东北大学概率论课后习题答案PPT2-2

i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

概率论课后习题答案北大概率论课后习题答案北大北大是中国著名的高等学府，其数学系在国内乃至国际上都享有盛誉。

概率论是数学系的一门重要课程，它研究的是随机现象的规律性。

作为一门理论性较强的学科，概率论的习题往往需要一定的思考和推理能力。

下面，我们就来看一下北大概率论课后习题的答案。

1. 设A、B、C为三个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，且P(A∩B)=0.1，P(A∩C)=0.2，P(B∩C)=0.3，P(A∩B∩C)=0.05，求：(1) P(A∪B∪C)的值；(2) P(A'∩B'∩C')的值。

解答：(1) 根据概率的加法原理，有P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。

代入已知条件，可得P(A∪B∪C) = 0.3 + 0.4 + 0.5 - 0.1 - 0.2 - 0.3 + 0.05 =0.65。

(2) 根据概率的补集公式，有P(A'∩B'∩C') = 1 - P(A∪B∪C)。

代入已知条件，可得P(A'∩B'∩C') = 1 - 0.65 = 0.35。

2. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，已知P(X > 2) = 0.3，P(X < -1) = 0.1，求：(1) X的期望μ和方差σ^2的值；(2) P(-1 < X < 2)的值。

