2014年数学花园探秘小学高年级组决赛(解析)

五年级（初赛）2014年11月巨人学校数学花园探秘学生用书考前辅导目录第一部分讲义使用说明 (1)第二部分授课讲义部分 (2)第一讲数论、计数、数字谜 (2)第二讲应用题 (6)第三讲计算、几何 (11)第三部分考试方法技巧 (15)第四部分2009年～2014年初赛真题试卷及答案 (19)2009年“数学解题能力展示”读者评选活动 (19)2010年“数学解题能力展示” 读者评选活动 (22)2011年“数学解题能力展示”读者评选活动 (24)2012年“数学解题能力展示”读者评选活动 (27)2013年“数学解题能力展示”初赛笔试试题 (29)2014年“数学花园探秘”（迎春杯）初赛 (31)第一部分讲义使用说明写给同学和家长1、提前预习．“数学花园探秘”题目偏难，各位家长最好能陪同孩子提前把题目做一下预习，这样，带着问题来听课，效果会非常地好.2、充满信心．“数学花园探秘”是所有竞赛中难度最高的一个，大家在听课过程中肯定会遇到一些问题，但是不管怎样，请各位家长和同学们牢记，一定要充满信心去面对这些困难，大家要知道,在去年“数学花园探秘”的复赛中，只要能做对一道题目就能获奖,就是胜利者．3、配合老师完成课上任务．我们的“真题串讲班”主要给大家讲授近五至十年的初赛真题,由于题目较难,老师可能在课上会给大家做些铺垫,这样,本来就很紧张的时间就更不够用．所以老师会有选择性地讲解一些题目，个别题目会选择不讲，而会更加注重给大家讲解技巧和方法,即如何在考试中处理这些题目,至于题目的最终答案,大家可以自己回家做，特别简单的题目教师讲方法、公布答案即可，节约课上时间．4、讲义部分内容编写说明在讲义题型部分出现的题目主要为09-14年这几年的初赛真题，大家会看到每个题目都标注了★，星号所代表的是题目难度，在课堂上，老师会结合自己班级学生的接受能力进行酌情处理，个别题目可以选择不讲．5、请大家关注由于我们的课程基本上都是每周一次课，所以有一些信息（例如竞赛、升学等）不能及时公布给大家，所以请家长和同学们都借助一下网络，多上一下巨人学校的网站关注一些及时公布的信息，相信大家会在网站上获取更多有用的东西．6、问题反馈如果大家在学习过程中存在不清楚的问题和信息，请大家及时问讯您的授课教师，或问讯您所在地区的巨人学校的前台工作人员，如果他们也还不能解决您的问题，请您到巨人学校的家长论坛中发表您的问题，会有教研室的工作人员为大家做集体解答．第二部分 授课讲义部分第一讲 数论、计数、数字谜例题精讲例题1. 20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字是________．例题2. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是ABCD 2011，那么ABCD ＝________．例题3. 己知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即：45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．例题4. 今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1、2个2、1个0、1个7．用这8个数字组成若干个合数再求和（每个数字恰用一次，首位数字不能为0，例如21110与217的和是21327），这些合数的和的最小值是________．例题5. 有一个奇怪的四位数（首位不为零），它是一个完全平方数，它的数字和也是一个完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还等于它的数字和，那当然也是完全平方数．如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是_______．例题6. 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……，100，同时还向每位观众赠送单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备________种颜色的喇叭．例题7. 在右图中，共能数出________个三角形．例题8. 九个大小相等的小正方形拼成了下图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．例题9. 在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数Btavs =________．例题10. 有一个66⨯的正方形，分成36个11⨯的正方形．选出其中一些11⨯的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出________条对角线．例题11. 如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是_________．例题12. 在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是________．例题13. 在右图的除法竖式中，被除数是________． 图不对□ □ □ ×2 □ □ □0 □ □ □ 1 □□ □□ □ □ □ □ □□ □ □× □ □ □ 0 □ □□ □ 3 2 □ □1作业1. 如果a ，b 均为质数，3741a b +=，则a b +=________．2. 把25拆成几个不同的质数的和，一共有________种方式，如果要求这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积等于________．3. 四个自然数的乘积为19305，且它们构成等差数列，那么这四个数是________．4. 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是________．5. 从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有________种不同的选取方法．A B Z 0 □ X □ 1 □ Y □ 2P Q □ □ □ □第二讲应用题例题精讲例题1.小懒虫每天早上从家出发以不变的速度步行前往学校．若7点15分出发，则开始上课时离学校还有600米，若7点20分出发，则开始上课时离学校还有975米．若小懒虫要在上课前赶到学校，那么最晚应于_______点________分从家出发．例题2.甲、乙两人从A地步行去B地，乙早上6:00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，速度的也是匀速步行，甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时就休息半小时，甲出发后经过______分钟才能追上乙．例题3.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离B地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的2倍；甲到B后立即调头，追上乙时，乙还有50米才到A．那么，AB间的路程长________米．例题4.如图，C，D为AB的三等分点；8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲，乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲，丙8点30分相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．A C D B例题5.甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，二人在距中点120米处相遇．如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇．则甲在途中停留了________分钟．例题6.小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．例题7.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分为10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元．如果每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元．最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋．每天生产第________档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是________元．例题8.某乐团女生人数是男生人数的2倍；若调走24名女生，那么男生人数是女生人数的2倍．该乐团原有男女学生一共________人．例题9.五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局则各积1分．比赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第1、2、3、4、5名分别平了A 、B 、C 、D 、E 场，那么五位数ABCDE ＝________．例题10. 甲、乙二人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载了一半时，由于网络故障出现断网的情况，而乙家的网络一直正常．当甲的网络恢复正常后，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需重新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆．例题11. 龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生42人，五年级二班是一班人数的76，五年级三班是二班人数的65，五年级四班是三班人数的1.2倍．五年级共有________人．例题12. 请从1，2，3，……，9，10中选出若干个数，使得1，2，3，……，19，20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出________个数．例题13. 一个村庄有2011个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子．戴红帽子时说真话；戴蓝帽子时说假话．他们可以改变帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．这一天他们总共最少改变了________次帽子的颜色．例题14.有两个三位数，百位上的数字分别是5和4，十位上的数字分别是6和7，个位上的数字分别是3和4．当这两个三位数分别是________和________时，它们的乘积最大．作业1.某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是162厘米．那么全班同学的平均身高是________厘米．2.小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要________分钟．3.下图是一个奥林匹克五环标识．这五个环相交成9 部分A、B、C、D、E、F、G、H、I．请将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这9 个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数．这五个连续自然数的和的最大值是________．4. 有四种重量的砝码，分别是1 克、3 克、8 克和12 克，每种都有3个砝码．在称物品重量的时候，砝码只能放在天平的一边，而且每次最多用3个砝码．那么，用这些砝码称物品的重量时，不能称出来的整数克物品的最轻重量是________克．BACDEFGHI第三讲 计算、几何例题精讲例题1. 计算：11116121933217222334⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯++-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．例题2. 算式50311111212012101÷÷⨯⨯的计算结果是________．例题3. 算式999999999888888887777777666666555554444333221-+-+-+-+ 的计算结果的各位数字之和是___________．例题4. 在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是________．例题5. 一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有________项是整数．例题6. 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）=________．例题7. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、⑤这两块的面积差是________．例题8. 在右图中，10BC =，6EC =，直角三角形EDF 的面积比直角三角形F AB 的面积小5．那么长方形ABCD 的面积是________．例题9. 如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于________．例题10. 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm ，那么较大正方形的面积是________cm 2例题11. 