苏教版高中数学必修4同步课堂精练-2.2.3向量的数乘

高中数学学习材料

（灿若寒星 精心整理制作）

1．点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且GAGBGCGD，则λ＝__________.

2．下面给出四个命题 ，其中正确命题的个数是__________．

①对于实数m和向量a，b恒有：m(a－b)＝ma－mb

②对于实数m，n和向量a，恒有：(m－n)a＝ma－na

③若ma＝mb(m∈R)，则有：a＝b

④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n

3．若a，b是已知向量，且11(32)4(634)++0accbab，则c＝__________.

4．已知OAa，OBb，C为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示OD的表达式为__________．

5．平面向量a，b共线的等价条件是__________．(填序号)

①a，b方向相同 ②a，b两向量中至少有一个为零向量

③存在λ∈R，b＝λa ④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0

6．在△ABC中，点D在直线BC上，且4CDBDrABsAC，则r＋s＝__________.

7．已知向量e的模为2，求向量a，b的模，并指出向量a，b，e彼此间的方向关系．

(1)向量a＝3e，b＝4e；

(2)向量a＝2e，b＝－3e.

8．设OA，OB不共线，P点在AB上．

求证：OPOAOB，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.

9.用向量方法证明梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半．

参考答案

1. 答案：4

解析：∵24GAGBGCGAGBCGCGGD，

∴λ＝4.

2. 答案：3

解析：①②显然正确，③中当m＝0时，对于任意两向量a，b，ma＝mb都成立，但不一定有a＝b，故③错误．④中首先可知m、n同号，又|ma|＝|na|，|a|≠0，

∴|m|＝|n|.

∴m＝n.∴④正确．

3. 答案：－6(a＋b)

用心 爱心 专心 向量数乘运算及其几何意义 同步练习(一)

一、 选择题

1、设1e和2e为不共线的向量，则21e﹣32e与k1e+λ2e（k 、λ∈R）共线的充要条件是（ ）

A、3k+2λ=0 B、2k+3λ=0 C、3k﹣2λ=0 D、2k﹣3λ=0

2、点G是△ABC的重心，D是AB的中点，则GA+GB-GC等于

（ ）

A、4GD B、-4GD C、6 GD D、-6 GD

3、在△ABC中，AD、BE、CF为三条中线，G是它们的交点，则下列等式错误的是

（ ）

A、BG=32BE B、DG=21AG C、CG=﹣2FG D、31DA+32FC=21BC

4、平面上有一个△ABC和一点O，设OA=a，OB=b，OC=c，又OA、BC的中点分别

为D、E，则向量DE等于

（ ）

A、21(a+b+c) B、21(﹣a+b+c) C、21(a﹣b+c) D、21(a+b﹣c)

5、已知向量a和b不共线，实数x、y满足 (2x﹣y)a+4b=5a+(x﹣2y)b，则x+y的值等于 （ ） 用心 爱心 专心 A、-1 B、1 C、0 D、3

6、P是菱形ABCD的对角线AC上不同与A、C 的一点，则AP=

（ ）

A、 λ(AB+AD),λ∈(0,1) B、λ(AB+BC),λ∈λ(0,22)

C、 λ(AB﹣AD),λ∈(0,1) D、 λ(AB﹣BC),λ∈λ(0,22)

7、若abxbab()()()12523，，，，且与共线，则x的值为B

1

[学业水平训练]

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是________．(填序号)

①a与λa的方向相反；

②a与λ2a的方向相同；

③|－λa|≥|a|；

④|－λa|＝|λ|·a.

解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，②正确；又|λ|与1的大小不确定，故③不正确；又|－λa|＝|λ|·|a|，故④不正确．

答案：②

2.已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，则λ等于________．

解析：因为a＝λb，所以|a|＝|λ|·|b|，即1＝2·|λ|，所以λ＝±12.

答案：±12

3.若|a|＝8，b与a反向，|b|＝7，则a＝________b.

解析：∵b与a反向，

由共线向量基本定理知，a＝－87b.

答案：－87

4.点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.

解析：∵ACCB＝32，∴点C为线段AB的5等分点，

∴AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.

答案：35 －25

5.已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．

解析：由原式可得3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3.∴x－y＝3.

答案：3

6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝__________．

解析：由AD→＝2DB→，

得CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→

＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，

结合CD→＝13CA→＋λCB→，知λ＝23.

答案：23

7.(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；

(2)已知3x＋4y＝a，2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，求x，y.

学业分层测评(十七) 向量的数乘

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1.已知λ∈R，则下列说法错误的是________.(填序号)

①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；

④|λa|>0.

【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故②必不成立.

【★答案★】 ①②④

2.化简14a＋2b＋3a－136a－12b为________.

【解析】 原式＝14[]a＋2b＋3a－2a＋4b＝14(2a＋6b)＝12a＋32b.

【★答案★】 12a＋32b

3.若AC→＝57AB→，则BC→＝________AC→.

【解析】 ∵AC→＝57AB→，∴点A，B，C三点共线，且AC→与AB→同向，∵＝57(如图)，

∴＝25，又BC→与AC→反向，∴BC→＝－25AC→.

【★答案★】 －25

4.在△ABC中，已知BC→＝3BD→，则AD→＝________(用AB→，AC→表示).

【解析】 ∵BC→＝3BD→， ∴AC→－AB→＝3(AD→－AB→)，

∴AD→＝23AB→＋13AC→.

【★答案★】 23AB→＋13AC→

5.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________. 【导学号：48582088】

【解析】 ∵m与n共线，

∴存在实数λ，使得m＝λn，

∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，

∴ －1＝－2λ，k＝λ，

∴λ＝12，k＝12.

【★答案★】 12

6.已知向量a，b且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是________.

【解析】 ∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→，

∴A，B，D三点共线.

【★答案★】 A，B，D