圆的参数方程(1)

参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。

通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。

圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。

对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。

这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。

在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。

通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。

圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。

此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。

除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。

每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。

总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。

圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。

参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。

xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。

我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。

参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。

圆的参数方程公式以《圆的参数方程公式》为标题，写一篇3000字的中文文章圆是几何中最为常见的图形之一，可以说是人类最初发现并探究法则性的图形。

一个圆由圆心和半径组成，而圆的参数方程公式则是它的极角、极矢、极径和余弦定理的综合体现。

圆的参数方程可以用来描述数学中的各种圆形概念，也可以用来求解圆周长、面积以及饼图中各个扇形所占比例等问题。

圆的参数方程可以用向量形式来表示，假设圆心为原点O，半径为r，极角为θ，则圆的参数方程可以表示为：x=r*cosθ；y=r*sin θ。

从参数方程可以看出，圆是由角度θ和半径r限制而成的曲线，其两个参数θ和r对应着直角坐标系中的x轴和y轴，x轴和y轴的夹角θ即为极角。

把圆的参数方程用向量形式表示，两边同乘以r，就变成了带模的参数方程：|r| = r(cosθ,sinθ)，其中|r|是极径，它与半径r 是相等的，但有一个区别是极径表示向量。

圆自身关于参数方程的性质以及它的用途有很多，那么圆的参数方程有什么特别的性质呢？首先，圆的参数方程很容易用来求解圆的圆周长。

由圆的参数方程可以得出，圆周长L为2πr。

其次，圆内接矩形的面积也可以通过参数方程求得，其面积为2πr2。

另外，圆的参数方程也可以用来求解饼图中各个扇形所占比例。

另外，圆的参数方程还可以用来求解圆的余弦定理。

如果已知圆心、半径和任意一点，就可以用参数方程求出符合要求的点，即可求出各边长与各角度，而余弦定理就是以此为基础求解圆内角度和长度之间关系的定理。

总之，圆的参数方程是圆形问题的重要方程式，可以用来求解几何中许多圆形概念和问题，尤其是求解面积和圆周长等问题。

它的余弦定理也是几何中应用最广泛的定理之一。

所以，圆的参数方程公式在学习几何中非常重要，有助于更好地理解圆的特性。

圆的参数方程及其应用圆形是初中数学中较为基础的一个几何图形，通常描述一个圆形需要知道它的圆心和半径。

而对于一些高等数学问题，我们需要更深入的了解圆的性质和参数方程，以便能更好地解决问题。

圆的参数方程在直角坐标系中描述一个圆需要知道其圆心坐标$(x_0,y_0)$以及半径$r$。

在直角坐标系中我们通常使用$(x,y)$表示坐标。

那么标准的圆形方程为：$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$将式子右侧的$r^2$移动到左侧，拆开开平方得到：$ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = r $这条式子表明，如果我们知道了圆心和半径，我们就可以求出圆上任意一点离圆心的距离$r$。

而数学中还有一种描述距离的方式——参数方程。

参数方程运用较广泛，对于一些求解固定距离的问题，我们通常使用参数方程来描述几何图形的位置。

对于圆形而言，我们可以使用下面的参数方程来描述圆上任意一点的位置：$ x = x_0 + r\cos{t} $$ y = y_0 + r\sin{t} $其中$t$称为参数，$x_0$和$y_0$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。