在右图中，线段AE 、FG 将长方形ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是2 cm 2、11cm 2，且E 是BC 的中点，O 是AE 的中点；那么长方形ABCD 的面积是________cm 2．GF例题12. 右图中平行四边形的面积是1080m 2，则平行四边形的周长为________m ．例题13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB 上有一点D ，已知5CD =，2BD AD -= ，那么三角形ABC 的面积是___________．例题14. 如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是________平方厘米．22.5m18AB C D第三部分考试方法技巧➢应试技巧（一）、考试前1、复习：切忌“题海”，尤其是“难题”海；复习一下基本的知识点，不要再去复习太难的题目．2、饮食：考试前少用“补药”，早饭必须吃．3、睡眠：适当的睡眠，不要早睡，尽量和平时保持一致，千万不要开夜车！4、考试前一晚适当的放松：逛公园、看电视、做游戏等等．5、做好准备工作，提前一天准备好要用的物品：证件（准考证、学生证），水壶、草稿纸、足够的笔、橡皮、手表……6、时间观念：尽量早到考场几分钟，熟悉一下周围的环境．（二）、考试中1、成绩要真实，绝对不要作弊！2、考试的阶段性：（1）快速浏览一遍试题，大概1分钟左右．（2）先把会的题目做完，过程中要仔细．（3）做剩下的题目，仔细推敲已知条件和所求问题，找出规律，或者将题型还原为基础问题．（4）使用多种方法验算，复查．3、决不轻言放弃，也不能掉以轻心：即使只会做一道题，也要想“其他人或许一道都不会”；如果感觉题目不难，应该想到“别人也一定做得很好，我只有仔细检查，避免错误，才能比别人更强！”4、不要受监考老师的影响，对题目有疑问可以随时找他沟通．5、不要受同一考场的同学的影响，可以假设所有人都不存在！6、合理分配考试时间，对于极难的题目给予一定的时间，但不要在它身上浪费太多的时间．7、保持平和的心态，不能因为题目简单而轻视，也不能因为题目困难或不对你的胃口而畏惧或者放弃．8、竞赛时要注意，第一试题型是填空题，做题时把握好时间，如果有题目一时想不出来，先做后面会做的，会做的做完了再考虑不会的．尽量做到对每一题都有把握，争取得满分．怎样才能算有把握呢？对每道题找到突破关键点的感觉，想象出题老师考的内容．解题时也可使用一些特殊方法，如：极限法、假设法、具体数字代入法等．9、把题目全部做完有剩余时间，可以把再检查一下试卷，看有没有错误，有没有不对劲的地方．（三）、试卷上要注意的事情：1、字迹一定要整齐，卷面一定要干净！！2、解答题一定要有过程！不能只写得数！3、写解答过程的时候，要按照从左到右，从上到下的顺序来写!4、题目的答案要写的明显，不能让阅卷老师看不见，找不到！!5、不能把试卷当草稿纸来用！！（四）、考试后1、时间到马上交卷，听从监考老师的指挥．2、总结考试经验．3、注意安全，考试后人比较多，回去的路上注意交通安全！➢竞赛中解题技巧1．列方程法【例1】牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩9只．这群羊在过河前共有只．答案：9只．此题用倒推法亦可．2．设特殊值法【例2】某校入学考试，报考的学生中有三分之一被录取，被录取者的平均分比录取分数线高6分，没被录取的学生的平均分比录取分数线低24分，所有考生的平均成绩是60分，那么录取分数线是________分．答案：设报考学生就3个人,则很容易求出录取分数线是74分．3．走极端【例3】下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．【分析与解答】既然没给左边正方形多大,那就直接假设它很小,就是一个点,就在D点,则三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）．4．猜答案(考试中绝对不允许让自己的答案空着，实在做不出，又没有时间继续思考时，就一定要把答案蒙出来，填上去．)【例4】31415926×31415926-31415925×31415927=【分析与解答】此种题目答案不是1就是0，粗略判断，6×6尾数是6，5×7尾数是5，则一定要猜是1．正确解法用拆项法或平方差公式即可．5．多解题目（一定要注意，现在竞赛有些题目的答案不只1个正确答案，那么在考试时就一定要把所有正确答案都写出来，否则题目要扣分或不得分的．）【例5】商场里有三种价格分别是3元，4元，6元的杯子．妈妈让小明去买杯子，小明付款30元，找回5元．小明买了_________ 个4元的杯子．答案：1或4个．【例6】把正六边形切掉一个角，还剩个角．答案：5或6或7．➢验算方法1、代入检验（将所得答案代入原题目中，如果符合条件，即为正确，否则答案错误，此处不设例题，清老师随意用前面的例题讲解即可）2、生活常识例如：人的年龄很少会超过100，如果算出来某人年龄是187岁，那……（老妖精了）人、汽车、火箭的速度都有常识，人的速度如果达到400米/秒，可想而知……（北京就不用堵车了）人、pig、大象的重量……第四部分 2009年～2014年初赛真题试卷及答案2009年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷解答（测评时间：2008年12月6日9：00—10：30）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. 计算：82.54835.2720.3822 6.23390.819 1.03+-÷+⨯--⨯=________．2. 某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是162厘米．那么全班同学的平均身高是________厘米．3. 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是________．4. 右图中三角形共有________个．5. 从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有________种不同的选取方法．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6. 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是________．7. 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、邮局三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是________平方厘米．8.将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是________．9.计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）=________．10.200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有________名．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11.有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备________种颜色的喇叭．12.一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有________个棋子．13.请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 各不相同；那么，五位数CDEFG 是________．14. A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游．每天早上，甲船从A 地、乙船从B 地同时出发相向而行．从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米．由于天气原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化________千米．15. 如右图，长方形ABCD 中被嵌入了6个相同的正方形．已知22AB =厘米，20BC =厘米，那么每一个正方形的面积为________平方厘米．2 3 1 4 5 8 9 A B C D E F G72010年 “数学解题能力展示” 读者评选活动五年级组初试试卷一、填空题I （每题8分，共32分）1． 计算：11116121933217222334⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯++-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．2．小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．3．在长方形ABCD 中，5BE =4EC =，4CF =，1FD =，如图所示，那么△AEF 的面积是________．4．20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字是________．二、填空题II (每题10分，共40分)5．一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有________项是整数． 6．甲、乙两车同时从A 城市出发驶向距离300千米远的B 城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B 城市．那么，甲车在距离B 城市________千米处追上乙车．7．己知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即：45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．8．请从1，2，3，……，9，10中选出若干个数，使得1，2，3，……，19，20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出________个数．三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）9．如图，请沿虚线将77⨯的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方形．10．九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．11．如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于BAFAB C D E 5 4 41是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________．12．如图，C ，D 为AB 的三等分点；8点整时甲从A 出发匀速向B 行走，8点12分乙从B 出发匀速向A 行走，再过几分钟后丙也从B 出发匀速向A 行走；甲，乙在C 点相遇时丙恰好走到D 点，甲，丙8：30相遇时乙恰好到A ．那么，丙出发时是8点________分．AB C D EF2 13 A C D B2011年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷一．填空题（每题8分，共40分）1. 计算12345678910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的结果是________．2. 十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期________． （星期一至星期日用数字1至7表示）3. 如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于________．4. 某乐团女生人数是男生人数的2倍；若调走24名女生，那么男生人数是女生人数的2倍．该乐团原有男女学生一共________人．5. 规定12010203=+=※...，232349=0+0+0=0※....，54567826=0+0+0+0=※.....，如果 15165a =※.，那么a 等于________．二．填空题（每题10分，共50分）6. 从如图正方体的顶点A 沿正方体的棱到顶点B ，每个顶点恰好经过一次，一共有________种不同的走法．7. 在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是________．8.两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm ，那么较大正方形的面积是________cm□ □ □ ×2 □ □ □0 □ □ □ 1 □□ □□ □ □ □ □ □2．9. 如图的55⨯的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数ABCDE =________．10. 一个村庄有2011个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子．戴红帽子时说真话；戴蓝帽子时说假话．他们可以改变帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．这一天他们总共最少改变了________次帽子的颜色．三．填空题（每题12分，共60分）11. 如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是________平方厘米．。

