六年级春季班第1讲：有理数-教师版

有理数及其运算1．有理数一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过整数、分数、小数的概念及运算；对负数的概念有所了解，知道正数、负数和零的区别。

学生活动经验基础：学生在小学通过对温度计的认识活动，学习了用负数解决一些简单的比较大小的问题。

刚进入初中的学生掌握正数、负数的概念程度参差不齐，结合实际正确的表示具有相反意义的量，建立有理数的概念是学习的难点。

二、学习任务分析“有理数”是初中数学学习的重要基础。

本节课的内容是正、负数的概念和有理数的分类。

通过和学生生活贴近的实例引入负数激发学生对数学学习的兴趣；通过让学生了解“中国是世界上最早使用负数的国家”，培养学生爱国主义情操，增强民族自豪感。

为此，本节课的学习任务是：1．在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。

2．经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。

3．会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。

三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾，引入新课，第二环节：创设情境，探索新知，第三环节：实际应用，巩固提高，第四环节：合作交流，能力提升，第五环节：小结反思，布置作业。

第一环节：复习回顾，引入新课活动内容观察中国地图，珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米；吐鲁番盆地地狱海平面155米，记作-155米.教师出示上图，提出问题：（1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？（2）你对负数有什么样的认识？（3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解决哪些实际问题？本章将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。