这两个式子利用三角函数，将圆形的几何属性与参数相关联起来。

它与坐标式等价，意思就是说，我们可以设置各种不同的$t$值来得到圆上不同位置的坐标。

使用这种参数方程描述圆，虽然看似比较复杂，但实际上它具有较高的灵活性和泛用性。

例如，一些与圆相关的物理问题，如圆上的匀加速度运动，都可以用参数方程来解决。

圆的应用参数方程描述的圆不仅仅是一些抽象的数学概念，它在现实生活中也有着广泛的应用：1. 圆形运动轨迹在物理学中，我们通常将圆形运动看做是一种匀速运动。

而当圆形在运动的过程中，我们可以使用参数方程来描述它的轨迹。

例如，一些高速旋转的物体，如飞盘、轮胎等，就可以用该方程来描述其运动。

2. 圆上均匀分布的点当需要在圆上均匀随机取点时，参数方程可以用来确定如何选取点。

圆的参数方程及应用
x = r·cosθ
y = r·sinθ
其中r为圆的半径，θ为参数，在0≤θ≤2π范围内变化。

在几何学中，圆的参数方程可以用于描述平面上的曲线运动。

例如，
当圆绕一些轴进行旋转时，可以通过修改参数方程的θ值来实现轨迹的
描绘。

在物理学中，圆的参数方程可以用于描述物体的运动状态。

例如，当
一个物体在绕圆形轨道上运动时，可以通过参数方程的变化来表示该物体
的位置、速度和加速度等参数。

在工程学中，圆的参数方程可以用于实现圆形曲线的机械加工。

例如，在数控机床的加工程序中，通过改变参数方程的θ值来控制工件的加工
路径，从而实现复杂曲面的加工。

此外，圆的参数方程还可以用于图像绘制和计算机动画。

在图像绘制中，可以通过参数方程的连续取值来绘制出连续平滑的圆形轮廓。

在计算
机动画中，可以通过修改参数方程的θ值来实现物体的运动轨迹，从而
使得动画效果更加真实。

总的来说，圆的参数方程提供了一种方便且灵活的数学工具，可以用
于描述和处理圆的运动轨迹及各种几何特征。

通过应用参数方程，我们可
以更加直观地理解圆的运动规律，并且可以应用于多个领域中的实际问题
求解。

无论是在理论研究还是实际应用中，圆的参数方程都发挥着重要作用，是数学与工程学的重要交叉点。

圆的参数方程推导过程圆的参数方程是指用参数表示圆上的点的坐标。

圆的参数方程可以用来描述圆的形状和位置，也可以用来解决与圆相关的问题。

下面我们来推导一下圆的参数方程。

我们知道圆的标准方程是：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

我们可以将x和y表示成参数t的函数，即：x = a + r*cos(t)y = b + r*sin(t)这就是圆的参数方程。

我们可以通过改变参数t的值来得到圆上的不同点的坐标。

接下来，我们来证明一下这个参数方程确实描述了圆上的点。

我们将x和y代入圆的标准方程中：(a + r*cos(t) - a)^2 + (b + r*sin(t) - b)^2 = r^2化简得：r^2*cos^2(t) + r^2*sin^2(t) = r^2这是一个恒等式，因此圆的参数方程确实描述了圆上的点。

我们还可以通过参数方程来求圆的弧长和面积。

圆的弧长可以表示为：L = ∫(a,b) sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt代入圆的参数方程得到：L = ∫0^2π sqrt(r^2*sin^2(t) + r^2*cos^2(t)) dt = 2πr圆的面积可以表示为：S = ∫(a,b) y dx代入圆的参数方程得到：S = ∫0^2π (b + r*sin(t)) (r*cos(t)) dt = πr^2因此，我们可以用圆的参数方程来求圆的弧长和面积。

圆的参数方程是一种描述圆的形状和位置的方法，它可以用来解决与圆相关的问题，如求圆的弧长和面积等。

解析几何：圆的方程在解析几何中，我们经常遇到圆形。

圆是一个在平面上具有特定性质的图形，它由与圆心等距的点组成。

在数学中，我们可以通过方程来描述圆。

圆的一般方程形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

根据圆的一般方程，我们可以推导出其他形式的圆的方程，包括标准方程、截距方程以及圆的参数方程。

一、标准方程标准方程是描述圆形最简洁的形式，形式如下：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数，且D² + E² > 4F。

该方程描述的圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D² + E² - 4F)。

二、截距方程截距方程是描述圆形的另一种形式，形式如下：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a、b分别表示圆心到横轴和纵轴的截距，描述的是一个以坐标原点为圆心的圆。