2018年数学花园探秘（迎春杯）各年级网考考试安排及各年级考纲考试时间：小学3年级：2017 年11月27日（周一）晚上19:30－20:30小学4年级：2017 年11月28日（周二）晚上19:30－20:30小学5年级：2017 年11月29日（周三）晚上19:30－20:30小学6年级：2017 年11月30日（周四）晚上19:30－20:30初一、初中年级组：2017 年12月1日（周五）晚上19:30－20:30赛前练习：完成报名后，进入网考活动页，点击“赛前练习”可进行模拟测试，此功能考前30分钟关闭。

正式考试：考试入口即报名时的活动页。

在考试时间范围内，点击“进入考场”开始考试。

在考试期间，可任意作答或修改答案，可以随时交卷，交卷之后不得再次进入考场、做题。

注意：考试时间结束，系统将自动全部提交试卷。

成绩查询：成绩查询入口即报名时的活动页。

各年级网络考试成绩将于12月8日12:00公布，可从“作业帮”进行查询。

（一）小学中年级组1. 数. 整数的四则运算、运算定律、简便计算，等差数列求和，整除概念，数的整除特征，带余除法，平均数，整数的奇偶性质，小数的意义、性质和加减法，分数的初步认识(不要求运算) ，数位，十进制表示法2. 几何. 基本图形，图形的拼组(分、合、移、补)，图形的变换，折叠与展开, 角的概念和度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算，轴对称现象、画对称轴3. 应用题. 植树问题, 年龄问题, 鸡兔同笼, 盈亏问题, 行程问题4. 几何计数(数图形)，加法原理，乘法原理，抽屉原理，找规律，归纳，统计，数字谜5. 生活数学. 钟表，时间，人民币，位置与方向，长度、质量的单位（二）小学高年级组1. 数. 整数、分数、小数概念和性质，四则运算，速算，数列(等比、等差)，取整运算，新运算，数字谜, 数阵图2. 数论. 约数，倍数，质数，合数,质因数分解，最大公约数，最小公倍数，互质，奇偶，整除带余除法，抽屉原理3. 应用问题. 植树、和差、倍数、盈亏、鸡兔同笼、平均、归一、还原、年龄、行程、钟表、工程、溶液等问题，简易方程.4. 平面几何. 简单平面图形(点、直线、线段、圆、圆弧、角、三角形、四边形、多边形)，对称，勾股定理，图形的度量.5. 立体几何. 简单立体图形(长方体、正方体、圆柱、圆锥、球)，立体图形的表面、展开、视图.6. 扩展. 最大、最小问题，分类和计数(排列组合)，容斥原理.（三）初一组1. 小学组的内容.2. 有理数的概念和运算，数轴，绝对值.3. 代数式，整式及其运算，乘法公式，不等式.4. 方程及应用，一次方程的整数解.5. 统计图表.6. 简单逻辑推理.（四）初二组1. 初一组的内容.2. 平方根、立方根、实数3. 代数式：整式的加减乘除、乘法公式、提取公因式法、因式分解的简单应用、分式加减乘除、整数指数幂、分式方程4. 一次方程组、一元一次不等式(组)5. 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数6. 全等三角形、多边形及其内角和、镶嵌、.平移、旋转、平行四边形的性质与判别，菱形、矩形、正方形、梯形的概念与计算7. 逻辑问题、数论初步、应用问题2015年“迎春杯”科普活动全国组委会2014年9月。

2015数学花园探秘知识点范围发布日期：2014-09-16 12:46:36 作者：匿名来源：2015年数学花园探秘科普活动知识点范围一) 小学中年级组1.数. 整数的四则运算、运算定律、简便计算，等差数列求和，整除概念，数的整除特征，带余除法，平均数，整数的奇偶性质，小数的意义、性质和加减法，分数的初步认识(不要求运算) ，数位，十进制表示法2.几何. 基本图形，图形的拼组(分、合、移、补)，图形的变换，折叠与展开, 角的概念和度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算，轴对称现象、画对称轴3.应用题. 植树问题, 年龄问题, 鸡兔同笼, 盈亏问题, 行程问题4.几何计数(数图形)，加法原理，乘法原理，抽屉原理，找规律，归纳，统计，数字谜5.生活数学. 钟表，时间，人民币，位置与方向，长度、质量的单位二) 小学高年级组1.数. 整数、分数、小数概念和性质，四则运算，速算，数列(等比、等差)，取整运算，新运算，数字谜, 数阵图2.数论. 约数，倍数，质数，合数,质因数分解，最大公约数，最小公倍数，互质，奇偶，整除带余除法，抽屉原理3.应用问题. 植树、和差、倍数、盈亏、鸡兔同笼、平均、归一、还原、年龄、行程、钟表、工程、溶液等问题，简易方程.4.平面几何. 简单平面图形（点、直线、线段、圆、圆弧、角、三角形、四边形、多边形），对称，勾股定理，图形的度量.5.立体几何. 简单立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥、球），立体图形的表面、展开、视图.6.扩展. 最大、最小问题，分类和计数(排列组合)，容斥原理.三) 初一组1.小学组的内容.2.有理数的概念和运算，数轴，绝对值.3.代数式，整式及其运算，乘法公式，不等式.4.方程及应用，一次方程的整数解.5.统计图表.6.简单逻辑推理.四)初二组1.初一组的内容.2.平方根、立方根、实数3.代数式：整式的加减乘除、乘法公式、提取公因式法、因式分解的简单应用、分式加减乘除、整数指数幂、分式方程4.一次方程组、一元一次不等式（组）5.平面直角坐标系、一次函数、反比例函数6.全等三角形、多边形及其内角和、镶嵌、.平移、旋转、平行四边形的性质与判别，菱形、矩形、正方形、梯形的概念与计算7.逻辑问题、数论初步、应用问题2015年“迎春杯”科普活动全国组委会2015年数学花园探秘科普活动北京组委会2014年9月。

2016-2010数学花园探秘决赛试卷汇总——⼩中组2016年“数学花园探秘”科普活动决赛试题⼩中年级组A 卷⼀、填空题Ⅰ（每⼩题8分，共32分）1．算式33333339876543++++++的计算结果是.2．菲菲从⼀班转到了⼆班，蕾蕾从⼆班转到了⼀班。

于是⼀班学⽣的平均⾝⾼增加了2厘⽶，⼆班学⽣的平均⾝⾼减少了3厘⽶。

如果蕾蕾⾝⾼158厘⽶，菲菲⾝⾼140厘⽶，那么两个班共有学⽣⼈。

3.图中3个⼤三⾓形都是等边三⾓形，则图中共有个三⾓形.4.今天是1⽉30⽇，我们先写下130；后⾯写数的规则是：如果刚写下的数是偶数就把它除以2再加上2写在后⾯，如果刚写下的数是奇数就把它乘以2再减去2写在后⾯。