活动目的：通过提供学生熟悉的情景引导学生回顾小学有关负数的知识，三个问题不仅为本节课温故引入，也为本章的学习做了铺垫。

活动效果：学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用，激发了学习本章内容的兴趣。

有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲例题解析【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【难度】★【答案】B【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例2】如果5-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．【难度】★【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【难度】★【答案】C【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．【总结】考察有理数的分类．【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；（2）大于负数的数也可以是0；（3）有理数分为正数、负数、0．【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【难度】★【答案】-1万人．【解析】增加为+，则减少为-．【总结】考察正负数的意义．【例6】若盈利100元记作+100元，则50-元表示______．【难度】★【答案】亏损50元【解析】盈利为+，则亏损为-．【总结】考察正负数的意义．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3，567．【难度】★★【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3，567．【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．【总结】考察实数的分类．【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9-分，他实际得分是多少？【难度】★★【答案】+6；78．【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．【总结】考察正负数的意义及简单运算．【例9】a-表示的数一定是（）A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【难度】★★★【答案】D【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a-可能是正数或负数或0．【总结】考察正负数的意义．【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．A BC DE122-1、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】 填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”） 【难度】★【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）>；< ；>． 【解析】考察数轴的基本要素．【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 【难度】★【答案】10.50 1.5 1.25A B C D E ==-===-，，，，． 【解析】考察数轴上数字的表示方法．例题解析模块二：数轴知识精讲【例13】下列说法正确的是（）A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D．任何一个正有理数的倒数都比1小【难度】★【答案】A【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．【总结】考察相反数和倒数的意义．【例14】判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）（3）正数和负数互为相反数．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．【总结】考察相反数的意义．【例15】7的相反数是______， 3.2-是______的相反数．【难度】★【答案】-7；3.2【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．【总结】考察相反数的表示方法．【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【难度】★★【答案】A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3-、32-、0、2、3、32、-2它们从小到大排列为3-<-2<32-<0<32<2<3．【解析】考察数轴上有理数的表示方法．【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【难度】★★【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案．【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个【难度】★★ 【答案】D【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个． 【总结】考察实数比较大小．【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ．因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3 又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例20】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--，求它们的大小关系．（用“>”连接） 【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．ABCD【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？ 【难度】★★★【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．模块三：绝对值基础知识精讲【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______． 【难度】★【答案】5；5；3；3-．【解析】考察绝对值的求法和记法．【例24】 5.3=______，213=______，0=______， 2.6-=_______． 【难度】★【答案】5.3；321；0；2.6．【解析】考察绝对值的求法．【例25】 3-的倒数的绝对值是______． 【难度】★【答案】31．【解析】-3的倒数是31-，则其绝对值是31．【总结】考察绝对值和倒数的求法．【例26】 判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ） 【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）×．【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数．（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0． 【总结】考察绝对值的求法．例题解析【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个． 【难度】★★【答案】12±；210±±，，；5【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个． 【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解．【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？ 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】由题意可得：x 为3或-3．当x =3时，47-=-x ；当3-=x 时，107-=-x ． 【总结】考察绝对值的求法．【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对值用“<”联结起来． 【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里．正数：{ } 负数：{}【难度】★【答案】正数：1、3.5、4.2、6、7.8等，负数：5 3.26110.8-----、、、、等． 【解析】考察有理数的分类．【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数D ．既不是自然数，也不是有理数 【难度】★ 【答案】D【解析】0属于有理数，也属于整数，也属于自然数． 【总结】考察有理数的分类．【习题3】 写出小于5的所有非负整数______________________________；写出大于162-的所有负数________________________________．【难度】★【答案】0、1、2、3、4； -6、-5、-4、-3、-2、-1【解析】考察有理数比较大小，注意准确理解题目中的要求．【习题4】 填空：223+=______， 4.3-=______，6--=______． 【难度】★【答案】322；4.3；-6．【解析】考察绝对值的求法．随堂检测A BC D 0 【习题5】 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a b +=______． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可得：1=a ，0=b ，则1=+b a 【总结】考察有理数比较大小．【习题6】 比较大小：（1）37-和25-；（2）311-和0.273-． 【难度】★★ 【答案】（1）5273-<-；（2）273.0113->-． 【解析】（1）因为5273>，所以5273-<-； （2）因为273.0113<，所以273.0113->-． 【总结】考察有理数比较大小．【习题7】 如图，数轴上A 、B 、C 、D 四个点分别表示数a 、b 、c 、d ，用“<”连接：1a 、1b 、1c 、1d ：_____________________． 【难度】★★【答案】ab dc 1111<<<．【解析】因为b a c d <<<<0， 所以011<<d c ，011>>ba ， 所以ab dc 1111<<<． 【总结】考察有理数的比较大小．【习题8】 计算：111111201720162016201520172015-+---． 【难度】★★★【答案】0．【解析】111111201720162016201520172015-+---0201712015120161201512017120161201712015120161201512017120161=+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-= 【总结】考察有理数的大小比较及有理数的绝对值的求法．【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值． 【难度】★★★ 【答案】3或-1．【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，2±=m 所以()13210-=±++=+++或m cd b a【总结】考察相反数、倒数、绝对值的定义，注意分类讨论．【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】-1或-9．【解析】由题意可得：45x y ==-，或45x y =-=-，， 所以91--=+或y x ．【总结】考察绝对值的求法和有理数比较大小．【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ）A ．是负数，不是有理数B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________． 【难度】★【答案】正数：2，33.33%；负数：1-，0.3505-，56-；非负数：0，2，33.33%；非正有理数数：1-，0.3505-，0，56-．【解析】考察有理数的分类．【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．课后作业【作业4】 若x < 0，则23x x x-=______．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】因为0<x ，所以223313333x x x x x xxxxx -----====-．【总结】考察绝对值的求法．【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．【难度】★★【答案】1411815129-<-<-．【解析】因为•=8.098，•=691.01211，•=39.01514， 所以1514121198<<， 所以1411815129-<-<-．【总结】考察负数的比较大小，绝对值大的反而小．【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______． 【难度】★★ 【答案】-65．【解析】绝对值大于10且不大于15的负整数有-11、-12、-13、-14、-15，则其和为-65. 【总结】考察绝对值的运用．【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 【难度】★★【答案】（1）<；（2）<．【解析】（1）当0<a 时，1-=-=a aa a ； （2）因为ab ->-，所以0a b <<，所以b a <．【总结】考察有理数比较大小和绝对值运算．【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---． 【难度】★★ 【答案】b 3-．【解析】由题意可得：0>a ，0<b ，0<c ，0>+b a ，0<-a c ，0>-c b 所以b a b c a b c -++---()()()b a b c a b c =--+----3b a b c a b c b =----+-+=-．【总结】考察绝对值的化简．【作业9】 解方程：931x --=． 【难度】★★★【答案】13=x 或5x =．【解析】49=-x ，则49=-x 或4-， 所以13=x 或5x =． 【总结】考察含绝对值的方程的求法，综合性较强，注意分类．【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）． （1）a 与a -；（2）a 与1a． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当0=a 时，a a -=； 当0<a 时，a a -<； 当0>a 时，a a ->．（2）令a a 1=，则1±=a ，当1-<a 时，a a 1<； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，a a 1>； 当10<<a 时，a a 1<； 当1=a 时，a a 1=； 当1>a 时，aa 1>． 【总结】考察有理数比较大小，综合性较强，注意分类讨论．。

预备年级第二学期数学第一课 有理数知识要点：1、有理数：整数和分数统称为有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负分数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

