八年级(上)第一章 轴对称图形 课时练习：第9课时 等腰三角形的轴对称性(3)

八年级数学(上)第一章轴对称图形第8课时等腰三角形的轴对称性(二)（附答案）1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC是________三角形．2．在△ABC中，∠A=50°，则当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．3．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=3 cm，那么斜边AB=________，理由是______ _______________________________________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC的中点．△DEC是等腰三角形吗?为什么?5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°．找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．6．在△ABC中，∠C=50°，∠A=65°，则△ABC是__________三角形．7．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E为边BC上的点，且∠BAD=∠DAE= ∠EAC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．89．给出下列四组条件：①已知两腰；②已知底边与顶角；③已知底角与顶角；④已知底边和底边上的高．其中能确定一个等腰三角形的是( ) A．①和②B．③和④C．②和④D．①和④10．(1)如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△_________是等腰三角形；(2)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△_________是等腰三角形；(3)如图③，若AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD的延长线于点E，则△_______是等腰三角形；(4)如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EG，EG交AB于点F，则△_________是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，BD、CE是高，M是BC的中点．请说明MD=ME．12．如图，AB=AC，∠B=∠C．试说明BD=CD．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作BC的平行线，分别与边AB、AC相交于点M、N．(1)试说明△MBO和△NCO都是等腰三角形．(2)试说明MN—MB+NC．14．数学课上，同学们探索下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC，交AC于点D．试说明△ABD与△DBC都是等腰三角形．(2)在说明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形(如图②、图③所示)也具有这种特性，请你在图②、③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．参考答案1．等腰直角2．50°、65°或80°3．6 cm 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．△DEC是等腰三角形∵AB=AC，D是BC的中点，∴A D⊥BC．又∵E为AC的中点，∴DE=12AC．∴DE=EC．∴△DEC是等腰三角形5．△ABC或△BDC或△ADB证明略6．等腰7．3 8．C 9．C 10．(1)ACE (2)ADE (3)ACE (4)AEF11．∵ME=12BC，MD=12BC．∴MD=ME．12．连接BC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB．即∠DBC=∠DCB．∴BD=DC 13．(1)∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB．又∵MN∥BC．∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB．∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO．∴BM=OM，ON=CN．即△MBO与△NCO都是等腰三角形(2)∵MO=MB，ON=NC．∴MN=OM+ON=MB+NC 14．(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵直线BD 平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°=∠A．∴AD=BD．∵∠3=1+∠A=72°=∠C，∴BD=BC．∴△ABD与△DBC都是等腰三角形(2)如图所示。

第5节等腰三角形的轴对称性(3)一、选择题1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上答案都不对3．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：(1)∠PBC ＝5°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABC，D是轴对称图形．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠EDC是( ) A．10°B．12.5°C．15°D．20°5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，其中D为BC边上的点，则∠1与∠2的大小关系是( )A．∠1＝2∠2 B．2∠1＋∠2＝180°C．3∠2－∠1＝180°D．3∠1－∠2＝180°二、填空题6．在等边三角形、角、长方形这三个图形中，对称轴最多的是_______，它共有_______条对称轴，最少的是_______，有_______条对称轴．7．周长为13，各边长均为整数的等腰三角形共有_______个，它们的底边长分别是_________．8．如图，在△ABC中，∠B＝∠A，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是_________．9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是_________．10．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状的判断是_________．三、解答题11．如图，请你用三种方法，将一个等边三角形分割成四个等腰三角形．12．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3．求PP'的长．13．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．14．已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点．且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．(1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．参考答案1．C2．B3．D 4．C 5．C6．等边三角形3角 1 7．3个1、3、58．8 cm9．45°或135°10．等边三角形11．12．313．略14．(1) 60°(2)略。