于是得到：130、67、132、68；那么这列数中第2016个数是。

⼆、填空题Ⅱ（每⼩题10分，共40分）5.请将1～6分别填⼊右图的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等(图中有3条直线上各有3个圆圈，有两条直线上各有2个圆圈)；那么两位数AB=.6.在A、B、C三个连通的⼩⽔池中各放⼊若⼲条⾦鱼.若有12条⾦鱼从A池游到C池中，则C池内的⾦鱼将是A池的2倍.若有5条⾦鱼从B池游到A池中，则A池与B池的⾦鱼数将相等.此外，若有3条⾦鱼从B池游到C池中，则B池与C池的⾦鱼数也会相等.那么A⽔池中原来有条⾦鱼.7.如图，长⽅形ABCD的长AB为20厘⽶，宽BC为16厘⽶；长⽅形内放着两个重叠的正⽅形DEFG和BHIJ.已知三个阴影长⽅形的周长相等，那么长⽅形INFM的⾯积为平⽅厘⽶。

8.在下右图每个格⼦⾥填⼊数字1～5中的⼀个，使得每⼀⾏和每⼀列数字都不重复.每个“L”状⼤格⼦跨了两⾏和两列，线上圆圈中的数表⽰相邻两个格⼦内数字的和（下左图给出了⼀个填1～4的例⼦，如下中图第3⾏从左到右四格依次是3,4,1,2）.那么下右图中最下⾯⼀⾏的五个数字按照从左到右的顺序依次组成的五位数是.三、填空题Ⅲ（每⼩题12分，共48分）ABCDEFGHI，要求____AB、____BC、____CD、____DE、____EF、____FG、____GH、9.⽤数字1⾄9组成⼀个没有重复数字的九位数_______________________GHI的计算结果是.DEF+______ABC+______HI这⼋个两位数均能写成两个⼀位数的乘积；那么算式______10.图③是由6个图①这样的模块拼成的.如果最底层已经给定⼀块的位置（如图②），那么剩下部分⼀共有种不同的拼法.11.甲、⼄⼆⼈轮流从1～9这9个⾃然数中取不同的数，对⽅取过的数不能再取，谁取得的数中先有三个数成等差数列谁就获胜；甲先取了8，⼄接着取了5；为了确保甲必胜，甲接下来取得⼀个数的所有可能的值的乘积是。

