分类比较：感悟概念的本质属性
——《垂直与平行》教学设计
《垂直与平行》是人教版义务教育实验教科书四年级上册的教学内容。
它是在学生认识了直线、线段、射线的性质、特点，以及学习了角与角的度量等知识的基础上学习的。
在“在空间与图形”的领域中，垂直与平行是学生以后认识平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何形体的基础，同时也为培养学生空间观念提供了一个很好的载体。
从学生思维角度看，垂直与平行这些几何图形，在日常生活中应用广泛，学生头脑中已经积累了许多表像，但由于学生生活的局限性，理解概念中的“永不相交”比较困难；还有学生年龄尚小，空间观念及空间想象能力尚不丰富，导致他们不能正确理解“同一平面”的本质；再加上以前学习的直线、射线、线段等研究的都是单一对象的特征，而垂线与平行线研究的是同一个平面内两条直线位置的相互关系，这种相互关系，可能说学生还没有完全建立和形成表象。
这些问题都需要教师审时度势，将其纳入教学的整体设计之中来考虑。
针对学生的学习现状，根据教材的编排特点，我确定本课的教学目标为：知识目标：帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。
技能目标：培养学生的空间观念及空间想象能力，进一步培养学生的归纳概括能力。
情感目标：培养学生对生活的感情和合作探究的学习意识。
教学重点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，特别要注意对看似不相交，而实际上可以相交现象的理解。
教学难点：正确理解“在同一平面内”“永不相交”等概念的本质属性。
为了引导学生经历直观感知——分类比较——分析综合——抽象概括这一认知的全过程，从而形成学习空间与图形的积极情感和态度，我所选用的教学方法是分类比较和观察发现，让学生在体验的基础上，感悟出概念的本质属性，全
面提升学生的认知水平和思维品质，其主题思想体现在以下教学流程中：（一）课前谈话，创设“互相”关系的情境
走进教室，教师与学生以聊天谈话的形式，设计了这样的问题情境：同学在一起生活了三年多，一定建立了很深的友谊，能告诉老师你与谁已经建立了比较友好的同学情谊吗？学生可能会说：“我与小明由于兴趣爱好一样，经常在一起打乒乓球，我们之间建立了很深的友谊”；也有学生可能会说：“我与王芳同住一个单元，相互之间无话不谈”……然后引导学生将你我彼此之间的关系概括为同学之间都有很深的友谊，从而为本课的主题学习铺设了“互相”关系的情景。
这个看是生活的问题，实则比较巧妙地把数学问题的研究置身于生活之中，既激发了学生学习的兴趣，同时又利用生活中人与人相互间的关系，较好地孕伏了学生难于理解的“互相”的含义，为进一步探究新知，作好了辅垫。
（二）画图感知，形成初步的问题表象
教师利用课件和学生手中的白纸，画出一条直线，让学生闭上眼睛感受直线的长度后，引导学生想像出如果接下来让你们任意地在这张白纸上（同一平面内）再画一条直线，想想看两条直线之间有什么关系？这样设计的目的一是为了继续强化学生理解“互相”的含义，也使学生感受到这些图形都由两条直线组成，都在同一个平面内，初步建立了问题的表象——在同一平面内、两条直线。
（三）观察分类、感受概念的基本特征
学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，当学生在同一平面内任意画出两条直线后，我就将学生的作品搬上大屏幕，让学生将图形进行初步分类。
分类活动是开放的，分类结果也是多样的：有的说：分为相交与不相交两类；有的说：分为相交、快要相交和不相交三类；也有的说：分为相交、快要相交、不相交以及相交也直角四类等。
当出现第二种情况时，引导学生通过想象和课件演示直线的性质，使学生明白，看起来快要相交的实际上也属于相交，只是我们在画直线时，无法把直线全部画出；
当出现第三种情况时，我就引导学生理解分类时要统一标准。
相交、快要相交、不相交都是以相交与否为标准，而相交成直角是根据相交后所成角度来分的，二者不是同一标准，所以这种分法不正确。
从而达成分类的统一，即相交和不相
交。