三、参数方程参数方程是通过参数化描述圆形的方程，形式如下：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)表示圆心坐标，r为半径，θ为参数角度。

四、圆的性质除了方程形式的描述，圆还具有一系列独特的性质。

1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，直径长度为半径的两倍；3. 圆的内切圆与外接圆分别与圆相切于一个点；4. 圆的周长为2πr，面积为πr²。

五、实例分析以标准方程为例，假设有一个圆的方程为x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0，我们可以通过比较方程与一般方程的系数来找出圆的相关信息。

将方程与一般方程形式对应，我们可以得到D = -6，E = -4，F = 9。

进一步计算得到圆心坐标为(3, 2)，半径为√(D² + E² - 4F) = √(36 + 16 - 36) = √16 = 4。

一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标] 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.[知识链接]1.如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？答案 物资出舱后，设在时刻t ，水平位移为x ，垂直高度为y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝500－12gt 2.(g ＝9.8m/s 2) 令y ＝0，得t ≈10.10s. 代入x ＝100t ，得x ≈1010m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m 时投放物资，可以使其准确落在指定地点. 2.请说出方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝500－12gt 2.(g ＝9.8m/s 2)的特征. 答案 (1)三个变量；(2)x ，y 都用变量t 表示；(3)给定t 的一个值，由方程可以惟一确定x ，y 的值.[预习导引] 1.参数方程的概念(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，(*)并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数. 2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数).这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.(2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念例1 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.规律方法 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消去参数，简称为“消参”.消参的常用方法是代入消元法和利用三角恒等式消参法两种.跟踪演练1 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速圆周运动，角速度为π60rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 的单位：s)，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .要点二 圆的参数方程及其应用例2 已知圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值.解 以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB |＝10，所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数).因为|AC |＝|BD |＝4，所以C ，D 两点的坐标为C (－1,0)，D (1,0).因为点P 在圆上，所以可设点P 的坐标为(5cos θ，5sin θ). 所以|PC |＋|PD |＝(5cos θ＋1)2＋(5sin θ)2 ＋(5cos θ－1)2＋(5sin θ)2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝(26＋10cos θ＋26－10cos θ)2 ＝52＋2262－100cos 2θ.当cos θ＝0时，(|PC |＋|PD |)max ＝52＋52＝226. ∴|PC |＋|PD |的最大值为226.规律方法 如果取半径绕原点O 逆时针旋转转过的角度θ为参数，圆x 2＋y 2＝r 2对应的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.同理，圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2对应的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，并代入计算的问题比较方便. 跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ (θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1， ∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2000m ，水平飞行速度为v 1＝100m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20m /s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2000－5t 2， 令y ＝2000－5t 2＝0，得t ＝20(s)，所以飞机投弹t s 后炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100t ，y ＝2000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1000，y ＝1500， 所以炸弹投出机舱10s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1000m 和1500m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2400(m).1.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2,3) B.(1,5) C.⎝⎛⎭⎫0，π2 D.(2,0)答案 D解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0. ∴过点(2,0).2.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.一条直线B.两条射线C.一条线段D.抛物线的一部分答案 B解析 t ＞0时x ＝t ＋1t≥2，当t ＜0，x ＝t ＋1t ＝－(－t ＋1－t )≤－2.即曲线方程为y ＝2(|x |≥2)，表示两条射线.3.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)解析 把圆的参数方程化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，由已知直线与圆相离，∴|3×1＋4×(－2)＋m |5>1，解得m <0或m >10，故填(－∞，0)∪(10，＋∞).4.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，求直线l 截圆C 所得的弦长.解 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝1；直线l 的方程为x ＋y ＝1.圆心(0,2)到直线的距离为d ＝||0＋2－12＝22，故所求弦长为21－(22)2＝ 2.1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.。

单位圆的参数方程单位圆（Unit Circle）是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标原点（0,0）。

