初高中数学衔接2019年北京101中学新高一分班考试数学

北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f （2x ）=3x 2+1，则函数f （4）= ．10．求值：2﹣（）+lg +（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ．12．函数f （x ）=3x 的值域是 ．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 ．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．17．已知g （x ）=﹣x 2﹣3，f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0），函数h （x ）=g （x ）+f （x ）是奇函数．（1）求a ，c 的值；（2）当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）的最小值是1，求f （x ）的解析式．18．已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f （2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x ∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，可得f （0.5）=1．由于函数y=f （x+2）是奇函数，可得f （﹣x+2）=﹣f （x+2），即可得出．【解答】解：∵x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，∴f （0.5）=1．∵函数y=f （x+2）是奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∴f （3.5）=﹣f （﹣1.5+2）=﹣f （0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f （x ）=3x 的值域是 [0，+∞） ．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x 2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f （x ）=3x=， ∵x 2≥0，∴，则函数f （x ）=3x的值域是[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 （0，1） ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f （x ）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f （2x ﹣1）＜f （1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围．【解答】解：f （x ）为偶函数；∴由f （2x ﹣1）＜f （1）得，f （|2x ﹣1|）＜f （1）；又f （x ）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x ﹣1|＜1；解得0＜x ＜1；∴x 的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ②③ ．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f （x ）=x 2（x ∈R ），由f （﹣1）=f （1），但﹣1≠1，得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数，故①错误；在②中，“x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）”的逆否命题是“若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f （x ）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A ，B ，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}在数轴上表示可得：故A ∪B={x|2＜x ＜10}，C R A={x|x ＜3，或x ≥7}（C R A ）∩B={2＜x ＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知 ①当C=∅时，有5﹣a ≥a ，得；②当C ≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a 的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；f（x）min当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），f（x）min∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，=﹣，由此能够证明f （x ）在R 上是减函数．（3）不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，等价于f （t ﹣2t 2）＞f （k ），由f （x ）是R 上的减函数，知t ﹣2t 2＜k ，由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a •2x +1=a+2x ，即a （2x ﹣1）=2x ﹣1对一切实数x 都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2则 =﹣， ∵x 1＜x 2，∴，，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在R 上是减函数，（3）∵不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，∴f （t ﹣2t 2）＞﹣f （﹣k ），∴f （t ﹣2t 2）＞f （k ），∵f （x ）是R 上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．。

101中学新高一分班考试数学本试卷包括三个大题，共6页，满分120分，考试时量90分钟。

一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．15cm 2D ．15πcm 22. 一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有_______个A 、45B 、48C 、50D 、553. 已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是A B C D4. 要使分式的值为0，你认为x 可取得数是A ． 9B ． ±3C ． ﹣3D ． 35. 若ab ＞0，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是A ．B ．C ．D ．6. 如图，点P （a ，a ）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边△PAB，使A 、B落在x 轴上，则△POA 的面积是A ． 3B ． 4C ．D ．7. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为 A ．B ．C ．D ．8. 如图2，函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A(m ,3),则不等式2x <ax +4的解集为A 、32x <B 、3x <C 、32x > D 、3x >9. 如图3所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac>0 (2)c >1 (3)2a -b <0 (4)a +b +c <0,其中错误的有 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个10．已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记N （t ）为□ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为 A ．6、7 B ．7、8 C ．6、7、8 D ．6、8、9FEDCBA二、填空题（每小题4分，共20分）11. |1|0a b ++=，则ba =_________。