八年级数学(上)第一章轴对称图形第9课时等腰三角形的轴对称性(三)1．在等边△ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB=_________，∠BAD=_________．2．如图，在△ABC中，∠A=60°，B D⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，CE=BD，则△ABC 是_________三角形．3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，D G∥AB交BC于点G，点E在BC的延长线上，且CE=CD，则(1)∠E=________，∠BDE=________；(2)图中的等边三角形有__________个，它们是____________________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边AB的中线．△BCD是等边三角形吗?为什么?5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=BE=CF．试说明△DEF是等边三角形．6．在△ABC中，AB=AC，下列说法：①若∠A=60°，则△ABC是等边三角形；②若∠B=60°，则△ABC是等边三角形；③若∠C=60°，则△ABC是等边三角形．其中正确的是( ) A．①B．②C．③D．①②③7．如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．78．如图，若正方形ABCD内的一点P与点A、B组成等边三角形，则△PCD的三个内角度数分别为________、________、__________．9．用一块等边三角形的硬纸片(如图①)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图②)，需在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，则在四边形AMDN，中，∠MDN=__________．10．如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=_________．11．如图，BD是等边△ABC边AC上的高，延长BC至点E，使CE=CD．(1)试比较BD与DE的大小，并说明理由．(2)若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能否得出同样的结论?试说明理由．12．如图，在等边△ABC中，求作一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P有________个，并在图中标出来．13．如图①，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN是等边三角形，直线AN、MC相交于点E，直线BM、CN相交于点F．(1)试说明AN=BM．(2)试说明△CEF是等边三角形．(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断(1)、(2)两小题结论是否成立(不要求说明)．14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)说明△COD是等边三角形．(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形?参考答案1．90°30°2．等边3．(1)30°120°(2)2 △ABC和△DGC 4．△BCD是等边三角形∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵CD是斜边AB的中线．∴CD=BD．∴△BCD是等边三角形5．点拔：可证△ADF≌△BED≌△CFE，则DF=DE=EF 6．D 7．D 8．150°15°15°9．120°10．60°11．(1)BD=DE ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCB=60°=∠CDE+∠E=2∠E．∴∠E=30°=∠DBC．∴BD=DE (2)可以得出同样的结论，将BD改为△ABC的角平分线或中线时，实际上也是等边△ABC边AC上的高12．10 图略13．(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠CAN=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°．∴∠CAN=∠BCM．∴△CAN≌△BCM．∴AN=BM (2)在△NCE与△BCF中，CN=CB，∠ENC=∠FBC，∠ECN=∠NCB=60°，∴△NC E≌△BCF．∴EC=CF．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形(3)AN=BM成立，△CEF为等边三角形不成立14．(1)∵CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，∴△COD是等边三角形(2)当a=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形∵△BO C≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°．又∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90°．即△AOD是直角三角形(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO ∵∠AOD=190°－a，∠ADO=a－60°，∴190°－a=a－60°．∴a=125°②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO ∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=50°，∴a－60°=50°．∴a=110°③要使OD=AD，则∠OAD=∠AOD．∴190°－a=50°．∴a=140°．综上所述，当a的度数为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形。

学案1.5 等腰三角形的轴对称性班级姓名学号教学目标：1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的轴对称性极其相关性质能够画出简单的轴对称图形.2、等边三角形性质的运用教学重点：等腰梯形的轴对称性极其相关性质；教学难点：能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理；教学过程：一、复习提问：1．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，它们分别是_______．2．等边三角形ABC中，AD是BC•边上的中线，•那么∠ADB=•_____•°，•∠BAD=_____°．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边上的中线，△BCD•是等边三角形吗？为什么？二、探索新知：1、等边三角形的概念三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.2、那么等边三角形具有什么性质？等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.等边三角形都等于0603、探索活动思考：（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？（2）有两个角等于060的三角形是等边三角形吗？为什么？