罗马尼亚IMO国家队选拔考试2000

IMO历届试题2010年第51届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）试题及答案1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++．原不等式成为22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥即9232M =时原不等式成立．等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =．4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可 看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到，11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i iO A O A +和11i i n i i O A O A +++中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A +，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是221111()2()2()nnii i i i i i S A AS O A A S P ++==∑∑≥△≥P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。

《数学奥林匹克报》Mathematical Olympiad Express 2000 第 15 届IMO 中国国家队选拔考试2000 年 3 月 31 日 8:00～12:30 一、如图，在△ABC 中，AB＝AC。

线段 AB 上有一点 D，线段 AC 延长线上有一点 E，使得 DE＝AC。

线段 DE 与△ABC 的外接圆交于 T 点，P 是线段 AT 的延长线上的一点。

证明：点 P 满足 PD＋PE＝AT 的充分必要条件是点 P 在△ADE 的外接圆上。

二、给定正整数 k ， m ， n ，满足 1≤ k ≤ m ≤ n ，A H( m + n + i )! 的值， 1 i 试求 ∑ ( −1) i 并写出推算过程。

n + k + i i !( n − i ) !( m + i ) ! i =0nD三、对正整数 a ≥2，记 N a 为具有以下性质的正整数 k 的个数：k 的B T PCa 进制表示的各位数字的平方和等于 k 。

证明（1） N a 为奇数；E（2）对任意给定的正整数 M，存在正整数 a ≥2，使得 N a ≥M。

2000 年 4 月 1 日 8:00～12:30 并且 f ( x ) ＝1 有整数根。

约定将所有满足上述条件的 f 组成的集合记为 F 。

四、 f ( x ) 是整系数多项式， 设 对于任意给定的整数 k ＞1，求最小的整数 m ( k ) ＞1，要求能保证存在 f ∈ F ，使得 f ( x ) ＝ m ( k ) 恰 有 k 个互不相同的整数根。

数列 { xk } 和 { yk } 满足 x0 ＝1，y0 ＝0 且 ⎨ 五、 （1） a ，b 是正实数， 设⎡k ⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ i =0 ⎡k ⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦⎧ xk +1 = axk − byk ，k ＝0， 2， 1， ……， ⎩ yk +1 = xk + ayk求证： xk ＝⎡k ⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦∑ ( −1) a ( ai k −2l2l + bl ) λk ,l ，其中 λk ,l ＝ ∑ Ck2 mCm 。