单位圆的参数方程可以用来描述单位圆上的每一个点的坐标。

参数方程的形式如下：x = cos(t)y = sin(t)其中，t是单位圆上的点对应的角度（弧度制）。

根据三角函数的性质，单位圆上每一个点的横坐标等于其对应角度的余弦值，纵坐标等于其对应角度的正弦值。

这就是单位圆的参数方程。

参数方程的参数t通常取值范围为[0，2π]，因为一个圆形一周的角度是360度或2π弧度。

当t等于0时，对应的点在单位圆的右侧，即（1,0）。

当t等于π/2时，对应的点在单位圆的上方，即（0,1）。

当t等于π时，对应的点在单位圆的左侧，即（-1,0）。

当t等于3π/2时，对应的点在单位圆的下方，即（0，-1）。

当t等于2π时，对应的点又回到了起始点（1,0）。

x²+y²=1对单位圆上的每一个点（x，y）应用三角函数的性质，可以得到cos²(t) + sin²(t) = 1由于辅助角公式sin²(t) + cos²(t) = 1，可得出sin²(t) = 1 - cos²(t)所以y²=1-x²对该等式开根号，可以得到y=±√(1-x²)根据单位圆的定义，y都大于等于0，所以y = √(1 - x²)。

结合x = cos(t)，可以得到y = √(1 - cos²(t)) = sin(t)所以，单位圆的参数方程为x = cos(t)，y = sin(t)。

单位圆的参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。

它是三角函数的图像之一，也是圆与直角坐标系之间的桥梁。

在计算机图形学中，单位圆的参数方程被用来绘制圆形。

在物理学中，单位圆的参数方程被用来描述旋转和振动等周期性的现象。

总结起来，单位圆的参数方程是x = cos(t)，y = sin(t)，其中t 是单位圆上的点对应的角度。

1．设点()M x y ，在圆221x y +=上移动，求点()()()Q x x y y x y ++，的轨迹的参数方程.答案：解答：设()()cos ,sin 02M θθθπ≤<,点()11,Q x y , 则()()11cos cos sin ,sin cos sin ,x y θθθθθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) 即为所求的参数方程.2．已知圆的方程为222x y +=，写出它的参数方程.答案：()1cos 02πsin x y θθθ=+⎧≤<⎨=⎩ 解答：222x y x +=的标准方程为()22 11x y -+=,设 1cos ,sin x y θθ-==,则参数方程为()1cos 02πsin x y θθθ=+⎧≤<⎨=⎩. 3．设质点沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀角速运动，角速度为πrad /s 60，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.答案： π2cos 60(π2sin .60x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，0t ≥) 解答：如图，在运动开始时，质点位于点A 处，此时0t =，设动点()M x y ，，对应时刻t ，由图可知，2cos 2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩， 又π(60t t θ=以s 为单位)， 所以所求的参数方程为π2cos 60(π2sin .60x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，0t ≥) 4．已知点P(2，0)，点Q 是圆cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？答案：11cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解答：设中点为()2cos ,2,,0sin ,2x M x y y θθ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即11cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩它是圆的参数方程,表示以(1,0)为圆心,以12为半径的圆. 5．根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程.(1)()()2212135x y --+=, 1x θ=+.(θ为参数)(22)10,1x y x x t -+-==+.(t 为参数)答案：(1) ()1,2,x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数；(2) ()21,31,x t t y t t =+⎧⎨=++⎩为参数. 解答：(1)将1x θ=+代入()()2212135x y --+=得：2y θ=+.∴()1,2,x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数这就是所求的参数方程.(2)将1x t =+代入210x y x -+-=得：()221111y x x t t =+-=+++-231t t =++ ∴()21,31,x t t y t t =+⎧⎨=++⎩为参数 这就是所求的参数方程.6．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数). (1)求曲线1C 的直角坐标方程；(2)曲线2C 的极坐标方程为，求1C 与2C 的公共点的极坐标. 答案：解答：试题分析：(1)利用同角三角函数关系22sin cos 1θθ+=消参数得22(2)1x y -+=(2)利用222,cos x y x ρρθ=+=先将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程24cos 30ρρθ-+=，，所以1C 与2C 的公共点的极坐标试题解析：(1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+=(2)7．在直角坐标系xOy 中， 曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)．M 是1C 上的动点，P 点满足2,OP PM P =点的轨迹为曲线2C ，求曲线2C 的方程； 答案：()22416x y +-=．解答：设()y x p ,，则由条件知．由于M 点在1C 上， 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x ， 从而2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)，即()22416x y +-=； 8．在直角坐标系中，曲线(其中α为参数)，求曲线1C 的普通方程.答案：()2227x y +-=解答： 所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=. 9.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)xOy 1C中，直线l 的极坐标方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长.答案：解答： 曲线C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，即0422=-+x y x . 直线l 的直角坐标方程为04=-+y x . 由⎩⎨⎧=-+=-+040422y x x y x 得直线l 与曲线C 的交点坐标为)2,2(，)0,4(，。