（3）有一个角等于060的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？（对于问题2要引导学生借助于两块相同的含060直角三角板进行拼图实验；对于问题3要引导分类思考.）CDEBA三、例题示范：例1. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 分析：应分两情况讨论，一是当这个角是底角时；二是当这个角是顶角时.例2如图,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=120°, AD ⊥AB,AE ⊥AC. ⑴图中,等于30°的角有__ _,等于60°的角有 ; ⑵△ADE 是等边三角形吗?为什么?⑶在Rt △ABD 中, ∠B=_____,AD=_____BD;在Rt △ACE 中,有类似结论吗?五、课堂小结：等边三角形是底和腰相等的等腰三角形，有3条对称轴，每个角都是600. 六、课后作业： 七、教学后记：【课后作业】1、底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.2、剪四个同样大小的等边三角形，你能将这四个三角形拼成一个三角形吗?是一个什么三角形?3、在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是 ，它共有 条对称轴，最少的是 ，有 条对称轴．4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是________°．ABCMNP Q5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，在△ABC 中，AB=AC ， B F 与CF 是角平分线且交于点F ，DE ∥BC ，若B D+CE=9，则线段DE 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线， ∠BAC=110°，那么∠PA Q 等于 °．8、如图，在等边三角形ABC 的边BC 、AC 上分别取点D 、E ，使BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ．求∠AFE 的度数．（第7题）ABCD E FEF DC BAABCP ′P9．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 的延长线上，•且BD=CE=AF ．△DEF 也是等边三角形吗？为什么？F CB A10、如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ˊ重合，如果A P=3，求PP ˊ的长．11、在两个三角形中，它们的内角分别为：（1）20°，40°，120°；（2） 20°，60°，100°，怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？试画出图形．。

2.如图，60OA=cm，动点P从点A出发沿AB以∠=︒，点A是BO延长线上的一点，10BOC2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发，用()∆是等腰三角形.t s表示移动的时间，当t=时，POQ2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．3.如图，已知点,A C分别在,BG BE上，且AB AC=，//∠的平分线与AD交AD BE，GBE 于点D，与AC交于点F.连接CD.(1)求证:①AB AD=;②CD平分ACE∠.(2)猜想BDC∠与BAC∠之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.4.如图，在ABC ∆中，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ，CF 是ACD ∆的中线，CE 是ACB ∠的平分线.求证: CE CF ⊥.5.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，,D E 分别在边,BC AC 上，AD DE ⊥，且AD DE =.点F 是AE 的中点，FD 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，连接CM .(1)求证: FMC FCM ∠=∠; (2)AD 与MC 垂直吗?请说明理由.等边三角形1.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，CE平分ACD=.∠，且CE BD 求证:ADE∆是等边三角形.2.已知点C为线段AB上一点，ACM∆与CBN∆都是等边三角形.(1)如图1，连接,AN BM，则AN与BM是否相等?请说明理由;(2)如图2,AN与MC交于点,E BM与CN交于点F，试择究CEF∆的形状.专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE=（）A、40°B、50°C、60°D、70°2、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A、20B、12C、14D、133、如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．NMED CBANMDCBA 4、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE5、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。

八年级数学(上)第一章轴对称图形第8课时等腰三角形的轴对称性(二)1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC是________三角形．2．在△ABC中，∠A=50°，则当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．3．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=3 cm，那么斜边AB=________，理由是______ _______________________________________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC的中点．△DEC是等腰三角形吗?为什么?5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°．找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．6．在△ABC中，∠C=50°，∠A=65°，则△ABC是__________三角形．7．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E为边BC上的点，且∠BAD=∠DAE= ∠EAC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．89．给出下列四组条件：①已知两腰；②已知底边与顶角；③已知底角与顶角；④已知底边和底边上的高．其中能确定一个等腰三角形的是( ) A．①和②B．③和④C．②和④D．①和④10．(1)如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△_________是等腰三角形；(2)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△_________是等腰三角形；(3)如图③，若AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD的延长线于点E，则△_______是等腰三角形；(4)如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EG，EG交AB于点F，则△_________是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，BD、CE是高，M是BC的中点．