这是⼀道难倒了49个国家领队外加4个专家的竞赛题，抢了当年12岁获得IMO⾦牌陶哲轩的风头。

1986年，在波兰举⾏的第27届国际数学奥林匹克（IMO）上，刚满10岁的陶哲轩⼀脸稚⽓的进⼊了考场，创造了IMO历史上最年轻选⼿的传奇（相关阅读：吃炒饭吃到智商230？7岁⾃学微积分，8岁参加⾼考，10岁参加IMO），那⼀年，陶哲轩得到了19分，收获了⼀枚铜牌，1987年，在古巴举⾏的第28届国际数学奥林匹克上，他得到了40分，按理说⾦牌已经稳稳到⼿，但是由于那⼀年满分的选⼿多达22名，所以年仅11岁的陶哲轩只收获了⼀枚银牌，1988年，在澳⼤利亚举办的第29届国际数学奥林匹克上，在268名参赛选⼿中，IMO历史上堪称奇迹的传奇诞⽣了，年满12岁的陶哲轩获得了34分，收获了⼀枚⾦牌（⾦牌线32分），可是在那⼀年，有⼀道题差点抢了陶哲轩的风头，那是⼀道难倒了49个国家领队外加4个数论专家，堪称数学竞赛史上最具传奇⾊彩的⼀道题.1988年，在澳⼤利亚举办的第29届国际数学奥林匹克上，有49个国家，268名选⼿参加了那届⽐赛，那是中国正式参加IMO⽐赛的第三届（1986年中国第⼀次派出6名队员），那个时候前苏联、罗马尼亚、德国还是IMO赛场上的不可匹敌超级战队，早在1977年，德国就参加了在南斯拉夫举办的第19届国际数学奥林匹克，⽽在1982、83年连续⼆年拿到了团队总分第⼀的傲⼈成绩，可是接下去的1984-1987连续四年中总分第⼀分别被苏联、罗马尼亚还有美国抢去，可能是出于报仇⼼理，所以在这⼀年上德国给IMO投稿了⼀道精⼼计划已久的题，⽽这道题也成功的通过了选题委员会还有会议的表决成为了第29届IMO的第六题，六道题⽬选完了，就当所有⼈准备开开⼼⼼的开始⽐赛时，可是由领队们组成的主试委员会陷⼊了长久的沉默中，⽽原因就是因为德国的这第六题，由卢森堡、捷克斯洛伐克、英国、爱尔兰还有希腊投稿的前五题，主试委员会们⽐较轻松的就解决了，可是这第六道题，主试委员会所有⼈在思考许久许久之后还是没有⼀个⼈能解答出来，⽽考试很快就要开始了，没办法，主试委员会将这道题交给了主办国澳⼤利亚四位最好的数论专家去做，可是四位专家各⾃捉摸了⼀天以后还是⼀筹莫展，⽓氛陷⼊了长久的尴尬和绝望中，连主试委员会还有四位澳⼤利亚最好的数论专家都没办法解开这道题，所有⼈都确信这道题将会难倒所有的参赛选⼿，这可能是IMO历史上第⼀次有⼀道题没有⼈能解答出来的，所有⼈以绝望的情绪等着成绩公布，不出所有⼈意外，这⼀道题在268名参赛选⼿的平均分数仅有0.6分，是当时IMO举办了29年以来得分率最低的⼀道题.就当所有⼈默默的为这268名参赛选⼿“默哀”的时候，另外⼀个消息的流出让所有在场的⼈都震惊不已，这⼀道难道了主试委员会还有四个最好数论专家的超级难题竟然有选⼿做出来，⽽且还不⽌⼀个，整整有⼗⼀个⼈以7分（满分）解答了出来，分别是来⾃罗马尼亚的Nicuşor Dan和Adrian Vasiu、越南的Ngô Bào Châu、苏联的Sergei Ivanov和Nicolai Filonov还有来⾃澳⼤利亚的Wolfgang Stöcher以及保加利亚的Zvezdelina Stankova，以及来⾃中国的陈晞和何宏宇，⽽当所有⼈看到最后⼀个⼈的解答之后，他们再⼀次被震惊的说不出话，因为他的证法实在是太暴⼒、太简单了，题⽬：他是这样解的：简单到极致，所有⼈对他的解法都赞叹不已，⽽这⼀位来⾃保加利亚的Emanouil Atanassov也获得了IMO授予的特别奖，特别奖是不论总分多少，是针对某个学⽣对某道试题所作的解答⾮常漂亮，有独到之处，与事先拟定的标准解答不同（通常是更简洁），⽽获得特别奖的难度⽐起满分来说更加困难，所以获得特别奖的⼈数少之甚少，⽽这⼀道题难倒了主试委员会还有澳⼤利亚四名最好的数论专家的题，被11名平均年龄只有17岁的⾼中⽣解决了，⽽平均分只有0.6分的的最低得分率以及IMO史上最年轻获得⾦牌的选⼿陶哲轩也为这道题增加了些许传奇⾊彩，值得⼀提的是，当年以满分解答这道题的中国选⼿陈晞现在是加拿⼤阿尔伯塔⼤学的数学系教授，⽽何宏宇现在美国佐治亚理⼯学院的数学系教授以及博⼠⽣导师，从事李群还有微分⼏何等⽅向的研究，⽽作为正式参加IMO满三年的中国，在那⼀年，以总分201分获得了总分第⼆的成绩.。

