三角形高中线角平分线练习题

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线7.1.3 三角形的稳定性基础过关作业1．以下说法错误的是（）A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定3．如图1，BD=12BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？综合创新作业8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．10．（创新题）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，•且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）A ．150°B ．130°C ．120°D ．100°培优作业12．（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ．请问：DO 是△DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将结论与AD 是△ABC 的角平分线、DE ∥AB 、DF ∥AC 中的任一条件交换，•所得命题正确吗？13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？14．（趣味题）《三国演义》中有关木牛流马的叙述：“孔明即手书一纸，付众观看，众将环绕而视．造木牛之法云：‘方腹曲头，一脚四足；头入领中，舌着于腹．载多而行少，独行者数十里，群行者二十里．曲者为牛头，双者为牛脚，横者为牛领，转者为牛足，覆者为牛背，方者为牛腹，垂者为牛舌，曲者为牛肋，刻者为牛齿，立者为牛角，细者为牛鞅，摄者为牛轴．牛仰双辕，人行六尺，牛行四步．’每牛载十人所食一月之粮，人不大劳，牛不饮食．”你知道木牛流马中运用了什么数学知识吗？数学世界探险家的“难极”有一个探险家，挖空心思想出一个“难极”来．什么是探险家的“难极”呢？一般情况下，如果从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100公里，这时，终止地总要在出发地正东100公里处．而若从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100•公里，能正好回到原来的出发地．这个出发地被探险家称其为“难极”．你知道探险家的“难极”在哪里吗？答案:1．A 点拨：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，•直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点． 2．B 3．AD ；△ACD 4．BD ，CE ，OF 5．C 6．解：∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD=CD ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差为：（AB+BD+AD ）-（AC+CD+AD ）=AB-AC=5-3=2（cm ）．7．解：∵∠BAD=∠CAD ，∴AD 是△ABC 的角平分线，DE 是△BEC 的角平分线． ∵AD ⊥BC ，垂足为点D ，∴AD 是△ABC 的高，DE 是△BEC 的高． ∵BD=CD ，∴AD 是△ABC 的中线，DE 是△BEC 的中线． 点拨：本题是考查三角形的角平分线、中线和高的概念． 8．解：设AB=AC=2x ，则AD=CD=x ． （1）AB+AD=15，BC+CD=6时， 有2x+x=15，解得x=5． ∴2x=10，BC=6-5=1．（2）当BC+CD=15，AB+AD=6时， 有2x+x=6，解得x=2． ∴2x=4，BC=15-2=13．∵4+4>13，∴此时构不成三角形．∴这个等腰三角形的腰长及底边长分别为10，1．点拨：要注意检验结果是否满足三角形三边关系定理．9．解：方案1：如答图1，在BC 上取D 、E 、F ，使BD=ED=EF=FC ，连接AE 、ED 、•AF ．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB 、BC 、CA 的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF ． 方案3：如答图3，分别取BC 的中点D ，CD 的中点E ，AB 的中点F ，连接AD 、AE 、DF ．同学们，你还有别的方法吗？试试看． 点拨：三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．10．解：∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线，∴S△ABD=12S△ABC=12×4=2（cm2）．∵BE是△ABD的边AD上的中线，∴S△ABE=12S△ABD=12×2=1（cm2）．点拨：三角形的任一中线将三角形分为面积相等的两个小三角形．11．B 点拨：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，∴∠AEB=∠CDB=90°，∵∠A=•50°，∴∠ABE=40°，∴∠BPD=180°-∠CDB-∠ABE=180°-90°-40°=50°，•∴∠BPC=180°-∠BPD=180°-50°=130°．12．解：（1）DO是△DEF的角平分线．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD．∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD（两直线平行，内错角相等）．∴∠EDA=∠FDA．∴DO是△DEF的角平分线．（2）所得命题正确．13．解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条．要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条．要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．要使n边形木架不变形，至少要再钉上（n-3）根木条．14．答：用手抬按木牛的双辕或木马的头部，木牛流马会稳稳地向前迈进．用手操作的时候，人和木牛流马总是呈三角形．这符合三角形稳定性原理，•这也是木牛流马“上山下岭，各尽其便”的原因．数学世界答案:探险家的“难极”就是南极点．。