解答：(1) 根据正态分布的性质，有P(X > 2) = P(Z > (2-μ)/σ) = 0.3，其中Z是标准正态分布。

查表可得，对应的Z值为0.524，即(2-μ)/σ = 0.524。

同理，有P(X < -1) = P(Z < (-1-μ)/σ) = 0.1，对应的Z值为-1.281，即(-1-μ)/σ = -1.281。

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点：1) 将一枚均匀硬币连续掷两次，记事件A=｛第一次出现正面｝, B=｛两次出现同一面｝, C=｛至少有一次正面出现｝.2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球.记事件A = ｛球的最小号码为1｝.3) 10件产品中有一件废品，从中任取两件，记事件A=｛得一件废品｝.4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球，从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再从第二袋中任取一球•记事件A=｛两次取出的球有相同颜色｝.5) 掷两颗骰子，记事件A二｛出现点数之和为奇数，且其中恰好有一个1点｝,B =｛出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点｝.答案:1)门-｛ (H,H), (H,T),仃，H),仃,T)｝, 其中H:正面出现；T :反面出现•A=｛(H,H),(H,T)｝；B =｛ (H,H), (T,T)｝;C 讯(H,H), (H,T), (T,H)｝.2)由题意，可只考虑组合,则G = ! (1, 2, 3), (1, 2,4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5),]一-、(1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4,5)「A =「(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1, 4,5) ：f.3) 用1,2，…,9号表示正品,10号表示废品.则”(1,2), (1,3), (1,4),…，(1,10厂(2,3), (2,4),…,(2,10)Q = •: ＞；匕(8,10)I(9,10) JA—(1,10), (2,10), , (9,10) \4)记第一袋中的球为(W1, th),第二袋中的球为(W2, b2),则l；1 = ' (W6, W2), (W1, b2), (W, W), (b, W2), (b, b2), (b, b) f;A，(w1,w2),(w1,w), (bi,b2),(b,b)二(1,1), (1,2),…,(1,6)、 (2,1), (2,2),…，(2, 6) - ；I ''-.(6,1), (6,2), , (6,6)A 」(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (4,1), (6,1) ?;[(2, 2), (2, 4), (2,6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4,6),(5,3),(5,5), (6,2),(6, 4),(6,6)注：也可如下表示：'(1,1), (1,2),…，(1,6厂(2, 2),…，(2,6)(6,6)A =「(1,2),(1,4), (1,6) ?;B =「(2, 2), (2, 4), (2,6), (3,3), (3, 5), (4, 4), (4,6), (5, 5), (6,6) /.2. 一个工人生产了 n 个零件，以事件A 表示“他生产的第i 个零件是正品” (1兰i 兰n).3. 设A 、B C 为三个事件，用A 、B C 的运算关系表示下列各事件1 )A 发生；2 )只有A 发生；3)A 与B 发生而C 不发生； 4 )三个事件都发生；5) 三个事件中至少有一个发生； 6) 三个事件中至少有两个发生 ；7) 三个事件中恰好发生一个； 8) 三个事件中恰好发生两个； 9) 三个事件都不发生；试用A 1,A,…,A n 表示下列事件： 1)没有一个零件是次品； 2) 3)只有一个零件是次品；4) n答案：1) A ;2)i 壬nn3) [A' ( A j )];4)i 吕j dj -i至少有一个零件是次品； 至少有两个零件不是次品nA ；(亦即：全部为正品的对立事件)i d nn n (M2[U (A * A))]・i di =1j dj -i10) 三个事件中不多于两个发生 ； 11) 三个事件中不多于一个发生 • 解:1) A ; 2) ABC ;3) ABC ;4) ABC ;5) A B C ;6)ABC 1 - ABC 1 . ABC 1 - ABC( =AB BC AC =BC 一 AC 一 AB )(等价说法：至少有两个不发生的对立事件); 7)ABC 一 ABC 一 ABC ;8)ABC 一 ABC 一 ABC ;9) ABC (= A- -^/C );10)ABC (= A B 一 C )(等价说法：至少有一个不发生.);11) ABC AB C _ ABC ABC (= BC AC AB )(即：至少有两个不发 生)•4.试把事件 A A ? 一…A n 表示成n 个两两互不相容事件之并•答案：A u A A 2 Q A A A 3 u""" <j' A 「" Ai _1An . 7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了 7位乘客,电梯在每层都停，乘客从第二层起离开 电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的•求没有2位乘客在同一层离开的概率•A 7 解：所有可能情况为97种,则所求概率为p 9 •979.设甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中有e 只白球d 只黑球•在两袋中各任取一只球 求所得两球颜色不同的概率•所有可能情况有(a - b)(e d)种，则所求概率为p 二(a+ b)(c + d)从n 双尺码不同的鞋子中任取 2r ( 2r ::: n )只，求下列事件的概率： 所取2r 只鞋子中没有两只成对； 所取2r 只鞋子中只有两只成对； 所取2r 只鞋子恰好配成r 对•ad be 11. 1)2) 3) 样本空间可考虑有2ni 种可能结果，古典概型，则所求概率分别为1)n2r .2rn22r 2r 22r口丨2】r [ 2 ]2r指定的n 间房里各住一人； 恰有n 间房，其中各住一人. 所有可能情况为N n 种,则所求概率分别为13.甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球 ，甲先摸，不放回，直至有 一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.解：甲先摸到白球，则可能结果如下(注：至多有限次摸球)：甲W ， 甲B 乙B 甲W ，甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 W ， 甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 W ，a①当b 为偶数时，则所求概率为a 丄b b —1 ap 甲二 "a+b a+b a+b T a+b-2 + b b —1 b —2 b -3 aa b a b-1 a b-2 a b-3 a b-4 +…+ b b-1 …2 1 aa +b a +b T a + 2 a +1 a=亠口 + ___________ b (bT ) _______ +…+ ____________ ____________ ] a b (a b -1) (a b -2) (a b —1) (a b —2厂(a 1) a2)P 2 -■n^ 'Q (n -0/2 J 八2八2―2丿2；— n2n2「3)12.设有n 个人，每人都被等可能地分配到 N(N -n)个房间中的任一间.求下列事件的概率: 1) 2) 解 :1)n!A ；1)B 市市2)P 2 =n JN ；②当b 为奇数时，则所求概率为a b -1 a 217. 口袋中有2n -1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，发现都是同色球，问这种颜色是 黑色的概率为多少？ 解：记事件A = ｛所取n 个球为同一种颜色｝，B = ｛所取n 个球全为黑球｝，要求 P(B | A) =?ntt P(AB) 则 P(B| A):P(A)勾］(2n)!= l n 丿 = ___________________ n Xn! ___ = 2 「2n-1 2n - (2n-1)! (2n)!