2000年IMO中国国家集训队测验题第一次测验1.1设a是整数,n和r是大于1的整数,p是奇质数,并且(n,p -1)=1.试求以下同余方程的不同的解的数目:x1n+ x2n+…+ x r n ≡a (mod p ) .请注意上述方程的解(x1n, x2n,…, x r n)和(x1 ',' x2 ',' … , x r'' )当且仅当x j≡x j'(mod' p ),j =1,2,…, r时,才认为两个解是相同的.1.2考察不定方程x2-y2=n.约定将这方程的不同的正整数解的数目记为f ( n ) ,试对所有的正整数n,求f ( n ) .1.3设a和b是正整数,p是奇质数,p＞a＞b＞1.试求最大的整数c,使得对所有满足上述条件的a,b和p都有pc (ap) -(a) , bp b这里,我们记( n )=n(n-1)…(n -k+1)k k!第二次测验2.1 AB 和 CD 是圆 O 的不相交的两条弦, M 是 AB 中点, N 是 CD 中点,从圆心 O 作 MN 的垂线,垂足是 E ,在 MN 上取另一点 F ,过 F 作 MN 的垂线与 AB 延长相交于 G .求证:直线 CD 也经过 G 点的充分且必要条件是 MF = NE .2.2 在三角形 ABC 中, AB = AC ,设 C 至 AB 的垂足是 D , M 是 CD 的中点, A 至直线 BM 的垂足是 E , A 至直线 CE 的垂足是 F ,求证: AF ≢ AB /3,并说明等号成立的条件.2.3 A 是任意的有限正整数集,试证:存在一个有限正整数集B,使得A∈B,且∏ x = ∑ x2x ∈Bx∈B第三次测验3.1对于由实数组成的非空集合 A和 B,约定将可以表示为a+b, a∈A,b∈B,的所有数组成的集合记为 A*B,即规定 A*B={x |x=a+b,a∈A ,b∈B }.(附带说明,如果 A =耳么氪 B =耳,寀寞隅 A*B=耳.)跤隅淏淕杅k和l,对于满足条件|A|=k,| B |=l的所有实数集合 A和 B ,求| A * B |的最小值,并求达到这个最小值的所有 A和 B .3.2设 A是由实数组成的非空集合,h是正整数,约定将可以表示为a1 +a2+…+a h,a1 ,a2,…,a h∈A ,(这些数可以有相同的) 的所有数组成的集合记为S h( A ),即规定S h( A )={x|x=a1 + a2+…+a h,a1 ,a2,…,a h∈A }.给定正整数h和k,对于满足条件|A|=k的实数集合 A,试求|S h ( A )|的最小值,并求达到这个最小值的所有的 A .3.3设 A是由整数组成的非空集合,h是正整数,约定将可以表示为a1 +a2+…+a h,a1 ,a2,…,a h∈A ,(这些数互不相同) 的所有数组成的集合记为T h( A ),即规定T h( A )={x|x=a1 +a2+…+a h,互不相同的a1 ,a2,…,a h∈A }.给定正整数h和k,2≢h≢k-2,k≣5,对于满足条件|A|=k的整数集合 A ,试求|T h( A )|的最小值.第四次测验4.1设n岆湮衾1腔淕杅,暮缶k=cos(2k羽 /n)+i sin(2k羽/n),k=0,1,…,n-1,试求下式的最简表示:(缶j- 缶∏) 2 .k1≤ j＜k≢n -14.2设数轴的区间[0,1]里有六个质点,依照从0到1的次序将这六个质点标记为P1 ,P2,…,P6 .初始时,质点的位置都在区间内部;相邻质点P1与P2 ,P2与P3,P3与P4,P4与P5,P5与P6的距离分别是汐 ,汕 ,污 ,汛 ,丸 ;并且各质点都以相同的不变速度沿数轴朝指向0点的方向运动.在以后的运动中,如果某个质点碰到区间端点0或1,那么该质点立即折返,以同样大小的不变速度值反向运动.如果某两个质点相向运动发生对撞,那么这两个质点立即各自折返,都以同样大小的不变速度值反向运动.约定以f i,j(n)表示第i个质点与第j个质点第n次对撞的位置坐标,试求所有可能的f i,j(n).4.3给定正整数r,s,t满足不等式1＜r＜s＜t.设正实数的n数组x1,x2,…,x n满足条件x j/x j+1≢1+(t-s)/(j+s),j =1,2,…,n-1.对所有这样的n数组,试求nk ( k +1)…( k + t-∑1) x kk= 1n( k + r )( k + r +1) …∑( k + t - 1) x kk= 1的最小值.第五次测验5.1已知不定方程x4 +y4 =z2和不定方程x4 -y4 =z2都没有使得xyz≠0的整数解.据此求出不定方程8y4 +1=z2的所有整数解(简明扼要写出求解过程).完成上述准备之后,着手解决主要问题:求以下不定方程组的所有整数解1+ x =8 y 2{1+ x 2 =2 z 25.2求同时满足以下条件的一切正整数组(a,b,c,d):(a) 22汐‖a,?笢汐岆淏淕杅,(捞22汐整除a,但22汐+1不整除a,汐≡1);(b) 4|b +1 , 2| d;(c)c d的b进制表示恰由a个数字1组成,即c d=(11…1)b.共a 位15.3给定大于1的正整数b和奇质数p.已知p‖b(即p整除b,但p2不整除b </FONT< FONT>。

