2021年全国普通高等学校招生统一考试(文)数学试卷(全国乙卷)

2021年全国普通高等学校招生统一考试（文）数学试卷（全国乙卷)

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.已知全集{1,2,3,4,5}U，集合{1,2}M，{3,4}N，则()UMN( )

A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}

2.设i43iz，则z等于( )

A.34i B.34i C.34i D.34i

3.已知命题:pxR，sin1x，命题:qxR，||e1x，则下列命题中为真命题的是( )

A.pq B.pq C.pq D.()pq

4.函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是( )

A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和2

5.若x，y满足约束条件423xyxyy，则3zxy的最小值为( )

A.18 B.10 C.6 D.4

6.22π5πcoscos1212( )

A.12 B.33 C.22 D.32

7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )

A.34 B.23 C.13 D.16

8.下列函数中最小值为4的是( )

A.224yxx B.4|sin||sin|yxx C.222xxy D.4lnlnyxx

9.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是( )

A.(1)1fx B.(1)1fx C.(1)1fx D.(1)1fx

10.在正方体1111ABCDABCD—，P为11BD的重点，则直线PB与1AD所成的角为( )

A.π2 B.π3 C.π4 D.π6

11.设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为( )

A.52 B.6 C.5 D.2 12.设0a，若xa为函数2()()()fxaxaxb的极大值点，则( )

A.ab B.ab C.2aba D.2aba

二、填空题

13.已知向量(2,5)a，(,4)b，若//ab，则__________.

14.双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为___________.

15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b______________.

16.以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备 9.8 10.3

10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2

9.7

新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x和y，样本方差分别记为21S和22S.

（1）求x，y，21S，22S；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210SSyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM.

（1）证明：平面PAM平面PBD；

（2）若1PDDC，求四棱锥PADCD的体积.

19.设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab，已知1a，23a，39a，成等差数列.

（1）求{}na和{}nb的通项公式；

（2）记nS和nT分别为{}na和{}nb的前n项和.证明：2nnST.

20.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.

21.已知函数32()1fxxxax.

（1）讨论()fx的单调性；

（2）求曲线()yfx过坐标原点的切线与曲线()yfx的公共点的坐标.

22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为(2,1)C，半径为1.

（1）写出C的一个参数方程.

（2）过点(4,1)F作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

23.已知函数()|||3|fxxax.

（1）当1a时，求不等式()6fx的解集；

（2）若()fxa，求a的取值范围. 参考答案

1.答案：A

解析：本题主要考查集合的运算.由题意知{1,2,3,4}MN，所以(){5}UMN.故本题正确答案为A.

2.答案：C

解析：本题主要考查复数的四则运算.等式两边同时乘以-i，有22i4i3iz，所以34iz.故本题正确答案为C.

3.答案：A

解析：由已知可得命题p为真命题，命题q为真命题，所以pq为真命题，故选A.

4.答案：C

解析：本题主要考查三角函数.()sincos33xxfx222(sincos)2323xxππ2(sincoscossin)3434xxπ2sin()34x，所以()fx的最小正周期为2π6π13，值域为[2,2]，所以()fx的最大值为2.故本题正确答案为C.

5.答案：C

解析：本题主要考查线性规划.作出约束条件423xyxyy下的可行域，如下图阴影部分所示，当直线3zxy经过点(1,3)时，z取得最小值，此时min3136z.

故本题正确答案为C.

6.答案：D

解析：本题主要考查倍角公式与半角公式.原式π51cos(2)1cos(π2)1212221π5π(coscos)266133()22232.故本题正确答案为D. 7.答案：B

解析：本题主要考查随机抽样.10231302P.故本题正确答案为B.

8.答案：C

解析：本题主要考查函数的概念与性质和均值不等式.

A项，2224(1)3yxxx，则min3y.故A项不符合题意.

B项，4|sin||sin|yxx，πxk，kZ，所以42|sin|4|sin|yxx，当且仅当|sin|2x时等号成立，而|sin|(0,1]x，所以等号不成立，所以4y.故B项不符合题意.

C项，24422222422xxxxxxy，当且仅当22x即1x时，等号成立，所以min4y.故C项符合题意.

D项，当(0,1)x时，4ln0lnyxx.故D项不符合题意.故本题正确答案为C.

9.答案：B

解析：本题主要考查函数的概念与性质.由12()111xfxxx可知，函数()fx关于(1,1)中心对称，所以函数()fx向右平移1个单位，再向上平移1个单位后就关于(0,0)中心对称，四个选项中只有(1)1yfx关于(0,0)中心对称，所以(1)1yfx为奇函数.故本题正确答案为B.

10.答案：D

解析：本题主要考查直线、平面的位置关系.

如图，连接AC，BD交于O点，连接1OD，1AD，BP，设正方体棱长为x，因为1////DPOBBD且112DPBOBD，所以四边形1ODPB为平行四边形，所以1//BPOD，1ADO即为所求角.因为1ADDDx，所以12ADx，22AODOx，221162DODODDx.

在1ADO中，由余弦定理可得，222111113cos22ADDOAOADOADDO，因为1(0,π)ADO，所以1π6ADO.故本题正确答案为D.

11.答案：A

解析：本题主要考查圆锥曲线.由题意得：(0,1)B，设(,)Pxy.则222||(0)(1)PBxy2221xyy225(1)21yyy2426yy21254()44y.因为11y，所以当14y时，2max25||4PB，此时PB最大为52.故本题正确答案为A.

12.答案：D

解析：本题主要考查二次函数.穿根法作图：当0a时，若a为极大值点，则如图①，必然有ab，2aba.故B项，C项错误.当0a时，若a为极大值点，则如图②，则有ab，2aba.故A项错误.故本题正确答案为D.

13.答案：85

解析：由已知，//ab，则245，故85.

14.答案：5

解析：本题主要考查圆锥曲线和直线与方程.

由题意得，24a，25b，所以222459cab，因为0c，所以3c，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以点(3,0)到直线280xy的距离为：22|3208|55512d.故本题正确答案为5.

15.答案：22

解析：本题主要考查正余弦定理的应用.根据题意得，3ABCS，所以1sin32acB，因为60B，所以3sin2B，1cos2B，所以4ac.因为1cos2B，所以根据余弦定理得2221cos22acbBac.又因为223acac，所以23122acbac，即2341242b，解得22b.故本题正确答案为22.

16.答案：③④或②⑤

解析：本题主要考查空间几何体.

当俯视图为图④时，右侧棱在左侧不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图.

当俯视图为图⑤时，顶部棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图.

故本题正确答案为③④或②⑤.

17.答案：（1）1(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10x

110010

10，

1(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310y，

22222222211(0.20.30.20.10.20.10.20.3)10S

2221(20.140.220.3)10

0.036，

222222222221(0.20.10.20.30.20.30.20.10.2)10S

2221(20.150.220.3)10

0.04.

（2）由（1）可知0.3yx，2212220.007610SS，

因为20.30.0940.00760.0304，

所以满足2212210SSyx，

则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

解析：

18.答案：（1）证明：因为PD底面ABCD，AM底面ABCD，

所以PDAM，