参数方程_精品文档

高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

第2讲参数方程【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题.【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.* j KAOJlZlZHlFtJAaXUE —................................. * ............... . ....... .. ............ Q1》考基自主导学基础梳理1.参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x, y都是某个变量的函数|X并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M（x, y）都在这条曲沪ft，线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数•相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.常见曲线的参数方程的一般形式"x= x o + tcos a（1）经过点P o（x o，y o），倾斜角为a的直线的参数方程为* （t为参y=y0+ tsin a数）.设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P o P的数量.x= rcos 6,⑵圆的参数方程y=^ （6为参数）•⑶圆锥曲线的参数方程抛物线—2px的参数方程为2pt，（t为参数）.y= 2pt双基自测一、 、，、 x =— 1 — t , 、” 八、”1 .极坐标方程p= cos B 和参数方程 （t 为参数）所表示的图形分别ly = 2+1是（）•A .直线、直线B .直线、圆C .圆、圆D .圆、直线Xx 2 22解析 Tpcos A x ,.・.cos 0=-代入到 P= cos 9,得 p=" , x ,/x + y= x 表p p示圆.|x =— 1 — t , 又T 相加得x +y = 1,表示直线.1 x = 3+ cos 0,2 彳 x — + 2t ，严 2 —笳0⑵l y -5+臥x= cos a,得y — 1 = sin a, ②①2+②2 得：x 2 + （y — 1）2= 1. 答案 x 2+ (y —1)2= 1考向二 直线与圆的参数方程的应用x= 2+ tcos a,（9为参数）和直线1 ：［y=V 3 + tsin a （其中t 为参数，a 为直线I 的倾斜角).(1)当a=争寸,求圆上的点到直线I 距离的最小值; ⑵当直线I 与圆C 有公共点时，求a 的取值范围.2 2椭圆 a 2+決 1的参数方程为x= acos 6，y= bsin 6 （6为参数）.2 2双曲线字一y 2=i 的参数方程为x = asec 札 y= tan ©（©为参数）.尸 2 +1,答案 Dx= 1 —2t,2.若直线' （t为实数）与直线4x+ ky= 1垂直，则常数k=y= 2+ 3t --------- x= 1 —2t,解析参数方程所表示的直线方程为3x+ 2y= 7,由此直线与直线归2+ 3t,3 44x+ ky= 1 垂直可得—2X—k = —1,解得k= — 6.答案—6x= 5cos 93.二次曲线' ________________________ （9是参数）的左焦点的坐标是.y = 3sin 92 2解析题中二次曲线的普通方程为25+1=1左焦点为（一4,o）.答案（—4,0）x= 2t,4.（2011广州调研）已知直线I的参数方程为：，（t为参数），圆C的极ly= 1 + 4t坐标方程为p= 2©sin 9,则直线I与圆C的位置关系为____________ .［审题视点］(1)求圆心到直线I的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆x = 2t ,解析 将直线I 的参数方程：化为普通方程得，y = 1 + 2x ,圆 尸2 2y = 1+ 4tsin B 的直角坐标方程为x 2+ (y —/2)2= 2,圆心(0,迄)到直线y = 1 + 2x 的距离为上丄,因为该距离小于圆的半径，所以直线I 与圆C 相交.1 + 4 答案相交x=V5cos 0,(0W 0< n 和y= sin 0(t € R )，它们的交点坐标为5 2 4 2x = 4y ，A 5y + 16y - 16= 0.答案■曲 KAOXIAN^TA44JIUDAOX|…八」Q2 * 考向探究导析2 425 . (2011广东)已知两曲线参数方程分别为< 解析 x=J5cos Bx22i (ow o< n 得，5+y = 1(y 》0)由峠由qy= sin 0x£t 2 * 1,4(t € R ) 得,y =t贝 U x =5y 2= 1又0>0,得交点坐标为；1,(1)1［审题视点］(1)利用平方关系消参数9;(2)代入消元法消去t.cos 9= x — 3, 2 2解⑴由已知* 由三角恒等式cos2 9+ sin2 9= 1,0n 9= 2 — y,可知(x —3)2+ (y—2)2= 1,这就是它的普通方程.(2)由已知t= 2x —2,代入y= 5 + -^t中，得y= 5+f(2x—2), 即卩，3x—y+ 5—,3= 0就是它的普通方程.亠壬参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.x= COS a,【训练1】(2010陕西)参数方程(a为参数)化成普通方程为l y= 1 + sin ax = COs a,解析y = 1 + sina,x= 1 + cos 9,【例2】？已知圆C:」y= sin 9的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次 方程，这个方程的A> 0.解 ⑴当 a 訴寸，直线I 的直角坐标方程为，3x +y — 3,3 = 0,圆C 的圆心坐 标为(i,o),圆心到直线的距离d =2^2^= , 3,圆的半径为1,故圆上的点到直线 I 距离的最小值为.3—1.⑵圆C 的直角坐标方程为(x — 1)2+ y 2= 1,将直线I 的参数方程代入圆C 的直角 坐标方程，得t 2+ 2(cos a+ ■ 3sin "t + 3 = 0,这个关于t 的一元二次方程有解， 故 A=4(cos a+寸3sin a 2- 12>0,则 sin 2(a+ 才卜|，即 sin (久+号》爭或 sin ；a+ gF —与3又0W aV n 故只能sin ：a+¥，即3^ a +詐 ^，即詐 炸寸fX 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角 坐标方程. 【训练2】 已知直线I 的参数方程为/= 1 + t ，(参数t € R )，圆C 的参数方程$ = 4— 2tx= 2cos 0+ 2,为y = 2sin0 (参数濮［0,2 n ，求直线1被圆C 所截得的弦长• 解 由f =1 +2，消参数后得普通方程为2x + y — 6 = 0,y= 4— 2t消参数后得普通方程为 (x — 2)2 + y 2= 4，显然圆心坐标为 (2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x + y — 6= 0的距离为d =考向三 圆锥曲线的参数方程的应用2【例3】？求经过点(1,1),倾斜角为135。