又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。

《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。

每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。

共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。

《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。

2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。

二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。

力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。

imo试题及答案1. IMO试题1题目：请证明对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 + 2 \) 总是可以被3整除。

答案：设 \( n \) 为任意正整数。

- 情况1：\( n \) 是3的倍数，即 \( n = 3k \)（\( k \) 为整数）。

\( n^3 + 2 = (3k)^3 + 2 = 27k^3 + 2 \)，显然 \( 27k^3 \) 是3的倍数，所以 \( n^3 + 2 \) 也是3的倍数。

- 情况2：\( n \) 不是3的倍数，即 \( n = 3k + 1 \) 或 \( n = 3k + 2 \)（\( k \) 为整数）。

- 如果 \( n = 3k + 1 \)，则 \( n^3 + 2 = (3k + 1)^3 + 2 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 2 = 3(9k^3 + 9k^2 + 3k) + 3 \)，显然 \( 9k^3 + 9k^2 + 3k \) 是整数，所以 \( n^3 + 2 \) 是3的倍数。

- 如果 \( n = 3k + 2 \)，则 \( n^3 + 2 = (3k + 2)^3 + 2 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 2 = 3(9k^3 + 18k^2 + 12k + 3) + 1 \)，显然 \( 9k^3 + 18k^2 + 12k + 3 \) 是整数，所以 \( n^3 + 2 \) 是3的倍数。

因此，对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 + 2 \) 总是可以被3整除。

2. IMO试题2题目：给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。

从圆上一点 \( A \) 向圆内作切线 \( AB \) 和 \( AC \)，连接 \( B \) 和\( C \) 两点。

求 \( BC \) 的长度。

答案：设 \( O \) 为圆心，\( r \) 为半径，\( A \) 为圆上一点，\( B \) 和 \( C \) 分别为切线 \( AB \) 和 \( AC \) 与圆的切点。