请说明MD=ME．12．如图，AB=AC，∠B=∠C．试说明BD=CD．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作BC的平行线，分别与边AB、AC相交于点M、N．(1)试说明△MBO和△NCO都是等腰三角形．(2)试说明MN—MB+NC．14．数学课上，同学们探索下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC，交AC于点D．试说明△ABD与△DBC都是等腰三角形．(2)在说明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形(如图②、图③所示)也具有这种特性，请你在图②、③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．参考答案1．等腰直角2．50°、65°或80°3．6 cm 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．△DEC是等腰三角形∵AB=AC，D是BC的中点，∴A D⊥BC．又∵E为AC的中点，∴DE=12AC．∴DE=EC．∴△DEC是等腰三角形5．△ABC或△BDC或△ADB证明略6．等腰7．3 8．C 9．C 10．(1)ACE (2)ADE (3)ACE (4)AEF11．∵ME=12BC，MD=12BC．∴MD=ME．12．连接BC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB．即∠DBC=∠DCB．∴BD=DC 13．(1)∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB．又∵MN∥BC．∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB．∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO．∴BM=OM，ON=CN．即△MBO与△NCO都是等腰三角形(2)∵MO=MB，ON=NC．∴MN=OM+ON=MB+NC 14．(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵直线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°=∠A．∴AD=BD．∵∠3=1+∠A=72°=∠C，∴BD=BC．∴△ABD与△DBC都是等腰三角形(2)如图所示。

第9课时等腰三角形的轴对称性(3)预学目标1．通过预习，熟记等边三角形的定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形．这也是判定等边三角形的方法，即通过说明三边相等来说明一个三角形是等边三角形．2．知道等边三角形是轴对称图形，并能说出它的对称轴是什么以及有几条．3．初步了解等边三角形比等腰三角形更为特殊的性质：每个角都等于60°，三边相等．4．探索两个正确结论：①三个角相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．运用这两个结论尝试完成知识梳理中的填空2．知识梳理1．等边三角形的轴对称性等边三角形_____（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_____条，是_______．2．等边三角形的定义及性质的简单应用(1)在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝_______；(2)已知△ABC的三边长a、b、c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，则△ABC是______三角形；(3)若等腰三角形的周长为30，其中一条边长为10，则它为_______三角形．3．用等边三角形的性质探索结论：直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，试说明AC＝12 AB．取AB的中点D，连接CD．则DA＝DB＝12 AB．∵∠ACB＝90°（已知），DA＝DB（已作），∴CD＝12AB，∴CD＝DA．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝12 AB．例题精讲例1 如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．提示：利用等边三角形三边相等，三个角都是60°来找全等三角形．解答：△BDC≌△AEC．∵△ABC、△EDC都是等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°．∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．∴△BDC≌△AFC．点评：在运用等边三角形的性质时，不仅要考虑到三边相等，而且要注意到三个角都是60°，本题用到两个相等的60°角减去同一个角仍然相等，有时用两个相等的60°角加上同一个角仍然相等，同学们在平时解题中要多留心．例2 如图，等边△ABC的两条中线BD、CE相交于点O，(1)求∠BOE的度数；(2)说明△AED 是等边三角形，△BED 是等腰三角形．提示：题目中有中点这个条件，联想一下与中点有关的两个定理：“三线合一”和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．解答：(1) ∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，∴BD ⊥AC(三线合一)，∠A ＝60°．∴∠ABD ＝30°．同理可得CE ⊥AB ，即∠BEC ＝90°，∴∠BOE ＝60°．(2)∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，∴BD ⊥AC(三线合一)，∠A ＝60°，AB ＝AC ． 又∵点E 是AB 的中点，∴DE ＝12AB ，即DE ＝AE ＝EB ．∴△AED 是等边三角形，△BED 是等腰三角形．点评：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定是等腰三角形，因此，一旦题目中出现三线中的一线，就要联想到“三线合一”这一定理，要学好几何，不仅要熟读定理，更要对定理的条件非常敏感．热身练习1．如图，D 、E 是△ABC 的边BC 上的两点，BD ＝ DE ＝EC ＝AD ＝AE ，则∠BAC 的度数为_______．2．在△ABC 中，BA ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则AD 与DC 的大小关系为________．3．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且AE ＝CD ，AD 与BE 相交于点F ．(1)试说明△ABE ≌△CA D ．(2)求∠BFD 的度数．4．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，以AD 为一边向右作等边△ADE ．请判断AC 、DE 的位置关系，并说明理由．参考答案1．120°2．AD=12DC 3．(1)提示：用“边角边”定理说明． (2)60°4．AC ⊥DE 理由略。