第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程[提醒] (1)参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化． (4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点坐标．解：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l 的普通方程是x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0，标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|2＝2， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.参数方程与普通方程的互化[典例引领]已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x . 即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2]．参数方程的应用[典例引领](2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【解】 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2019·广东惠州模拟)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，l 与C 分别交于点M ，N .(1)写出C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.(*) 由题意知Δ＝8a (4＋a )>0， 又a >0，所以4＋a >0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2恰为方程(*)的根． 易知|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|， 即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.又由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )>0， 则有(4＋a )2－5(4＋a )＝0， 解得a ＝1或a ＝－4. 因为a >0，所以a ＝1.极坐标方程与参数方程的综合问题[典例引领](2019·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α， 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0. 解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α， 所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2019·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1，0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)因为点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，所以点M 的直角坐标为(0，1)．所以tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 因为Q 为线段AB 的中点，所以点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1，0)，则|PQ |＝|t 1＋t 22|＝3 2.直线参数方程的应用已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.[注意] 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．[注意] 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．圆与椭圆参数方程的异同中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2019·惠州市第三次调研考试)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos αt 1t 2＝－3. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，所以4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.4．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1.圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离 d ＝|52|2＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(2)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角) 则x ＋y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 因为0≤θ<2π， 所以x ＋y ∈[－2，2]．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )． (1)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，求△PMN 面积的最大值． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.直线l 的直角坐标方程为y ＝x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2－2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以点M ，N 的极坐标分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (2)由(1)易得|MN |＝ 2.因为P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点， 设P 点坐标为(3cos θ1，sin θ1)．则P 到直线y ＝x 的距离d ＝|3cos θ1－sin θ1|2， 所以S △PMN ＝12|MN |d ＝12×2×|3cos θ1－sin θ1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ1＋π62≤1，当θ1＝k π－π6，k ∈Z 时，S △PMN 取得最大值1. 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ－sin θ）－2＝0 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110， 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2019·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2， 所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2. 所以d min ＝42＝22， 又|AB |＝2 2.所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 3．(2019·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t， 所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t， 得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2t 1·t 2＝1－4a 2.根据参数方程的几何意义可知|P A |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|P A |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136>0，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136或94.。