零是正数和负数的分界有理数就是分数认为的分数，那么我们可以当把整数看成是分母为.1 2、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

3、只有符号不同的两个数，我们把其中的一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

零的相反数是零。

4、在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

5、一个数在数值上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

a 的绝对值用符号a 表示，根据数的绝对值的意义可知0≥a ，当a>0时，a a =；当a<0时，a a -=；当a=0时，0=a 。

6、正数大于零，零大于负数。

两个正数，绝对值大的数大。

两个负数，绝对值大的那个数反而小。

例题与练习：例1 已知数 ,23.0,57,0,2138.2,71,12---其中 正数为 ；负数为 。

例2 用数轴上的点分别表示数3;5.1;0;34;2--和它们的相反数。

例3 把+30米表示向东走30米，那么-30表示的意义是什么？例4判断下列说法是否正确，若不正确说明理由。

（1） 整数就是正整数和负整数的统称。

（2）-a 一定是负数。

例5比较-3.5和49-的大小。

例6解方程：（1）2=x （2）21=+x （3）x x 231-=+练习：1、有理数是 的统称。

2、+3千克表示体重增加3千克，那么-2千克表示 。

3、某盆地比海平面低155米，我们记作海拔-155米，那么珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作 。

4、存入银行10000元，记作+10000元，那么从银行取出800元，记作5、一种零件的长度在图纸上标注是1002.0±（单位：mm ），表示这种零件的标准尺寸是10mm ，加工要求最大不超过标准尺寸 mm 。

Lesson 1New Words and Expressions★1 private adj. 私人的，私有的private letter 私人信件private school 私立学校in private 私下地Mr. Wang wants to talk to me in private after class, Gosh!Yao Ming doesn’t like to talk about his private life.反义词public2 conversation n. 谈话〔con 一起+ verse 诗文+ tion 表名词〕conversation room 谈话室have a conversation with 和…交谈（会谈）I had a long conversation with Li Yuchun last week!请老师适当引出并区分：talk, dialogue, conversation, chat, gossip3 theatre n. 剧场，戏院Go to the theatre. 去看戏。

Broadway Theatre 百老汇剧院Shanghai Grand Theatre 上海大剧院注意区分：cinema, theatre, opera house★4 seat n. 座位“请坐”可有如下表达方法：Sit down, please./ Take a seat. / Please be seated.Ladies and gentlemen, please be seated.a bicycle seat自行车车座shotgun seat 副驾驶座注意区分：sit 和seat5 loudly adv. 大声地shout loudly 大声喊叫注意区分：loudly 和aloud, aloud强调出声，让人听见；loudly强调声音很大，一般是嘈杂的让人心烦的声音。

有理数一同学们，今天我们来学习有理数，大家看到有理数这三个字有什么感觉？是不是有疑问有理数是什么数，难道是有道理的数吗？俗话说有理走遍天下，无理寸步难行，难道数字也讲这个理儿？当然不是了，那什么是有理数，有理数都是些什么数呢，要知道这些，我们就要先认识下面这两个数，正数和负数。

同学们，我们在看天气预报的时候，主持人会说明天某地的气温是零下3度到零上4度，零上和零下是不是一组反义词，（不是，那我们就换一种说法，零上和零下是不是一组具有相反意义的词？）那零上4度和零下3度他们就是一组相反意义的量；我们在看电视剧的时候，如果某人被说他怕老婆，那这个人就会反驳说，我怎么会怕老婆，我让她往西，她就绝不敢往东，往东走和往西走是不是具有相反的意义，往东走2米和往西走5米就是一组相反意义的量。

那么我们用什么来表示和区分这种具有相反意义的量呢？（对）这就需要用到这两个玩意儿了，正数和负数。

正和负是不是具有相反意义，那么零上4度，我们就可以记作+4度，零下3度就可以记作-3度，不知道大家在乘坐电梯时有没有注意到电梯上的按钮，地上的楼层按钮上标注的是不是都是1,2,3这种数，地下的层数标注的就是-1，-2这种数了。

我们看这里，地上3层，我们就可以记作+3层，地下2层，我们就可以记作-2层。

我们看，地上3层和地下两层是不是具有相反意义的量。

那么我们来总结一下，要成为相反意义的量，需要具备什么要素呢？我们看，楼上和楼下，零上和零下，向东和向西，是不是都是具有相反意义，那么我们就得出了第一个要素，要具有相反意义；我们再来看这里，零上4度和零下3度是具有相反意义的量，那么零上4度和地下2层是具有相反意义的量吗？很明显不是，因为什么不是？是不是因为他们不是相同类型的量啊，零上4度和零下3度是相同类型的数量，地上3层和地下2层是相同类型的数量，那么我们就能总结出第二个要素，都是同类数量。