2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组D卷）一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）算式2016×+的计算结果是．2．（8分）一个三位数，在适当位置加上小数点后得到一个小数，这个小数比原来的三位数减少了201.6；那么原三位数是．3．（8分）帅帅七天背了一百多个单词，前三天所背单词比后四天所背单词量少20%，前四天所背单词量比后三天所背单词量多20%；那么帅帅七天一共背了个单词．4．（8分）在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是．5．（8分）将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）6．（10分）商店有大白和小黄两种玩具，共60个，已知大白与小黄的单价比是6：5（单价均为整数元），把它们全部卖出后共得2016元．那么大白有个．7．（10分）有6块砖如图所放，当某块砖上方没有砖压着它时才能被拿走；明明要把所有砖拿走，拿砖的顺序一共有种．8．（10分）有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．9．（10分）如图，一个凹五边形有四条边的长度已经标出（单位：厘米），其中有三个角是直角；那么五边形的面积是平方厘米．10．（10分）郭老师有一块蛋糕要分给4或5名小朋友，于是郭老师把蛋糕切成若干块，其中每块不一定一样大；这样无论是来4名小朋友还是5名小朋友，都可以取其中的若干块使得每个人分得的一样多，那么郭老师至少把蛋糕分成块．三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）11．（12分）如图，一个正18边形的面积是2016平方厘米，那么图中的阴影长方形的面积是平方厘米．12．（12分）九张卡片上分别写着2，3，4，5，6，7，8，9，10（不能倒过来看）．甲乙丙丁四人分别抽取其中的两张．甲说：“我拿到的两个数互质，因为它们相邻”乙说：“我拿到的两个数不互质，也不是倍数关系”丙说：“我拿到的两个数都是合数，但它们互质”丁说：“我拿到的两个数是倍数关系，它们也不互质”如果这4人说的都是真话，那么剩下的一张卡片上与的数是．13．（12分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．14．（12分）甲乙两人从A地去B地，甲出发48分钟后，乙再出发，结果当甲走了全程的时被乙追上．如果乙到达B地后立即原速返回，则乙离开B地6分钟后与甲相遇，那么当乙再次来到追上甲的地点后，甲还要走分钟到达B地．2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组D卷）参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）算式2016×+的计算结果是2015 ．【解答】解：2016×+＝（2015+1）×+＝2015×++＝2014+（+）＝2014+1＝2015；故答案为：20152．（8分）一个三位数，在适当位置加上小数点后得到一个小数，这个小数比原来的三位数减少了201.6；那么原三位数是224 ．【解答】解：201.6÷（10﹣1）＝201.6÷9＝22.4224×10＝224，答：这个三位数是224．故答案为：224．3．（8分）帅帅七天背了一百多个单词，前三天所背单词比后四天所背单词量少20%，前四天所背单词量比后三天所背单词量多20%；那么帅帅七天一共背了198 个单词．【解答】解：根据分析，设前三天背的单词量x，第四天背的单词量y，和后三天背的单词量z，则：x＝；x+y＝，解得：9y＝2z，5x＝22y⇒x：y：z＝44：10：45 又100＜x+y+z＜200，设x＝44k，则y＝10k，z＝45k100＜44k+10k+45k＜200⇒100＜99k＜200只有当k＝2时，才能满足题意，此时七天一共背的单词量为：x+y+z＝99k ＝99×2＝198故答案为：1984．（8分）在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是53036 ．【解答】解：依题意可知乘积的结果的个位数字分别是2，1，7．根据尾数是1的共有1×1，3×7，9×9．再根据尾数是7的乘积是1×7，3×9，两次都有数字3，那么优先考虑除数的尾数是3的情况．那么商分别是4079．再根据除数与7的积是两位数，那么首位数字只能是1，即13×4079+9＝53036故答案为：530365．（8分）将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601 ．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A ＝n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n＝36、46、56、66、76，而362＝1296，462＝2116，562＝3136，662＝4356，762＝5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601＝512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）6．（10分）商店有大白和小黄两种玩具，共60个，已知大白与小黄的单价比是6：5（单价均为整数元），把它们全部卖出后共得2016元．那么大白有36 个．【解答】解：依题意可知极端法：如果全是6元和5元，那么最大是360元不够2016．再扩大5倍．如果是30和25元那么最大是1800元不够2016；如果是36元和30元，最大正好是2160元．符合题意；设大白有x个，小黄有60﹣x个．36x+30（60﹣x）＝2016解得：x＝36故答案为：367．（10分）有6块砖如图所放，当某块砖上方没有砖压着它时才能被拿走；明明要把所有砖拿走，拿砖的顺序一共有16 种．【解答】解：如图，，首先要拿走1号砖，然后可以拿走2号砖或3号砖，（1）拿走2号砖，接着拿走3号砖时，拿走4号、5号、6号砖的顺序有：＝3×2×1＝6（种）（2）拿走2号砖，接着拿走4号砖时，有两种拿砖的顺序：2号→4号→3号→5号，2号→4号→3号→6号．（6+2）×2＝8×2＝16（种）答：拿砖的顺序一共有16种．故答案为：16．8．（10分）有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120 ．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A＝49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B＝23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C＝48，故A+B+C＝49+23+48＝120，故答案是：120．9．（10分）如图，一个凹五边形有四条边的长度已经标出（单位：厘米），其中有三个角是直角；那么五边形的面积是81 平方厘米．【解答】解：根据凹五边形中由3厘米和9厘米的线段组成的角是直角，可知是把一个长方形沿一个对折后形成的图形（12+9）×9÷2﹣3×9÷2＝21×9÷2﹣3×9÷2＝94.5﹣13.5＝81（平方厘米）答：这个五边形的面积是81平方厘米．故答案为：81．10．（10分）郭老师有一块蛋糕要分给4或5名小朋友，于是郭老师把蛋糕切成若干块，其中每块不一定一样大；这样无论是来4名小朋友还是5名小朋友，都可以取其中的若干块使得每个人分得的一样多，那么郭老师至少把蛋糕分成8 块．【解答】解：由题意，把蛋糕切三刀，横竖纵各一刀，四大块各占，四小块的和占，答：郭老师至少把蛋糕分成8块．故答案为8．三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）11．（12分）如图，一个正18边形的面积是2016平方厘米，那么图中的阴影长方形的面积是448 平方厘米．【解答】解：2016÷18×4＝112×4＝448（平方厘米）答：图中的阴影长方形的面积是448平方厘米．故答案为：448．12．（12分）九张卡片上分别写着2，3，4，5，6，7，8，9，10（不能倒过来看）．甲乙丙丁四人分别抽取其中的两张．甲说：“我拿到的两个数互质，因为它们相邻”乙说：“我拿到的两个数不互质，也不是倍数关系”丙说：“我拿到的两个数都是合数，但它们互质”丁说：“我拿到的两个数是倍数关系，它们也不互质”如果这4人说的都是真话，那么剩下的一张卡片上与的数是7 ．【解答】解：根据丙说：“我拿到的两个数都是合数，但它们互质”可得，是4、8、9、10中的两张，丙抽取的两张是9和4、8、10中的一张；根据乙说：“我拿到的两个数不互质，也不是倍数关系”可得，肯定没有2，那么只能是4、6、8、10中的两个，即4和6、4和10、6和8、6和10、8和10；先假设，丙抽取的两张是9和4；乙抽取的两张是8和6，还剩下，2、3、5、7、10，此时，先满足甲说：“我拿到的两个数互质，因为它们相邻”，满足此条件的是2、3；则，还剩下5、7、10，其中满足丁说：“我拿到的两个数是倍数关系，它们也不互质”是5和10，所以，最后还剩下数字7．答：剩下的一张卡片上写的数是7．故答案为：7．13．（12分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123 ．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．14．（12分）甲乙两人从A地去B地，甲出发48分钟后，乙再出发，结果当甲走了全程的时被乙追上．如果乙到达B地后立即原速返回，则乙离开B地6分钟后与甲相遇，那么当乙再次来到追上甲的地点后，甲还要走12 分钟到达B地．【解答】解：设甲、乙的速度分别为v甲、v乙，当甲走了全程的时被乙追上，时间为t小时，则，v甲（t+）＝v乙t＝S，∴v甲＝，v乙＝，又v甲（t+++）+v乙＝S代入整理可得t＝小时＝24分钟，所以甲行全程需要108分钟，又相遇后乙再次来到追上甲的地点的时间为24分钟，即又甲行了24分钟，总共行了72+24＝96分钟，所以甲还要走108﹣96＝12分钟．故答案为12分钟．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:15:23；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了秒．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=1．【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．【解答】解：+=+=+=1；故答案为：1．【点评】本题考查了繁分数的化简，关键是掌握小数的四则运算的计算法则．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是1962．【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20，再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．（2）如果百位退位，则易得“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20；再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．（2）如果百位退位，则“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．故答案为：1962．【点评】此题考查了凑数谜．此类型的题往往要结合数位知识和数字的特征解答，本题要从进位和不进位两方面考虑．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为2：1．【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了36秒．【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．【解答】解：所爬路线如图：（5×4×2+2×12）÷4=64÷4=16（秒）12×2÷2=12（秒）12×2÷3=8（秒）16+12+8=36（秒）答：蚂蚁至少爬行了36秒．故答案为：36．【点评】本题先找出蚂蚁所走的路线是解决问题的关键．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为35．【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．【解答】解：如果a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=1+2×2+3×3+4×4+5×5=55如果它们都再加上1，则总和将会增加：1+2+3+4+5=15（300﹣55）÷15=16 (5)余数是5，只能加在e上，所以，a=1+16=17，b=2+16=18，所以，a+b 的最大值为：17+18=35．答：a+b 的最大值为35．故答案为：35．【点评】本题属于构造性问题，关键明确要使a+b 的和最大，就要使这五个数中最小的两个数a和b尽量大，则根据相邻两个自然数差最小是1构建五个数．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要4个小时．【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，+=（+）x（x﹣4）（x+5）=•x（x﹣4）（x+5）x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）=x（x+5）2x2﹣3x﹣20=x2+5xx2﹣8x﹣20=0解得x=10或x=﹣2（舍去）（10﹣4）×=6×=4（小时）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．故答案为：4．【点评】（1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率．（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有10种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，综上，共有10种堆法．故答案是：10【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是：利用图形对称性，不难求得总的不同堆法．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC 和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD又∵AF=2BF ∴S △AFC ：S △BFC =AF ：BF=2：1⇒，；同理：CE=3AE ⇒S△EFC：S △AEF =EC ：AE=3：1⇒=；CD=4BD ⇒S△CDF：S △BDF =CD ：BD=4：1⇒=故：EP ：PD=S △EFC ：S △FDC=．故答案是：．【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦50吨，B 处农场年产小麦10吨，C 处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A 到C 方向是每吨每千米1.5 元，C 到A 方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB 之间建立仓库；（2）假设在BC 之间建立仓库；分别列出方程解答即可．【解答】解：（1）假设在AB 之间建立仓库，设到A 的距离为x 千米．那么总费用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x=0，即设在A点总费用最低．（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处．那么总费用为：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y=0，最小费用为109500，此时设在B点．107000＜109000．综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．答：仓库应该建在A处才能使运费最低．【点评】在运货策略中，要结合运费、质量和路程进行列方程解答，注意解题过程中要分类讨论．10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【分析】因为2014=2×1007=2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．【解答】解：2014=2×1007=2×19×53，2的倍数：1007个，19的倍数：106个，53的倍数：38个，2×19的倍数：53个，2×53的倍数：19个，19×53的倍数：2个，2×19×53的倍数：1个，分母不是2014的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078（个），不包括，那么共：1078﹣1=1077（个）．每2个和为1，分母是2014的最简分数共：2013﹣1077=936（个）和为：936÷2=468．【点评】此题咋一看，无从下手，要积极寻求灵活的方法：把2014分解质因数，分别求出这些因数的倍数有多少个，进而得出分母是2014的最简分数的个数，解决问题．11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．【分析】通过分析可知：分下列几种情况①5=1+2+2，此类为3个选一个，②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，④5=3+1+1，此类为3个选一个；⑤5=2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相加，据此解答即可．【解答】解：①5=1+2+2，此类为3个选一个，有C31=3种；②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，有C21=2种④5=3+1+1，此类为3个选一个，有C31=3种；⑤5=2+1+1+1，此类为4个选一个，有C41=4种；一共：3+1+2+3+4=13种答：一共有13种不同的摆放方式．【点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，然后根据分析得到的数据进行解答．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39=b2+144，化简可得：a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，把105分解质因数，105=3×5×7，然后把因数3、5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：a2+39=b2+144，即，a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，105=3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：，，，，相对应求得四组符合题意的解是：，，，，所以这个自然数可以是：112+39=160，132+39=208，192+39=400，532+39=2848，答：此自然数可以是160、208、400、2848．【点评】本题考查了比较复杂数字问题和平方差公式的灵活应用，关键是通过分解质因数得出四种对应取值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5555=27+28所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28=756答：所有的摆放中，K最大是756．【点评】这是求最值问题，在和一定的情况下，分成的两数差越大，积就越小，两数差越小，积就越大．14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的数与其倒数颜色不同倒过来即可．【解答】解：依题意可知：数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的．2014是偶数，就涂的是红色．就是红色的．综上所述．是红色的，是蓝色的．【点评】本题是对染色问题的理解和运用，关键问题是理解题中的染色规律，问题解决．。