北京101中学2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数sin 3cos3y x x =+的最小正周期是（ ） A. 6π B. 2πC.23πD.3π 【答案】C 【解析】 【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】sin 3cos32(3))224y x x y x x x π=+⇒=+=+, 223T ππω==，故本题选C. 【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.2.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知：由51340a a +=，可得9240a =，所以可求出920a =，再次利用此性质可以化简8910a a a ++为93a ，最后可求出8910a a a ++的值.【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】试题分析：利用正余弦定理将sinC ＝2sin （B ＋C ）cosB 转化为22222a c b c a a b ac+-=⨯∴=，三角形为等腰三角形 考点：正余弦定理4.00sin15cos15-的值等于（ ）B. -C. 2-D.2【答案】C 【解析】 【分析】因为000154530=-，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出00sin15cos15-的值.【详解】0sin(4530)c sin15cos os(43)5501=----，00000000sin 45cos30cos 45sin 30(cos 45cos3sin15co 0sin s1545sin 30)︒︒⇒=--+-，001122sin15cos 221522222⇒=⨯---⨯=--，故本题选C. 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：00sin15cos15==-，00sin15cos125⇒==--.5.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2【答案】A 【解析】 【分析】由,,a b c 依次成等比数列，可得2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，这样就可以判断出函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，显然,,0a b c ≠，二次方程20ax bx c ++=的判别式为22430b ac b =-∆-<=，因此函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为零个，故本题选A.【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与x 轴的交点个数的关系.6.在ABC ∆中，若45,B b c ===A =（ ） A. 15B. 75C. 75或105D. 15或75【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为sin sin b B c C =，所以πsin sin c B C b === 所以π2π,33C = 因此5ππ,1212A =， 选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．7.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12ABC S ∆=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是（ ）A. 2C. 2-D.【答案】C 【解析】 【分析】在ABC ∆中，根据正弦定理，可以把sin :sin :sin A B C =可以进一步判断三角形的形状，利用12ABC S ∆=和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值. 【详解】在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对边,,a b c ，根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,已知sin :sin :sin 1:1:A B C =::a b c =然ABC ∆是等腰直角三角形，即,a b c ==，12ABC S ∆=11122b b b ⇒⋅=⇒=，因此有1,a b c ===cos()cos()cos()2424AB BC BC CA CA AB cb ab bc ππππππ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.8.数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A.2nn + B.22nn + C.1n n + D.21nn + 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式，化简数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】(1)123...12,2n n n n n n n a ++++++===114(1)(2)n n a a n n +=++，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11114()233445(1)(2)S n n =+++⨯⨯⨯++,111111111124()4()23344512222nS n n n n ⇒=-+-+-+++-=-=++++，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，利用裂项相消法求数列的前n 项和.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】3n －1【解析】因为在等比数列{}n a 中，1254133,81,{81a q a a a q ===∴=，解得111,3,3n n a q a -==∴= ，故答案为13n - .10.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________．【答案】2425【解析】因为1sin cos5αα-=，所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，即11sin225α-=，则24sin225α=.11.在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B = _________. 【答案】13【解析】 【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简cos (3)cos b C a c B =-，最后求出cos B 的值. 【详解】根据正弦定理，可知sin sin sin a b cA B C==,由cos (3)cos b C a c B =-，可得 sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B⇒⋅+⋅=⋅，sin()3sin cos B C A B ⇒+=⋅，sin()3sin cos sin 3sin cos A A B A A B π⇒-=⋅⇒=⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以1cos .3B =【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.12.在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列通项n a = ________. 【答案】2n 【解析】 【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前n 项和公式，可以求出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+，2(211)(21)(23)(25)5312n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++==，当11,n a =也适用，所以2n a n =.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.13.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P （单位圆与x 轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于_________.【解析】 【分析】由三角函数的定义可以求出2P ，判断点2P 的位置，由已知点2P 的横坐标为45-，利用同角的三角函数关系，可以求出点2P 的纵坐标，可以得到4cos()35πα+=-， 3sin()35πα+=，再利用二角差的余弦公式求出cos α的值.【详解】由三角函数的定义可知：点2P 的坐标为(cos(),sin())33ππαα++，因为02πα<<，所以5336πππα<+<，所以点2P 在第二象限，已知点2P 的横坐标为45-，即4cos()35πα+=-，所以3sin()35πα+==，因此有413cos[()]cos()cos sin()sin 333333525os c ππππππαααα+-=+++=-⨯+==.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.14.设等差数列{}n a 满足22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+， 化简为sin(4)1d -=，根据()1,0d ∈-，可以求出d 的值，利用等差数列前n 项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项1a 的取值范围.