「3..n n n! (n -1)! n! n!18. 设M 件产品中有 m 件废品，从中任取两件. 1) 在这两件中有一件是废品的条件下 ，求另一件也是废品的概率 2) 在这两件中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率解: 1)记事件A=｛任取两件，有废品｝, B =｛任取两件，均为废品｝,则所求概率为m M m2 2 2 _ m-1 M - m M M M - m 2M 「m 「1 .2 2 2 一 . 22)记事件C =｛任取两件，有正品｝, D 珂任取两件，有一正品一件废品｝,贝V 所求 概率为a b p 甲=a +b 丄 a bb -1a b a b -1 a b -2 b -1 b —2b -3 a b -1 a b -2 ba b -4b -1 b(b -1)+'(a b -1) (a b-2)b!(a b — 1) (a b — 2) (a 1)].P 1 二 P(B|A)二P(AB)P(A) P(B)P(A) ■‘2n n ⑴J v n 丿已知 P(A) =0.25,P(A 2)=0.35, P(A) =0.40,m (M - m)M _ m M m -1 2 - 219. 袋中有黑、白球各一个，一次次从中摸球，如果摸到白球，则放回白球，且再加入一个白 球,直至摸到黑球为止.求摸了 n 次都没有摸到黑球的概率.解：记事件A ：第i 次摸到白球，i=1,2,…，n ,要求：P(AA2…A n )二？ 由计算概率的乘法定理，则所求概率为P(AA …A n ) = P(A) P(A|A) P^IAA)…P(A n |A …AU=12 3 ...21.某射击小组有20名射手，其中一级射手4 人，二级8 人，三级7 人，四级1人各级射手 能通过选拔进入比赛的概率依次为 0.9,0.7,0.5,02 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.P(B|A)=0.9, P(B|A 2)=0.7, P(B|A 3)=0.5, P(B|A 4)=0.2.用全概率公式，则所求概率为4P(B)八 P(A i ) P(B| A i )im4 8 7 1 0.9 0.7 0.5 0.2 =0.645.20 20 20 2023. 甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉 ，它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中 废品各占5%,4%,2%从它们的产品中任取一个恰好是废品 ，问此废品是甲、乙、丙生产的概 率各为多少？解：记事件A 1, A 2, A 3表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产 ；事件B=｛所取产品是废品｝. 要求：P(A|B)=? ( i=1,2,3)P2=P(D|C)品)P (D )P(C)M -mm M.1 121 一 ：鸟2 22m解：记事件B =｛所选射手能进入比赛｝,A =｛所选射手为第i 级｝, i =1,234.4已知心20P(A2“ 280PT1 卩(小20P(B|A)=0.05, P(B|A) = 0.04, P(B| A 3) = 0.02.3则 P(B) =' P(AJ P(B| A)i 1= 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 =0.0345.由贝叶斯公式，则所求概率分别为P(A |B) P (AB )P(A) P(B|AJ 0.25 0.05-P(B) 一 P(B) -0.0345P(A|B)=P^BLA^28,0.4058, P(B) 69 P(A|B)』A 3)P(B|阳』7.2319.P(B)6924.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,04 如果他乘火车、轮船、汽车，则迟到的概率分别是 1/4,1/3,1/12; 而乘飞机不会迟到.可他迟到了，问他是乘火车来的概率为多少 ？解：记事件A 1, A 2, A 3, A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来 事件B =｛朋友迟到 }.要求:P(A|B)二? 已知 P(A)=0.3,P(A) =0.2,P(A) =0.1,P(^) =0.4,1 P(B|A), 411P(B | A 2), P(B| A c ) , P(B|A)=0.3124贝y P(B) = » P(A) P(B| A i )i =11 1 1= 0.3 — 0.2 — 0.10.4 0 =0.15.4 3 12由贝叶斯公式，则所求概率为25.装有m (m _3)个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球，但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率.解：记事件A =｛丢失白球｝, B =｛任取两个球都是白球｝.要求：P(A| B) =?着°.3623,P(A 1 I B)二P(AQ P(B| A,)P(B)-0.5.0.15P(A) P(B| A) P(A) P(B| A) P(A) P(B |A)已知 P(A)=^^, P(A)=^^m + nm + n(m _1)(m _2) (m n - 1)(m n - 2)mP(B| A)2m(m")i'm + n-1 ! (m + n- 1)(m + n —2)2则所求概率为m (m -1)(m -2)P (A | B ) = _______________ m n (m n - 1)(m n-2)m (m —1)(m —2) + n 二 m(m-1) m n (m n _ 1)( m n _2) m n (m n_ 1)( m n _ 2) m —2 m n -227. 一架轰炸机袭击1号目标，另一架袭击2号目标，击中1号目标的概率为0.8,击中2号目 标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率 .解：记事件A =｛击中i 号目标｝, i =1,2.要求：P(Au A) =? 方法一 ：P(A ・ A 2)= P(A) + P(A0—P(AA0 二 P(A) P(A 2)-P(A) P(AO= 0.8 0.5 -0.8 0.5 =0.90.方法二：P (A ・ A 2)= 1—p (A^TA 2)= 1 —p (AA z )=1-P(A) P(A 2)= 1_(1_0.8) (1 -0.5) =0.90.29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲、乙命中的概率分别为 p 1, p 2 ,甲先射，谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少？解：记事件A =｛第i 轮甲命中目标｝, B i =｛第i 轮乙命中目标｝, i =12….则P(A|B)P(AB) P(B) P(B|A)｛甲获胜｝ =Ai- A 国 A 一 AB 1A 2耳A s 一 ,所以P ｛甲获胜｝ = P(A i A 1B 1A AB 1A 2B 2A _.)二 P(A i ) P(A I B I A 2) P(A I B 1A 2B 2A S ) ■-二 P(A i ) P(A 1 厂P(B l ) P(A 2)P(A I )卩(B) P(A 2)P(B 2)P(A s )二 p (1 - p i ) (1 - P 2) p i[(1 - pi) (1 - P 2)]2 p i_______ P 1 ___________ ___ _________ P 1 ______1 -(1 - pj (1 - P 2) P 1 P2 - pi P 2由于｛乙获胜｝ = A B 一 A 1B 1A 2B 2 一 A^A^A s B s —, 所以 P ｛乙获胜｝ = P (A B _ A 1B 1A 2B 2 一_.)=p (瓦B )+P (AB 1瓦B 2)+ P (瓦氏瓦目2入^3)+… 二(1 - P 1) P 2 (1 - P 1)2 (1 - P 2) P 2(1 - P 1)3 (1 - P 2)2 P 2(1 - P 1)卩2_ (1 - Pl) P 21 -(1 - P 1)(1 - P 2)P 1P 2 - PlP 2P ｛乙获胜｝ =1 -P ｛甲获胜｝ -1-P 1 + P 2 - P 1 ' P 2 解：(1 )由题设知，随机变量 X 的可能取值为：1,2，…，且事件(X = n)(n =1,2，…)表示 一共进行了 n 次试验，且前2 一口袋中装有 m 个白球，n- m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止， 此时取出了 X 个白球，求X 的分布律。

