水平面的圆盘模型史上最全版

第二章 圆周运动解题模型：一、水平方向的圆盘模型1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度ωμ12=gr时，细绳的拉力F T 1。

（2）当转盘的角速度ωμ232=gr时，细绳的拉力F T 2。

图2.01解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度ω0则μωmg m r =02，解得ωμ0=gr。

（1）因为ωμω102=<gr，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即F T 10=。

（2）因为ωμω2032=>gr，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得F mgT 22=μ。

2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102/）图2.02解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r fm =1022ω，得：ω011111055===F m r m gm r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题09 水平面内的圆周运动模型一、圆锥摆模型1．如图为欢乐谷空中飞椅示意图，其顶端转盘上用等长钢丝绳吊着多个相同座椅。

甲、乙两人分别坐在A 、B 座椅中，当转盘以一定的角速度匀速转动时，连接A 、B 座椅的钢丝绳与竖直方向的夹角分别为α、β。

已知甲、乙两人质量分别为m 1、m 2，且m 1＞m 2，空气阻力忽略不计，若连接A 、B 座椅的钢丝绳拉力大小分别为F 1、F 2，则（ ）A ．α＜βB ．α＞βC ．F 1＞F 2D ．F 1＜F 2【答案】C【详解】竖直方向，根据平衡条件得cos F mg θ=水平方向由牛顿第二定律22sin (sin )F mr m d L θωθω==+解得2tan (sin )g d L θθω=+；cos mgF θ=即夹角与m 无关，应有αβ=质量越大，F 越大，故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

2．如图所示，竖直细杆O 点处固定有一水平横杆，在横杆上有A 、B 两点，且OA AB =，在A 、B 两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a 和b ，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a 、b 两球稳定时的位置关系可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】将小球的圆周运动等效成圆锥摆，设摆长为L ，等效摆线与竖直方向夹角为θ，2tan sin mg m L θωθ=解得ω=h 为等效悬点到小球的高度差，由于两球的角速度相同，因此h 相同。

故选C 。

3．物块放在粗糙的水平台上，一轻质细线绕过固定光滑小环，一端与物块相连，另一端吊着一个小球，连接物块部分的细线平行于水平台。

让小球在竖直平面内摆动（如图甲所示），为使物块不动，小球摆动的最大摆角为θ。

若让小球做圆锥摆运动（如图乙所示），为使物块不动，圆锥摆的最大锥角也为θ。

则cos θ为（ ）A ．12B ．23C D ．34【答案】A【详解】由题图甲知21(cos )2mg L L mv θ−=；2v F mg m L−=由题图乙知cos F mg θ=解得1cos 2θ=故选A 。

突破16 水平面内的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。

1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。

解题技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。

这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg /cos θ；D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg /cos θ. 【答案】： A【典例2】 如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A 和B 。

小球A 和B 的质量之比m A m B ＝12。

当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时，小球A 到管口的细绳长为l ，此时小球B 恰好处于平衡状态。

钢管内径的粗细不计，重力加速度为g 。

求：(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ；(2)小球A 转动的周期。

【答案】 (1)60° (2)π 2lg【典例3】 如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A. b 一定比a 先开始滑动B. a 、b 所受的摩擦力始终相等C. ω＝ kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D. 当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】 AC【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f ＝mω2R ，由于小木块b 的轨道半径大于小木块a 的轨道半径，故小木块b 做圆周运动需要的向心力较大，B 项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；当b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b ·2l ，可得ωb ＝kg2l ，C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2a l ，可得ωa ＝ kgl，而转盘的角速度2kg 3l < kgl，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f ＝mω2l ＝23kmg ，D 项错误。

水平面的圆盘模型史上最全版模型概述：水平方向上的“圆盘”模型大多围绕着物体与圆盘间的最大静摩擦力为中心展开的，因此最大静摩擦力的判断对物体临界状态起着关键性的作用。