【详解】22222244484857sin cos cos cos sin sin sin()a a a a a a a a -+-+2222484857sin (1sin )cos (1cos )sin()a a a a a a ---=+2222484857sin cos cos sin sin()a a a a a a ⋅-⋅=+4848484857(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin()a a a a a a a a a a ⋅-⋅⋅⋅+⋅=+484857sin()sin()sin()a a a a a a -⋅+=+,数列{}n a 是等差数列，所以4857a a a a +=+，484a a d -=-，所以有sin(4)1d -=，而()1,0d ∈-，所以4(0,4)d -∈，因此428d d ππ-=⇒=-，2111(1)(1)2281616n n n n n n S na d na a n πππ--⎛⎫=+=-⨯=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为：1162a n ππ+=，由题意可知：当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值， 所以1168.59.52a ππ+<<，解得198a ππ<<，因此首项1a 的取值范围是9,8ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前n 项和公式，以及前n 项和n S 取得最大值问题，考查了数学运算能力.三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知12cos θ13=，()θπ,2π∈，求πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭以及πtan θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】127;2617- 【解析】 【分析】根据同角三角函数，求出sin θ，tan θ；再利用两角和差公式求解. 【详解】12cos 013θ=>，(),2θππ∈ 3,22πθπ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭5sin 13θ∴==-，sin 5tan cos 12θθθ==-5121sin sin cos cos sin 66613132πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5tan tan17412tan 54171tan tan 11412πθπθπθ+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.16.已知等差数列{}n a 满足12 23n n a a n +-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为l ，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）221n n --. 【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由 1223n n a a n +-=+ ，令 12n =、可得11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩，解得112.a d =⎧⎨=⎩，从而可得结果；（Ⅱ）由数列{}n n ab +是首项为1，公比为2的等比数列，可得12n n n a b -+=，结合（1）可得()1221n n b n -=--，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列{}n b 的前n 项和. 详解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1223n n a a n +-=+，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以()()11211,2,3,n a a n d n n =+-=-=.（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-， 所以()1221n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则()()1124213521n n S n -⎡⎤=++++-++++-⎣⎦()12112122n n n +--=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积是30,12cos 13A =. （1）求AB AC ⋅；（2）若1c b -=，求a 的值. 【答案】（1）144；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，由12cos 13A =，可以求出sin A 的值，再由面积公式可以求出bc 的值，最后利用平面向量数量积的公式求出AB AC ⋅的值；（2）由（1）可知bc 的值，再结合已知1c b -=，可以求出,b c 的值，由余弦定理可以求出a 的值.【详解】（1）5(0,)sin 13A A π∈∴==，又因为ABC ∆的面积是30，所以 1sin 301562bc A bc ⋅=⇒=，因此12cos 156144;13AB AC cb A ⋅=⋅=⨯= （2）由（1）可知156bc =，与1c b -=联立，组成方程组：1561bc c b =⎧⎨-=⎩，解得1312c b =⎧⎨=⎩或1213c b =-⎧⎨=-⎩，不符合题意舍去，由余弦定理可知：5a ===. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求a ，可以不求出,b c 的值也可以，计算如下：5.a ====18.在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长.【详解】（1）(0,)sin C C π∈∴==，sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD===【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.19.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{}n a的前n项和n mS a=，则称{}n a 是“回归数列”.（1）①前n项和为2nnS=的数列{}n a是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2nb n=的数列{}n b是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设{}n a是等差数列，首项11a=，公差0d<，若{}n a是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a，总存在两个“回归数列”{}n b和{}n c，使得()n n na b c n N*=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）①是；②是；（2）1-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①利用公式11(2,)(1)n nnS S n n NaS n*-⎧-≥∈=⎨=⎩和2nnS=，求出数列{}n a的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；②求出数列{}n b的前n项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出{}n a的前n项和，根据{}n a是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出d的值；（3）等差数列{}n a的公差为d，构造数列111(1),(1)()n nb a n ac n a d=--=-+，可证明{}nb、{}n c是等差数列，再利用等差数列前n项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）①当2,n n*≥∈N时，111222n n nn n na S S---=-=-=，当1n=时，112a S==，当2,n n*≥∈N时，1n nS a+=，1m n∃=+，所以数列{}n a是“回归数列”；②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=， 因为2(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)2n n m +=，使得n m S a =， 所以数列{n b }是“回归数列”； （2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，公差0d <，所以2m ∴<，又*,1,1m N m d ∈∴=∴=-；（3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得()n n n a b c n N*=+∈，证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=， 数列{n b }前n 项和11(1)2n n n B ma a -=-，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =， 所以存在正整数(3)22n nm -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，数列{n c }前n 项和n C =1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式11(2,)(1)n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，等差数列的前n 项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.。

