高考复习要注重学生能力的培养和双基的落实
曹杨二中黄坪
一、高考复习要注重学生数学能力的培养
高考的应试教育评价体系十分完整，比较客观公正，我们每个老师都十分重视。高考非常关注学科的素质教育，并与课程改革紧密联系在一起，高考除了完成为高校选拔人才功能之外，还有一个目的就是为了推进中学的素质教育。我们常说的广义上的素质教育与数学高考必备的学科素质要求是有区别的。在推进数学学科素质教育的过程中，我们往往会混淆这两种素质的关系，搞不清它的轻重缓急，甚至片面地认为，在数学课中渗透了德育教育，就是落实了数学学科的素质教育。这种不正确的认识或者说是错误的认识，必然会对高考复习和起始年级的教学带来负面的影响。近年来的上海高考在命题的方向上，始终与课程的改革相一致，在数学学科素质的考查上动脑筋，应引起我们的关注。
例1（2004年上海高考第16题）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）
（A）计算机行业好于化工行业（B）建筑行业好于物流行业
（C）机械行业最紧张（D）营销行业比贸易行业紧张
本题用到的知识是十分浅显的，关键是看学生对缺省数据的理解和处理了，如果有一定的阅读理解和分析能力，小学知识就够了，竟然出现在高考的第16道位置上，并作为选择题的最后一题，说明高考数学在课程改革上的导向性，凸现数学学科在问题应用和分析、理解并最终解决问题能力上的要求。
本题中涉及到两个关键性的常识性名词：“应聘”和“招聘”。
用数学估计的方法来解决本题就可以了，不需要精确计算。计算机大概有9万多人不能录用，化工应聘的人数少于7万人，供不应求，就业形势好，因此，（A）是不对的，由于贸易行业招聘人数不清楚，录用比例可以很低很低，因此（C）、（D）也是错误的，故选（B），验证（B）的正确性也很简单。
我想这类题对限制题海是有一定作用的，这是数学学科侧重对学生分析问题和解决问题能力的考查。
数学高考围绕“双基”和“五大能力”来展开，基础知识和基本技能是高考立足之本，是学生能力发展的基础，是数学学科最为基本的素质。我们在这方面失分的较多，如果不注意，高考考不出高分来。去年区考，考到一道半圆和直线交点的问题，我正好改到这道题，发现许多学生把直线方程和圆方程联立起来，用判别式来乱套，说明学生的数学思想方法没有掌握好，圆这个特殊图形我们都结合平几知识来解决来得简单，用代数的方法来求就比较
麻烦了，恰恰相反，椭圆、双曲线和抛物线的问题我们常常用代数的方法来求解，因为研究弦长、最远距离等问题常常无法用平几的方法直观地看出来，需要用代数的方法加以精确地计量。这些基本的解题方法，也是属于数学双基中的范畴，有人片面地认为数学的基础就是记记公式，这个层次太低了，是能力要求中最底层的东西，而双基中的数学思想方法是数学能力中属于较高层次的东西。
“五大能力”中，“四大能力”是老的提法，即：思维能力、运算能力、空间想象能力和分析问题与解决问题的能力，尤其对于数学中的前三大能力我们比较熟悉，分析问题与解决问题的能力反映了数学知识之间与跨学科知识间的融合，新课程改革中又加了一大能力，即数学探究与创新能力，这是新课程改革中数学素质教育所极力倡导的能力。
近年的上海高考在探究与创新能力问题的研究上是走在全国前列的。
例2（2005年上海高考第12题）用n 个不同的实数12n a a a 、
、、可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行
12i i in a a a 、、、，记12323(1)n i i i i in b a a a na =-+⨯-⨯++-，1,2,,!i n =。
例如：用1、2、3可得数阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以
1261221231224b b b ++
+=-+⨯-⨯=-。那么，在用1、2、3、4、5形成的数阵中，12120b b b +++=.
答案是－1080.
实际上本题还是可以从一道老题中找到它的影子。
设集合A 是集合*
{|110,}M x x x N =≤≤∈的非空子集，将A 中每个元素k 都乘以 (1)k -，再求和（如{1,3,6}A =，可求得和为：136(1)1(1)3(1)62-⋅+-⋅+-⋅=），则对M 的所有非空子集，这些和的总和是.
05年的这道高考题是在新定义形式下的进行求解方法上的类比题，是一道创新题。本题数学学科本身知识范畴内的素质要求较高，除了要进行解题方法上的类比，还有一个在高观点下处理初等数学的问题，实际上涉及到的是矩阵的概念，因为老教材上没有提及，作为新老高考合用的试卷也就不能明说。
高观点下的信息题，2005年在高三数学教学调研试卷的第12
题上也曾经出现过：
如图，一张55⨯的方格纸上写着1—25共25个正整数.在这
张纸上将这些数再写一遍，第一行自左向右写1，2，3，4，5；第
二行自右向左写6，7，8，9，10；第三行自左向右写11，12，13，
14，15；此后依此类推.这样，有些方格中写着两个相同的数，而
另一些方格中写着不同的数.试就写着两个相同数的方格给出一个
与概率有关的正确命题：
从图中的25个方格中选到一个写着相同数字方格的概率是 1/5 .
都在对角线上重复，要答对本题是不困难的，只要按照本题要求的信息进行操作就可以了，如果本题推广到n n ⨯的方格，就要进行归纳和观察了。
2003年北京高考也出现过这类题。
例3（2003年北京高考第12题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同
学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.
,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij
其中1，2，…，k ，且1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
（A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++
（B ）1121112222k k a a a a a a +++++++
（C ）2122211211k k a a a a a a +++ （D ）k k a a a a a a 2122122111+++
本题用分段函数给出新的定义，是矩阵知识与分类、分步排列与组合知识的综合，令人耳目一新。去年区考也用了这题的变题。
根据新定义（这类题或称新概念题或称信息题）来解决问题，在高考中已不再新奇： 例4 （2004年北京高考第19题，共20题）某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，5，3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；
（2）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围.
这里用绝对值来定义运行误差，即为实际时间与预定时间差的绝对值。把这个新信息和关键信息搞清楚，实际应用问题就变成了纯数学模型了，就是解决含两个绝对值的一元不等式的问题。这是初中学生也能解决的问题。
我们再往前搜索。最早出现在2001年的全国高考中。
例5（2001年全国高考数学试题12题）
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
（A ） 26
（B ） 24
（C ） 20
（D ） 19
我们觉得这道题的问题背景学生比较陌生，对于考查学生分析问题和解决问题的能力尤为突出。为此，我曾经在初中二年级、三年级和高中三个年级作了调查测试。测试结果如 下。初二年级某班2人选对，52人选错，其中选A 的46人；初三年级某班7人选对，54人选错，其中选A 的36人；高一年级某班23人选对，35人选错，其中选A 的17人，选B 的14人，选C 的4人；高二年级某班12人选对，46人选错，其中选A 的23人，选B 的5人，选C 的18人；高三年级某班25人选对，34人选错，其中选A 的20人，选B 的4人，选C 的10人。