参数方程参数方程是一种数学描述形状的方法，通过给定参数的范围，可以得到一系列点的坐标，进而得到形状。

在许多科学和工程领域中，参数方程被广泛应用。

什么是参数方程参数方程是一种使用参数变量来描述形状的方法。

通常情况下，我们使用的坐标系是直角坐标系，其中一个点的坐标由它在 x 轴和 y 轴上的投影得到。

但是在参数方程中，我们使用参数变量 t 来表示一个点的位置。

通过改变参数 t 的值，我们可以得到一系列点的坐标，这些点连接在一起可以形成一个曲线。

参数方程的表示方法参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)这里的 f(t) 和 g(t) 是两个关于参数变量 t 的函数。

通过给定参数 t 的范围，我们可以计算出相应的 x 和 y 坐标。

参数方程的例子让我们来看一个简单的例子：绘制一个圆。

圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中 r 是圆的半径，t 是参数变量，在范围[0, 2π] 内变化。

通过改变参数 t 的值，我们可以计算出圆上一系列点的坐标，从而绘制出整个圆。

参数方程的优点参数方程有一些独特的优点，使它在某些情况下比直角坐标系更有用：1.参数方程可以轻松地描述曲线的弯曲和扭曲，而直角坐标系可能需要更复杂的表达式。

2.参数方程可以很容易地绘制出一些具有特殊形状的曲线，如椭圆、双曲线等。

3.参数方程可以轻松地描述一些与时间相关的现象，如物体在空中的轨迹。

参数方程的应用参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.物理学中，参数方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹，如抛体运动、行星运动等。

2.工程学中，参数方程可以用来描述曲线的形状，如航线规划、平面曲线设计等。

3.计算机图形学中，参数方程可以用来描述二维和三维模型的形状，如计算机动画、三维建模等。

参数方程的总结参数方程是一种描述形状的方法，通过使用参数变量 t，我们可以得到一系列点的坐标，从而形成曲线或者其他形状。

参数方程1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t 为参数) (2)一般式 ：过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=的直线的参数方程是 (t 不参数) 2.圆的参数方程圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是(φ是参数)a,b 是圆的圆心坐标，半径为r 的圆，标准方程为：3.椭圆椭圆(a ＞b ＞0)的参数方程是(φ为参数)得出圆的方程4.极坐标互化公式常用的公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00ab⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x ()()222r b y a x =-+-12222=+by a x ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 12222=+by a x ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρcos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.1、已知直线的参数方程为，圆C 的参数方程为． (1)求直线和圆C 的普通方程； (2)若直线与圆C 有公共点，求实数的取值范围．2.. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3在平面直角坐标系xOy 中, 直线的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为 (为参数).试求直线和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.4.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A 在直线上。