2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一､填空题1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】 【分析】由三角函数的定义可直接求得sin α.【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴4sin 5α==.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 2. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π 【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 考点：三角函数的周期3. 已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0 【解析】 【分析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.4. 在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或01205. 设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论.. 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5 【解析】 【分析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可 【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 7. 在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C________．239【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：a===所以13239sin sin sin sin33ab c aA B C A,【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8. 已知三棱柱111ABC A B C-的6个顶点都在球O的球面上，若3cmAB=，4cmAC=，AB AC⊥，112cmAA=，则球O的表面积为______2cm.【答案】169π【解析】【分析】由于直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱111ABC A B C-，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 9. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2 【解析】 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =-，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅()221122222=--+⨯=-++=，故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.10. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+ 【解析】 【分析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.二､选择题11. 设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ）A. B.D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B .【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A. y=1-2sin 2πxB. y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C. y=tanπ2x D. y=sin πxcos πx【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意； y=tanπ2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 13. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C 【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C14. 在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选 A.15. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三､解答题16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】 【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题. 17. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，且c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（2. 【解析】【分析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可； （2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒， 又c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，c =()sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45A =︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴11sin 222ABC S bc A ==⨯=△【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ； （2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点. 所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ， 所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点， 所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形， 所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ， 所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=， 所以平面//ACF 平面1B DE ， 所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 19. 已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值. 【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a cC b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=.（2）由正弦定理得sinsin B a B A b ==，c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sina b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos 12sin 226B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC 的周长l 的最大值为3. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 20. 如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾. 试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥． 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =， 这显然与1EO =，5EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。

北京一零一中学2019年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知与之间的一组数据:则与的线性回归方程必过点A．（2 ,2）B．（1．5, 0）C．（1, 2）D．（1．5, 4）参考答案：D2. 若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】因为要求x＜0时的解析式，先设x＜0，则﹣x＞0，因为已知x＞0时函数的解析式，所以可求出f（﹣x），再根据函数的奇偶性来求f（x）与f（﹣x）之间的关系．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=x+1又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x+1）=﹣x﹣1故选B【点评】本题主要考查了已知函数当x＞0的解析式，根据函数奇偶性求x＜0的解析式，做题时应该认真分析，找到之间的联系．4. 以（1，﹣1）为圆心且与直线x+y﹣=0相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=3参考答案：D【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：圆的半径，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=3．5. 在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）A．10% B．20% C．30% D．40%参考答案：B【考点】频率分布表．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据统计表和样本来估计总体的概念即可求出．【解答】解：由表可知，优秀的人数为3+1=4，故分数在130分（包括130分）以上者为优秀，则优秀率为=20%，故据此估计该班的优秀率约20%，故选：B．【点评】本题考查了频率分布表的应用和用样本来估计总体，属于基础题．6. 小明周末从家骑车到图书馆，一路匀速行驶，离家不久后发现借阅证掉在家里，于是返回家里找到了借阅证后再去图书馆，与以上事件吻合的最好的图象是（）参考答案：D根据题意，一开始匀速行驶，因此图象是上升直线段，发现没带图书证后停下，返回是下降的直线段，取上图书证后一路匀速，又是上升的直线段，故选D.7. 已知0,且1, f(x)=x当x时恒有f(x),则实数的取值范围是（）A. (0,)B. []C. [,1)D. (0, ]参考答案：C8. 在等比数列{a n}中，a n＞0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由{a n}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由a n＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵a n＞0，∴a3+a5=5．故选：A．9. sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=，故选D．10. 已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算=．参考答案：考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan（45°﹣15°）=tan30°，从而求得结果．解答：解：==tan（45°﹣15°）=tan30°=，故答案为：．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．12. 已知，则.参考答案：sin （）＝cos （）＝cos（），∴cos（）．故答案为：．13. 某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系。

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案(共23页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2019年重点高中高一新生分班考试数学卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

=，则cosB.【答案】ααα．故选：D．M={N={ZB. N MC. M N=D.∴又；下列函数为奇函数，且在（－A. B. C. D. 【答案】B）＝是奇函数，则（﹣∞，f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．已知函数R，）的最小正周期为的图象，只要将的图象（向左平移向右平移个单位长度向左平移向右平移个单位长度试题分析：由的最小正周期是，即象可由的图象向左平移个单位得到．故选A．考点：函数的图象与性质．（）的图象是（当当本题选择（209T•，由此••，求得ω的最小值为，设偶函数在（－与A. B. C. D.，解得，。

又递增，递减，所以。

且递减，所以应选2+=解：（lg1）]2+（）02+1＝﹣3．，【答案】【解析】根据【详解】解：∵；＝；∴故答案为：．本题考查平行向量的坐标关系，同角基本关系式可，已知三角函数值求角．【答案】【解析】θ．故答案为：本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，若函数x+（则试题分析：由题意得，，所以的最小值是考点：三角函数及其性质.的值域是，，]，]内一点，+3=可以得到有【详解】解：如图，取∴∴D，O，E三点共线，即DE∴故答案为：3计算：【答案】，，∴原式【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．已知函数=+，其中）求函数的定义域；）若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间。