静摩擦力通常属于被动力，应根据物体所受主动力的情况以及其运动状态判断物体的静摩擦力的大小，如果物体受到的静摩擦力已经达到最大静摩擦力，则应考虑物体是否还受到其他力的作用。

模型讲解：1.单个物体置于水平圆盘上如图所示，水平圆盘上放有质量为m 的物块A （可视为质点），物块A 到转轴的距离为r 。

物块A 和圆盘间最大静摩擦力f m 等于滑动摩擦力，动摩擦因数为μ。

当圆盘以角速度ω转动时：(1) 若物体与圆盘无相对滑动，则物体随圆盘一起做匀速圆周运动的向心力全部由静摩擦力提供，所以有mg f r m f m μω=≤=2，解得rgμω≤。

(2) 当rgμω>时，mg f r m F m n μω=>=2，物体所受静摩擦力不足以提供其做圆周运动的向心力，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

(3) 若在物体A 与转轴间有一不可伸长的细线相连，一开始绳子只是拉直，没有张力。

设线对物体的拉力为T ，当rgμω≤时，静摩擦力提供向心力，0=T ；当rgμω>时，必有r m T mg 2ωμ=+，所以必有0>T ，物体必受到指向圆心O 点的细线的拉力，而且当ω增大时，T 也随之增大。

若此时剪断细线，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

2.两个物体叠放在水平圆盘上如图所示，质量为m 1的物体A 叠放在质量为m 2的物体B 上，A 与B 、B 与圆盘的动摩擦因数分别为μ1和μ2。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

当圆盘以角速度ω转动时，分别对B 和A 受力分析可知：（1）若21μμ<，当rg1μω≤时，A 与B 、B 与圆盘无相对滑动；当rg1μω>时，物体A 将从圆周与切线的夹角范围内飞出，此时B 受到圆盘的静摩擦力由()rm m f B 221ω+=突变为r m f B 22ω=；当rg2μω>时，B 也将从圆周与切线的夹角范围内飞出；若将B 与转轴用细线连接，当rg2μω>时，细线将对B 产生拉力T ，且当ω增大时，T 也增大；若将A与转轴用细线连接，当rg1μω=时，细线将对A 产生拉力T ，然后，对A 有：r m g m T 2111ωμ=+，对B 有：r m g m f B 2211ωμ=-，所以当ω增大时，T 和B f 也增大，当B f 达到最大时，A 受到B 的摩擦力A f 将逐渐减小到0，然后反向增大，当A f 再次达到最大时，B 将飞出。

水平面内的圆周运动模型特训目标特训内容目标1圆锥摆模型(1T -5T )目标2圆锥筒、圆碗和圆筒模型(6T -10T )目标3转弯模型(11T -15T )目标4圆盘转动模型(16T -20T )【特训典例】一、圆锥摆模型1如图(a )为游乐场中的“空中飞椅”项目。

“空中飞椅”结构示意图如图(b )，转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。

若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中()A.任一时刻，所有游客的线速度都相同B.所有游客做圆周运动的周期都相同C.悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大D.悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关【答案】BCD【详解】AB ．根据题意可知，所有游客为同轴转动，则所有游客做圆周运动的角速度相同，由v =ωr 可知，游客做圆周运动的半径不同，线速度大小不同，游客的线速度方向也不同，由T =2πω可知，所有游客做圆周运动的周期都相同，故A 错误，B 正确；CD ．根据题意，设绳长为L ，悬绳与竖直方向的夹角为θ，则有mg tan θ=mω2L sin θ+r解得g ω2·1cos θ-1sin θ=L 可知，悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关，悬绳越长，θ越大，即悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大，故CD 正确。

