虑到结构正方体或长方体三、答疑题(共22分后)5．(10分)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和sn.求解(1)由等和数列的定义，数列{an}就是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.1?111?1(3)当n≥2时，f?n?－1＝2n?n－1?＝2?n－1－n??.11111∴f?1?＋f?2?－1＋f?3?－1＋…＋f?n?－1＝1＋2×1111111?? 1－2＋2－3＋3－4＋…＋n－1－n1?311?＝1＋2?1－n??＝2－2n.。

高二数学测试题2021届高考数学第一轮章节复习考试题（附答案和解释）第6章第4节一、选择题1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于()A.12B.18C.24D.42[答案] C[解析] 由题意设Sn=An2+Bn，又∵S2=2，S4=10，∴4A+2B=2,16A+4B=10，解得A=34，B=-12，∴S6=36×34-3=24.2.数列{an}的前n项和为Sn，若an=1?n+1??n+2?，则S8等于()A.25B.130C.730D.56[答案] A[解析] ∵an=1?n+1??n+2?=1n+1-1n+2，而Sn=a1+a2+…+an=12-13+13-14+…+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2?n+2?，∴S8=82×?8+2?=25.3.数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n项和为()A.2-12n-n2n+1B.2-12n-1-n2nC.12(n2+n+2)-12nD.12n(n+1)+1-12n-1[答案] B[解析]S=1×12+2×14+3×18+4×116+…+n×12n=1×121+2×122+ 3×123+…+n×12n，①则12S=1×122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1，②①-②得12S=12+122+123+…+12n-n×12n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.∴S=2-12n-1-n2n.4.122-1+132-1+142-1+…+1?n+1?2-1的值为()A.n+12?n+2?B.34-n+12?n+2?C.34-121n+1+1n+2D.32-1n+1+1n+2[答案] C[解析] ∵1?n+1?2-1=1n2+2n=1n?n+2?=121n-1n+2.∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2=3 4-121n+1+1n+2.5.(2021?汕头模拟)已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，若称使乘积a1?a2?a3?…?an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2021)内所有的劣数的和为()A.2026B.2046C.1024D.1022[答案] A[解析]∵a1?a2?a2?…?an=lg3lg2?lg4lg3?…?lg?n+2?lg?n+1?=lg ?n+2?lg2=log2(n+2)=k，则n=2k-2(k∈Z).令12021，得k=2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4?1-29?1-2-18=211-22=2026.6.(2021?威海模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|=()A.66B.65C.61D.56[答案] A[解析] 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5;当n=1时，a1=S1=-1，不符合上式，∴an=-1，n=1，2n-5，n≥2，∴{|an|}从第3项起构成等差数列，首项|a3|=1，末项|a10|=15.∴|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+?1+15?×82=66.7.(文)(20XX?江西)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于()A.18B.24C.60D.90[答案] C[解析] 由题意可知a42=a3×a7S8=32，∴?a1+3d?2=?a1+2d??a1+6d?8a1+8×72×d=32，∴a1=-3d=2，∴S10=10×(-3)+10×92×2=60，选C.(理)(20XX?重庆)设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()A.n24+7n4B.n23+5n3C.n22+3n4D.n2+n[答案] A[解析] 设等差数列公差为d，∵a1=2，∴a3=2+2d，a6=2+5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a32=a1a6，即(2+2d)2=2(2+5d)，整理得2d2-d=0.∵d≠0，∴d=12，∴Sn=na1+n?n-1?2d=n24+74n.故选A. 8.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1[答案] C[解析] 解法1：由{an}为等比数列可得an+1=an?q，an+2=an?q2由{an+1}为等比数列可得(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)，故(an?q+1)2=(an+1)(an?q2+1)，化简上式可得q2-2q+1=0，解得q=1，故an为常数列，且an=a1=2，故Sn=n?a1=2n，故选C.解法2：设等比数列{an}的公比为q，则有a2=2q且a3=2q2，由题设知(2q+1)2=3?(2q2+1)，解得q=1，以下同解法1.二、填空题9.设f(x)=12x+2，则f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)的值为________.[答案] 52[解析]∵f(-n)+f(n+1)=12-n+2+12n+1+2=2n1+2n?2+12n+1+2=2n?2 +12n+1+2=22，∴f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)=52.10.(2021?启东模拟)对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=________.[答案] 2n+1-2[解析] ∵an+1-an=2n，∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n-2+2=2n，∴Sn=2-2n+11-2=2n+1-2.11.(2021?江门模拟)有限数列A={a1，a2，…，an}，Sn为其前n项的和，定义S1+S2+…+Snn为A的“凯森和”;如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为________.[答案] 991[解析] ∵{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为S1+S2+…+S9999=1000，∴S1+S2+…S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：1+?S1+1?+?S2+1?+…+?S99+1?100=100+S1+S2+…+S99100=991.三、解答题12.(2021?重庆文)已知{an }是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn;(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力.(1)因为{an}为首项a1=19，公差d=-2的等差数列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21，Sn=19n+n?n-1?2(-2)=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1，所以bn=3n-1-2n+21Tn=b1+b2+…+bn=(1+3+…+3n-1)+Sn=-n2+20n+3n-12.13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n.(1)求证：数列{an}是等差数列;(2)若bn=an?2n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)证明：a1=S1=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5. 又a1适合上式，故an=4n-5(n∈N*).当n≥2时，an-an-1=4n-5-4(n-1)+5=4，所以{an}是等差数列且d=4，a1=-1.(2)bn=(4n-5)?2n，∴Tn=-21+3?22+…+(4n-5)?2n，①2Tn=-22+…+(4n-9)?2n+(4n-5)?2n+1，②①-②得-Tn=-21+4?22+…+4?2n-(4n-5)?2n+1=-2+4?4?1-2n-1?1-2-(4n-5)?2n+1=-18-(4n-9)?2n+1，∴Tn=18+(4n-9)?2n+1.14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0(n≥2)，(1)求数列{Sn}的通项公式;(2)设Sn=1f?n?，bn=f(12n)+1.记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试求Tn，并证明Pn12.[解析] (1)解：∵an+2SnSn-1=0(n≥2)，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.∴1Sn-1Sn-1=2.