2020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(3)同步培优训练卷一、选择题1、直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm2、如图，在中，，，BD平分，图中的等腰三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．65°C．70°D．75°4、如图，在中，，点D是AC上一点，，则度数为A. 36ºB. 54ºC. 72ºD. 30º5、如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AD是角平分线，若10BC cm=，:3:2BD CD=，则点D到AB的距离是()A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．167、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为( )A.31B.21C.32D. 不能确定8、如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）AA．35°B．40°C．45°D．60°9、如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为( )A.8B. 10C. 12D. 1410、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE.( )A. ③④B. ①②C. ①②③D. ②③④二、填空题11、如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点．若，则AB的长为______．12、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于．13、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，则∠C的度数为°．14、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．15、如图，在中，DE是AC的垂直平分线，DE交BC于点D，，的周长为13cm，则的周长为________．16、如图，已知在等腰三角形ABC中，，P，Q分别是边AC，AB上的点，且则__________．17、如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则________．18、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．三、解答题19、己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE．20、如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．21、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，A若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．22、如图，ABC=．∆中，AD BC⊥，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD DE （1）若40∠的度数；BAE∠=︒，求C（2）若ABC∆周长13cm，6=，求DC长．AC cm23、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．图1 图22020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(3)同步培优训练卷（答案）一、选择题1、直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（C）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm2、如图，在中，，，BD平分，图中的等腰三角形有 cA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．65°C．70°D．75°【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵BD∥AE，∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，∴∠BAE＝∠E＝35°，∠ABC＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°+40°＝75°，故选：D．4、如图，在中，，点D是AC上一点，，则度数为 AA. 36ºB. 54ºC. 72ºD. 30º5、如图，在Rt ABC=，:3:2BD CD=，BC cm∠=︒，AD是角平分线，若10∆中，90C则点D到AB的距离是(C)A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴BD＝DC，∵△ABC的周长为20，∴AC+CD＝10，在Rt △ADC 中，点E 为AC 的中点，∴DE AC ＝AE ，∴△CDE 的周长＝DE +EC +DC ＝AE +EC +CD ＝AC +CD ＝10， 故选：A ． 7、如图，点P 在边长为1的等边的边AB 上，过点P 作于点为BC 延长线上一点，当时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( B )A.31B.21 C.32 D. 不能确定8、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．60° 【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∵BE ⊥AC ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠ABE ＝45°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC （180°﹣∠BAC ）（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ，∴BF ＝EF ，∴∠BEF ＝∠CBE ＝22.5°， ∴∠EFC ＝∠BEF +∠CBE ＝22.5°+22.5°＝45°． 故选：C ．9、如图，等腰三角形ABC 的边BC 为4，面积为24，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC ，AB 于点E ，F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为( D ) B. 8 B. 10 C. 12 D. 1410、如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是：①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形；②DE ＝BD ＋CE ；③△ADE 的周长为AB ＋AC ； ④BD ＝CE.( C )A. ③④B. ①②C. ①②③D. ②③④二、填空题 11、如图，在中，，，垂足为D ，E 是AC 的中点．若，则AB 的长为__10____．12、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于16．【解析】∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，∴DF AC＝6，EF BC＝4，DE AB＝6，∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；故答案为：16．13、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，则∠C的度数为°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C ＝30°．