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1．下列结论正确的有（）①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形3．若线段CM、CH是△ABC的中线和高线，则（）A．CM>CH B．CM≥CH C．CM<CH D．CM≤CH4．下列命题正确的是（）A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等5．下列说法正确的个数有（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，是ABC的中线，AB比AC长3cm，若ABD△的周长为25cm，则△ACD的周长为（）A．28cm B．25cm C．22cm D．19cm7．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（）A ．5B ．6C ．8D ．48．如图，△ABF 的面积是2，D 是AB 边上任意一点，E 是CD 中点，F 是BE 中点，△ABC 的面积是（）A ．4B ．6C ．8D ．169．如图，D 、E 分别在∆ABC 的边BC 、AC 上，13CD BC =，13CE AC =，CD =1，CE =1，AC ，AD 与BE 交于点O ，已知∆ABC 的面积为12，则∆ABO 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．710．如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H ．下列判断正确的有（）．（1）AD 是三角形ABE 的角平分线．（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线．（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个二、填空题11．如图，在三角形ABC 中，AB AC ^，AD BC ^，垂足为D ，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =______．12．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE △的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在线段AC 上且EC ＝2AE ，线段AD 与线段BE 交于点F ，若△ABC 的面积为6，则四边形EFDC 的面积为________．14．如图，点G 是ABC 的重心，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接,GD GE ，若ABC 的面积为6，则GDE △的面积为_________．15．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 上的一点，且5BE EC =，CD 与AE 相交于点F ，若CEF △的面积为1，则ABC 的面积为______．三、解答题16．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把ABC 的周长分成12cm 和15cm 两部分，求ABC 各边的长．17．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD 边上的高为多少？18．已知，如图，在△ABC 中，,,6,5,4AD BC CE AB AB AD BC ^^===，求CE 的长.19．如图，在ABC 中AD 、AE 、AF 分别为△ABC 的高、角平分线和中线，已知AFC 的面积为10，AD ＝4，∠DAE ＝20°，∠C ＝30°．（1）求BC 的长度；（2）求∠B 的度数．20．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，（1）求CD 的长；（2）若AE 是BC 边上的中线，求△ABE 的面积．21．如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连接AD ．（1）当AD 为边BC 上的中线时．若AE =4，△ABC 的面积为24，求CD 的长；（2）当AD 为∠BAC 的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE 的度数；②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =°．22．如图所示，已知AD ，AE 分别是△ADC 和△ABC 的高和中线，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．23．操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍．【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．C6．C7．A8．C9．C10．A 11．2.412．4013．5 214．1215．4216．AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm 17．418．10 319．（1）10；（2）70°20．（1）4.8；（2）12cm2 21．（1）6；（2）①15°；②10．22．⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm. 23．（1）a；（2）2a；（3）6a；7。

关于三角形角平分线的定理的题一、选择题（每题5分，共30分）1. 在△ABC中，AD是角平分线，∠BAC = 80°，那么∠BAD的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°解析：因为AD是角平分线，角平分线会把这个角分成相等的两部分，∠BAC = 80°，所以∠BAD=∠BAC÷2 = 80°÷2 = 40°，答案是A。

2. 已知△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD:DC = 3:2，点D到AB的距离是6，则BC的长是（）A. 10B. 15C. 20D. 25解析：因为AD平分∠BAC，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点D到AC的距离也是6。

又因为BD:DC = 3:2，设DC = 2x，BD = 3x，点D到AB的距离等于DC的长度，所以2x = 6，x = 3，BC=BD + DC=3x+2x = 5x = 15，答案是B。

3. 在△ABC中，AB = AC，AD是角平分线，若AB = 5，BC = 6，则AD的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：因为AB = AC，AD是角平分线，所以AD⊥BC，BD =BC÷2 = 6÷2 = 3。

在直角三角形ABD中，根据勾股定理，AD = √(AB² - BD²)=√(5² - 3²)=4，答案是B。

4. 三角形角平分线定理中，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

如果在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB = 8，AC = 6，BD = 4，则DC的长为（）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5解析：根据角平分线定理，AB/AC = BD/DC，即8/6 = 4/DC，8DC = 24，DC = 3，答案是A。

4321EDCBA1CDBA三角形的高、中线与角平分线11 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )．(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确 2、 如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )A. ∠3=∠4B.∠B=∠DCEC.∠1=∠2.D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B.（1）试说明 CD 是ΔABC 的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。

