几何变换对称

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《轴对称变换在几何最值中的应用》教学设计

作者：杨月桃

来源：《新课程·教师》2014年第03期

摘 要：利用轴对称变换求几何最值的问题历来是中考的重点和难点，按照情景导入，引出主题；及时练习，巩固新知；知识迁移，拓展新知；结合生活，应用新知；小结升华，形成结论五个阶段设计，使学生切实掌握利用轴对称变换解决几何最值问题，同时能培养学生动手实践、自主探索、合作交流的能力。

关键词：轴对称变换；几何最值；教学设计

轴对称变换是几何中一种基本变换，如何利用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题、轴对称变换的作图和性质以及“两点之间线段最短”是本节课应用的基础，本节课内容为进一步学习几何变换在实际问题中的应用提供了方法和经验。“动手实践、自主探索与合作交流”是《义务教育数学课程标准》所提倡的学生学习数学的重要方式，画图找点解决实际问题中最短路径问题的探究过程是体现这一理念很好的素材，它对培养学生的探究精神以及动手实践能力，发展数学应用意识等有重要的作用。

教学片断一：情境导入，巧妙转化

例题（中考原题）已知正方形ABCD，P是AC上任一动点，E是AB上一点，要使BP+EP之和最小，请确定点P的位置。

■ ■

【课堂场景】

师：同学们，请看一道中考原题，你会做吗？你认为它难吗？

（学生乍看到这个问题时，绝大多数一时束手无策，找不到本题的切入口，极少数学生会想到利用轴对称变换的性质找到点B关于AC的对称点就是点D，连接ED与AC交于点P，点P为所求。）

师：若去掉图1中的正方形ABCD，E，B是直线AC同侧的两点，其他条件不变，请确定点P位置。（这时几乎全班学生都恍然大悟，气氛一下活跃了很多，打破了一开始的寂静，大家都记得这是课本上的一道作图题。） 龙源期刊网

Ⅳ 轴对称及轴对称变换

1．轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

2．线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.

一、例题

【例１】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）

【训练1】

1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）

2．如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）

【例2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）

A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）

【训练2】

1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）

A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3

2．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.

1 6对称变换

知识目标：

目标1：学会运用对称的思想解决将军饮马等最值问题

目标2：掌握倍角问题的常见处理方式

模块一 “将军饮马”问题

例1

（1）如图，在上找一点P，使PA+PB最小．

（2）如图，在上找一点P，使PA + PB最小．

（3）如图，在上找一点P，使|PA—PB|最大．

（4）如图，在上找一点P，使|PA—PB|最大．

（5）如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使∆PCD的周长最小．

2 （6）如图，点P是锐角∠AOB的内部一定点，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PD+CD最小．

（7）如图，点C、D在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点F，在OA边上求作一点E，使四边形CEFD的周长最小．

（8）如图，直线外有两点A、B，有一定长线段，在直线上找到点M、N，使得MN间的距离等于定长a，使得四边形AMNB的周长最小．

（9）如图，l1∥l2，点M、N分别是1、2上两动点，且满足MN⊥2，点A为1上方一定点，点B为2下方一定点，请确定M、N的位置，使AM+MN+BN最小．

3 例 2

（1）如图，等腰△底边的长为4，面积是122，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则△的周长最小值为 .

FDEABCM

（2）（2013年武昌区八上期中）

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值．

例3

（1）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P位于∠AOB内，且OP=3，求△PMN的周长最小值．

（2）（2015年武汉二中八上期中）

如图，为∠内一定点，、分别是射线、上一点，当△周长最小时，∠＝110°，则∠＝ ．

（3）（2015年青山区八上期中) 4 如图，∠AOB=α°，点P上∠AOB内任一点，OP=6，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，若△PMN周长的最小值为6，则α= ．

第 1 页 共 4 页

初中几何三大变换平移、旋转、轴对称

姓名：__________

指导：__________

日期：__________

第 2 页 共 4 页

【答案解析】先将 ABC 绕着 BC 的中点旋转 180 ，再将所得的三角形绕着 BC 的中点 旋转180 ，即可得到△ ABC；先将 ABC 沿着 BC 的垂直平分线翻折，再 将所得的三角形沿着 BC 的垂直平分线翻折，即可得到△ ABC；故选：D.

典型易错题5（易错指数）

【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在 的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对 称轴垂直平分，正确；D ． ABC DEF ，则 ABC 与 DEF 不 一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．

典型易错题6（易错指数）

图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是第 3 页 共 4 页 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻 转得到新图形， 通过轴对称得到的是（1）． 故选：A

典型易错题7（易错指数）

【答案解析】

典型易错题8（易错指数） 第 4 页 共 4 页 【答案解析】