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2010年全国高考理科数学试卷及答案-四川

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1 2010年普通高等学校招生全国统一考试

四川卷（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B) =P(A)+P(B) 24sR

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 334RV

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

n()(1)(0,1,2,...)kknknPkCppkn

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. i是虚数单位，计算i+i2+i3=( )

A.－1 B.1 C-i D.i

2. 下列四个图象所表示的函数，在点0x处连续的是（ ）

.A B. C. D.

3. 552log10log0.25（ ）

A.0 B.1 C. 2 D.4 2 4. 函数2()1fxxmx的图象关于直线1x对称的充要条件是（ ）

A.2m B.2m C.1m D.1m

5. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC则AM( )

A.8 B.4 C. 2 D.1

6. 将函数sinyx的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）

A. sin(2)10yx B.sin(2)5yx

C. 1sin()210yx D.1sin()220yx

7. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

8. 已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS( )

A. 0 B. 12 C. 1 D. 2

9. 椭圆22221()xyabab的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. 20,2 B. 10,2 C. 21,1 D. 1,12

10. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A. 72 B. 96 C. 108 D. 144 3

BCDANMOAB11. 如图1，半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，△BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是(

)

A. 17arccos25R

B. 18arccos25R

C. 13R

D. 415R 图1

12. 设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是(

)

A. 2 B. 4 C. 25 D. 5

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)

13. 631(2)x的展开式中的第四项是__________．

14. .直线250xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB________．

15. 如图2，二面角l的大小是60°，线段AB．

Bl，AB与l所成的角为30°．则AB与平面所成

的角的正弦值是_________． 图2

16.设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S=﹛a+bi︱a , b为整数，i为虚数单位﹜为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足TSC的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是_________________ .（写出所有真命题的序号）

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 4 DABCDMOABC17.（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

18.（本小题满分12分）

如图3，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点．

（1）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；

（2）求二面角MBCB的大小；

（3）求三棱锥MOBC的体积．

19.（本小题满分12分） 图3

（1）①证明两角和的余弦公式)(C：;sinsincoscos)cos(；

②由)(C推导两角和的正弦公式.sincoscossin)sin(:)(S．

（2）已知△ABC的面积,3,21ACABS且cosB=53，求cosC．

20.（本小题满分12分）

已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线12l:x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于BC、两点，直线ABAC、分别交l于点MN、

（1）求E的方程；

（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知数列na满足1202a,a，且对任意m,n∈N*都有

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 .

（1）求35a,a； 5 （2）设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明：数列nb是等差数列；

（3）设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0, n∈N*)，求数列nc的前n项和nS．

22.（本小题满分14分）

设11xxaf(x)a（0a且1a），g(x)是f(x)的反函数．

（1）设关于x的方程217atlogg(x)(x)(x)在区间26,上有实数解，求t的取值范围；

（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：22221nknng(k)n(n)；

（3）当210a时，试比较1nkf(k)n与4的大小，并说明理由．

参考答案

一、选择题

1～6. A D C A C C

7～12. B B D C A B

二、填空题。

13. x160 14. 32 15. 43 16. ①②

三、解答题

17. 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，且相互独立，那么

.21625)65(61)()()()(,61)()()(2CPBPAPCBAPCPBPAP

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625.

（2）的可能取值为0，1，2，3。 6 ∥

=

的分布列为所以中奖人数.3,2,1,0,)65()61()(33kCkPkkk

0

1

2

3

P 216125 7225 725 2161

.21216137252722512161250E.

18. 解法1：（1）如图4，连接AC，BD，交点为K,连接OK。

因为点M是棱AA的中点，点O是DB的中点，

所以AM DD21 OK

所以MO AK

,..,,,,,都相交和与异面直线又因为所以所以平面所以因为得DBAAOMDBMODBAKBDBDAKBBAKBDAKAAMOAKAA

的公垂线和为异面直线故DBAAOM. 图4

（2）取,,,BCBCMNMNNBB平面则连接的中点

,,MHHCBNHN连接于作过点

则由三垂线定理得，.MHCB

从而，.的平面角为二面角BCBMMHN

.22421tan,.42222145sin,1NHMNMHNMNHRtBNNHMN中在

故二面角.22arctan的大小为BCBM

（3）易知，

DAMOADBCDAOOBCSSDAOOBC到平面点内都在平面和且,, ∥ = ∥ = 7 .21h的距离

.24131hSVVVDAMDAMODAOMOBCM

解法2：以点D为坐标原点，建立如图5所示的空间直角坐标系,xyzD

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0,),),1,0,0(),1,1,0(),1,0,1(DCA