概率论课后习题答案学版概率作业答案：第一章1―5节一(1) 仅A 发生; AB C (2) A、B、C都发生; ABC (4) A、B、C 不都发生; ABC(3) A、B、C都不发生; A B C(5) A不发生，且B、C中至少有一发生; A( B C )(6) A、B、C中至少有一个发生；A B C(7) A、B、C中恰有一个发生；AB C A BC A B C (8) A、B、C中至少有两个发生；ABC A BC AB C ABC 或AB BC AC(9) A、B、C中最多有一个发生。

A B C AB C A BC A B C 或AB BC AC 或A B B C A C概率作业答案：第一章1―5节二、单项选择题1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为( ) (A “甲种产品滞销，乙种) 产品畅销”; (B “甲、乙两种产品均畅) 销”; (C“甲、乙两种产品均滞) 销”; (D “甲种产品滞销或乙种) 产品畅销” 答案：A2.对事件A、B有B A, 则下述结论正确的是( ) ( A) A与B必同时发生；( B ) A发生，B必发生；(C ) B发生，A必发生；( D ) B 不发生，A必不发生。

答案：C3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A)A B;( B)B A;(C ) AB ;( D) A B .概率作业答案：第一章1―5节3.对于任意两个事件A、B,与A B B不等价的是( ) ( A) A B;( B) B A;(C ) AB ;( D) A B .A AB B, B A , AB AA , B B A B, 推不出A B= , 答案选D4.设A、B为任意两个事件，则下列各选项中错误的是( ) ( A)若AB , 则A ,B 可能不相容;( B )若AB , 则A , B 也可能相容; (C )若AB , 则A , B 也可能相容;(D )若AB , 则A , B一定不相容;.( A) AB , B A , A A B , 令B A , A B A A , A正确(B )若B A,AB , 则A B A A B , A B A B A , B 也对.__________概率作业答案：第一章1―5节对(C)令B A , 则AB , 但A B A A A .C也对正确答案; D。