；）要使函数有意义，则，得，，函数是奇函数。

c的值；的最小值是，求或恒成立得到，从而求解，）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得∴，解得；（法二）：h，其图象对称轴为，当（x）min＝当解得或（舍）当（x）min．本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．设函数=Asin（，，≤）在处取得最大值相邻两个交点的距离为的解析式；）求函数=2 sin（2x+）；（2，处取得最大值）由三角函数恒等变换的应用化简可得，由）的值域．【详解】解：（1）由题意可得：，于是，（x）＝2sin（2x+处取得最大值（＜π，故）的解析式为）可得：故令t＝cos2x，可知0≤t≤且即从而，因此，函数g（x）的值域为y＝Asin（ωx+已知函数+，若）上为增函数，则称比增函数”；若）上为增函数，则称“一阶比增函数”组成的集合记为12，若∈0<a<b<c，∈的部分函数值由下表给出：求证：；+<k}M，使得任意的，任意的，有x得h由x，对∈Ω2；当h＜，函数在（0，+，可得＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出．）根据“二阶比增函数”先证明y，当舍去；时，，此时函数综上可得：当h＜0时，∈Ω1且）因为，且所以，所以同理可证，，三式相加得，所以因为，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。

2019北京一零一中学高一（上）期末数学一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若，，则A. B. C. D.2.集合，，则A. B. C. D.3.下列命题中正确的是A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行4.下列函数为奇函数，且在上单调递减的是A. B. C. D.5.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6.如图所示，函数且的图象是A. B.C. D.7.函数在区间上至少出现10次最大值，则的最小值是A. B. C. D.8.设偶函数在上是增函数，则与的大小关系是A. B.C. D. 不能确定二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.求值：______．10.已知向量，，，若，则x的值是______．11.若，则______．12.若函数的一个对称中心是，则的最小值是______．13.函数的值域是______．14.已知点O为三角形ABC内一点，，则______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.求值：．16.已知函数，其中且．求函数的定义域；若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间．17.已知，，函数是奇函数．求a，c的值；当时，的最小值是1，求的解析式．18.设函数其中，，在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求的解析式；求函数的值域．19.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．已知函数，若且，求实数h的取值范围；已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；，，请问：是否存在常数M，使得，，有成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．数学试题答案1. 【答案】D【解析】解：，，．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．2. 【答案】A【解析】解：；或，；或；又；．故选：A．根据即可得出或，，从而得出或，从而可得出，从而选A．考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为，，偶数表示为，．3. 【答案】D【解析】解：对于A，共线向量不一定相等，A错误；对于B，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；对于D，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D正确．故选：D．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可．本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．4. 【答案】B【解析】解：是偶函数，不满足条件．B.是奇函数，则上是减函数，满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D.是非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见的奇偶性和单调性比较基础．5.【答案】A【解析】解：由题知，所以，故选：A．由周期函数的周期计算公式：，算得接下来将的表达式转化成与同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．6. 【答案】C【解析】解：，函数且的图象是C．故选：C．根据x的取值情况分类讨论，去掉中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．7. 【答案】C【解析】解：函数在区间上至少出现10次最大值，，即，求得，故的最小值为，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质可得，即，由此求得的最小值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 【答案】B【解析】解：为偶函数，在上是增函数，在上单调递减，．故选：B．由为偶函数，求出，由在上是增函数，求出，从而在上单调递减，由此能判断与的大小关系．本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．9. 【答案】【解析】解：．故答案为：．由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．10. 【答案】【解析】解：；；；；；；；；．故答案为：．根据即可得出，两边平方即可得出，从而得出，根据x的范围即可求出2x的范围，从而求出2x的值，进而得出x的值．考查平行向量的坐标关系，，以及二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角．11. 【答案】【解析】解：，．故答案为：．根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于式子，代入求值即可．本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结．12. 【答案】2【解析】解：函数的一个对称中心是，，，即，故的最小值为2，故答案为：2．由题意根据余弦函数的对称性可得，，由此的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题．13. 【答案】【解析】解：，要使函数有意义则，则，此时，则，即函数的值域为，故答案为：根据根式的意义结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查函数的值域的计算，结合根式的应用以及三角函数的有界性是解决本题的关键．14. 【答案】3【解析】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；；，O，E三点共线，即DE为的中位线；，；；．故答案为：3．可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到，从而得出DE为的中位线，这样即可得到，从而便有．考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．15. 【答案】解：由诱导公式可得：，，，，，原式．【解析】由条件利用诱导公式求得、、、、的值，可得要求式子的值．本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．16. 【答案】解：要使函数有意义，则，得，得，即函数的定义域为，，设，当时，，若函数有最小值而无最大值，则函数为减函数，则，要求的单调增区间，则等价于求，在时的减区间，的单调递减区间为，的单调递减区间为．【解析】根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域根据复合函数单调性的性质确定，结合复合函数单调性的关系进行求解即可．本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a的范围是解决本题的关键．17. 【答案】解：法一：，又为奇函数，，对恒成立，，解得；法二：，为奇函数，，，，．，其图象对称轴为，当，即时，，；当，即时，，解得或舍；当，即时，，舍，或．【解析】法一：化简，由对恒成立得到，从而求解，法二：化简，由奇函数可得，，从而求解；根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定的最小值在何时取得，从而求的解析式．本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．18. 【答案】解：由题意可得：，，于是，故，由在处取得最大值2可得：，又，故，因此的解析式为．由可得：，故，，令，可知且，即，从而，因此，函数的值域为．【解析】先确定函数的周期，可得的值，利用函数其中，，在处取得最大值2，即可求得的解析式；由三角函数恒等变换的应用化简可得，，由，即可求得函数的值域．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．19. 【答案】解：，若，则；，，当，时，，此时，不符合题意，舍去；当时，，此时函数在有极值点，因此．综上可得：当时，且．因此h的取值范围是．证明：由，若取，则．由表格可知：，，，，，，，，，，，．Ⅲ集合合，且存在常数k，使得任取，，存在，存在常数k，使得对成立．我们先证明对成立．假设存在，使得，记是二阶比增函数，即是增函数．当时，，，一定可以找到一个，使得，这与对成立矛盾．即对成立．存在，对成立．下面我们证明在上无解．假设存在，使得，是二阶增函数，即是增函数．一定存在，使，这与上面证明的结果矛盾．在上无解．综上，我们得到存在，对成立．存在常数，使得存在，，有成立．又令，则对成立，又有在上是增函数，，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有．的最小值为0．【解析】根据：且，可得，利用二次函数的单调性可得；由，，对h分类讨论可得：当，此时；当时，，函数在有极值点，可得即可得出．由，取，可得由表格可知：，，，，，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出．根据“二阶比增函数”先证明对成立再证明在上无解即可得出．本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。