第一届（1959年）罗马尼亚 布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

Romanian Olympiad2003IMO Team Selection Tests1st Test-April23,20031.Let(a n)n≥1be a sequence for real numbers given by a1=1/2and for each positive integer na n+1=a2na2n−a n+1.Prove that for every positive integer n we have a1+a2+···+a n<1.Titu Andreescu2.Let ABC be a triangle with∠BAC=60◦.Consider a point P inside the triangle having P A=1,P B=2and P C=3.Find the maximum possible area of the triangle ABC.3.Let n,k be positive integers such that n k>(k+1)!and consider the setM={(x1,x2,...,x n)|x i∈{1,2,...,n},i=1,k}.Prove that if A⊂M has(k+1)!+1elements,then there are two elements{α,β}⊂A,α=(α1,α2,...,αn),β=(β1,β2,...,βn)such that(k+1)!|(β1−α1)(β2−α2)···(βk−αk).Vasile ZidaruWork time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu2nd Test-April24,20034.Prove that among the elements of the sequence([n √2003])n≥1one canfind a geometricprogression having any number of terms,and having the ratio bigger than k,where k can be any positive integer.Radu Gologan 5.Let f∈Z[X]be an irreducible polynomial over the ring of integer polynomials,such that|f(0)|is not a perfect square.Prove that if the leading coefficient of f is1(the coefficient of the term having the highest degree in f)then f(X2)is also irreducible in the ring of integer polynomials.Mihai Piticari 6.At a math contest there are2n students participating.Each of them submits a problem to the jury,which thereafter gives each students one of the2n problems submitted.One says that the contest is fair is there are n participants which receive their problems from the other n participants.Prove that the number of distributions of the problems in order to obtain a fair contest is a perfect square.Work time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu3rd Test-May24,20037.Find all integers a,b,m,n,with m>n>1,for which the polynomial f(X)=X m+aX+b divides the polynomial g(X)=X m+aX+b.Laurent¸iu Panaitopol 8.Two circlesω1andω2with radii r1and r2,r2>r1,are externally tangent.The line t1is tangent to the circlesω1andω2at points A and D respectively.The parallel line t2to the line t1is tangent to the circleω1and intersects the circleω2at points E and F.The line t3passing through D intersects the line t2and the circleω2in B and C respectively,both different of E and F respectively.Prove that the circumcircle of the triangle ABC is tangent to the line t1.Dinu S¸erb˘a nescu 9.Let n≥3be a positive integer.Inside a n×n array there are placed n2positive numbers with sum n3.Prove that we canfind a square2×2of4elements of the array,having the sides parallel with the sides of the array,and for which the sum of the elements in the square is greater than3n.Radu GologanWork time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu4th Test-April25,200310.Let P the set of all the primes and let M be a subset of P,having at least threeelements,and such that for any proper subset A of M all of the prime factors of the numberp−1+p∈Aare found in M.Prove that M=P.Valentin Vornicu 11.In a square of side6the points A,B,C,D are given such that the distance between anytwo of the four points is at least5.Prove that A,B,C,D form a convex quadrilateral and its area is greater than21.Laurent¸iu Panaitopol 12.A word consists of n letters from the alphabet{a,b,c,d}.One says that a word iscomplicated if it has two consecutive identical groups of letters(i.e.caab or cababdc are complicated words,but abcab is not a complicated word).A word that is not complicated is called a simple word.Prove that the number of simple words with n letters is greater than2n.Work time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu5th Test-June19,200313.A parliament has n senators.The senators form10parties and10committees,suchthat any senator belongs to exactly one party and one committee.Find the least possible n for which it is possible to label the parties and the committees with numbers from1to10,such that there are at least11senators for which the numbers of the corresponding party and committee are equal.Marian Andronache and Radu Gologan 14.Given is a rhombus ABCD of side1.On the sides BC and CD we are given the pointsM and N respectively,such that MC+CN+MN=2and2∠MAN=∠BAD.Find the measures of the angles of the rhombus.Cristinel Mortici 15.In a plane we choose a cartesian system of coordinates.A point A(x,y)in the planeis called an integer point if and only if both x and y are integers.An integer point A is called invisible if on the segment(OA)there is at least one integer point.Prove that for each positive integer n there exists a square of side n in which all the interior integer points are invisible.France Olympiad2003Work time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu6th Test-June20,200316.Let ABCDEF be a convex hexagon and denote by A ,B ,C ,D ,E ,F the middlepoints of the sides AB,BC,CD,DE,EF and F A respectively.Given are the areas of the triangles ABC ,BCD ,CDE ,DEF ,EF A and F AB .Find the area of the hexagon.Kvant 17.A permutationσ:{1,2,...,n}→{1,2,...,n}is called straight if and only if for eachinteger k,1≤k≤n−1the following inequality is fulfilled|σ(k)−σ(k+1)|≤2.Find the smallest positive integer n for which there exist at least2003straight per-mutations.Valentin Vornicu 18.For every positive integer n we denote by d(n)the sum of its digits in the decimalrepresentation.Prove that for each positive integer k there exists a positive integer m such that the equation x+d(x)=m has exactly k solutions in the set of positive integers.Polish Olympiad1999Work time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu。

