2020-2021初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案解析
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2020-2021初中数学锐角三角函数的真题汇编及答案解析
一、选择题
1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（
）
A．43 B．12﹣43 C．12﹣63 D．63
【答案】B
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．
【详解】
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，
∴BC＝AC＝122．
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝2122122
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝43，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43．
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）
A．1000sin米 B．1000tan米 C．1000tan米
D．1000sin米
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tanACAB，即可解决问题．
【详解】
解：在RtABC中，∵90CABo，B，1000AC米，
∴tanACAB，
∴1000tantanACAB米．
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）
A．35 B．45 C．34 D．43
【答案】C
【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD=43BDOD.
故选D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A．2244xy B．2244xy C．2288xy D．2288xy
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝12AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出GECECEFE，得出y＝2FE，求出y2＝24FE，得出24y＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝12AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝12CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°， ∴tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
∴△CEG∽△FEC，
∴GECE＝CEFE，
∴y＝2FE，
∴y2＝24FE，
∴24y＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴24y＝x2﹣4，
∴24y+4＝x2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．23 C．32 D．233
【答案】A 【解析】
连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°=3，
故选A
6．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是( )
A．4 B．83 C．6 D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=43，
∴光盘的直径为83． 故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
7．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87，cos450.71．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）
A．30° B．50 C．40 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.
【详解】
从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos200.94，
∴余弦值最接近0.94的是20，
故选：D.
【点睛】
此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.
8．如图，在RtABCV中，90C＝，30B，AD是BAC的角平分线，6AC＝，则点D到AB的距离为( )
A．33 B．3 C．23 D．33
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD为∠BAC的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD，利用∠DAC的正切求出CD的值即可得答案．
【详解】
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，DE=CD，
∵AC=6，
∴CD=AC·tan∠DAC=6×33=23，即DE=23，
∴点D到AB的距离为23，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
9．如图，Oe是ABCV的外接圆，AD是Oe的直径，若Oe的半径是4，1sin4B，则线段AC的长是（ ）．
A．2 B．4 C．32 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝14，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
【详解】 连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90，
∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝14，
在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，
∴AC＝14AD＝14×8＝2．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
10．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）
A．60ABC B．2ABEADESSV C．若AB=4，则47BE D．21sin14CBE
【答案】C
【解析】
【分析】
由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin∠CBE=2114EHBE．
【详解】
解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，
在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，
CH=12CE=1，EH=3CH=3，
在Rt△BEH中，BE=22(3)527，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=3211427EHBE，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
