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数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
![运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习](https://uimg.taocdn.com/d78228179b89680202d8250e.webp)
第五章整数规划1．整数规划的特点(1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。
（2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。
(3)整数规划的可行域为离散点集。
2．整数规划的建模步骤整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。
3．求解整数规划的常用方法1）分支定界法没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。
将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。
(1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一:①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。
②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。
③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。
(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。
以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。
下面进行迭代.分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xi ，其值为bi。
构造两个约束条件xj ≤［bj］①和xj ≥[bj］+1 ②其中［bj ］为不超过bj的最大整数。
将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。
不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。
第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ；第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步;第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。
第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。
若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
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6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。
本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。
一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。
它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。
混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。
为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。
这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。
混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。
混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。
二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。
多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。
多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。
帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。
加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
如选用i A 点，设备投资估计为i b 元，每年可获利润估计为i c 元，但投资总额不能超过B 元。
问应选择哪几个点可使年利润为最大？模型建立：先引入10-变量)7,,2,1( =i x i 令⎩⎨⎧=.0,1点没被选中当点被选中当，，i A i Ai x 7,,2,1 =i 。
于是问题可列写成：ii i x c z ∑==71Max s.t.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥+≥+≤++≤∑=)7,,2,1(10112765432171i x x x x x x x x Bx b i i i i 或（2）相互排斥的约束条件①有两个相互排斥的约束条件244521≤+x x 或453721≤+x x 。
为了统一在一个问题中，引入10-变量y ，则上述约束条件可改写为：⎪⎩⎪⎨⎧=-+≤++≤+10)1(453724452121或y My x x yM x x 其中M 是充分大的数。
②约束条件01=x 或8005001≤≤x 可改写为⎩⎨⎧=≤≤108005001或y y x y ③如果有m 个互相排斥的约束条件：mi b x a x a i n in i ,,2,111 =≤++为了保证这m 个约束条件只有一个起作用，我们引入m 个10-变量),,2,1(m i y i =和一个充分大的常数M ，而下面这一组1+m 个约束条件m i My b x a x a i i n in i ,,2,111 =+≤++（1）11-=++m y y m （2）就合于上述的要求。
这是因为，由于（2），m 个i y 中只有一个能取0值，设0*=iy ，代入（1），就只有*i i =的约束条件起作用，而别的式子都是多余的。
（3）最佳指派问题将不同的任务分派给若干人去完成，由于任务有难易，人员素质有高低，因此各人去完成不同的任务的效率就有差异。
我们的问题是：应分派何人去完成哪种任务使得总效率最高（或所花费的时间最少，或所需的费用最低）？这一类问题称为指派问题或分配问题。
指派问题的一般提法是：用最佳方法按照一对一的原则把“任务”指派给“人”。
具体地就是：设有n 个人A 1，A 2，…，A n ，被分派去完成n 项工作B 1，B 2，…，B n ，要求每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完成一项工作。
已知i A 完成j B 工作的效率（如工时、成本或价值等）为ij c 。
问应如何指派，才能使总的工作效率最好？指派问题本质上是0—1规划问题。
设ij x 表示i A 完成j B 工作，并令⎪⎩⎪⎨⎧=工作去完成当不指派工作去完成当指派j i j i ij B A B A x 0 1，则指派模型的标准形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∈====≥=∑∑∑∑====), ,2 ,1,( }1 ,0{ ), ,2 ,1( 1), ,2 ,1( 1s.t.)0( min 1111n j i x n j x n i x c x c z ij n i ij nj ij ij n i n j ij ij由c ij组成的方阵C=(c ij)n n称为效率矩阵。
只要效率矩阵C给定，指派问题也就相应确定。
若0x为指派模型的最优解，则n阶方阵X=(0ij x)称为指派模型的最优解方阵。
事实上，方阵X为一置ij换方阵，即该矩阵中的每一行、每一列只有一个“1”。
当人数和任务数不相等的时候，此时需要考虑一些其他的条件，应对具体问题进行分析讨论问题：全国大学生数学建模竞赛2005年B题，下载网址：/html_cn/node/ce966e3cd21e07274a27819807e51806.html二、非线性规划1、概念如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP）。
可概括为一般形式)(min x f q j x h j ,,1,0)(s.t. =≤(NP)pi x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x x ],,,[21 =称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
另外，0)(=x g i ),,1(p i =称为等式约束，0)(≤x h j ),,1(q j =称为不等式约束。
对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：（i）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。
（ii）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。
并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。
（iii）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。
（iv）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。
注意：线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。
2、凸函数、凸规划设)(x f 为定义在n 维欧氏空间)(n E 中某个凸集R 上的函数，若对任何实数)10(<<αα以及R 中的任意两点)1(x 和)2(x ，恒有)()1()())1(()2()1()2()1(x f x f x x f αααα-+≤-+则称)(x f 为定义在R 上的凸函数。
若对每一个)10(<<αα和R x x ∈≠)2()1(恒有)()1()())1(()2()1()2()1(x f x f x x f αααα-+<-+则称)(x f 为定义在R 上的严格凸函数。
考虑非线性规划⎪⎩⎪⎨⎧=≤=∈},,2,1,0)(|{)( min l j x g x R x f j R x 假定其中)(x f 为凸函数，),,2,1)((l j x g j =为凸函数，这样的非线性规划称为凸规划。
可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集。
当凸规划的目标函数)(x f 为严格凸函数时，其最优解必定唯一（假定最优解存在）。
由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。
3、二次规划若某非线性规划的目标函数为自变量x 的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。
Matlab 中二次规划的数学模型可表述如下：bAx x f Hx x T T ≤+ s.t. 21min 这里H 是实对称矩阵，b f ,是列向量，A 是相应维数的矩阵。
例4原油采购与加工某公司用两种原油A 、B 混合加工成两种汽油甲、乙。
甲、乙两种汽油含原油A 的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。
该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A 。
原油A 的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨部分的单价为8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨部分的单价为6000元/吨。
该公司应如何安排原有的采购和加工？问题分析安排原油采购、加工的目标只能是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A 的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油A 的支出之差。
难点在于原油A 的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否以及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。
模型建立设原油A 的购买量为x ，根据题目所给数据，采购的支出()x c 可表为如下的分段线性函数（以下价格以千元/t 为单位）：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=1500100063000100050081000500010x x x x x x x c设原油A 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为11x 和12x ，原油B 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为21x 和22x ，则总的收入为()()221221116.58.4x x x x +++，于是目标函数()()()x c x x x x z -+++=221221116.58.4max 约束条件包括加工两种汽油用的原油A 、原油B 库存量的限制，和原油A 购买量的限制，以及两种汽油含原油A 的比例限制，分别表示为：xx x +≤+500121110002221≤+x x 1500≤x 5.0211111≥+x x x 6.0221212≥+x x x 0,,,,22211211≥x x x x x 注：求解时考虑转化为线性规划进行求解三、多目标规划-----多目标决策的一部分（主要介绍概念和处理方法和98年的A题）但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。