2014年“数学花园探秘”网络评选活动详解视听题第一关看谁算得快1）1+3+5+7+9+11=362）26+35+74=1353）56+48-36=684）72-6-6-6-6-6-6=365）354-（72+54+28）=200【难度】★★【题目解析】1）1+5+3+7+9+11=6+10+20=362）26+74+35=100+35=1353）56-36+48=20+48=684）72-6-6-6-6-6-6=72-36=365）354-（72+54+28）=354-（100+54）=354-154=200【考察知识】计算及速算巧算第二关考考你眼答案：C。

【难度】★★★【题目解析】本题侧重考察观察力，A选项上排2个绿色相邻，B选项左上右下均为紫色，C选项右上右下绿色相邻，D 选项左上右下均为白色，然后根据选项中的颜色特点在原图中筛选有无符合选项规律的正方形即可，只有C选项没有。

【考察知识】图形找规律第三关我来排排序答案：4、2、3、1。

【难度】★★【题目解析】本题考察了常识推理，根据生活常识，同时需要按照钟表上显示的时间得出答案。

【考察知识】常识推理及钟表认识。

第四关爸爸去哪儿答案：C。

【难度】★★【题目解析】本题考察逻辑推理能力，根据题目所给3句话可逐一排除选项。

1、我爸爸从不戴帽子，故排除A2、我爸爸总戴蓝色领带，排除B、D故选择C。

【考察知识】逻辑推理第五关我会折一折答案：A。

【难度】★★★【题目解析】本题考察空间想象及动手操作能力。

题目关键在于小方格中的斜线方向，根据这点可选出答案A。

【考察知识】空间想象及动手操作。

第六关巧找规律答案：16。

【难度】★★★【题目解析】本题考察知识迁移能力，根据题目所给算式，观察总结规律并计算，规律为所给两个数的和加两个数的差。

【考察知识】找规律第七关我帮妈妈算一算答案：20 。

【难度】★★★【题目解析】本题考察部分与整体关系，36+52=88（个）算出4筐重量，88-68=20（个）算出结果。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了秒．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=1．【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．【解答】解：+=+=+=1；故答案为：1．【点评】本题考查了繁分数的化简，关键是掌握小数的四则运算的计算法则．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是1962．【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20，再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．（2）如果百位退位，则易得“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20；再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．（2）如果百位退位，则“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．故答案为：1962．【点评】此题考查了凑数谜．此类型的题往往要结合数位知识和数字的特征解答，本题要从进位和不进位两方面考虑．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为2：1．【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了36秒．【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．【解答】解：所爬路线如图：（5×4×2+2×12）÷4=64÷4=16（秒）12×2÷2=12（秒）12×2÷3=8（秒）16+12+8=36（秒）答：蚂蚁至少爬行了36秒．故答案为：36．【点评】本题先找出蚂蚁所走的路线是解决问题的关键．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为35．【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．【解答】解：如果a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=1+2×2+3×3+4×4+5×5=55如果它们都再加上1，则总和将会增加：1+2+3+4+5=15（300﹣55）÷15=16 (5)余数是5，只能加在e上，所以，a=1+16=17，b=2+16=18，所以，a+b 的最大值为：17+18=35．答：a+b 的最大值为35．故答案为：35．【点评】本题属于构造性问题，关键明确要使a+b 的和最大，就要使这五个数中最小的两个数a和b尽量大，则根据相邻两个自然数差最小是1构建五个数．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要4个小时．【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，+=（+）x（x﹣4）（x+5）=•x（x﹣4）（x+5）x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）=x（x+5）2x2﹣3x﹣20=x2+5xx2﹣8x﹣20=0解得x=10或x=﹣2（舍去）（10﹣4）×=6×=4（小时）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．故答案为：4．【点评】（1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率．（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有10种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，综上，共有10种堆法．故答案是：10【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是：利用图形对称性，不难求得总的不同堆法．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC 和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD又∵AF=2BF ∴S △AFC ：S △BFC =AF ：BF=2：1⇒，；同理：CE=3AE ⇒S△EFC：S △AEF =EC ：AE=3：1⇒=；CD=4BD ⇒S△CDF：S △BDF =CD ：BD=4：1⇒=故：EP ：PD=S △EFC ：S △FDC=．故答案是：．【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦50吨，B 处农场年产小麦10吨，C 处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A 到C 方向是每吨每千米1.5 元，C 到A 方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB 之间建立仓库；（2）假设在BC 之间建立仓库；分别列出方程解答即可．【解答】解：（1）假设在AB 之间建立仓库，设到A 的距离为x 千米．那么总费用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x=0，即设在A点总费用最低．（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处．那么总费用为：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y=0，最小费用为109500，此时设在B点．107000＜109000．综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．答：仓库应该建在A处才能使运费最低．【点评】在运货策略中，要结合运费、质量和路程进行列方程解答，注意解题过程中要分类讨论．10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【分析】因为2014=2×1007=2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．【解答】解：2014=2×1007=2×19×53，2的倍数：1007个，19的倍数：106个，53的倍数：38个，2×19的倍数：53个，2×53的倍数：19个，19×53的倍数：2个，2×19×53的倍数：1个，分母不是2014的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078（个），不包括，那么共：1078﹣1=1077（个）．每2个和为1，分母是2014的最简分数共：2013﹣1077=936（个）和为：936÷2=468．【点评】此题咋一看，无从下手，要积极寻求灵活的方法：把2014分解质因数，分别求出这些因数的倍数有多少个，进而得出分母是2014的最简分数的个数，解决问题．11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．【分析】通过分析可知：分下列几种情况①5=1+2+2，此类为3个选一个，②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，④5=3+1+1，此类为3个选一个；⑤5=2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相加，据此解答即可．【解答】解：①5=1+2+2，此类为3个选一个，有C31=3种；②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，有C21=2种④5=3+1+1，此类为3个选一个，有C31=3种；⑤5=2+1+1+1，此类为4个选一个，有C41=4种；一共：3+1+2+3+4=13种答：一共有13种不同的摆放方式．【点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，然后根据分析得到的数据进行解答．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39=b2+144，化简可得：a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，把105分解质因数，105=3×5×7，然后把因数3、5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：a2+39=b2+144，即，a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，105=3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：，，，，相对应求得四组符合题意的解是：，，，，所以这个自然数可以是：112+39=160，132+39=208，192+39=400，532+39=2848，答：此自然数可以是160、208、400、2848．【点评】本题考查了比较复杂数字问题和平方差公式的灵活应用，关键是通过分解质因数得出四种对应取值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5555=27+28所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28=756答：所有的摆放中，K最大是756．【点评】这是求最值问题，在和一定的情况下，分成的两数差越大，积就越小，两数差越小，积就越大．14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的数与其倒数颜色不同倒过来即可．【解答】解：依题意可知：数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的．2014是偶数，就涂的是红色．就是红色的．综上所述．是红色的，是蓝色的．【点评】本题是对染色问题的理解和运用，关键问题是理解题中的染色规律，问题解决．。