故选BCD 。

2智能计数呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。

如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。

可视为质点的配重质量为0.5lg ，绳长为0.5m ，悬挂点P 到腰带中心点O 的距离为0.2m 。

水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g 取10m/s 2，sin37°=0.6。

下列说法正确的是()A.匀速转动时，配重受到的合力不变B.匀速转动时，腰带受到的合力不变C.当θ稳定在37°时，配重的角速度为15rad/sD.当θ由53°缓慢减少到37°的过程中，配重机械能守恒【答案】BC【详解】A ．匀速转动时，配重做匀速圆周运动，重力与轻绳拉力的合力提供配重做匀速圆周运动的向心力，可知合力大小不变，但方向在时刻发生变化，故A 错误；B ．运动过程中腰带可看作静止，处于平衡状态，所以腰带受到的合力始终为零，故B 正确；C ．对配重，由牛顿第二定律有mg tan θ=mω2(l sin θ+r )解得ω=g tan θl sin θ+r当θ稳定在37°时，解得ω=15rad/s 故C 正确；D ．由C 中公式可知，当θ稳定在53°时，角速度大于θ稳定在37°时的角速度，配重圆周半径也增大，速度增大，动能增大，同时高度上升，重力势能增大，所以机械能增大；由功能关系可知，θ由53°缓慢减小到37°的过程中，绳子对配重做的功等于配重机械能的减少量，因此可知，绳子对配重做负功，配重机械能不守恒。

模型组合讲解——水平方向的圆盘模型［模型概述］水平方向上的“圆盘”模型大多围绕着物体与圆盘间的最大静摩擦力为中心展开的，因此最大静摩擦力的判断对物体临界状态起着关键性的作用。

［模型讲解］例1. 如图1所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：图1（1）当转盘的角速度ωμ12=gr时，细绳的拉力F T 1。

（2）当转盘的角速度ωμ232=gr时，细绳的拉力F T 2。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=gr。

（1）因为ωμω102=<gr，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即F T 10=。

（2）因为ωμω2032=>gr，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得F mgT 22=μ。

例2. 如图2所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求图2（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102/）解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r fm =1022ω，得：ω011111055===F m r m gm r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题09 水平面内的圆周运动模型一、圆锥摆模型1．如图为欢乐谷空中飞椅示意图，其顶端转盘上用等长钢丝绳吊着多个相同座椅。

甲、乙两人分别坐在A、B座椅中，当转盘以一定的角速度匀速转动时，连接A、B座椅的钢丝绳与竖直方向的夹角分别为α、β。

已知甲、乙两人质量分别为m1、m2，且m1＞m2，空气阻力忽略不计，若连接A、B座椅的钢丝绳拉力大小分别为F1、F2，则（）A．α＜βB．α＞βC．F1＞F2D．F1＜F2=，2．如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，在横杆上有A、B两点，且OA AB在A、B两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a和b，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a、b两球稳定时的位置关系可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．物块放在粗糙的水平台上，一轻质细线绕过固定光滑小环，一端与物块相连，另一端吊着一个小球，连接物块部分的细线平行于水平台。

让小球在竖直平面内摆动（如图甲所示），为使物块不动，小球摆动的最大摆角为θ。

若让小球做圆锥摆运动（如图乙所示），为使物块不动，圆锥摆的最大锥角也为θ。

则cos θ为（ ）A ．12B ．23CD ．344．有一种叫“飞椅”的游乐项目示意图如图所示，长为R 的轻绳一端系着质量为m 的座椅，另一端固定在轻杆的B 点，以轻杆的A 点为支点，使轻杆旋转起来，B 点在水平面内做匀速圆周运动，轻杆的轨迹为一个母线长为L 的圆锥，轻杆与中心轴线AO 间的夹角为α。

同时座椅在轻绳的约束下做圆周运动，轻杆旋转的角速度为ω，假设座椅稳定后，轻绳与轻杆在同一竖直平面内且二者间的夹角2βα=。

则下列说法正确的是（ ）A ．座椅做圆周运动的周期为2πωB ．座椅做圆周运动的线速度与角速度的比值为()cos L R α+C ．座椅做圆周运动的线速度与角速度的乘积为tan g αD ．轻绳的拉力大小为sin mg α5．2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年之后再次登上奥运会最高领奖台。