又∵a=1，∴Sn=12n-1(n∈N+).(2)证明：∵Sn=1f?n?，∴f(n)=2n-1.∴bn=2(12n)-1+1=(12)n-1.Tn=(12)0?(12)1+(12)1?(12)2+…+(12)n-1?(12)n=(12)1+( 12)3+(12)5+…+(12)2n-1=23[1-(14)n].∵Sn=12n-1(n∈N+)∴Pn=11×3+13×5+…+1?2n-1??2n+1?=121-12n+112.15.(2021?山东理)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1an2-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决.(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有a1+2d=72a1+10d=26，解得a1=3，d=2，所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+n?n-1?2×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1，所以bn=1an2-1=1?2n+1?2-1=14?1n?n+1?=14?1n-1n+1，所以Tn=14?1-12+12-13+…+1n-1n+1=14?1-1n+1=n4?n+1?，即数列{bn}的前n项和Tn=n4?n+1?.[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和.。

2021年高考数学一轮复习（第13周）阶段测试卷 理54.18．[xx·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x <b 对x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．55.20．[xx·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x.57.22．[xx·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．58.22．[xx·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．59.18．[xx·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．60.11．[xx·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 61.22．[xx·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.62.11．[xx·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)63.21．、[xx·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.64.21．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x－2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．[xx·山东卷] 设函数f (x )＝e x x2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．66.21．[xx·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．67.20．[xx·天津卷] 设f (x )＝x －a e x(a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求a 的取值范围；(2)证明：x 2x 1随着a 的减小而增大；(3)证明：x 1＋x 2随着a 的减小而增大．68．22．[xx·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )；(2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．69.20．[xx·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．71.6．[xx·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .72.9．[xx·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12C ．x ＝π3 D ．x ＝π673.8.[xx·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C .13D ．174.6．[xx·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4，故选D.75.3．[xx·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －13．C [解析] ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )10＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e .（十四） 单元综合 76.9．[xx·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②77.10．[xx·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e78.14．[xx·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)79.12．[xx·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.1880.22．[xx·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．81.21．、[xx·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.82.21．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx<b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0. g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的情况如下：x(0，x 0)x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2 g ′(x ) ＋ 0 －g (x )因为g (x )在区间(0，0)上是增函数，所以(0)>(0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.55.解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a .(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x.(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x .故当x >0时，x 2<c e x.取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x.②若0<c <1，令k ＝1c>1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立．令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增． 取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x.综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c，由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1c x 2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x. 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x.证明如下：56.解法一：21.(1).可知，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->，或，或， 或， 或或，所以函数的定义域D 为 ； (2).232(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-，由得，即，或，结合定义域知或，所以函数的单调递增区间为，，同理递减区间为，；(3).由得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=，，(11(3)(1)0x x x x ∴+++⋅+-=，或或或， ，，， ，，结合函数的单调性知的解集为 ．解法二：解：（1）依题意有故均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到，故不等式的解集为 ，即（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令，注意到，故方程有两个不相等的实数根 记为，且注意到结合图像可知 在区间上，单调递增在区间上，单调递减故在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）(1)f ==2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦方程的判别式，故此方程有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到，故，1211,13x x =->=-<-，故(103110x x -=--+=>，故4112420k k x x -----===>故结合和函数的图像 可得的解集为【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了.