（1）因为点M是棱,,的中点是点的中点DBOAA

所以),,21,21,21(),21,0,1(OM

.,,,,002121,0)1,1,1(),1,0,0(),0,21,21(的公垂线和为异面直线故都相交和与异面直线又因为所以DBAAOMDBAAOMDBOMAAOMDBOMAAOMDBAAOM

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2010年全国高考数学真题

2010年全国高考数学真题

2010年全国高考数学试题（课标卷）解析（理科

数学）

1、D

解析：由已知得，所以．

2、A

解析：，

所以．

另解：，下略．

3、A

解析：，所以，故切线方程为．

另解：将点代入可排除B、D，而，由反比例函数的图像，再根据

图像平移得在点处的切线斜率为正，排除C，从而得

4、C

解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针

方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C．

另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函

数为，画图得C．

5、C

解析：易知是真命题，而对：，当时，，又，所以，函数单调递增；同

理得当时，函数单调递减，故是假命题．由此可知，真，假，假，真．

另解：对的真假可以取特殊值来判断，如取，得；取，得即可得到是假

命题，下略．

6、B

解析：根据题意显然有，所以，故．

7、D

解析：根据题意满足条件的

．

8、B

解析：当时，，又由于函数是偶函数，所以时，的解集为或，故的解集

为或．

另解：根据已知条件和幂函数的图像易知的解集为或，故的解集为或．

9、A 解析：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由解得：，

从而．

另解：由已知得，所以

10、、B

解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知

，所以球的半径满足：

，故

11、C

解析：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，选C．

另解：不妨设，则由，再根据图像易得，故选

12、B

解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式

相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．

13、

解析：的几何意义是函数的图像与轴、直线和直线所围成图形的面积，

根据几何概型易知．

14、三棱锥、三棱柱、圆锥等

15、

解析：设圆的方程为，则根据已知条件得

16、

解析：设，则，由已知条件有

，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．

17、解：

（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

。 而

所以数列{}的通项公式为。

（Ⅱ）由知

①

从而

②

①-②得

。

即

（18）解：

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绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）

文科数学

第Ⅰ卷 （选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=L

一、选择题

（1）设全集{}

*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =U e（ ）

（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5

（２）不等式302

x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <-

（Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x >

（3）已知2sin 3

α=，则cos(2)πα-= (A) 53- (B) 19- (C) 19

(D) 53 （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是

(A) 11(0)x y e

x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C) 1

1(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈ (5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??≥??+≤? ，则2z x y =+的最大值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a

2010年高考大纲全国卷_II理科数学试题及答案

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1 / 20 2010年高考大纲全国卷 II理科数学试题及答案

(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)

理科数学(必修+选修II)

第I卷

参考公式：

如果事件AB、互斥，那么 球的表面积公式

()()()PABPAPB 24SR

如果事件AB、相互独立，那么 其中R表示球的半径

()()()PABPAPBgg 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 343VR

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn…

一．选择题

（1）复数231ii

（A）34i （B）34i （C）34i （D）34i

（2）函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是

（A）211(0)xyex （B）211(0)xyex

（C）211(R)xyex （D）211(R)xyex

（3）若变量,xy满足约束条件1,,325xyxxy≥≥≤，则2zxy的最大值为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35

2 / 20 （5）不等式2601xxx＞的解集为

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国卷I)真题精品解析

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2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3

至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

()()()PABPAPB 24SR

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

()()()PABPAPB 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 334VR

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn…

一．选择题

(1)复数3223ii

(A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i

【答案】A

【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13iiiiiiiii.

(2)记cos(80)k,那么tan100

A.21kk B. -21kk C. 21kkD. -21kk