【解析】∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠DBC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，故答案为：3014、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝90°．【解析】连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE AC，同理，DE AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．15、如图，在中，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交BC 于点D ，，的周长为13cm ，则的周长为___19cm_____．16、如图，已知在等腰三角形ABC 中，，P ，Q 分别是边AC ，AB 上的点，且则___）（7180º_______．17、如图，在等边中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且，则__180______．18、如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 都在∠O 的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG ，若∠EFG=30°，则∠O=________．【答案】12.5o【考点】等腰三角形的性质解：∵∠O=x ，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG ， ∴∠BAC=2x ，∴∠CBD=3x ；∴∠DCE=4x ， ∴∠FDE=5x ，∴∠FEG=6x ， ∵EF=FG ，∴∠FEG=∠FGE ，∵∠EFG=30°，∴∠FEG=6x=75°，∴x=12.5o ， ∴∠O=12.5°．故答案为：12.5°．三、解答题19、己知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，F 是BC 的中点，G 是ED 的中点，求证：FG ⊥DE ．【答案】证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高，F 是BC 的中点，∴在Rt △CEB 中，EF=2BC ，在Rt △BDC 中，FD= 2BC， ∴FE=FD ，即△EFD 为等腰三角形，又∵G 是ED 的中点，∴FG 是等腰三角形EFD 的中线， ∴FG ⊥DE （等腰三角形边上的三线合一）20、如图，点P ，M ，N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．（1）求证：△PMN 是等边三角形； （2）若AB ＝12cm ，求CM 的长．解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴P A＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．21、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．【解析】△PAE的形状为等边三角形；理由如下：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，同理：在Rt△CED中，PE＝PC CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．22、如图，ABC∆中，AD BC⊥，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD DE=．（1）若40BAE∠=︒，求C∠的度数；（2）若ABC∆周长13cm，6AC cm=，求DC长．【解答】（1）AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，AB AE EC∴==，C CAE∴∠=∠，40BAE∠=︒，70AED∴∠=︒，1352C AED∴∠=∠=︒；（2）ABC∆周长13cm，6AC cm=，7AB BE EC cm∴++=，即227DE EC cm+=，3.5DE EC DC cm∴+==．23、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．图1 图2【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE∠BAC．。

1.5 等腰三角形的轴对称性（3）班级姓名学号等第学习目标1.由等腰三角形的性质推出等边三角形的特殊性质2.等边三角形性质的运用3.一个三角形是等边三角形的条件学习重点等边三角形性质、一个三角形是等边三角形的条件及应用学习难点等边三角形的性质的综合应用学习过程一．温故知新1.等腰三角形具有哪些性质？2.如何识别一个三角形是否是等腰三角形?3.有一个等腰三角形，它的底边恰好与腰相等，这样的三角形具有什么性质？二．新知探索____________________叫等边三角形或正三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有哪些特殊的性质？判别一个三角形是等边三角形的方法1、2、3、三．例题讲解例1.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE, △ADE是等边三角形吗？试说明理由.2.如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.AB P Q CA,C,E在一条直线上.（1）AD与BE相等吗？为什么？（2）连接MN，试说明△MNC为等边三角形.总结反思:1.5等腰三角形的轴对称性（3）作业设计班级姓名学号等第____1．的三角形是等边三角形或 .2．等边三角形除具有等腰三角形的一切性质外，还有特殊性质：（1）等边三角形是图形，并且有条对称轴.（2）等边三角形的每个角都等于度.3.等边三角形的识别方法：三个角都的三角形是等边三角形；两个角都等于60°的三角形是；有一个角是的等腰三角形是等边三角形.4．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A ．120°B ．130°C ．150°D ．160°5．等腰三角形的周长为80 cm ，若以它的底边为边的等边三角形周长为30 cm ，则该等腰三角形的腰长为( )A ．25 cmB ．35 cmC ．30 cmD ．40 cm6．下列命题中，①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如 图，在ABC ∆中，090=∠C ，DE 是AB 的垂直平分线，且3:1:=∠∠CAB BAD ，则B ∠＝__________.8．如 图，等边三角形ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°9.（2005．北京）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在∆ABC 的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，∠MDN 的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒10.如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE ． 求证：△ADE 是等边三角形．B D EF C A选做习题以△ABC的边AB、AC为边在△ABC的外部分别作等边△ABE和等边△ACF，CE与BF相交与点O.求∠EOB的度数.。