2016年“数学花园探秘”科普活动决赛试题小中年级组A 卷一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1．算式33333339876543++++++的计算结果是.2．菲菲从一班转到了二班，蕾蕾从二班转到了一班。

于是一班学生的平均身高增加了2厘米，二班学生的平均身高减少了3厘米。

如果蕾蕾身高158厘米，菲菲身高140厘米，那么两个班共有学生人。

3.图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有个三角形.4.今天是1月30日，我们先写下130；后面写数的规则是：如果刚写下的数是偶数就把它除以2再加上2写在后面，如果刚写下的数是奇数就把它乘以2再减去2写在后面。

于是得到：130、67、132、68；那么这列数中第2016个数是。

二、填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5.请将1～6分别填入右图的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等(图中有3条直线上各有3个圆圈，有两条直线上各有2个圆圈)；那么两位数AB=.6.在A、B、C三个连通的小水池中各放入若干条金鱼.若有12条金鱼从A池游到C池中，则C池内的金鱼将是A池的2倍.若有5条金鱼从B池游到A池中，则A池与B池的金鱼数将相等.此外，若有3条金鱼从B池游到C池中，则B池与C池的金鱼数也会相等.那么A水池中原来有条金鱼.7.如图，长方形ABCD的长AB为20厘米，宽BC为16厘米；长方形内放着两个重叠的正方形DEFG和BHIJ.已知三个阴影长方形的周长相等，那么长方形INFM的面积为平方厘米。

8.在下右图每个格子里填入数字1～5中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复.每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（下左图给出了一个填1～4的例子，如下中图第3行从左到右四格依次是3,4,1,2）.那么下右图中最下面一行的五个数字按照从左到右的顺序依次组成的五位数是.三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）ABCDEFGHI，要求____AB、____BC、____CD、____DE、____EF、____FG、____GH、9.用数字1至9组成一个没有重复数字的九位数_______________________GHI的计算结果是.DEF+______ABC+______HI这八个两位数均能写成两个一位数的乘积；那么算式______10.图③是由6个图①这样的模块拼成的.如果最底层已经给定一块的位置（如图②），那么剩下部分一共有种不同的拼法.11.甲、乙二人轮流从1～9这9个自然数中取不同的数，对方取过的数不能再取，谁取得的数中先有三个数成等差数列谁就获胜；甲先取了8，乙接着取了5；为了确保甲必胜，甲接下来取得一个数的所有可能的值的乘积是。