2019年北京一零一中学新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是()A. 2√2B. 4C. 3√2D. 62.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是()A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是()A. 205B. 250C. 502D. 5204.如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x (x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，则代数式1a−1b的值为()A. −12B. 12C. −14D. 145.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a≠0,a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟6.如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为()A. 4√2B. 4C. 3√3D. 2√27.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a，BC=b，∠DAO=x，则点C到x轴的距离等于()A. acosx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. asinx+bsinx8.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0，②b−2a<0，③a−b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b．正确的是()二、填空题（本大题共9小题，共27分）9.已知y=√(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是______．10.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．第10题图第11题图11.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为______．(x<0)的图象上，AC=BC.过点C 12.如图，等腰△ABC的两个顶点A(−1,−4)、B(−4,−1)在反比例函数y=k1x(x<0)的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单作边AB的垂线交反比例函数y=k1x(x>0)图象上一点，则k2=______．位长度，到达反比例函数y=k2x13.观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O.也会有类似的结论，你的结论是______．14.如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=√3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于______．15.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)PFPQ +PEPM=______．(2)若PN2=PM⋅MN，则MQNQ=______．第16题图第17题图17.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、解答题（本大题共10小题，共49分）18.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：收费标准目的地起步价(元)超过1千克的部分(元/千克)上海a b北京a+3b+4实际收费目的地质量费用(元)上海29北京322求a，b的值．19.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K.搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．(1)第一次摸到字母A的概率为______；(2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．(x> 20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,−4)、B(2,0)，交反比例函数y=mx0)的图象于点C(3,a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(0<n<3)，PQ//y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△DPQ面积的最大值．21.习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”.兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”.近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：(1)2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了______天；(2)这七年的全年空气质量优良天数的中位数是______天；(3)求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；(4)《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年(共366天)兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．22.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x 小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/小时；(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．23.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．(1)点F到直线CA的距离是______；(2)固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．24. 已知直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)，点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点．(1)当直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；(2)在(1)的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；(3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．25. 问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F.探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG≌△BAE ，再证明△BFG≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是______；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠BAD +∠BCD =180°，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD 、DC 于E 、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离．26.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．27.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y=2x(______)；(m≠0)(______)；②y=mx③y=3x−1(______).(2)若点A(1,m)与点B(n,−4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b，c是常数)同时满足下列两个条件：①a+b+c=0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA//BC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BD//y轴，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM=BD=√2，BD⋅AE=2，BD=√2，∵S△ABD=12∴AE=2√2，∵∠ADB=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，(x>0)的图象经过A、D两点，∵反比例函数y=kx∴k=√2m=(m−2√2)×3√2，解得m=3√2，∴k=√2m=6．故选：D．根据三角形面积公式求得AE=2√2，易证得△AOM≌△CBD(AAS)，得出OM=BD=√2，根据题意得出△ADE是本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A 、D 的坐标是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比， 所以表述正确的序号是②③；故选：A ．根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：(x +2)2−x 2=(x +2−x)(x +2+x)=4x +4，若4x +4=205，即x =2014，不为整数，不符合题意； 若4x +4=250，即x =2464，不为整数，不符合题意； 若4x +4=502，即x =4984，不为整数，不符合题意；若4x +4=520，即x =129，符合题意．故选：D ．设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题意得，{y =4x y =x −1，解得，{x =1+√172y =√17−12或{x =1−√172y =−1−√172(舍去)， ∴点P(1+√172,√17−12)， 即：a =1+√172，b =√17−12， ∴1a −1b =1+√17√17−1=−14， 故选：C ． 根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a 、b 的值，代入计算即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．5.【答案】C【解析】解：将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，{9a+3b+c=0.8 16a+4b+c=0.9 25a+5b+c=0.6，解得{a=−0.2 b=1.5c=−1.9，所以函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−b2a =− 1.52×(−0.2)=3.75，则当t=3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，可得函数关系式为：p=−0.2t2+ 1.5t−1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．6.【答案】A【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC=OD=OB，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，∵AE=2√5，∴x2+(2x)2=(2√5)2，解得x=2或−2(不合题意舍弃)，∴OA=OD=4，∴AB=AD=4√2，故选：A．连接AE，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，AE=2√5，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠DAO=x，∵sin∠DAO=ODAD ，cos∠CDE=DECD，∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx，DE=D×cos∠CDE=acosx，∴OE=DE+OD=acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，证出∠CDE=∠DAO=x，由三角函数定义得出OD=bsinx，DE=acosx，进而得出答案．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，所以−2a>0．又b>0，所以b−2a>0，故此选项错误；③当x=−1时，y=a−b+c<0，故此选项错误；④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c>an2+bn+c，故a+b>an2+bn，即a+b>n(an+b)，故此选项正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a =1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．9.【答案】2032【解析】解：当x<4时，原式=4−x−x+5=−2x+9，当x=1时，原式=7；当x=2时，原式=5；当x=3时，原式=3；当x≥4时，原式=x−4−x+5=1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+⋯+1=15+1×2017=2032．故答案为：2032．直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10.【答案】12【解析】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA=∠GCB=45°，∴∠ECG=90°，设AC=2，BC=1，∴CE =2√2，CG =√2， ∴tan∠GEC =CG EC =12，故答案为：12．根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 11.【答案】10【解析】解：连接OA ，OB ，∵A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，∵∠ADB =18°，∴∠AOB =2∠ADB =36°，∴这个正多边形的边数=360°36∘=10，故答案为：10．连接OA ，OB ，根据圆周角定理得到∠AOB =2∠ADB =36°，于是得到结论．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键． 12.【答案】1【解析】解：把A(−1,−4)代入y =k 1x 中得，k 1=4， ∴反比例函数y =k 1x 为y =4x ， ∵A(−1,−4)、B(−4,−1)，∴AB 的垂直平分线为y =x ，联立方程驵{y =4x y =x，解得{x =−2y =−2，或{x =2y =2， ∵AC =BC ，CD ⊥AB ，∴CD 是AB 的垂直平分线，∵CD 与反比例函数y =k 1x (x <0)的图象于点D ， ∴D(−2,−2)，∵动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y =k 2x (x >0)图象上一点，∴设移动后的点P 的坐标为(m,m)(m >−2)，则(x +2)2+(x +2)2=(3√2)2，∴x=1，∴P(1,1)，(x>0)中，得k2=1，把P(1,1)代入y=k2x故答案为：1．