这样让学生经历一个从个人——小组——全班逐层递进的过程，在观察比较、讨论交流、教师点拨中，逐步达成分类共识，也使学生在探究中，感受到“相交”“不相交”这些垂直和平行概念的基本特征，为深化理解概念的本质属性创造了条件。
（四）分析比较，感悟概念的本质属性
“在儿童心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者”。
这里我用屏幕显示不相交的这类图形，突出两个重点，一是学生操作与课件演示相结合，将直线进行延长，使学生感悟出这两条直线永远不相交；二是观察平面与教具演示平面相结合，让学生观察比较，理解不在同一平面内的两条不相交的直线不是平行线，从而揭示概念的本质属性——“在同一平面内”“永不相交”，进一步归纳出完整的概念：即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
接着屏幕显示相交的一类图形，让学生观察图形，再次进行分类。
学生将这些图形分为相交成直角和不成直角两类后，屏幕上就显示出相交成直角这类特殊情况，引出概念：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做垂足。
这样设计教学，充分运用了分类比较、观察发现等数学方法，关注了学生的学习过程，让学生在不断比较、辩别的过程中，自主探究、发现、感悟出了概念的本质，实现了数学学习目标。
（五）巩固拓展，用概念解决实践问题
数学来源于生活、扎根于生活、应用于生活。
基于这样的理念，本课我设计了如下练习：
一是生活实践练习。
即找运动场上的垂直与平行，用手比划垂直与平行，用纸折一折垂直与平行，让学生加深对垂直与平行的特征和理解。
二是理解应用练习。
即出示几组图形，让学生运用概念的本质属性辩别是否互相垂直或互相平行；
三是拓展延伸练习。
即在同一平面内依次摆出三条直线，其中一条与另外两条分别平行，使学生发现感悟到两两平行，或者其中一条与另外两条分别垂直，那么这两条直线一定互相平行，为学生今后进一步研究互相垂直与互相平行打下
了坚实的基础。
我从学生熟悉的生活现象入手，设计应用练习，使学生感受到数学研究即生活研究，数学问题离我们并不遥远，就在自己的身边，这种练习既有趣味性，又有实践性，还让学生在学习数学的同时，享受到生活的美好。
垂直与平行一课的教学，以学生知识经验和生活经验为基础，充分运用分类比较这种基本的数学学习方法，为学生搭建探究、发现的学习平台，引导学生学会在“做”中学数学，在探究中学数学，在合作交流中学数学。
按照这样的设计意图进行课堂教学实践后，我认为本课体现了数学思维特点，概括地说具有“三性”：
（一）分类具有层次性。
本课首先让学生将同一平面内的两条直线的位置关系进行自由分类，接着又利用大屏幕显示几种有代表性的情况，师生一起集中分类，当学生发现同一平面内两条直线的位置有相交和不相交两种情况后，我又与学生一起将相交的情况进行再将分类。
这川步步深入、逐层推进的分类活动，激发了学生的探究欲望，增强了学生探究能力，从而使学生主动去获取和领悟感性材料中的数学问题。
（二）比较具有针对性。
“比较”这种基本的数学学习方法体现在本课的全过程中，特别是本课的重难点知识，我单独让学生进行比较，如看似不相交，通过将直线延长后其实可以相交的现象；同一平面内的两条直线不相交，延长后也不相交的现象；同一平面与不是同一平面等，通过比较辩别，帮助学生感悟了概念的本质。
（三）归纳概括具有完整性。
归纳概括能力的培养是本课的教学目标之一，在分类比较过程中，我让学生一步步地概括总结，从表象特征——基本特征——本质特征，逐步深入，使学生经历这一思维过程后，建立了完整的概念模型。
数学是一种工具，一种将自然、社会运动现象法则化、简约化的工具。
数学学习的最重要的成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。
通过本课的学习，学生进一步学会了分类比较、分析概括的学习方法，这种方法将在以后的学习和研究中“学以致用”，这样的数学学习，不再是抽象的、枯燥的，而是充满魅力与灵气，带给学生的是探索、发现之余的喜悦，是真正意义的数学学习。
