二次函数图像及图像变换

二次函数图像的变换第一环节 【知识储备】一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．第二环节 【新知探究】【问题一】 平移变换求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。

二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。

在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。

一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。

1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。

2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。

3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。

4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。

二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。

二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。

在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。

本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。

一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。

平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。

常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。

1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。

具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。

这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。

2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。

具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。

这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。

二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。

翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。

常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。

1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。

具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。

这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。

2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。

具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。

这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。

三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。

二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。

一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。

例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。

二次函数的图像和变换二次函数是数学中一个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。

本文将以二次函数的图像和变换为主题，介绍二次函数的基本性质、图像的特征以及常见的变换方式。

一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负确定。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

二次函数的图像在坐标系中的对称轴为直线x = -b/2a，对称轴将图像分为两部分，称为左右分支。

当x值大于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而增大；当x值小于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而减小。

二、二次函数图像的特征1. 零点：二次函数的零点指的是函数图像与x轴（即y = 0）的交点，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来确定。

二次函数的零点可能有0个、1个或者2个。

2. 非常数项c：二次函数的非常数项c代表了函数图像与y轴的交点，即在x = 0时的函数值。

如果c > 0，则函数图像与y轴正向交点在y轴上方；如果c < 0，则函数图像与y轴负向交点在y轴下方。

3. 极值点：二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近的点。

当a > 0时，函数的极值点为最小值；当a < 0时，函数的极值点为最大值。

极值点的横坐标为对称轴的横坐标，可通过对称轴方程得到。

三、二次函数的常见变换二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换方式进行图像的调整。

1. 平移：沿着坐标轴的平移可以调整二次函数图像的位置。

平移的方式有水平平移和垂直平移两种。

水平平移可以通过在x轴上添加或减去常数来实现，例如f(x) = (x - a)^2 + b表示将二次函数图像沿x轴平移a个单位，并沿y轴平移b个单位。

垂直平移可以通过在函数整体上加或减常数来实现，例如f(x) = x^2 + c表示将二次函数图像沿y轴平移c个单位。

九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解一、基础知识图像的平移：（1）平移：将图像F 每个点，都沿着同一个方向，移动相同的距离，得到一个新图像F '， 我们称这个过程为一次平移；常见的平移有向左（右）平移，向上（下)平移；（2）以二次函数的顶点式来说明二次函数的平移：020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向左平移h 020))((y x h x a y +-+=； 020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向上平移k k y x x a y ++-=020)(；归纳为：左加右减，上加下减**（3）对称：此处只学习关于x 轴、y 轴、原点对称；图形对称前后，形状、大小均保持不变。

20)(y x x a y +-=−−−−−→关于x 轴对称200()y a x x y -=-+， 即200()y a x x y =--- 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于y 轴对称200()y a x x y =--+， 即200()y a x x y =++ 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于原点对称200()y a x x y -=--+，即200()y a x x y =-+-二、例题解析与跟进训练：练习：求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．（1）y=4x 2+24x+35； （2）y=﹣3x 2+6x+2；（3）y=x2﹣x+3；（4）y=2x2+12x+18．例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例2 已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．例3 已知二次函数y=﹣2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过（0，1）和（1，6）两点？写出平移后的函数解析式．例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．当堂练习1．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．2．（1）请在坐标系中画出二次函数y=﹣x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=﹣x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．3．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．4．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S=______________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．5．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．6．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的解析式．7．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．8．一次函数y=x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y=x﹣3的图象；**（2）求二次函数的解析式及它的最小值．课后挑战1．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．2．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．。