中点P 到定点P3的距离I PR I = I t I = I t 1 ■ t22⑷若P o 为线段P P 的、考纲要求1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法•会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程•2. 理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 .会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程•不要求利用曲线的 参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点二、知识结构 1.直线的参数方程⑴标准式 过点Po(X o ,y 0)，倾斜角为a 的直线1(如图)的参数方程是"x = X Q +1 cosa y = y 0 +t si na(2) 一般式 过定点P o (x o ,y o )斜率k=tg a =b 的直线的参数方程是ax = X o + at（t 不参数）②y =y ° +bt在一般式②中，参数 t 不具备标准式中t 的几何意义，若 a 2+b 2=1,②即为标准式，此 时，丨t 丨表示直线上动点 P 到定点P o 的距离；若a 2+b 2^ 1，则动点P 到定点P o 的距离是.a 2 b 2 I t | .高考复习之参数方程（t为参数) 直线参数方程的应用设过点F 0(x o ,y o ),倾斜角为a 的直线I 的参数方程是"x =x 0 +tcosa y= y 0 +ts ina(t 为参数)若P 1、P 2是I 上的两点，它们所对应的参数分别为 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x o +t 1cos a ,y o +t 1sin a ) (x o +t 2COS a ,y o +t 2sin a )；⑵ I P 1P 2 I = I t 1-t 2 I ;⑶线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，贝yt 1,t 2,则t=^_A22. 圆锥曲线的参数方程"x = a + r cos®⑴ 圆 圆心在（a,b ），半径为r 的圆的参数方程是丿（$是参数）y = b + rsin®0是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角，0 €[ 0,2 n :（见图）2 2⑵椭圆 椭圆 笃•爲=1（a >b >0）的参数方程是a 2b 2"x = a cos ®y = bsin ® ( 0 为参数)2 2椭圆y2= 1(a > b > 0)的参数方程是a b3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 0,从0引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角 度的正 方向（通常取逆时针方向为正方向 ），这样就建立了一个极坐标系， 0点叫做极点, 射线Ox 叫做极轴.① 极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素, 缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用 p 表示线段0M 的长度，B 表示射线Ox 到 0M 的角度，那么p 叫做M 点的极径，0叫做M 点的极角，有序数对 坐标.（见图）极坐标和直角坐标的互化 （1）互化的前提条件① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ② 极轴与x 轴的正半轴重合③ 两种坐标系中取相同的长度单位 . （2）互化公式三、知识点、能力点提示（一）曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化"x = bcos®y =as in 申 （0为参数）（p ,0 ）叫做M 点的极x= Pcos 日 y = Psi n®|「乂 = x 2 y 2tg“y (x~例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 解：将圆的方程化为参数方程:2_2+5论(日为参数) y =1 +5sin 6则圆上点 P 坐标为（2+5cos 二,1+5sinr ）,它到所给直线之距离故当cos （ $ - 0 ）=1，即$ = 0时，d 最长，这时，点A 坐标为（6 , 4）;当cos （ $ - 0 ）=-1, 珂-n 时，d 最短，这时，点 B 坐标为（-2 , 2）.（二）极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现•1极坐标方程p = ------------- ' 所确定的图形是（2 + V3sin 日 +cos 日••• a 2=25,b 2=9,得 C 2=16 ,c=4. ••• F(x -3,y+1)=F(0, ± 4)•••在xOy 坐标系中，两焦点坐标是 (3 , 3)和(3 , 应选B. 例4参数方程e 6cos — +si n —2 2 y<(1 E)1A.双曲线的一支，这支过点 （1 ，—）B.抛物线的一部分，这部分过 （1，A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物解：P1 1 -2 JI_______ 1 _ 2[1 (— 丄 COST )]1 sin( )2 2 6（三）综合例题赏析例3 椭圆丿x = 3 + cos ①（①是参数）的两个焦点坐标是、科=一1 +5s in ①A.(-3，5)，(-3，-3)C.(1，1)，(-7，1) B.(3 , 3) , (3 ,D.(7 , -1) , (-1 -5) ，-1)解：化为普通方程得©9.4=1 25丄)2120cosv 15sin v 30d=—、42 32说明 -5). （0 ：：：八：：C.双曲线的一支，这支过（-1 ,—）2 D.抛物线的一部分，这部分过（-1 ,1 2 即 y= x 2(x > 0).2•••应选B.x = sin 日在方程丿（0为参数）所表示的曲线一个点的坐标是（）y = cos 日解：y=cos2 r=1-2sin2 71 =1-2x 2 将x=l 代入，得y=l2 2•应选C.例6下列参数方程（t 为参数）与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是（）=tgt 1 -cos2t1 cos2t2解：普通方程 x -y 中的 x € R , y > 0, A.中 x= | t |> 0, B.中 x=cost €〔-1,1〕，故排 除A.和B.2 cos t C.中 y=丝y =ctg 2t=— 占=,即 x 2y=1，故排除 C.2sin ttg t x•应选D. 例7曲线的极坐标方程 p =4 sin 0化 成直角坐标方程为()2 2 2 2 2 2A.x +(y+2) =4B.x +(y-2) =4C.(x-2) +y =42 2D.(x+2) +y =4解：将 P — x 2y 2 , sin 0 = ----------- y 代入 p =4sin 0 ,得 x 2+y 2=4y ,即 x 2+(y-2) 2=4.2 .2“ x y•应选B.