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。

一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故：(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2; 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A,B,C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；6 A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；7 A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；8 A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式;设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件：(1) AB ; 2 B A - ; 3 B A -; 4 B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；2 B A -=}{8.05.0≤≤x x ；3 B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;4 B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x用作图法说明下列各命题成立：略用作图法说明下列各命题成立：略按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤,而由加法公式,有：)()()(B P A P B A P +≤⋃若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且PW = ; PE = ,PWE = , 求下列事件的概率：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛;2 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 设A 与B 是两个事件, PA = ; PB = ;试问：1 在什么条件下PAB 取到最大值 最大值是多少2 在什么条件下PAB 取到最小值 最小值是多少解：1 由于B AB A AB ⊆⊆,,故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时PAB 取到最大值; 最大值是.2 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=;显然当1)(=⋃B A P 时PAB 取到最小值,最小值是.设PA = , PB = , PC = , PAB = 0, PAC = , PBC = , 求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 PAB = 0,故 PABC = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P计算下列各题：1 设PA = , PB = , PA ⋃B = , 求PAB;2 设PA = , PA ⋃B = , 求PAB;3 设PAB = PA B; PA = , 求PB;解：（1）通过作图,可以知道,3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P（2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3 概率各为多少 解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3;三只球放入四只杯中,放法有44464⨯⨯=种,每种放法等可能;对事件1A ：必须三球放入三杯中,每杯只放一球;放法4×3×2种,故83)(1=A P 选排列：好比3个球在4个位置做排列;对事件3A ：必须三球都放入一杯中;放法有4种;只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种,故161)(3=A P ;169161831)(2=--=A P 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少解：此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36;.出现点数和为“3”对应两个基本事件1,2,2,1;故前后两次出现的点数之和为3的概率为181; 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是91,121; 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; 2 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数,共有120310=C 种取法,亦即基本事件总数为120; (1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有624=C 种,故所求概率为201; 2 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有1025=C 种,故所求概率为121; 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球;现从这12 只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用321,,A A A 表示事件：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P ; 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ,故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P ; 计算下列二式：(1) );(B A P ⋃2);(B A P ⋃解：1;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P 2;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ,所以5.0)(1)(=-=B A P B A P ;一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品;现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：1 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;2 第三次才取到次品;3 第三次取到次品.解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”3,2,1=i ,则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”3,2,1=i ;11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：3125()18P A A A =; 2 事件“第三次才取到次品”的概率为： （3）事件“第三次取到次品”的概率为：41 此题要注意区分事件1、2的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率;再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品;用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”2,1=i ,则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P ;区别是显然的; 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中;今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率;解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”;用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”;则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =,12()12P B A =,23()12P B A =,根据全概率公式,有：一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子;已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%;假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”,B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”;则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =,2()0.15P B A =,3()0.1P B A =,根据全概率公式,有：设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率;解：用B 表示色盲,A 表示男性,则A 表示女性,由已知条件,显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式,所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为, 被试验者患有癌症的概率为;若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用B 表示对试验呈阳性反应,A 表示癌症患者,则A 表示非癌症患者,显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式,所求概率为：仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.1 求该批产品的合格率;2 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少解：设,},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B }{产品为合格品=A ,则（1）根据全概率公式,94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ,该批产品的合格率为.（2）根据贝叶斯公式,9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419; 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为, 和 ,求目标被击中的概率; 解：记A ={目标被击中},则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为, 求在三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率.解：记4A ={四次独立试验,事件A 至少发生一次},4A ={四次独立试验,事件A 一次也不发生};而5904.0)(4=A P ,因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P ;所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((213=⨯⨯=-A P A P C ;。

东北大学智慧树知到“会计学”《概率论X》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.小概率事件必然发生，指的是在无穷次实验中，小概率事件肯定会发生。

()A.正确B.错误2.设F(x)是随机变量X的分布函数，则对()随机变量X，有P{X₁ A.任意B.连续型C.离散型D.任意离散型3.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为奇数时，正面出现(n+1)/2和(n-1)/2次的概率最大。

()A.正确B.错误4.离散型随机变量X，X所有取值为0，1，2，且P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.25，P(X=2)=0.25，则P(XA.0B.0.5C.0.25D.15.甲再能存活20年的概率为0.7，乙再能存活20年的概率为0.9，则两人均无法活20年的概率是()A.0.63B.0.03C.0.27D.0.076.设X，Y均服从正态分布，则协方差Cov(X，Y)=0是X与Y相互独立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要7.将C，C，E，E，I，N，S等7个字母随机的排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率()A.1/7!B.1/1260C.5!/7!D.1/6408.任何情况都可以利用等可能性来计算概率。