1．在平面直角坐标系中，曲线cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩是参数）与曲线点的直角坐标为_________.答案：解答：，将cos sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程得221x y +=，代入221x y +=得，解之得1t =±，2．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，___________.答案：3解答：1C 的普通方程为22(3)(4)1x y -+-=，圆心为1(3,4)C ，半径为11r =，2C 是圆心，圆心为2(0,0)C ，半径为21r =，3．设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是_______．答案： 7解答：曲线的普通方程为()()22116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l圆C 相切，则圆心(),1a 到l 的距离 4．（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则 答案：解答：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为，所以直线l 与曲线1C 交于5．在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程是θθcos 22sin 2+==x y ｛ （θπθ],2,0[∈为参数）,若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是_______．答案：4cos ρθ= 解答： 将参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩整理为普通方程为()2224x y -+=，由公式cos x ρθ,=sin y ρθ=转化为极坐标方程为4cos ρθ=6．已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α 为参数），直线的极坐标方程为sin 1ρθ= ，则直线与圆C 的交点的直角坐标为 _______． 答案： )1,1(± 解答：圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 7． 直线2()1x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩ ()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦l l l长为_______． 答案：解答：由题意，得直线与圆的普通方程分别为01=++y x 与()()251322=++-y x，则弦心距． 8．已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则直线与圆在一象限交点的直角坐标为________． 答案： (1,1) 解答：圆的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为(1,1) 9．曲线C:22cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），若以点()0,0O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________． 答案：4sin ρθ=- 解答：由曲线C:22cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）得⎩⎨⎧=+=yx ααsin 22cos 2，两式平方并相加得,444,4)2(2222=+++=++y x x y x 即,0422=++y x x 化为极坐标方程,0sin 42=+θρρ即4sin ρθ=-．10．（坐标系与参数方程选做题）设曲线为参数），直线的参数方程为121x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则直线与曲线截得的弦长为_______．答案：l sin 1ρθ=l C θl l C解答：由题将所给圆与直线的参数方程化为普通方程，根据弦长公式求得弦长即可；由题圆的普通方程为()()222110x y -++=，直线的普通方程为2y -x -1=0,圆心到直线的距离为2(1)2155⨯---=，所以弦长为210525-=11．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧+==，，ϕϕsin 22cos 2y x （为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：30cos sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为_______．答案：23解答：在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为22(2)4x y +-=；直线l 的方程为30x y -=.所以，圆C 截直线l 所得弦长为22230224()2 3.1(3)⨯--=+12．直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上，则|AB|的最大值为_______ 答案： 2解答：曲线1C 表示以1(3,4)C 为圆心、1为半径的圆，线段AB 是圆的弦，所以AB 的最大值为直径2.13．在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :⎩⎨⎧-=+=t y t x 212（t 为参数）与曲线2C :⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数）相交于A 、B 两点,则线段AB 的长为_______答案： 4解答：曲线1C 是直线052=-+y x ，曲线2C 是圆922=+y x ，圆心到直线的距离14．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点MC （α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 。