，再与直线y=x联立方程组求得D点坐标，再题意求得运动后P点的坐标，最用待定系数求得反比例函数y=k1x(x>0)求得结果．后将求得的P点坐标代入y=k2x本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等腰三角形的性质，求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标，待定系数法，关键是确定直线CD的解析式．13.【答案】A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n【解析】解：∵(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，=60°；∠NOC=(3−2)×180°3= (2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=(4−2)×180°4 90°；= (3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=(5−2)×180°5 108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与A n M相交于O．．也有类似的结论是A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°n故答案为：A1N=A n M，∠NOA n=(n−2)×180°．n根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．14.【答案】219【解析】解：∵B1O=B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1=A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1//B2A2，∴B1A1=12A2B2，∴A2B2=2A1B1，同法可得A3B3=2A2B2=22⋅A1B1，…，由此规律可得A20B20=219⋅A1B1，∵A1B1=OA1⋅tan30°=√3×√33=1，∴A20B20=219，故答案为219．利用三角形中位线定理证明A2B2=2A1B1，A3B3=2A2B2=22⋅A1B1，寻找规律解决问题即可．本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．15.【答案】7【解析】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有(x+2+3)张牌，A同学有(x−2)张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3−(x−2)=x+5−x+2=7．故答案为：7．本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A同学有(x−2)张．16.【答案】1 √5−12【解析】解：(1)∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN=90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN=∠MPN=90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE=∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴PEQF =PNQN，即PEPN=QFQN①，∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°，∴∠NPQ =∠PMQ ，∵∠PQN =∠PQM =90°，∴△NPQ∽△PMQ ，∴PN MP =NQ PQ ②，∴①×②得PE PM =QF PQ ，∵QF =PQ −PF ，∴PE PM =QF PQ =1−PF PQ ，∴PF PQ +PE PM =1，故答案为：1；(2)∵∠PNQ =∠MNP ，∠NQP =∠NPQ ，∴△NPQ∽△NMP ，∴PN MN =QN PN ，∴PN 2=QN ⋅MN ，∵PN 2=PM ⋅MN ，∴PM =QN ，∴MQ NQ =MQ PM ，∵tan∠M =MQ PM =PM MN ， ∴MQ NQ =PM MN ， ∴MQ NQ =NQ MQ+NQ ，∴NQ 2=MQ 2+MQ ⋅NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQ NQ ，设MQ NQ =x ，则x 2+x −1=0， 解得，x =√5−12，或x =−√5+12<0(舍去)， ∴MQ NQ =√5−12， 故答案为：√5−12．(1)证明△PEN∽△QFN ，得PE PN =QF QN ①，证明△NPQ∽△PMQ ，得PN MP =NQ PQ ②，再①×②得PE PM =QF PQ ，再变形比例式便可求得结果； (2)证明△NPQ∽△NMP ，得PN 2=NQ ⋅MN ，结合已知条件得PM =NQ ，再根据三角函数得MQ NQ =PM MN ，进而得MQ 与NQ 的方程，再解一元二次方程得答案．本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式． 17.【答案】4【解析】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，∴DG//BT ，∵AD =DB ，AE =EC ，∴DE//BC ，∴四边形DGBT 是平行四边形，∴BG =DT ，DG =BT ，∠BDH =∠ABC =45°，∵AD =DB =3√2， ∴BH =DH =3，∵∠TBF =∠BHF =90°，∴∠TBH +∠FBH =90°，∠FBH +∠F =90°，∴∠TBH =∠F ，∴tan∠F =tan∠TBH =BT BF =DG BF =13， ∴TH BH =13， ∴TH =1，∴DT =TH +DH =1+3=4，∴BG =4．故答案为4．如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ，证明四边形DGBT 是平行四边形，求出DH ，TH 即可解决问题．本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．18.【答案】解：依题意，得：{a +(2−1)b =9a +3+(3−1)(b +4)=22，解得：{a =7b =2． 答：a 的值为7，b 的值为2．【解析】根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a ，b 的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19.【答案】13【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，其中是A 的只有1种，因此第1次摸到A 的概率为13，故答案为：13；(2)用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中从左到右能构成“OK ”的只有1种，∴P (组成OK)=19． (1)共有3种可能出现的结果，其中是A 的只有1种，可求出概率；(2)用树状图表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．本题考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是得出正确答案的关键． 20.【答案】解：(1)把A(0,−4)、B(2,0)代入一次函数y =kx +b 得，{b =−42k +b =0，解得，{k =2b =−4， ∴一次函数的关系式为y =2x −4，当x =3时，y =2×3−4=2，∴点C(3,2)，∵点C 在反比例函数的图象上，∴k=3×2=6，∴反比例函数的关系式为y=6x，答：一次函数的关系式为y=2x−4，反比例函数的关系式为y=6x；(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P(n,6n)，点Q(n,2n−4)，∴PQ=6n−(2n−4)，∴S△PDQ=12n[6n−(2n−4)]=−n2+2n+3=−(n−1)2+4，∴当n=1时，S最大=4，答：△DPQ面积的最大值是4．【解析】(1)由A(0,−4)、B(2,0)的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；(2)根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．21.【答案】26 254【解析】解：(1)∵296−270=26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；(2)∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；(3)∵x−=17(213+233+250+254+270+296+313)≈261(天)，则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；(4)∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%=292.8≈293(天)，则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．(1)根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；(2)先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；(3)根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；(4)用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．本题考查了折线统计图、加权平均数、中位数，解决本题的关键是掌握折线统计图．22.【答案】80【解析】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；故答案为：80；(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(240−80)÷80=(小时)，∴点E 的坐标为(3.5,240)，设线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b ，则：{1.5k +b =803.5k +b =240，解得{k =80b =−40， ∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为：y =80x −40；(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290÷80+0.5=4.125(小时)，12：00−8：00=4(小时)，4.125>4，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；(2)根据题意求出点E 的横坐标，再利用待定系数法解答即可；(3)求出到达乙地所行驶的时间即可解答．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 23.【答案】1 π12【解析】解：(1)如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，{∠BAC=∠FCD ∠ABC=∠CDF AC=CF，∴△ABC≌△CDF(AAS)，∴FD=BC=1，故答案为1；(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S 阴=S△EFC+S扇形ACF−S扇形CEH−S△AHC=S扇形ACF−S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．(3)如图2中，过点E作EH⊥CF于H.设OB=OE=x．在Rt △ECF 中，∵EF =1，∠ECF =30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32， 在Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=√1+x 2，∴OH =CH =OC =32−√1+x 2， 在Rt △EOH 中，则有x 2=(√32)2+(32−√1+x 2)2， 解得x =√73或−√73(不合题意舍弃)， ∴OC =√1+(√73)2=43， ∵CF =2EF =2，∴OF =CF −OC =2−43=23．(1)如图1中，作FD ⊥AC 于D.证明△ABC≌△CDF(AAS)可得结论．(2)线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．根据S 阴=S △EFC +S 扇形ACF −S 扇形CEH −S △AHC =S 扇形ACF 计算即可．(3)如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H.设OB =OE =x.在Rt △EOH 中，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查作图−旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24.【答案】解：(1)∵直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)， ∴−k −2=0，1+b +c =0，∴k =−2，c =−b −1，∴直线y =kx −2的解析式为y =−2x −2，∵抛物线y =x 2−bx +c 的顶点坐标为E(b 2,4c−b 24)， ∴E(b 2,−4b−4−b 24)，∵直线y =−2x −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E ，∴−4b−4−b 24=−2×b2−2，解得，b =2，或B =−2(舍)，当b =2时，c =−3，∴E(1,−4)，故k =−2，b =2，c =−3，E(1,−4)；(2)由(1)知，直线的解析式为y =−2x −2，抛物线的解析式为y =x 2−2x −3，∴C(0,−3)，Q(2,−3)，如图1，设直线y =−2x −2与y 轴交点为N ，则N(0,−2)，∴CN =1，∴S △ACE =S △ACN +S △ECN =12×1×1+12×1×1=1， ∴S △EQM =12， 设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合，设直线EQ 的解析式为y =dx +n(d ≠0)，则{2d +n =−3d +n =−4， 解得，{d =1n =−5， ∴直线EQ 的解析式为y =x −5，∴D(5,0)，∴S △EQM =S △EDM =S △QDM =12DM ×|−4|−12DM ×|−3|=12DM =12|5−m|=12，解得，m =4，或m =6；(3)∵点D(b +12,y D )在抛物线y =x 2−bx −b −1上，∴y D =(b +12)2−b(b +12)−b −1=−b 2−34，可知点D(b +12,−b 2−34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧，。