4如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ， 交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由： 因为 ∠1＝∠2所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3所以 ____∥____ ( )6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm7．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．138．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）A．30°B．75°C．105°D．30°或75°10．一个多边形的角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．811．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值围是________．13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C的度数．初一三角形的高、中线与角平分线21 如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）∠5的度数是多少？（3）求四边形ABCD各角的度数．2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠A＋∠C=________．3 ．已知三角形的三个角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．5．如图∠1+∠2+∠3+∠4=______度．6．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，•∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．7．以下说法错误的是（）6题A．三角形的三条高一定在三角形部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点8．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定9．如图，BD=1BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．2(9)10．如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为线段________．（10）初一三角形的高、中线与角平分线31．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形B．菱形C．三角形D．正方形2．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．3．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？4．如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．5．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．7．如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）8如图7-1-2-9，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．初一三角形的高、中线与角平分线41．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．11．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠D与∠A之间的数量关系．12 如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．7．3 多边形及其角和基础过关作业1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）A．80°B．90°C．170°D．20°2．一个多边形的角和等于1080°，这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．63．角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．六边形的角和等于_______度．5．正十边形的每一个角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？7．四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？•为什么？8．求下列图形中x的值：综合创新作业9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，•DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，•所有代表队要打多少场比赛？11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．12．（1）（2005年，）已知一个多边形的角和为540°，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形（2）（2005年，）五边形的角和等于_______度．13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A．1个B．2个C．3个D．4个培优作业14．（探究题）（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？……猜想并探索：n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，•那么这个多边形的角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的角和增加多少度？数学世界攻其不备壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B•处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，•壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？答案:1．A 点拨：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故选A．2．B 点拨：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180=1080．解得n=8．故选B．3．B 点拨：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故选B．4．7205．144°；36°点拨：正十边形每一个角的度数为：(102)18010-⨯︒=144°，每一个外角的度数为：180°-144°=36°．6．有27个不同的四边形．7．解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．因为四边形的角和为360°，如果四个角都是锐角或都是钝角，•则角和小于360°或大于360°，与四边形的角和为360°矛盾．•所以四个角不可以都是锐角或都是钝角．若四个角都是直角，则四个角的和等于360°，与角和定理相符，所以四个角可以都是直角．8．解：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．9．解：BE∥DF．理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．10．解：12n （n-3）=12×10×（10-3）=12×10×7=35（场）．答：按此规定，所有代表队要打35场比赛．点拨：问题类似于求多边形对角线的个数．11．解：（5-2）×180°÷360°×12=1.5．点拨：不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的角和．12．（1）C 点拨：设这个多边形的边数为n ，依题意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故选C ．（2）540 点拨：（n-2）×180°=（5-3）×180°=540°．13．C14．解：（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；……n 边形有(3)2n n -条对角线． （2）当n 边形的边数增加1时，对角线增加（n-1）条．点拨：从n 边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n 个顶点共可引n （n-3）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n 边形的对角线条数为(3)2n n -． 15．180°，n ·180°．数学世界答案:是最短的路程．可用纸板做一个模型，沿AB 剪开便可看出结论．。

三角形的角平分线、中线和高1．已知，△ABC中，AD是BC边上的高，∠CAD=33°，则∠ACB= °．2．△ABC中，AD，CE是BC，AB边上的高，AD，CE相交于P，∠B=50°，则∠APC 的度数是．3．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为．4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB= ．5．如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，△ABD的周长和△ACD的周长相差．&6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”）7．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=46°，∠C=72°，则∠EAD= °．8．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm．则AE+CD+BF= cm．@9．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D．则∠ECD= ．10．角平分线一定垂直于底边．11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= °．12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ．13．如图六，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示；（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．（在上图中直接画）[14．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA= cm．15．△ABC中，∠A等于80度，则内角∠B、∠C的平分线相交所成的锐角为°．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE= 度．·17．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．18．如图，在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，并相交于点D，EG，FG分别是∠AEB和∠AFC的角平分线，并相交于点G，如果∠A=40°，那么∠CDB= ；∠G= ．19．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=6cm，AC=4cm，则△ABD 和△ACD周长之差为．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为AB中点，CE⊥AB，则∠DCE= 度．》21．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的 （填直线、射线、线段）22．如图所示，BD 是△ABC 的中线，AD=2，AB+BC=5，则△ABC 的周长是 ．23．三角形一边上的中线把原三角形分成两个 相等的三角形．24．如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若CE=9cm ，则BC= cm ．25．点D 是△ABC 中BC 边上的中点，若AB=3，AC=4，则△ABD 与△ACD 的周长之差为 ．、26．如图，AC 、BD 相交于O ，BE 、CE 分别平分∠ABD 、∠ACD ，且交于E ，若∠A=60°，∠D=40°，则∠E= ．27．如图，根据图形填空：（1）AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠ =∠ =21∠ ． （2）（2）AE 是△ABC 中线，则 = =21 . （3）AF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =90°．28．如图，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有 个．29．如图所示：30．（1）在△ABC中，BC边上的高是；31．（2）在△AEC中，AE边上的高是．)32．我们都晓得，三角形的高是比较活泼的，它会出现在三角形的内部，也会出现在三角形的外部，然而，当它与三角形一边相会时，你可能找不到它了，今天就请你猜一猜，如果三角形的高与一边重合了，那么这是什么三角形呢答：三角形．31．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．32．如图，在△ABC中，AD、CE是边BC、AB上的高，若∠B=70°，∠CAD=30°，则∠BCE= ，∠ECA= ．.33．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：（1）∠BAC=2 ；（2）BC=2 ；（3）=90°．34．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β1；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，∠F=β2；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β3；…若∠A=40°，∠D=32°，则β4为度．35．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是，AB边上的高是；在△BCE中，BE 边上的高是；EC边上的高是；在△ACD中，AC边上的高是；CD边上的高是．36．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．）37．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有个直角三角形．38．已知：如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，如果∠A2=m°，那么∠A= °（用含m的代数式表示）．39．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP．若∠BPC=50°，则∠PAC= 度．40．已知△ABC 中，∠A=α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C=90°+ 21α；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n-1，如图（3），则∠BO n-1C= （用含n 和α的代数式表示）．41．.42．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=115°， 则∠A= °．42．如图，已知△ABC 中，∠BAC=80°，∠C=60°，AD 、AE 分别是三角形的高和角平分线，则∠CAD=°，∠DAE= °．43．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．44．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC 的平分线，则∠DAE= ．45．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，且∠A=40°，则∠BOC= ．·46．在△ABC中，∠A=80°，I是∠B，∠C的角平分线的交点，则∠BIC= °．47．如果三角形的三条高的交点落在一个顶点上，那么它的形状是．48．如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是cm．49．如图，∠ACB是直角，CD是中线，CD=，BC=3，则AC= ．50．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM 的周长之差为cm．。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