总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.57.解：22． (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx，所以f ′(x )＝1－ln x x2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x，y ＝πx在定义域上单调递增，可得 3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee.由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe.又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. 58.解：22． (1)f ′(x )＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a舍去. 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫21－a a，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a，－21－aa≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减，从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 59. (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19.60.C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6. 综上，－6≤a ≤－2.61. 解：22． (1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．62.若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 63.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e.设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e.因为g min (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.64．．解：21 (1)f ′(x )＝e x ＋e －x－2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22. 66.解：21．由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x，g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．67.解：20． (1)由f (x )＝x －a e x ，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x这时，()的单调递增区间是(－∞，－ln )；单调递减区间是(－ln ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a－e 2a <0. 故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝x e x ，由g ′(x )＝1－x ex ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1， 所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x，得u ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2.当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．68. [xx·浙江卷] 22． 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )；(2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．解：22． (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，(i)当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1，1)上是增函数， 因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8.(ii)当－1<a <1时，若x ∈(a ，1)，则f (x )＝x 3＋3x －3a .在(a ，1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，则f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数．所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3.由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. (iii)当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1，1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x >a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1，1]恒成立， 所以由(1)知，(i)当a ≤－1时，h (x )在(－1，1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾．(ii)当－1<a ≤13时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，故t (a )>t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0.(iii)当13<a <1时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0；(iv)当a ≥1时，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0. 69.解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x)＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0.从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．70.图1­4[解析]14.2e 2 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1eln x d x ＝2(x ln x －x)|e1＝2[(eln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.71. [解析]6．C 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .72. A [解析] 因为∫2π30f(x)d x ＝0，即∫2π30f(x)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴． 73.B [解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x 2＋2⎠⎛01f （x ）d x d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3＋⎝⎛⎭⎫2⎠⎛01f （x ）d x x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，得⎠⎛01f (x )d x ＝－13.74. [xx·山东卷] 6．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4，故选D.75. C [解析] ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )10＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e .（十四） 单元综合76. [解析] 9．A f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x ) ＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x 1－x＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ）＝－f (x )，故①正确；当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋2x1＋x 21－2x 1＋x2＝ln 1＋x 2＋2x 1＋x 2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝2f (x )，故②正确；由①知，f (x )为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可．记g (x )＝f (x )－2x ，0≤x ＜1，即g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，0≤x <1， g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x21－x2，0≤x ＜1.