例8 极坐标p =cos(— --)表示的曲线是()4—) 解: 由参数式得 2x =1+sin 0 =2y(x > 0) A.(2,-7)B.1 1C.(_, _)2 2D.(1 , 0)X = t A. *y =tB. x= cost2 .y = cos t C.x 二 tgt1 + cos2t1 -cos2tA.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为 p =^L(cos 0 +sin 0 )= J 2P 2 = p cos 0 + p sin 0 ,V2•普通方程为,2 （x 2+y 2）=x+y ，表示圆. 应选D. 例 A. C.9 在极坐标系中，与圆 sin 0 =2 cos 0 =-2例9图如图• B. D.p =4sin 0相切的条直线的方程是（）p cos 0 =2 p cos 0 =-4解： O C 的极坐标方程为I 交极轴于B （2, 0）点P （ p =4s in 0 , CQLOX,OA 为直径，| 0A| =4,1和圆相切,0）为I 上任意一点，则有cos 0 =OB OP-，得 p cos 0 =2,•••应选B.例10 Q 4 p sin 2 =5 表示的曲线是（）A.圆线 B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物解：4pesin 2_2 =5=4 p •空2亍=2Tcosv -5.2把 p = •、x 2 - y 2p cos 0 =x ，代入上式，得2 x 2 y 2 =2x-5.平方整理得y 2=-5x+ 25..它表示抛物线. 4•应选D. 例11极坐标方程4sin 20 =3表示曲线是（A.两条射线B. 两条相交直线线 )C.圆D.抛物2解：由 4sin 20 =3,得 4 •一2 = 3,即 y 2=3 X 2 +y 2x 2, y= ± . 3x ,它表示两相交直线.•应选B.四、能力训练 （一）选择题 1.极坐标方程 A. 一条平行于4 一p cos 0 =—表示（）3x 轴的直线B. 一条垂直于x 轴的直线C. 一个圆D. —条抛物线x = 2 cos 日2.直线：3x-4y-9=0与圆：丿 （日为参数）的位置关系是（）y =2si nB,线不过圆心各组曲 线：①0 =—和sin 0 =—=—和tg 0 = —3，③p6 2 6x = 2 + ——t 2和＜ y = 3」t2其中表示相同曲线的组数为（） A.1B.2C.3D.44. 设M （ p 1, 0 1） , N （ p 2, 0 2）两点的极坐标同时满足下列关系： p 1+ p 2=0 , 0 1+ 0 2=0,则M N 两点位置关系是（）A.重合B.关于极点对称C.关于直线0 = 一D.关于极轴2对称5. 极坐标方程p =sin 0 +2cos 0所表示的曲线是（） A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M （1, 5）且倾斜角为一的直线，以定点3X =1 A2y =5I 2x = 1 -丄上I ) y =5亍y =1 +虫 D J2x =5」t I 2m 2 2m2m 2m 2 (m 是参数, 2m 2 A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直3.若(x , y)与(p , 0 ）（ p € R ）分别是点M 的直角坐标和极坐标, t 表示参数，则下列2-9=0=3 :④x = 2 + T,2ty =3 + tM 到动点P 的位移t 为参数的参数方程B.C.x = a7•将参数方y= bab z 0）化为普通方程是（）C. 一个圆D. —条抛物线m22m 22X 2A. 2 a b 2 2 2 x y C. 2 -b 2 a b = 1(x = a) 2x B.2 a b 2 2 2 x y 2=1(x _ ：-a)8.已知圆的极坐标方程 p =2s in( D. a 2 — b 2 =1(x =——a)0 +二），则圆心的极坐标和半径分别为 6兀 A.(1, — ),r=2 3 B.(1, n ),r=1 6兀 C.(1, -),r=1 3 D.(1,-—),r=2 3 9.参数方程 =t - t=-2 (t 为参数）所表示的曲线是（） A . 一条射线 直线 B. 两条射线 C. 一条直线 D.10.双曲线丿 x = -2 +tg 日 』=1 + 2sec^ （0为参数）的渐近线方程为（）1 A7-1=-2(x 2) B.y = C.y-1 = -2(x 2)D.y+ 仁 _2(x -2) 11.若直线"x = 4 + at $ =bt((t为参数）与圆x 2+y 2-4x+仁0相切，则直线的倾斜角为（）JIA.—3B.C.3 或D.12.已知曲线』x = 2pt =2 pt(t 为参数）上的点M, N 对应的参数分别为t 1 , t 2,且 t 1 + t 2=0,那么M N 间的距离为 A.2p （t 1+t 2）D.2p （t 1-t 2） 2 13. 若点P （x , y ）在单位圆上以角速度 3按逆时针方向运动，点M （-2xy , y 2-x 2）也在单位 圆上运动，其运动规律是 （） A.角速度3，顺时针方向 B.角速度3，逆时针方向 C.角速度2 3，顺时针方向D.角速度23，逆时针方向14. 抛物线y=x-10xcos 0 +25+3sin 0 -25sin 0与x 轴两个交点距离的最大值是 （）() B.2p(t21+t 勺C. 2p(t 1-t 2)4x = 3 + —t16.若直线I 的参数方程为彳5（t 为参数）,则过点（4 , -1）且与I 平行的直线3y = —2 + — t 、 5在y 轴上的截距为COST1 co^ O 为参数）化成普通方程为 sin 二1 cos18.极坐标方程p =tg 0 sec 0表示的曲线是2）的距离为 ___（三）解答题A.5B.10C.2 .. 3D.315.直线p = 与直线I 关于直线0 =—（ 2cos 日 +sin 日 43 p € R ）对称，则I 的方程是（）A.:-二2 cos 日—sin 日3 B. cos J - 2 sin v（二）填空题D. P = 2 COST - COST3p =COST 2sin v17.参数方程19.直线丿"x = —1 + 3t（t 为参数）的倾斜角为$=2-3t;直线上一点20.设椭圆丿x = 4cos^（0为参数）上一点P,若点y = 2』3 sin 日点P的坐标.P在第一象限，且/ X OP J ,求321.曲线C的方程为丿产2x=2pt（p >0, t 为参数）,当』= 2pt[-1，2 ]时，曲线C的端点为A, B,设F是曲线C的焦点，且S MFE=14，求P的值.2x 222.已知椭圆y =1及点B（0 , -2）,过点B作直线2 BD ,与椭圆的左半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点 F 2作平行于BD的直线，交椭圆于（1）试判断满足I BC| •i BDl =3 | GF丨•由•（2）若点M为弦CD的中点，S A BMF2=2，试求直线BD的方G, H两点.F2H |成立的直线BD是否存在？