B 三角形的中线、角平分线、高线例1、已知在△ABC 中，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE=2，AD=3，且△ABC 的周长为15，求BC 的长.练习：△ABC 的周长为18，BE 、CF 分别为AC 、AB 边上的中线，BE 、CF 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点D ，且AF=3cm ，AE=2cm ，求AB 、AC 、BD 的长。

例2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB=6cm ，AC=5cm ，求△ABD 和△ADC 的周长的差。

练习：1、如图，BD 是△ABC 的中线，△ABD 和△BDC 的周长的差为3cm ，AB 的长为13cm ，求BC 的长。

2、如图，△ABC 中，AB=AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，求△ABC 各边的长。

3、 已知等腰三角形的周长为25，AB AC ，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，求等腰三角形各边的长。

EDO C BAB CB 第15题图B4、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线把该三角形的周长分为15cm 和6cm 两部分，求这个等腰三角形各边的长。

5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，求这个三角形的底边长。

例3、如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ACD 的中线，已知DE=2， （1） 求BD 、BE 、BC 的长；（2） 若△ACE 面积为4，求△ACD 、△ABC 的面积。

练习：1、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE 是△ACD 的边AC 上的中线，若4ABCS∆=，则ADES∆=__________________；2、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE=2AE ，且224ABCcm S ∆=，则ABE S ∆=__________；3、如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别在三边上，E 为AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，2BD DC =，3GECS∆=，4GDC S ∆=，则ABC ∆的面积是_____________；4、如图 ，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆中线，（1）15,35ABE BAD ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数；（2）在BED ∆中作BD 边上的高；（3）图1OC B AE图3OFCB AE 图2O D CB AB若ABC ∆的面积为60，5BD =，求点E 到BC例4、（1）如图，在△ABC 中，BD 平分∠AB C ，∠A=38°，∠C=72°,则∠ADB= . （2）如图，△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=40°，∠DAE=80°,则∠ACD=______（3）如图，△ABC 中，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠BOC=130°，则∠A=______ 例5、如图，△AB C 中，∠A=40°，（1）如图1，当∠ACB 、∠ABC 的平分线交于点O 时，则∠BOC= ； （2）如图2，当∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的外角平分线交于点O 时，则∠BOC= ；（3）如图3，当∠ABC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O 时，则∠BOC=例6、如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，过点D 作DE //AC 交AB 于点E ，作DF //AB 交AC 于点F ，若12∠=∠，则①AD 是ABC ∆的角平分线吗？（写出证明过程）②若33AF AE ==，，你能求出四边形AEDF 的周长吗？DCBAE DC B AEDOCB A第23题图B练习：如图，在ABC ∆中，CD 是高，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AC 上，且EF AB ⊥，12∠=∠，①试判断DG 与BC 的位置关系？并说明理由。

【知识点4】三角形的角平分线及性质
知识要点：
1.三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的 叫做三角形的角平分线．
2.三角形重心定义： ．三角形三条边中线的交点叫重心（内心），重心到对边中点的距离等于到它的顶点的距离的一半.
【题型1】三角形的角平分线
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∠B=30°，∠C=70°. 求∠EAD 的大小．
【变式训练】
1.如图,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线.若∠BAC=80°,
则∠EAD 的度数是( )
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
2.在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的角平分线相交于点P ，并且∠A=100。

.求∠P 的度数.
3.如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，DE ∥AC 交AB 于点E ，若∠EDA=∠EAD.
求证：AD 是△ABC 的角平分线.
4.如图，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O.
求证：DO 是∠EDF 的角平分线.
5.在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF ．
*6.如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ．
求证：DE=EF ．。