当0≤x ＜1时，g ′(x )≥0，即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0， 即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A.77. B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m－12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．78. [解析] 14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b ，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b .因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a＝80.解：22． (1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去. 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫21－a a，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a，－21－aa≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2. 令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 81.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e.因为g min (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 82. ．解：(1)f ′(x )＝e x＋e －x－2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.。

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数等于（ ）A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q)；④(p)∨q 中，真命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><满足，则（ ）A ．一定是偶函数B ．一定是奇函数C ．一定是偶函数D ．一定是奇函数5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋ (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ） A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知非零向量且对任意的实数都有，则有（ ）A ．B ．C ．D ． 7．函数的图象大致是（ ）8．已知实数满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则的最大值是A ．B ．9C ．2D ．119．若函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是上的“平均值函数”，0是它的均值点. 若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则的大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ．10．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．11．设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于的方程（且）在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．设偶函数满足，则等于（ ） A. B.C. D.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．cosC ,135cosB ,53sinA ,ABC 则中在==∆=________.14．在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是 ． 15．= ．16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为＝n 2＋n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝n 2＋n ， 正方形数 N(n ，4)＝n 2， 五边形数 N(n ，5)＝n 2－n ， 六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分) 17．已知数列的前项和211,2,2(1)n n n n S a S n a n a +==+-，数列满足. （1）求数列的通项公式；（2）是否存在正实数，使得为等比数列？并说明理由.18．如图（1）分别是的中点，90,30ACB CAB ∠=∠=，沿着将折起，记二面角的度数为.（1）当时，即得到图（2）求二面角的余弦值； （2）如图（3）中，若，求的值.19．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点分别是，是边长为的正三角形，其内切圆为圆.（1）求椭圆及圆的标准方程；（2）若点是椭圆上第一象限内的动点，直线交线段于点. ①求的最大值；②设，是否存在以椭圆上的点为圆心的圆，使得过圆上任意一点，作圆的切线（切点为）都满足？若存在，请求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 20．已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点处的切线斜率为. （1）求的值及函数的单调区间； （2）证明：当时，；（3）证明：当时，()()ne n n 31ln1312113+>++++ . 21． 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合．若曲线的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为． （1）将曲线的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值． 22． 已知函数()|1|,()2||f x x g x x a =+=+. （1）当a=-1时，解不等式f(x)≤g(x)；（2）若存在x 0∈R ，使得f(x 0)≥g(x 0)，求实数a 的取值范围.1．CCABC 6．CDBDBCB13． 14．. 15． 16． 17．（1）；（2）.（1）由题设，()221211221)2(2,)1(2+++++-+=-+=n n n n n n an a n S a n a n S ,两式相减可得()()()1222121+++=++n n n an a a n ，由于，可得，所以的公差为2，故.（2）由题设，12,2211+⋅=⋅=+++n n a n n a n n b b b b λλ，两式相除可得，即都是以4为公比的等比数列.因为，所以，由及，可得，又，所以. 所以221212122,242----==⋅=n n n n n b b ，即，则， 因此存在，使得数列为等比数列.18．（1）；（2）.试题解析：（1）∵平面平面，且，∴平面过点向作垂线交延长线于，连接，则为二面角的平面角设2,4,23BC a EF a AB a AC a =⇒===， ，22352cos 5334aEH AHE AH a a ∠===+ .（2）过点向作垂线，垂足为，如果，则根据三垂线定理有，因为正三角形，故023tan 303CG BC a ==，则，而 故.19．（1），；（2）①；② . （1）由题意知，所以，,所以椭圆的标准方程为,又圆心, 所以圆的标准方程为.（2）①设直线的方程为,与直线的方程联立, 解得 33333,3336+-=+=k k y k x ,即点联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=139322y x kx y ,消去并整理得, 解得点所以213213111313113333336133622211+-+-+=+-+=++=++==k k k k k k k k k kx x EB DB ED,当且仅当时,取“=”，所以的最大值为. ②存在设圆心，点是圆()()()0:222>=-+-r r n y m x M 上的任意一点，其中点满足，则()*2222222r n m ny mx y x +--+=+，又()()2222211,1-+-=++=y x NTy x NF ，由得，代入得()01232222=+---+-r n m ny x m ，，对圆上任意一点恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧++===-1003222n m r n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===10032r n m ，经检验满足 ，所以存在圆满足题设条件. 20．（1）减区间是，增区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析. （1）由得. 又，所以.所以，.由得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）知.4ln 112ln 2)2(ln )(2ln min -=--==e f x f . 所以，即04ln 22,4ln 112>-≥--≥--x e x e x x .令，则.所以在上单调递增，所以当时，0)0(1)(2=>--=g x e x g x ，即. （3）首先证明：当时，恒有. 证明如下：令，则.由（2）知，当时，,所以.所以在上单调递增. 所以.所以.