专题08 水平面内的圆周运动模型目录【模型一】圆锥摆模型 ...................................................................................................................................... 1 【模型二】圆锥斗、圆碗模型 .......................................................................................................................... 6 【模型三】火车转弯模型 .................................................................................................................................. 8 【模型四】水平路面转弯模型 .......................................................................................................................... 9 【模型五】圆盘模型 . (11)【模型一】圆锥摆模型1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。

2．受力特点：摆球质量为m ，只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力T F 。

两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力F n ，如图所示（也可以理解为拉力F T 的竖直分力与摆球的重力平衡，F T 的水平分力提供向心力）。

4．运动特点：摆长为l ，摆线与竖直方向的夹角为θ的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O ，圆周运动的轨道半径是θsin l r =向心力 )sin /(sin tan 22θθωθl mv l m ma mg F n ====合摆线的拉力 θcos /mg F T =【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据)/(cos 2l g ωθ=可知，若角速度ω越大，则θ越大，摆线拉力θcos /mg F T =也越大，向心加速度θtan g a n =也越大，线速度r v ω==θθtan sin gl 也越大。

水平面的圆盘模型史上最全版模型概述：水平方向上的“圆盘”模型大多围绕着物体与圆盘间的最大静摩擦力为中心展开的，因此最大静摩擦力的判断对物体临界状态起着关键性的作用。

静摩擦力通常属于被动力，应根据物体所受主动力的情况以及其运动状态判断物体的静摩擦力的大小，如果物体受到的静摩擦力已经达到最大静摩擦力，则应考虑物体是否还受到其他力的作用。

模型讲解：1.单个物体置于水平圆盘上如图所示，水平圆盘上放有质量为m 的物块A （可视为质点），物块A 到转轴的距离为r 。

物块A 和圆盘间最大静摩擦力f m 等于滑动摩擦力，动摩擦因数为μ。

当圆盘以角速度ω转动时：(1) 若物体与圆盘无相对滑动，则物体随圆盘一起做匀速圆周运动的向心力全部由静摩擦力提供，所以有mg f r m f m μω=≤=2，解得rgμω≤。

(2) 当rgμω>时，mg f r m F m n μω=>=2，物体所受静摩擦力不足以提供其做圆周运动的向心力，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

(3) 若在物体A 与转轴间有一不可伸长的细线相连，一开始绳子只是拉直，没有张力。

设线对物体的拉力为T ，当rgμω≤时，静摩擦力提供向心力，0=T ；当rgμω>时，必有r m T mg 2ωμ=+，所以必有0>T ，物体必受到指向圆心O 点的细线的拉力，而且当ω增大时，T 也随之增大。

若此时剪断细线，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

2.两个物体叠放在水平圆盘上如图所示，质量为m 1的物体A 叠放在质量为m 2的物体B 上，A 与B 、B 与圆盘的动摩擦因数分别为μ1和μ2。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

当圆盘以角速度ω转动时，分别对B 和A 受力分析可知：（1）若21μμ<，当rg1μω≤时，A 与B 、B 与圆盘无相对滑动；当rg1μω>时，物体A 将从圆周与切线的夹角范围内飞出，此时B 受到圆盘的静摩擦力由()r m m f B 221ω+=突变为r m f B 22ω=；当rg2μω>时，B 也将从圆周与切线的夹角范围内飞出；若将B 与转轴用细线连接，当rg2μω>时，细线将对B 产生拉力T ，且当ω增大时，T 也增大；若将A与转轴用细线连接，当rg1μω=时，细线将对A 产生拉力T ，然后，对A 有：r m g m T 2111ωμ=+，对B 有：r m g m f B 2211ωμ=-，所以当ω增大时，T 和B f 也增大，当B f 达到最大时，A 受到B 的摩擦力A f 将逐渐减小到0，然后反向增大，当A f 再次达到最大时，B 将飞出。