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。

2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。

由于∠BAD=30°，所以x=30°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。

3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。

【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。

由于∠BAD=80°，所以x=80°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。

再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。

所以∠ABC=∠ACB=160°。

4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。

F E D C B A E DCB AB 'C B A 八年级上角形高、中线、角平分线，内外角练习一、选择题：1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一(1) (2) (3)2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( ) A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14cm 2 4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH ≤AD ≤AED.AH ≤AE ≤AD5.在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.246.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形 7.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 8.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90° 9.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 10.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形 11.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角 12.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )F E D CBA 654321F E CB A 140︒80︒1 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 13.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定14.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°15.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 16.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 17.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°(1) (2) (3)18.如图2所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,AC 上,则下列各式不能成立的是( )A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.4.⑴三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的_______心，在____________ ⑵三角形的三条角平分线交于一点,这一点是三角形的_______心，在__________ ⑶三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点是三角形的_______心，①三角形为锐角三角形，这点在三角形___________ ②三角形为直角三角形，这点在三角形___________ ③三角形为钝角三角形，这点在三角形___________5.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.6.在△ABC 中, 若∠A+∠B ＞∠C,则此三角形为_______三角形，若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B ＜∠C,则此三角形是_____三角形.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.8.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 5.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________ 9.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 21D CB AD C B AE D C BA10.如图3所示,∠1=_______.11.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 12.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.13.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.14.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.三、基础训练:1.如图所示,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.3.如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321DCBA4.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=12(∠C-∠B).5.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.四、提高训练:1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE,CF 所在的直线交于点O,求∠BOC 的度数.E CB A 43P21DCB A21C 'FEC B A2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.3.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 求∠EDF 的度数.4.如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．五、探索发现:1. 如图5所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s 与n 有什么关系,并求出当n=13时,s 的值.2. 如图所示,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.FE D CBAn=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9(1)PC BA (2)PCBA(3)PCBA。