2015年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试 A 卷（测评时间：2015 年 1 月 31 日 8:00 —9:30）一、填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫1．算式 1 - + - + - ⎪ ÷ + + ⎪ 的计算结果是__________．⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 4 5 6 ⎭2．一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两边的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是__________平方厘米．3．A，B，C，D四个人住进编号为1 ， 2 ，3， 4 的四个房间，每个房间恰住一人；那么B不住 2 号房间，并且B , C两人要求住在编号相邻房间的住法共有__________种．4．算式201519992015⨯14-20152011的计算结果是__________．5．哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为______ %．二、填空题Ⅱ题（每小题 10 分，共 50分）6．一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2 、1 、0道题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）．甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了 A 、B 、C、D 道题，那么四位数 ABCD =__________．7．右边算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果二零一五=2015，且两位数数学是质数，那么四位数数学花园= _________．二零一五=数学+花园⨯探⨯秘8．右图的图案由1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（ 2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）9．如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2=4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是________．10．一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；如果第1 小时、第 2 小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千米；那么轮船往返A、B两港共行_______千米．三、填空题Ⅲ题（每小题 12 分，共 60 分）11．三位数abc除以它的各位数字和的余数是1 ，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1 ．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc= _______．12．在右图的每个方格里填入数字1 ～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ABCDE =_______．13．某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1 ， 2 ，……，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2 号，……，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有________种不同的发放方式．14．图 2 的8 8表格中共含有168个如图1 的“ T ”形．现对图 2 中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“ T”形中黑白小方格各2个，则称这个“ T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“ T ”形至多有__________个．15．作答要求：（1）请在答题卡第15题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；如认为本试卷第 6 题出得最好，那么请在万位填涂“ 0 ”，千位填涂“ 6 ”．（2）请在答题卡第15题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别；最简单为“0”，最难为“ 9”，总计十个级别．（3）请在答题卡第15题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；如认为本试卷第14 题最难，那么请在十位填涂“1 ”，个位填涂“ 4 ”．2015年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试 A 卷（测评时间：2015 年 1 月 31 日 8:00 —9:30）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7答案 1 75 8 503 11 1203 8369题号8 9 10 11 12 13 14答案3096 1099 102 452 41244 48 132部分解析一、填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫1．算式 1 - + - + - ⎪ ÷ + + ⎪的计算结果是__________．⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 4 5 6 ⎭【考点】分数计算【难度】☆☆【答案】1⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫【分析】分子= 1 + + ⎪ - + + ⎪= 1 + + + + + ⎪ -  + + ⎪ ⨯ 2⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 2 4 6 ⎭ ⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 2 4 6 ⎭⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ 1 1 1= 1 + + + + + ⎪ - 1 + + ⎪ = + +⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭ 4 5 6可见原式=1．2．一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两边的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是__________平方厘米．【考点】几何【难度】☆☆【答案】 75【分析】设剪下来的四个等腰直角三角形的直角边为 a ，则正方形的面积为(4a)2÷2=100⇒a2=12.5，剪下来的部分其面积为12a2⨯4=2a2=2⨯12.5=25，则余下部分面积为 75 ．3．A , B , C , D四个人住进编号为1 , 2 , 3 , 4 的四个房间，每个房间恰住一人；那么B不住 2 号房间，并且 B ,C两人要求住在编号相邻房间的住法共有__________种．【考点】计数【难度】☆☆☆【答案】 8【分析】若 B 住在1号房间，则C住在2号房间， A 、 D 住在3、4号房间，共2种住法；若 B 住在3号房间，则C住在2号或4号房间， A 、 D 住在剩下两个房间，共2 ⨯ 2 = 4种住法；若B 住在4号房间，则C住在3号房间， A 、 D 住在1、2号房间，共2种住法；综上，合计 2 + 4 + 2 = 8 种住法．4．算式201519992015⨯14-20112015的计算结果是__________．【考点】分数计算【难度】☆☆☆【答案】 503【分析】原式= 20152+ 1999- 2011 ⨯ 4 = 20152- 6045 20152- 2015 ⨯ 32015 ⨯ 4 2015 ⨯ 4 2015 ⨯ 4= 2015 ⨯ 2012 = 503 ．2015 ⨯ 45．哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为______ %．【考点】浓度问题【难度】☆☆☆【答案】11【分析】设普通型“生死水”的浓度为x%，初始重量为100，连续两次加入的艾草浸液和⎧ x =9%⎧100 x - 9 a = 900⎪ 100 +a ⇒ x =11⎪ x + a= 23% ⎩100 x+ 54 a= 2300⎪⎩100 + 2a 综上，普通“生死水”的浓度为11%．二、填空题Ⅱ题（每小题 10 分，共 50分）时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）．甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了 A 、B 、C、D 道题，那么四位数 ABCD =__________．【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆☆【答案】1203【分析】全对的人不会说自己对的题少于 3 ，故只有乙、丁可能全对．若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的“丁对了2道”是假话相矛盾；则丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第二名，又由丁的“甲考得不如乙”能知道第二名是乙，故丙全错，甲只有“丙考得不如丁”是真话，排名是丁、乙、甲、丙，即 ABCD =1203．7．右边算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果二零一五=2015，且两位数数学是质数，那么四位数数学花园= _________．二零一五=数学+花园⨯探⨯秘【考点】数字谜【难度】☆☆☆☆【答案】 8369【分析】数学中至多有 3 , 6 , 9 中的一个，则“花”、“园”、“探”、“秘”中至少有 3 , 6 , 9 中的两个，若两个都在“花园”中，则花园⨯探⨯秘=2015-47=1968是3的倍数，若有一个在“探”和“秘”中，花园⨯探⨯秘也是3的倍数，由此可见，“数学”与 2015 对 3 同余，即除以 3 余 2 ，作为质数，“数学”只能是47 , 83 和89；若数学= 37 ，则花园⨯探⨯秘=2015-47=1968 ，而1968=24⨯3⨯41，“花园”只能是 41 或82，均不符合要求；若数学= 83 ，则花园⨯探⨯秘=2015-83=1932，而1932 = 2 2⨯3 ⨯ 4 ⨯23 ，当“花综上，数学花园= 8369 ．8．右图的图案由1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（ 2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）【考点】几何【难度】☆☆☆☆☆【答案】 3096【分析】如下图，设小直角三角形的斜边长为 a ，大正方形的边长为 b ，则根据勾股定理a 2+ b2=1202=14400，b2表示大正方形的面积，a2表示4个小直角三角形的面积，恰好构成下图的总面积，即总面积为14400 ，则阴影面积为14400 - 3.14 ⨯ 602= 3096 ．9．如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2=4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是________．【考点】数论，弃九法【难度】☆☆☆【答案】1099【分析】两位数没有符合要求的数， 99 、100亦不符合，故知至少为三位数．两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进1 次位（数字和加1 再减9），即这两个数是 ab9和a(b+1)0，必有a+b=9和a=b+1，故这两个数为549和550 ． 549 + 550 =1099 ．10．一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；如果第1 小时、第 2 小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千米；那么轮船往返A、B两港共行_______千米．【考点】行程，比例行程【难度】☆☆☆【答案】102【分析】第一小时若已经有逆水段，则第二小时、第三小时路程相同，不可能出现等差数列，故第一小时全顺水，同理第三小时全逆水，第二小时既有顺水又有逆水．且若路程是等差数列，第二小时必为半小时顺水半小时逆水．故顺水1.5 小时的路程恰好是逆水1.7 小时的路程，V顺：V逆=17 :15 ，且V顺- V逆=2⨯2=4千米每时，故V顺=34千米每时，往返共行34⨯1.5⨯2=102千米．三、填空题Ⅲ题（每小题 12 分，共 60 分）11．三位数abc除以它的各位数字和的余数是1 ，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1 ．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc= _______．【考点】数论，位值原理，整除分析【难度】☆☆☆【答案】 452【分析】 abc - cba =99(a - c)，故(a +b + c)⎡99(a - c)⎤，但(a + b + c)必定不是3的倍数，⎣⎦否则 abc 是3的倍数，abc÷(a+b+c)的余数必为3的倍数．故(a+b+c)11(a-c)，11是质数，且a+b+c>a-c，故(a+b+c)必为11的倍数．若 a + b + c =11，则 a + c - b =1，b =5，又a、b 、c互不相同，a > c ，故 a =4，c =2，abc=452；若 a + b + c =22，则 a + c - b =12，b =5，又a、b 、c互不相同，a > c ，故 a =9，c =8，但此解并未满足(a+b+c)⎡11(a-c)⎤的要求，故知此种情况无解．⎣⎦综上，本题有唯一答案 452 ．12．在右图的每个方格里填入数字1 ～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ABCDE =_______．【考点】数独【难度】☆☆【答案】 41244【分析】通过百位分析，显然 A =4，进而个位要凑出0必须1+3+6，可知第一行为423516；类似地，第二行第一个数为 2 ，个位5+6+4，215364，B=1 ；第三行第一个数为 3 ，个位 5 + 1 + 2 ， 342651，C= 2 ；第四行第一个数为 5 ，个位 2 + 1 + 3 ， 561432 ，D= 4 ；第五行个位 6+5+4 ，136245 ，E=4；第六行 654123 ．13．某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1 ， 2 ，……，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2 号，……，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有________种不同的发放方式．【考点】组合，数论，计数【难度】☆☆☆☆【答案】 48【分析】1 号学生有29人是其倍数，故1 号学生只能拿1 号电影票；2 号学生有14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有6人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（ 2 ）的倍数，也必须是 4 号学生（ 4 ）的倍数，同时有 2人是其倍数，综上， 8 号学生只能拿 8 号电影票；9号学生必须是 3 号学生（ 3 ）的倍数，还不能是 6 ，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；2 人是其倍数，综上，10号学生只能拿10号电影票；12 号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（ 4 ）的倍数，同时有1人是其倍数，综上，12 号学生只能拿12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（ 2 ）的倍数，也必须是7号学生（7）的倍数，同时有1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿14 号电影票；同时28号学生只能拿28号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（ 3 ）的倍数，也必须是 5 号学生（ 5 ）的倍数，同时有1人是其倍数，综上，15 号学生只能拿15 号电影票；同时30号学生只能拿30号电影票；之后的数，[2,9] =18 ，18必拿18，同时是9的倍数的27号只能拿27；20 = [4,5] ，20 必拿 20 ；21 = [3,7] ，21 必拿 21 ；24=[3,8] ，24 必拿 24 ，同时是8的倍数的16号只能拿16 ；28 = [4,7] ，28必拿28；30 = [5,6] ，30必拿30，同时是 5 的倍数的25 号只能拿 25 ．目前还没有确定的数有：11、 22 、13、26、17、19、23、29号．11、 22 互为一组成倍数，13 、26亦互为一组成倍数，有两种拿法：11号拿11， 22 号拿 22 ，13 号拿13 ，26号拿26；或11号拿13 ，22 号拿26，13 号拿11，26号拿22 ．17、19 、23、29是大质数，没有限制，可随意拿，有 A 44= 24 种拿法．故共有 2 ⨯ 24 = 48种拿法．14．图 2 的8⨯8表格中共含有168个如图1 的“ T ”形．现对图 2 中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“ T”形中黑白小方格各2个，则称这个“ T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“ T ”形至多有__________个．【考点】组合，染色问题，构造与论证【难度】☆☆☆☆☆【答案】132【分析】考察每一个“”形，枚举可知，其中的四个“”形最多只有3个“和谐”的（举例：）．在一个8⨯8的方格阵中，共有36个“”形，故知必然至少有 36 个“”形不是“和谐”的．即本题理论最大值为168 - 36 =132 ．下面是一个132 的例子：15．作答要求：（1）请在答题卡第15题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；如认为本试卷第 6 题出得最好，那么请在万位填涂“ 0 ”，千位填涂“ 6 ”．（2）请在答题卡第15题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别；最简单为“0”，最难为“ 9”，总计十个级别．（3）请在答题卡第15题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；如认为本试卷第14 题最难，那么请在十位填涂“1 ”，个位填涂“ 4 ”．11 / 11。