Romanian Olympiad 1998IMO Team Selection Tests1st Test -March 27,19981.A word of length n is an ordered sequence x 1x2...x n ,where x i is a letter of the alphabet {a,b,c }.Denote by A n the set of words of length n which do not contain any block x i x i +1,i =1,2,...,n −1,of the form aa or bb and by B n the set of words of length n in which none of the subsequences x i x i +1x i +2,i =1,2,...,n −2,contains all the letters a,b,c .Prove that |B n +1|=3|A n |.Vasile Pop2.The volume of a parallelepiped is 216cm 3and its total area is 216cm 2.Prove that the parallelepiped is a cube.Bogdan Enescu3.Let m ≥2be an integer.Find the smallest positive integer n ,n >m ,such that for any partition with two classes of the set {m,m +1,...,n }at least one of the classes contains three numbers a,b,c (not necessarily different)such that a b =c .Ciprian Manolescu4.Consider in the plane a finite set of segments such that the sum of their lengths is less than √2.Prove that there exists an infinite unit square grid covering the plane such that the lines defining the grid do not intersect any of the segments.Vasile PopWork time:4hours.TeX (c)2003Valentin Vornicu -MathLinks.ro2nd Test -April 25,19981.We are given an isosceles triangle ABC such that BC =a and AB =AC =b .The variable points M and N are given by the conditions M ∈(AC ),N ∈(AB )anda 2·AM ·AN =b 2·BN ·CM.The straight lines BM and CN intersect in P .Find the locus of the variable point P .Dan Brˆa nzei2.All the vertices of a convex pentagon have both coordinates integer numbers.Prove that the area of the pentagon is less than 52.Putnam Contest3.Find all positive integers x,n such that x n +2n +1is a divisor of x n +1+2n +1+1.Laurent ¸iu PanaitopolWork time:4hours.TeX (c)2003Valentin Vornicu -MathLinks.ro3rd Test -May 1,19981.Let n ≥2be an integer.Show that there exists a subset A ⊂{1,2,...,n }such that (i)the number of elements in A is at most 2 √n +1;(ii){|x −y |:x,y ∈A,and x =y }={1,2,...,n }.Radu Todor2.An infinite arithmetic progression whose terms are positive integers contains the square of an integer and the cube of an integer.Prove that it contains the sixth power of an integer.ISL 19973.Prove that for any positive integer n the polynomial f (x )=(x 2+x )2n+1is irreducible in Z [X ].Marius Cavachi Work time:4hours.TeX (c)2003Valentin Vornicu -MathLinks.ro4th Test-May22,19981.Let ABC be an equilateral triangle and n≥2be an integer.Denote by A the setof n−1straight lines which are parallel to BC and divide the surface of the triangle ABC into n polygons having the same area and denote by P the set of n−1lines parallel to BC which divide the triangle ABC into n polygons all having the same perimeter.Prove that the intersection A∩P is the emptyset.Laurent¸iu Panaitopol2.Let n≥3be a prime number and a1<a2<···<a n be integers.Prove thata1,a2,...,a n is an arithmetic progression if and only if there exists a partition of the set N0={0,1,2,...}with classes A1,A2,...,A n such that a i+A i=a j+A j,for all i,j,where a+A={a+x:x∈A}for a number a and a set of numbers A.Vasile Pop3.Let n be a positive integer and P n be the set of integer polynomials of the forma n x n+a n−1x n−1+···+a1x+a0,where|a i|≤2,for all i=0,n.Find,for each positive integer k,the number of elements in the setA n(k)={f(k):f∈P n}.Marian AndronacheWork time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu-MathLinks.ro5th Test-May23,19981.Find all functions u:R→R which have the property that there exists a increasing or decreasing function f:R→R such thatf(x+y)=f(x)u(y)+f(y),∀x,y∈R.Vasile Pop 2.Find all the positive integers k which fulfill the following condition:if f is an integer polynomial such that0≤f(a)≤k for all a∈{0,1,2,...,k+1}then f(0)=f(1)=···=f(k+1).ISL1997 3.The lateral surface of a cylinder of revolution is divided by n−1planes parallel to the base and m parallel generators into mn cases(n≥1,m≥3).Two cases will be called neighboring cases if they share a common side.Prove that it is possible to write a real number in each case such that the number is equal with the sum of the numbers written in the neighboring cases,and not all the numbers written are zero, if and only if there exist integers k,l such that n+1does not divide k andcos 2lπm+coskπn+1=12.Ciprian ManolescuWork time:4hours.TeX(c)2003Valentin Vornicu-MathLinks.ro。

imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。

自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。

这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。

1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。

解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。

当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。

我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。

虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。

2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。

解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。

首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。

假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。

而e约等于2.71828，小于3。

因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。

根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。

3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。

第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学彭建波（男）湖南师范大学附中金牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。