三角形的高、中线和角平分线提高训练5套（能力题）能力训练（1）1．下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高都在三角形内B ．直角三角形只有一条高C ．锐角三角形的三条高都在三角形内D ．三角形每一边上的高都小于其他两边2．（易错题）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）3.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ） A ．BD 是△ABC 的角平分线 B ．CE 是△BCD 的角平分线C ．132ACB ∠=∠ D ．CE 是△ABC 的角平分线4．如图，若已知AE 平分∠BAC ，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，则∠3的度数为________，以AE 为角平分线的三角形还有________．5．如图所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是________； （2）在△AEC 中，AE 边上的高是________.6．如图所示，△ABC 的高AD ，BE ，CF 相交于点H ，过点F 作FG ⊥AC 交AC 于点G ，请说出△ABH ，△BCH ，△ACH ，△ACF 中各边上的高．7．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，DE ∥AC 交AB 于点E ，若∠EDA ＝∠EAD ，试说明AD 是△ABC 的角平分线.8．不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．（1）参考答案1．C 解析 锐角三角形的三条高都在三角形内，直角三角形有两条高恰是其直角边，故选C ． 2．C 解析 最长边上的高，应是过这条边所对的顶点来作它的垂线段，图形中只有C 选项是正确的，故选C ．3．D 解析 因为34∠=∠，CE 交BD 于点E ，所以CE 是△BCD 的角平分线，虽然CE 将∠ACB 分为两个相等的角，但CE 未与边AB 相交，所以CE 不是△ABC 的角平分线，故选D ．4．15° 解析 因为AE 平分∠BAC ，所以B A E C A E ∠=∠．又因为1215∠=∠=︒，所以12151530BAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，所以30CAE BAE ∠=∠=︒，即4330BAE ∠=∠+∠=︒，所以330151∠=︒-︒=︒．因为2315∠=∠=︒，所以AE 是△DAF 的角平分线．5．AB CD 解析 根据三角形的高的定义即可判断．6．解：在△ABH 中，FH 是AB 边上的高，AE 是BH 边上的高，BD 是AH 边上的高；在△BCH 中，HD 是BC 边上的高，CE 是BH 边上的高，BF 是CH 边上的高；在△ACH 中，HE 是AC 边上的高，CD 是AH 边上的高，AF 是CH 边上的高；在△ACF 中，FG 是AC 边上的高，CF 是AF 边上的高，AF 是CF 边上的高．7．解：∵DEAC ，∴EDA CAD ∠=∠．∵EDA EAD ∠=∠，∴CAD EAD ∠=∠， ∴AD 是△ABC 的角平分线． 8．它的长为5，或4．提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：hSS S 212242、、，列不等式得：12242212242SS h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．能力训练（2）1．若AD 是△ABC 的中线，则下列结论中错误的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．BD ＝DC C ．AD 平分BC D ．BC ＝2DC2．已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，BC 的中点，那么下列说法不正确的是（ ） A ．DE 是△BCD 的中线 B ．BD 是△ABC 的中线 C ．AD ＝DC ，BE ＝EC D ．AD ＝EC ，DC ＝BE3．如图，△D 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若CE ＝9 cm ，则BC ＝________cm ． 4．如图，BD 是△ABC 的中线，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，则△ABD 与△BCD 周长的差是________.5．如图所示，AE 和AF 分别是△ABD 和△ACD 的中线，根据条件填空．因为AE 是△ABD 的中线（已知），所以1______________________2==.因为AF 是△ACD 的中线（已知），所以1______________________2==.所以111__________________222EF =+=6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，S △ABC ＝24 cm 2，求S △ABE ．7．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的各边长．8．已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，如果D 点把三角形ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求此三角形各边的长．9．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形． (2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．（2）参考答案1．A 解析 AD 是△ABC 的中线，它不一定平分∠BAC ．2．D 解析 由三角形的中线定义可知A ，B 选项正确；由题意可明显得出AD DC =，BE EC =，C 选项正确．故选项D 错误．3．12 解析 ∵AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，∴12CD BD BC ==，12DE BD =， ∴34CE DE CD BC =+=．∵9cm CE =，∴12cm BC =．4．2cm 解析 因为BD 是△ABC 的中线，所以A D C D =，所以△ABD 与△BCD 的周长差是()()()642cm AB BD AD BC BD DC AB BC ++-++=-=-=．5．BE DE BD CF FD CD BD CD BC6．解：由D ，E 分别是BC ，AD 的中点，且等底同高的三角形面积相等，得()2112412cm 22ABD ADC ABC S S S ∆∆∆===⨯=，ABE DBE S S ∆∆=，所以()211126cm 22ABE ABD S S ∆∆==⨯=7．解：设cm AB AC x ==．则1cm 2AD DC x ==．（1）若12cm AB AD +=， 即1122x x +=，则8x =， 所以8cm AB AC ==，4cm DC =．故()15411cm BC =-=．此时，AB AC BC +>，三角形存在．所以三角形的三边长分别为8cm ，8cm ，11cm ．（2）若15cm AB AD +=，即1152x x +=，则10x =，所以5cm DC =，故()1257cm BC =-=． 显然，此时三角形存在，所以三角形三边长分别为10cm ，10cm ，7cm ． 综上所述，此三角形的三边长分别为8cm ，8cm ，11cm 或10cm ，10cm ，7cm ． 8．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解． ⎩⎨⎧===,11,8BC AC AB 或⎩⎨⎧===.7,10BC AC AB 9．(1)(2)下列各图是答案的一部分：能力训练（3）1．如图，在△ABC中，BD为角平分线，且∠ABC＝60°，则∠ABD的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°2．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，则图中相等的角有________，相等的线段有________.5．如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，AD＝4cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm，则BE＝________.6．如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，3），B点坐标为（5，0），则△AOB的面积为________．7．有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮忙设计一个合理的分配方案．8．如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出三条边的中线，然后探究三条中线的位置关系，你发现了什么？9．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：（1）DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC中的任何一个条件交换，所得命题正确吗？若正确，请选择一个证明．（3）参考答案1．C 解析 因为BD 为角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，而60ABC ∠=︒，所以1302ABD ABC ∠=∠=︒．2．B 解析 ∵BD 是△ABC 的中线，∴162ABD CBD ABC S S S ∆∆∆===．∵2EC BE =，∴2AEC ABE S S ∆∆=，∴143AEE ABC S S ∆∆==，∴()642ADF BEF ADF ABF BEF ABF ABD ABE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=+-+=-=-=．3．B 解析 由12∠=∠知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 的线段，故①错误，而正确的说法为AD 为△ABC 的角平分线；BE 经过△ABD 的边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 内的线段，故②错误，而正确的说法为BG 为△ABD 的边AD 上的中线；由于CF AD ⊥于点H ，所以CH 是△ACD 的边AD 上的高，故③正确；AH 平分∠FAC ，且H 在△AFC 的边FC 上，因而AH 为△AFC 的角平分线，又因为AH FC ⊥，故AH 也为△AFC 的高，所以④正确．4．BAE CAE ∠=∠，ADB ADC ∠=∠ B F C F = 解析 ∵AE 是△ABC 的角平分线，∴BAE CAE ∠=∠．∵AD 是△ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒．∵AF 是△ABC 的中线，∴BF CF =．5．24cm 5解析 由1122BC AD AC ⋅=，得1164522BE ⨯⨯=⨯⨯，得24cm 5BE =．6．7.5 解析 如图，过A 点作AD x ⊥轴于点D ，则D 点坐标为（3，0），3AD =，所以11537.522ACB S OB AD ∆=⋅=⨯⨯=．7．