()A.正确B.错误9.设一个病人从某种手术中复原的概率是0.8，则有3个病人，恰有2个人手术后存活的概率是：()A.0.223B.0.384C.0.448D.0.33810.关于独立性，下列说法错误的是()A.若A1，A2，A3，……，An相互独立，则其中任意多个事件仍然相互独立B.若A1，A2，A3，……，An相互独立，则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍相互独立C.若A与B相互独立，B与C相互独立，C与A相互独立，则A，B，C相互独立D.若A，B，C相互独立，则A+B与C相互独立11.甲乙二人进行桌球比赛，每局甲胜的概率为1/3，乙胜的概率为2/3，三局两胜，若记X为比赛的局数，则EX=()A.22/9B.3C.2D.2/312.如果A是B的对立事件，则肯定有：()A.P(A)≤P(B)B.P(A)≥P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A)+P(B)=113.设随机变量X的方差DX=σ²，则D(ax+b)=()A.aσ²+bB.a²σ²+bC.aσ²D.a²σ²14.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。

东北⼤学19春学期《概率论》在线作业2（答案）东⼤19春学期《概率论》在线作业2试卷总分:100 得分:100[题⽬1]、设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，则F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。

标准答案:C[题⽬2]、若P(A)=0,B为任⼀事件，则A、A为空集B、B包含AC、A,B相互独⽴D、A,B互不相容标准答案:C[题⽬3]、如果随机事件A，B相互独⽴，则有：A、AB=空集；B、P(A)=P(B)；C、P(A|B)=P(A)；D、AB=B。

标准答案:C[题⽬4]、从概率论的⾓度来看，你认为下列⽣活中的哪⼀种现象具有合理的成分？A、某同学认为某门课程太难，考试不可能及格，因此放弃了努⼒学习；B、某⼈总是⽤⼀个固定的号码去买彩票，她坚信总有⼀天这个号码会中奖；C、某⼈总是抢先第⼀个抽签，认为这样抽到好签的可能性最⼤；D、某⾜球教练认为⽐赛时他的⾐服颜⾊与⽐赛的结果有关，所以总穿着同⼀件“幸运服”去指挥⽐赛。

标准答案:B[题⽬5]、在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A:选出的学⽣是男⽣”;B选出的学⽣是三年级学⽣"。

则P(A|B)的含义是：A、选出的学⽣是三年级男⽣的概率B、已知选出的学⽣是三年级的，他是男⽣的概率C、已知选出的学⽣是男⽣，他是三年级学⽣的概率D、选出的学⽣是三年级的或他是男⽣的概率标准答案:B[题⽬6]、设随机事件A发⽣的概率为0.4,B 发⽣的概率为0.3及A,B两事件⾄少有⼀件发⽣的概率为0.6，那么A发⽣且B不发⽣的概率为A、0.2B、0.3C、0.4D、0.6标准答案:B[题⽬7]、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N（u，42），Y~N（u,52），记p1=P{X=u-4},p2=P{u+5},那么（）A、对任何实数u,都有p1=p2B、对任何实数u，都有p1p2C、只对u的个别值，才有p1=p2D、对任何实数u,都有p1p2标准答案:A[题⽬8]、n个⼈排成⼀列，已知甲总排在⼄的前⾯，求⼄恰好紧跟在甲后⾯的概率：A、2/n-1B、1/n-1C、2/nD、1/n标准答案:C第9题,随机变量X与Y的联合分布函数为F(x,y)，X与Y的各⾃分布函数分别为FX(x)和FY(y),则A、FY(y)B、FX(x)C、FX(x)FY(y)D、FX(x)+FY(y)标准答案:B第10题,设表⽰10次独⽴重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E（X2）=A、18.4B、16.4C、12D、16标准答案:A第11题,如果A、B是任意两个随机事件，那么下列运算正确的是：A、（A–B）+（B–A）＝空集；B、（A–B）+（B–A）＝A∪B；C、（A–B）＝A∪B–A；D、（A–B）＝A–AB正确答案:D第12题,随机变量X表⽰某学校⼀年级同学的数学期末成绩，则⼀般认为X服从（）。