并说明理23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线x = 8 + 4sec^（0为参数）的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为9，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离•4x2v224. A , B为椭圆—+1^=1, (a > b>0)上的两点，且OM OB求厶AOB的面积的最大a b值和最小值.2 225. 已知椭圆- 仝=1，直线l : - ^=1, P是I上一点，射线OP交椭圆于点R,24 16 12 8又点Q在OP上且满足丨OQ| •丨OP| = | OR| 2,当点P在I上移动时，求点Q的轨迹方程. 并说明轨迹是什么曲线•参考答案(一) 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D211I —(二) 16.-4 ; 17.y 2=-2(x-),(x <);18.抛 物线；19.135 ° ,|3 . 2 t|2 2丄忙=1（幼）不同时为零）(三)20.(8 5 4吏)；21.52.3.J322.(1) 不存在, ⑵x+y+2=0 ; 23. 1(27-3 .41)；524.S max =ab22 2a b~2~2a b。

第二节 参数方程1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，叫做这条曲线的参数方程，那么方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题体验]1．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝02．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)3．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－114＝154. 答案：154必过易错关1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[小题纠偏]1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋2，sin θ＝y －1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心坐标为(－2,1)，故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3， 因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ， 而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba ，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3. 答案：π3或2π3考点一 参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．1．将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2；(2)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y 2x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． 2．(2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －m ＝sin α， ②①的平方加②的平方得曲线C 的普通方程为：x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t 得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2552＝1， 解得m ＝3或m ＝1.考点二 直线的参数方程1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．例1：已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.例2：已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积． 解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2，由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法：(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．例1：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 例2：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4 .(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t 代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74，∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝312.。

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)同样,中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） 2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心,,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ,点M 的坐标是(,)x y 。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y .由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ====3当半径OA 绕点O 旋转一周时,就得到了点M 的轨迹,它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角,它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。

①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数,0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b+=>>中,令cos ,sin x y a b ϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数,0)a b >> 注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是:,a x a b y b -≤≤-≤≤,结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。