解：因为人口数分别为3，3，6，且336+=，所以先找△ABC 的边BC 上的中线AD ，AD 将△ABC 分成两部分：△ABD 和△ADC ．若将△ADC 分给丙家，则将△ABD 分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD 的边BD 上的中线AE ，AE 将△ABD 分成相等的两部分：△ABE 和△AED ．可将△ABE 分给甲家，△AED 分给乙家．如图所示．8．解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半．9．思路建立（1）要说明DO是∠EDF的平分线，则需说明EDA ADF∠=∠，根据角平分线的性质及平行线的性质进行等量代换即可．（2）与（1）的求证过程类似．解：（l）DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴EAD FAD∠=∠．∵DE AB，DF AC，∴EDA FAD∠=∠．∠=∠，FAD EAD∴EDA ADF∠=∠，∴DO是∠EDF的平分线．（2）①若与AD是∠CAB的平分线交换，正确．理由与（1）中证明过程类似．②若与DE AB交换，正确．理由：∵DF AC，∴FAD EAD∠=∠．∵AD是∠CAB的平分线，∴EAD FAD∠=∠．∠=∠．∴FAD FDA又∵DO是∠EDF的平分线，∴EDA FDA∠=∠，∴DE AB．∠=∠，∴EDA FAD③若与DF AC交换，正确，理由与②类似．能力训练（4）1.已知等腰△ABC的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或62.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形的周长可能是( )A.19B.20C.25D.303.已知三角形三边的长分别为1、2、x,则x的取值范围在数轴上表示为( )4.如果a,b,c为三角形的三边长,且(a-b)2+(a-c)2+|b-c|=0,则这个三角形是.5.已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.6.三角形两边之和为8,第三边上的高为2,面积大于5,则第三边a的范围是( )A.2<a<8B.5<a<8C.2<a<5D.不能确定7.一个三角形3条边长分别为x cm、(x+1)cm、(x+2)cm,它的周长不超过39 cm,则x的取值范围是.8.一个等腰三角形的周长为9,三条边长都为整数,则等腰三角形的腰长为.9.已知a,b,c是三角形的三边长.(1)化简:|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|;(2)在(1)的条件下,若a,b,c满足a+b=11,b+c=9,a+c=10,求这个式子的值.10.(2018浙江义乌月考,10,★★☆)边长为整数,周长为20的三角形个数是( )A.4B.6C.8D.1211.(2017山东泰安新泰中考模拟,16,★★★)已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的三角形个数为( )A.4B.6C.8D.1012.(2018天津西青区期末,21,★★★)如图,△ABC中,A1,A2,A3,…,A n为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形,……(1)完成下表:6(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点?(3)若一直连接到A n,则图中共有个三角形.13.(2016江苏盐城中考,8,★★☆)若a、b、c为△ABC的三边长,且满足|a-4|+=0,则c的值可以为( )A.5B.6C.7D.814.(2016贵州安顺中考,5,★★☆)已知实数x,y满足|x-4|+=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对15.若a、b、c为三角形的三边,且a、b满足+(b-2)2=0,则第三边c的取值范围是.16.如图,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为( )A.6B.7C.8D.1017.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4;若四条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7;……,依此规律,若八条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该八条线段的长度和的最小值为.（4）参考答案1.A ∵|AC-BC|=2,∴AC-BC=±2,∵等腰△ABC的底边BC=8,∴AC=10或6.故选A.2.C 设第三边的长为x,∵三角形两边的长分别是4和10,∴10-4<x<10+4,即6<x<14.则三角形的周长L满足20<L<28,只有C选项中25符合题意.3.A ∵三角形的三边长分别是x,1,2,∴x的取值范围是1<x<3,故选A.4.答案等边三角形解析∵(a-b)2+(a-c)2+|b-c|=0,∴a-b=0,a-c=0,b-c=0,∴a=b,a=c,b=c,∴a=b=c,∴这个三角形是等边三角形.5.解析∵(b-2)2+|c-3|=0,∴b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3,∵a为方程|a-4|=2的解,∴a-4=±2,解得a=6或2,∵a、b、c为△ABC的三边长,b+c<6,∴a=6不合题意,舍去,∴a=2,∴△ABC 的周长为2+2+3=7,△ABC是等腰三角形.6.B ∵三角形两边之和为8,第三边为a,∴a<8,∵第三边上的高为2,三角形的面积大于5,∴a>5,∴5<a<8,故选B.7.答案1<x≤12解析∵一个三角形的3条边长分别是x cm,(x+1)cm,(x+2)cm,它的周长不超过39 cm,∴解得1<x≤12.8.答案3或4解析设腰长为x,则底边长为9-2x.∵9-2x-x<x<9-2x+x,∴2.25<x<4.5,∵三边长均为整数,∴x可取的值为3或4.9.解析(1)∵a、b、c为三角形三边的长,∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,∴原式=|(b+c)-a|+|b-(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b|=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c=2c-2a.(2)∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③,∴由①-②,得a-c=2④,由③+④,得2a=12,∴a=6,∴b=11-6=5,c=10-6=4.当a=6,b=5,c=4时,原式=2×4-2×6=-4.10.C 8个,分别是:(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8),(9,6,5),(9,7,4),(9,8,3),(8,7,5).故选C.11.D ①当5是最大的边长时,可能的情况有3、4、5;4、4、5;3、3、5;4、2、5,共四种情况.②当5是第二大的边长时,可能的情况有2、5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六种情况.所以共有10个三角形.故选D.12.解析(1)62(2)共连接了8个点.(3)1+2+3+…+(n+1)=[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]=(n+1)(n+2).故填(n+1)(n+2).13.A ∵|a-4|+=0,∴a-4=0,b-2=0,∴a=4,b=2,则4-2<c<4+2,即2<c<6,故选A.14.B 根据题意得解得(1)若4是腰长,则三角形的三边长为4、4、8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.故选B.15.答案1<c<5解析由题意得,a2-9=0,b-2=0,解得a=3,b=2,∵3-2=1,3+2=5,∴1<c<5.16.B 已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,故可将4根木条的长看作2、3、4、6.①选5(2+3=5)、4、6作为三边长,5-4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;②选7(3+4=7)、6、2作为三边长,6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为7;③选10(4+6=10)、2、3作为三边长,2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立;④选8(6+2=8)、3、4作为三边长,3+4<8,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.故选B.17.答案54 解析1+1+2+3+5+8+13+21=54.能力训练（5）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形的三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形的三条中线交于一点2.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线3.如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC的高B.FC是△BCF的高C.BE是△ABC的高D.BE是△ABE的高4.如图，在△ABC中，作BC边上的高，下列选项中正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断正确的个数是( )①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个6.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为( )A.20°B.30°C.10°D.15°7.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是( )A.2B.3C.6D.不能确定8.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.49.已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有( )A.6个B.5个C.4个D.3个10.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( )A.7B.8C.9D.1011.已知三角形的两边分别为3和8，且周长为偶数，则周长为( )A.大于5，小于11B.18C.20D.18或2012.一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是( )A.21B.22C.23D.2413.已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为( )A.3B.10C.6.5D.3或6.514.已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边为( )A.7B.3C.7或3D.8（五）参考答案1.D2. D3.A4. C5.B6.A7.A8.C9.D10.C11.D12.C13.C14.B。