第二章 圆周运动解题模型：一、水平方向的圆盘模型1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度ωμ12=gr时，细绳的拉力T 1。

（2）当转盘的角速度ωμ232=gr时，细绳的拉力T 2。

图2.010μωmg m r =0ωμ0=gr。

（1）因为ωμω102=<gr，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0T 1（2）因为ωμω2032=>gr，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉T 2由牛顿的第二定律得F mg m r T 22+=μω解得F T 22=。

2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A A 1B B 2，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =10/）图2.02解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω可知，它们受到的静摩擦力也增大，而12，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r fm =102ω，得：ω011111055===F m r m gm r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、B 就在圆盘上滑动起来。

圆周运动模型一、匀速圆周运动模型 1．随盘匀速转动模型1．如图，小物体m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是： A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O C ．重力和支持力是一对平衡力 D ．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力 2． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。

轻绳长度为L 。

现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求：（1）物体运动一周所用的时间T ；（2）绳子对物体的拉力。

3、如图所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。

圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。

问（1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？（2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？4、如图4所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上,它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a 的质量为2m ，b 和c 的质量均为m ，a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。

当圆台转动时,三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）A.这时c 的向心加速度最大 B ．这时b 物体受的摩擦力最小C.若逐步增大圆台转速，c 比b 先滑动 D ．若逐步增大圆台转速，b 比a 先滑动5、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中6、线段OB=AB ，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。

第二章 圆周运动解题模型：一、水平方向的圆盘模型1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度ωμ12=gr 时，细绳的拉力F T 1。

（2）当转盘的角速度ωμ232=g r 时，细绳的拉力F T 2。

图2.01解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=gr 。

（1）因为ωμω102=<gr ，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即F T 10=。

（2）因为ωμω2032=>g r，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得F mgT 22=μ。

2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102/）图2.02解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r fm =1022ω，得：ω011111055===F m r m g m r rad s fm./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

模型组合讲解——水平方向的圆盘模型李金宝［模型概述］水平方向上的“圆盘”模型大多围绕着物体与圆盘间的最大静摩擦力为中心展开的，因此最大静摩擦力的判断对物体临界状态起着关键性的作用。

［模型讲解］例1. 如图1所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：图1（1）当转盘的角速度ωμ12=g r 时，细绳的拉力F T 1。

（2）当转盘的角速度ωμ232=g r时，细绳的拉力F T 2。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=g r 。

（1）因为ωμω102=<gr ，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即F T 10=。

（2）因为ωμω2032=>g r，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得F mg T 22=μ。

例2. 如图2所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求图2（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102/）解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

模型10、水平面圆周运动模型由物体的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。

也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）1、解决圆周运动问题(动力学分析)的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象;明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环.(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等;(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源;(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程.2、用极限法分析圆周运动的临界问题（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态，（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态.222gR vC．6π rad/s00.25sR tv==C．4v R π【详解】小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则运动的时间为Rt=C ．A A B B r r μμ<．由牛顿第二定律与圆周运动规律：当A 刚要相对圆盘滑动时2A A A A Am g m r μω=B．A角速度比B角速度大D．当转速增大时，=可知，因．两物块随转盘一起转动，角速度相等，由v rω两小球都是所受合外力充当向心力两小球圆周运动的半径之比为tan θ小球受到的绳子拉力为cos mg θcos mg T θ=mgθsinB．b做匀速圆周运动的周期大D．两球的向心加速度相等】如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为。

当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，使物块能保持62k km mω≤≤）开始时物块处于静止状态，根据平衡条件14mg kLμ=，对圆盘的静摩擦力大小为/s转动时，P与圆盘相对静止，弹簧恰处于原长位置，mg=⨯0.510N根据牛顿第三定律可知，P 对圆盘的压力大小为5N ，对圆盘的静摩擦力大小为2.5N 。