所以，即. 依次取，代入上式，则 ……….. 以上各式相加，有⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯>+++++n n n n n 12312ln 33ln 12312 . 所以()1ln 33ln 131211+>+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n n n n所以()n n n n n --+>+++++3ln 1ln 3131211 ，即()()ne n n n 31ln1312113+>+++++ . 21．（1）；（2）.（1）圆的直角坐标方程为．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===， ∴圆的极坐标方程为． （2）∵直线的极坐标方程为，∴，∴直线的直角坐标方程为．设直线上点，切点为，圆心， 则有22224PA PC AC PC =-=-， 当最小时，有最小．∵，∴2PA =≥=，∴切线长的最小值为． 22．（1）；（2）.（1）当时，不等式，即，从而，即， 或，即，或，即 从而不等式的解集为（2）存在，使得，即存在，使得， 即存在，使得设⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤-=-+=0,101,121,11)(x x x x x x x h ，则的最大值为1，因而，即.26317 66CD 曍d25424 6350 捐025593 63F9 揹,379269426 鐦39266 9962 饢30420 76D4 盔24616 6028 怨{37480 9268 鉨35247 89AF 覯h@。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试13-1 北师大版一、选择题1．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为( )A．10°B．20°C．30°D．40°[答案] B[解析] 因为PA与圆相切于点A，所以AM2＝MB·MC.而M为PA的中点，所以PM＝MA，则PM2＝MB·MC，∴PMMC＝MBPM.又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，从而∠MPB＝20°. 2．如图，AB是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝( )A．6 3 B．6C．8 D．6 2[答案] A[解析] 本题是一道几何证明选讲问题．设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE ＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2(勾股定理)∴62＋DE2＝122，∴DE＝6 3.本题关键是设出CB＝AD＝x，利用割线定理，通过解一元二次方程求出x.3．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )A．13 B.63 5C.656D.636[答案] C[解析] 过A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴BEAB＝AHAD.∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，∴BE＝122＋52＝13，∴FG＝AH＝BE·ADAB＝656.4．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE S△DBA＝15，则AE的长为( )A．4cm B．5cmC．6cm D．7cm[答案] A[解析] ∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴S△ABES△DBA＝⎝⎛⎭⎪⎫ABDB2＝15，∴AB DB＝1 5.设AB＝k，则DB＝5k，AD＝2k，∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，∴BD＝10，AD＝45，则S△ABD＝12BD·AE＝12×10×AE＝20，∴AE＝4cm.5．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB ＝25°，则∠ADC为( )A．105°B．115°C．120°D．125°[答案] B[解析] ∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又AB为直径，所以∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.6．如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线[答案] B[解析] 其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题．△ABP的面积为定值，所以点P到直线AB的距离为定值(不妨设为d)，所以点P在以直线AB 为轴，底面半径为d的圆柱表面上(或者说点P的轨迹是圆柱表面)，另外点P又在平面α内，所以点P的轨迹就是圆柱表面和平面α的公共部分，由于平面α斜截圆柱表面，所以轨迹是一个椭圆．二、填空题7．(xx·北京理)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD ＝3，则DE＝______；CE＝________.[答案] 5 27[解析] 首先由割线定理不难知道AB·AC＝AD·AE，于是AE＝8，DE＝5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C＝90°，由勾股定理可知CE2＝AE2－AC2＝28，故CE＝27.8．(xx·湖南理)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．[答案] 6[解析] 根据切线长定理：PT2＝PA·PB，PB＝PT2PA＝162＝8.所以AB＝PB－PA＝8－2＝6.9．(文)(xx·天津文)如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为__________．[答案] 1 3[解析] 本题考查了三角形相似的有关知识．∵ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠PBC＝∠D，∠BCP＝∠A，∴△PBC∽△PDA，∴PBPD＝BCAD＝13.(理)(xx·天津理)如右图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为__________．[答案]6 6[解析] 由割线定理知：PB·PA＝PC·PD，又因为PB＝12PA，PD＝3PC，有PB·2PB ＝13PD·PD，∴PB2＝16PD2，∴PB ＝66PD ， 又∵△PBC ∽△PDA ，∴BC AD ＝PB PD ＝66. 10．(xx·广东文)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝__________.[答案] a 2[解析] 本题考查了最常规的平面几何知识，如图连接DE ，BE 綊CD ，∴CDEB 为矩形，∴DE ⊥AB ，DE 又为中线，∴AD ＝DB ＝a ，EF 为中位线，∴EF ＝a 2. 三、解答题11．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O1的切线交⊙O2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P.(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．[解析] (1)∵AC 是⊙O1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC.(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12(1)∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝AP PC ，∴9＋x y ＝62(2) 由(1)、(2)解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝4 (∵x>0，y>0)∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.12．(xx·辽宁)已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．[证明] (1)如图，∠CDF＝∠CAD＋∠DCA，而∠CAD＝∠DBC，∠DCA＝∠ABD，∴∠CDF＝∠DBC＋∠ABD＝∠ABC①而∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠ADB，∠ADB＝∠EDF，∴∠ABC＝∠EDF②∴由①②知∠CDF＝∠EDF，即AD延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.13．(xx·新课标理)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[解析] (1)因为AC＝BD.所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE ＝CD BC，即BC2＝BE·CD.14．(xx·辽宁理)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．[解析] 本题考查圆的基本知识以及三角形面积公式的应用，解题思路是利用圆周角证明三角形相似，再利用三角形面积公式应用比例式求角．证明：(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.G31325 7A5D 穝39277 996D 饭< 22926 598E 妎< - i20247 4F17 众34281 85E9 藩32580 7F44 罄y。