《三角形的高、中线与角平分线》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．2．（5分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．3．（5分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD5．（5分）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（）个A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是．7．（5分）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是．8．（5分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为cm．9．（5分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．10．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．12．（10分）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．13．（10分）如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是，OC边上的高是，BC边上的高是．（2）在△AOC中，OA边上的高是，OC边上的高是，AC边上的高是．（3）在△AOB中，OA边上的高是，OB边上的高是，AB边上的高是．14．（10分）如图，已知CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD 的周长之差是多少？15．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？《三角形的高、中线与角平分线》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2．（5分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC 的高．【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．3．（5分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：过点B作AC边上的高，垂足为E，则线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．4．（5分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：由图可得，△ABC中AC边上的高线是BD，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．5．（5分）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（）个A．3B．4C．5D．6【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是CD．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形中高线的概念即可作答．【解答】解：由题意可得：△AEC中，AE边上的高是CD，故答案为：CD．【点评】本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．7．（5分）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是AE．【分析】直接利用三角形高线的定义得出答案．【解答】解：如图所示：∵H是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，∴△BHA中边BH上的高是：AE．故答案为：AE．【点评】此题主要考查了三角形的高，正确钝角三角形高线的作法是解题关键．8．（5分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为19cm．【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故答案为19．【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．9．（5分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．10．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50°．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【分析】分别根据角平分线、三角形高线作法以及垂直平分线的作法得出答案即可．【解答】解：由题意画图可得：【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法是关键．12．（10分）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．【分析】利用等积法求得AE的长度即可．【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵BC•AE＝AC •BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，∴×4AE＝×8×3，则AE＝6．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题．13．（10分）如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC边上的高是OD．（2）在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．（3）在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义判断．【解答】解：（1）由图可得，在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC 边上的高是OD．（2）由图可得，在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．（3）由图可得，在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．故答案为：CE，BF，OD；CD，AF，OE；BD，AE，OF．【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，解决问题的关键是掌握：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．14．（10分）如图，已知CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD 的周长之差是多少？【分析】利用中线的定义可知BD＝AD，可知△ACD和△BCD的周长之差即为AC和BC 的差，可求得答案．【解答】解：∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD，∵△ACD周长＝AC+CD+AD，△BCD周长＝BC+CD+BD，∴△ACD周长﹣△BCD周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），即△ACD和△BCD的周长之差是6cm．【点评】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为AC和BC的差是解题的关键．15．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？【分析】根据角平分线的定义和邻补角的定义可得∠DAE＝90°，从而得到AD⊥AE．【解答】解：AD⊥AE，理由如下：∵AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，∴∠DAE＝∠DAC+∠EAC＝∠BAC+∠CAF＝（∠BAC+∠CAF）＝×180°＝90°，∴AD⊥AE．【点评】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义．。

三角形的高中线角平分线练习题文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-三角形的高、中线、角平分线练习题1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（）A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（）A．中线B．高C．角平分线 D．以上三种情况都正确5、如图若∠BAF=∠CAF，则____是△ABD的角平分线，____是△ABC的角平分线6、如图AB⊥AC，则AB是△ABC的边____上的高，也是△BDC的边______上的高，也是△ABD的边____上的高.FB CDAB CD7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____.8、在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，填空： ⑴BE ＝___＝21_____；⑵∠BAD=_____=21_____；⑶∠AFB=_____=909、在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.10、在△ABC 中AB=AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形的三边长。

11、要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？BD。