只有同时具备这两个要素，才能称之为具有相反意义的量。

第一讲 有理数的定义【知识网络】⎧⎪⎨⎪⎩有理数的定义与分类有理数的定义数轴与相反数绝对值模块一：有理数的定义与分类【引例】1. 小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．2. 向东行进-50m表示的意义是……………………………………………………〖 〗A．向东行进50mB．向南行进50m C ．向北行进50m D．向西行进50m3. 任意写出5个正数：____________________；任意写出5个负数：_____________________．【知识导航】1. 正、负数的概念（1） 正数： 的数叫做正数。

小学算术中学过的数（除了0）都是正数。

如：3，0.78，611，200％（也可写作+3，+0.78，611+）等是正数。

它们都比0大。

（2） 负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。

如：－33，－3.141592，45-等是负数。

它们都比0 。

2. 有理数的分类正整数、零和负整数统称 ，正分数和负分数统称 。

整数和分数统称 。

（数学上，有理数是两个整数的比，通常写作b a，这里 b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

）（1）按整数分数关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类3. 生活中的有理数具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。

比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。

1）如果汽车向西行驶150m ，记做+150m ，那么向东行驶55m ，就记做 m 。

2）零度以上的气温用 表示，零度以下的气温用 表示。

3）水面比警戒线高4m ，记做+4m ，比警戒线低4m ，记做 m 。

河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。

有理数的概念知识精要有理数的五个重要概念：（1）有理数： 统称有理数.有理数的分类：有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数 ❖是正数而不是整数的有理数是－－－－－－正分数 ❖是整数而不是负数的有理数是－－－－－－正整数和零 ❖既不是分数，也不是零的有理数是－－－－－－－正整数、负整数 ❖ 既不是正数，也不是负数的有理数是－－－－－－零（2）数轴：数轴的意义：数轴是表示有理数的一种直观形式。

任意一个有理数都能 。

数轴的建立使有理数与数轴上的点建立了 关系。

数轴定义： ，叫做数轴.数轴三要素：在数轴上比较有理数的大小： 。

（3）相反数：叫做互为相反数。

正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，0的相反数是 。

（4）绝对值：定义：在数轴上， 叫做该数的绝对值。

运算：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。

()()⎩⎨⎧<-≥=00a a a a a性质：绝对值具有非负性：︱a ︱≥0两个正数比较大小，绝对值大的数 ，两个负数比较大小，绝对值大的数反而 。

（5）倒数：两个有理数的积为1，那么这两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

热身预习一、填空题1、把下列数填入相应的括号里：15%,4.20...,2020020002.0...,922222.0,75,531,0,32,4.0,2,51,6-----π有理数：正分数：2、如果把盈利100元记作：+100元，则亏损50元记作 元。

3、 的相反数是它的本身，绝对值最小的数是 。

4、 的绝对值等于它本身， 的倒数等于它本身。

5、到原点距离等于4.5个单位长度的点表示的数是 _。

6、已知数轴上一点N 与－2所表示的点A 之间的距离为5，则N 在数轴上所表示的数为_ 。

7、绝对值不大于213的非负整数有__ ___。

8、如果则,,0,0b a b a >><b b a a --,,,，用“>”连接为 _二、选择题1、下列各式中，等号不成立的是（ ）A 、33=-B 、33--=-C 、33=-D 、33=--2、如果132-123-+x x 与互为相反数，那么x 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、23 D 、0 3、如果0<+b a ，且0>ab ，那么（ ）A 、b a 与是正数B 、b a 与是负数C 、一正一负，且负数的绝对值较大D 、一正一负，且正数的绝对值较大4、下列说法正确的个数是（ ）①符号相反的两个数互为相反数 ②一个数的相反数一定是正数③一个数的相反数一定比这个数本身小 ④一个数的相反数的相反数等于原数 ⑤整数和小数统称为有理数 ⑥数轴是规定了原点、方向、单位长度的直线A、4个B、3个C、2个D、1个5、下列说法不正确的是（）A、一个数与它的倒数之积是1B、一个数与它的相反数之商是－1C、两个数的商位－1，这两个数互为相反数D、两个数的积为1，这两个数互为倒数三、判断下列结论是否正确：（1）若一个数的绝对值等于5，则这个数是5 。