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√526.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()D. y=x+2A. y=xB. y=x+1C. y=x+128.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．②分别以点D、E为圆心，大于12③作射线BF交AC于点G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．得DF=1411.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．120°，AB+AC=16，MN14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共12小题，共46分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x −y =______，x +y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可． 本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y =0，解得x =−1或3，令x =0，求得y =−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2，∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴GM=9，2∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF =45，∴EDGC =45，∴EOGO =45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=4√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+m，即可求解；(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，依题意，得：7200(1+50%)x −3200x=40，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，∴(1+50%)x =60，3200x =80，7200(1+50%)x =120． 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其分别代入(1+50%)x ，3200x ，7200(1+50%)x 中即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−1 5 −11【解析】解：(1){2x +y =7 ①x +2y =8 ②． 由①−②可得：x −y =−1，由13(①+②)可得：x +y =5．故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，依题意，得：{20m +3n +2p =32 ①39m +5n +3p =58 ②， 由2×①−②可得m +n +p =6，∴5m +5n +5p =5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a +5b +c =15 ①4a +7b +c =28 ②， 由3×①−2×②可得：a +b +c =−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x −y 的值，利用13(①+②)可得出x +y 的值；(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①−②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a +b +c 的值，即1∗1的值．。

t a n70∘米si n70∘米2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A.200tan70°米B.200C.200sin70°米D.2002.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A.abc>0B.4ac−b2<0C.3a+c>0D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK△和GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()B. 若|x − 1| > |x − 1|，则y < yD. 若y = y ，则x = xA. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点O.若AE = 5，BF = 3，则 AO的长为( )A. √5B. 3 √52C. 2√5D. 4√56.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的()A.B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，连接 AB ，将Rt △ OAB 向右上方平移，得到Rt △ O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()A. y = xB. y = x + 1C. y = x + 1D. y = x + 228.已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 − 2ax 上的点，下列命题正确的是()A. 若|x 1 − 1| > |x 2 − 1|，则y 1 > y 2 C. 若|x 1 − 1| = |x 2 − 1|，则y 1 = y 21 2 1 21 2 1 2⏜二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）9.如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、BC 于点 D 、E ．②分别以点 D 、E 为圆心，大于1 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ．2③作射线 BF 交 AC 于点 G ．如果AB = 8，BC = 12△，ABG 的面积为 18△，则 CBG 的面积为______．10. 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 10，BC = 8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得DF = 1 DE ，以 EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最小值为______．411. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 为常数，a < 0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2，x 2 = −4； ②若点C(−5, y 1)，D(π, y 2)在该抛物线上，则y 1 < y 2；③对于任意实数 t ，总有a t 2 + bt ≤ a − b ；④对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数，p > 0)的根为整数，则 p 的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12. 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB = 1，AD = 2.设 AM 的长为 t ，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______．第 12 题图第 13 题图13. 如图，在△ ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB ，AC 相切于点 M ，N.已知∠BAC =120°，AB + AC = 16，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为______．14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？(1)已知二元一次方程组{四、解答题（本大题共 12 小题，共 46 分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品甲乙进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)72003200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x 、y 满足3x − y = 5①，2x + 3y = 7②，求x − 4y 和7x + 5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① − ②可得x − 4y = −2，由① + ② × 2可得7x + 5y = 19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：2x + y = 7,x + 2y = 8,则x − y =______，x + y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？(3)对于实数 x 、y ，定义新运算：x ∗ y = ax + by + c ，其中 a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3 ∗ 5 = 15，4 ∗ 7 = 28，那么1 ∗ 1 =______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点x P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE=AB=2，AE=4，AB=8，将矩形AEFGAG AD3绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数2个整数之和1，231，342，35如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数2个整数之和1，231，341，452，352，463，47如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26. 已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：x …−2−1 01 2… y… m−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及 m ，n 的值；(3)请在图 1 中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y = m(m > −2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系______．27. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图 2，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ ABD ，Rt △ ACE ，Rt △BCF ，若∠1 = ∠2 = ∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为______；推广验证(2)如图 3，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ ABD △， ACE △， BCF ，满足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F ，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 4，在五边形 ABCDE 中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB = 2√3，DE = 2，点 P 在 AE上，∠ABP = 30°，PE = √2，求五边形 ABCDE 的面积．28. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1 )，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．t a n70∘=t a n70∘，即河宽t a n70∘米，2a =−1，答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQ，PT∴PT=PQ200200故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，12=1，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=AB=BE 62∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，2×1 = 1， 解得{ ∴ OA = OC = 2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF = FC = AE = 5，由勾股定理求出 AB ，AC ，进而求出 OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于 0，则可以判断 A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随 t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度 h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，令y = 0，解得x = −1或 3，令x = 0，求得y = −3，∴ A(3,0)，B(0, −3)，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3的对称轴为直线x = −∴ A′的横坐标为 1，设A ′(1, n)，则B′(4, n + 3)，∵点B′落在抛物线上，∴ n + 3 = 16 − 8 − 3，解得n = 2，∴ A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y = kx + b ，∴{ k + b = 2 ， 4k + b = 5k = 1−2故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴△CBG的面积为：1×BC×GN=1×12×9=27．222故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EO=DO=ED，GO OC GC∵DF=1DE，4∴DE=4，EF5∴ED=4，GC5∴EO=4，GO5∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有a t2+b t+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+b t≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】1t2−1t+144【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t 2+1，4∴DE=t2+1，4∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，211⏜∴FG=t，2∵CG=DE=t2+1，4∴CF=t2−t+1，42∴S四边形CDEF=1(CF+DE)×1=4t2−4t+1．故答案为：1t2−1t+1．44连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN的长为π，∴60πr=π，180∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，⏜②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，1120π×32=×3×(BM+CN)−()23603=(16−2√3)−3π2=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(62)⋅180°=120°，6所以∠ABC=120°90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH OH=43=1，∴E(0,1)，D(2,0)，32依题意，得：∴该抛物线的函数表达式y = kx 2 + 1，把点D(2,0)代入，得k = − 1，4∴该抛物线的函数表达式为：y = − 1 x 2 + 1；4(2) ∵ GM = 2，∴ OM = OG = 1，∴当x = 1时，y = 3，4∴ N(1, 3)，4∴ MN = 3，4矩形MNFG = MN ⋅ GM = 4 × 2 = 3，∴ S∴每个 B 型活动板房的成本是：425 + 3 × 50 = 500(元)．2答：每个 B 型活动板房的成本是 500 元；(3)根据题意，得w = (n − 500)[100 +20(650 − n)10]= −2(n − 600)2 + 20000，∵每月最多能生产 160 个 B 型活动板房，∴ 100 + 20(650−n) ≤ 160，10解得n ≥ 620，∵ −2 < 0，∴ n ≥ 620时，w 随 n 的增大而减小，∴当n = 620时，w 有增大值为 19200 元．答：公司将销售单价n(元)定为 620 元时，每月销售 B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是 19200 元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点 D 和点 E 的坐标，代入y = kx 2 + m ，即可求解；(2)根据 M 和 N 的横坐标相等，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，即可求解；(3)根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为(1 + 50%)x 元/件，7200(1+50%)x− 3200 = 40，x第23页，共36页∴(1+50%)x=60，3200=80，(1+50%)x=120．x ，(1+50%)x中即可得出结论．解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，7200x答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，32007200本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−15−112x+y=7 ①【解析】解：(1){．x+2y=8 ②由①−②可得：x−y=−1，由1(①+②)可得：x+y=5．3故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32 ①，39m+5n+3p=58 ②由2×①−②可得m+n+p=6，∴5m+5n+5p=5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a+5b+c=15 ①，4a+7b+c=28 ②由3×①−2×②可得：a+b+c=−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x−y的值，利用1(①+②)可得出x+y的值；3(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①−②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a+b+c的值，即1∗1的值．。