第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。

国际奥林匹克竞赛数学国际奥林匹克竞赛数学，简称IMO，是全球最高水平的数学竞赛之一，也是国际奥林匹克竞赛的五个竞赛项目之一。

IMO的参加规定是：在6月份举行的各国国家队选拔或单项竞赛中取得优异成绩的高中生可以代表自己的国家参加该赛事。

IMO自1959年开始举办，最初是由罗马尼亚、保加利亚、捷克斯洛伐克、东德、波兰和匈牙利六个国家发起。

随着时间的推移，越来越多的国家加入了这一竞赛，并且在其竞赛规模、竞赛难度和竞赛水平上，不断地挑战着数学界的极限和领域内的传统观念。

IMO的竞赛形式以纸笔试题及解答为主，试题由6道数学难题组成。

竞赛持续两天，每天各3个半小时。

每道题的分值为7分，总分为42分。

竞赛分为两个等级的组别，分别是初赛和决赛，每个组别各有4道不同题目，随着年份的变化会有不同的难度级别。

在IMO上，我们可以看到许多数学天才的优异表现，他们的解题思路和方法不仅有着独特性和创造性，同时也往往具有视野开阔和各具特色。

在这里，我们具体介绍一下IMO 的试题难度和解题思路。

IMO的难度可以由以下因素来判断：题目的长度和难度，题目的可解性以及题目的可适用性。

题目的长度和难度是IMO中的一项最基础的考察，通常难题的长度往往较长，需要较长时间的推理。

此外，难题中也会涉及到多个数学领域的知识，要求竞赛选手有一定的综合素质。

题目的可解性也是衡量难度的一个重要因素。

在IMO试题中，会涉及到一些新颖的数学知识或者未解决的数学难题，因此有些问题的解法并不是唯一的，竞赛选手需要具备较高的数学思维能力和创新能力。

题目的可适用性以及更深层的难度判断，需要更深入了解这个数学领域的知识。

在解题思路中，首先是要具备良好的数学基础。

一些基础理论，如数论、代数、几何等，都是IMO解题的必备知识。

同时，在竞赛中，为了更好地解决难题，还需要具备较高的计算技巧、逻辑思维能力、快速反应能力等，最终才能快速高效地解决难题。

总而言之，国际奥林匹克竞赛数学旨在发掘、培养和推广全球优秀的数学人才，挑战着数学界的极限和领域内的传统观念。

2022罗马尼亚大师赛试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则X=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为5，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.21C.4D.414.下列区间中，函数f(x)=7sin(45X)单调递增的区间是A.(0, X)B.(X ,X)C.(X0,)D.(0,0)5.已知F1,F2是椭圆C：4的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tanX=-2,则 X=A.15B.45C.90D.07.若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则A. eb<aB. ea<bC. 0<a<ebD. 0<b<ea8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据x1，x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O为坐标原点，点P1(cosX,sinX),P2(cosY，-sinY),P3(cos(X+Y),sin(X+Y))，A(1，0),则A.X=7 Y=8B.X=7 Y=8C.X=8 Y=7D. X=8 Y=711.已知点P在圆X =16上，点A（4,0），B（0,2），则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|=3D.当∠PBA最大时，|PB|=312.在正三棱柱ABC-中，AB=A，点P满足X=15 ，其中λ∈[0,1]，X ∈[0,1]，则A．当λ=1时，P的周长为定值B. 当X=1时，三棱锥P=0C. 当X=2时，有且仅有一个点PD.当X=1时，有且仅有一个点P三．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数f(x)=4是偶函数，则a=____________14.已知O为坐标原点，抛物线C的焦点为F,P为C上一点，PF与x 轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为____15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmXl2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dmX2dm . 20dmX6dm两种规格的图形，它们的面积之和=240 dm2,对折2次共可以得5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm三种规格的图形,它们的面积之和180dm2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______:如果对折n次，那么X=______dm2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。