高中数学高考二轮复习函数的图象与性质教案含答案(全国通用)

一． 方法综述分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数，而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围.对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．二． 解题策略类型一：分段函数的图象例1.已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )【答案】D【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.&【举一反三】【2017年第三次全国大联考（山东卷）】已知偶函数1()y f x=与奇函数2()y f x=满足3121()()xf x f xx++=，设函数12(),0,()(),0,f x xf xf x x≥⎧=⎨<⎩且()()g x f x=--，则函数()g x的图象是（）【答案】D类型二：分段函数的周期性例 2.【2014年四川卷】设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[)11x,∈-时，()2420x,xf xx,x⎧-+ -1≤<=⎨0≤<1⎩，则32f⎛⎫=⎪⎝⎭.【答案】1【解析】2311()()4()21222f f=-=-⨯-+=1【解题秘籍】判断周期函数的一般方法:(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝T|a|.【举一反三】【2014年安徽卷】若函数()()Rxxf∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 【答案】165 【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，& 所以)641()429(f f +)67()43()678()438(-+-=-+-=f f f f 16567sin 4143)67()43(=+⨯-=--=πf f . 类型三：分段函数的奇偶性例3.【2017江西九江地区联考】已知函数||()21x f x =-+，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩则()F x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【举一反三】已知函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .【答案】-15【解析】((1))((1))(3)(3)15.f g f f f f -=-=-=-=-&类型四：分段函数的单调性例4.【2017河南濮阳市检测】已知函数(12),1, ()1log,13xaa xf xx x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩当12x x≠时，1212()()f x f xx x-<-，则a的取值范围是（）A.1(0,]3B．11[,]32C．1(0,]2D．11[,]43【答案】A【举一反三】【2006年北京卷】已知(31)4,1()log,1aa x a xf xx x-+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)7【答案】C【解析】依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<13，又当x<1时，（3a－1）x＋4a>7a－1，当x>1时，log a x<0，所以7a－1≥0解得x≥17，故选C. &。

第1讲 函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。

[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。

[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。

［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。

ln（a—b）>0 B。

3a〈3bC。

a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。

[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。

ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。

(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。

（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。

［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。

设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。

a<b〈c B.b<a〈cC。

b<c〈a D.c<a〈b8。

[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。

第1讲 三角函数的图象与性质1．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．(2016·课标全国甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－1. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825.热点二 三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) 10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋ ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )。

第 2 讲 函数、图象及性质1. 函数在高考取的题型设置有小题也有大题，此中大题有简单的函数应用题、函数与其余知识综合题，也有复杂的代数推理题，能够说函数性质的应用是高考考察的主要着力点之一．2. 要点：①函数的奇偶性、单一性和周期性；②函数与不等式联合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．2x 3， x<0，π1. 已知函数 f(x) ＝则 f f＝ ________ ．－ tanx ，0≤ x< π，42答案：－ 2分析： f π ＝－ tan π＝－ 1， f f π ＝ f( －1) ＝－ 2.4 4 4（ x ＋ 1） 02. 函数 f(x) ＝的定义域为 ________．|x|－ x答案： (－ ∞，－ 1)∪ (－ 1， 0)x ＋1≠0， 分析：x ＜ 0，x ≠－ 1.|x|－x ＞ 03x － m （ x ≤2），3. 已知实数 m ≠0，函数 f(x) ＝ － x － 2m （x>2 ）， 若 f(2 －m)＝ f(2 ＋ m)，则实数 m 的值为________.答案：－8和 83分析：当 m>0 时，由 f(2 －m)＝ f(2 ＋ m)得 m ＝ 8；当 m<0 时，由 f(2－ m)＝ f(2＋ m)得 m ＝8－ 3.4. 设函数 f(x) ＝ x 2－ 2x ，g(x) ＝ mx ＋ 2，对 x 1∈ [－ 1，2]，$ x 0∈ [－ 1，2]，使 g(x 1)＝f(x 0)，则实数 m 的取值范围是 ________．1答案：－ 1，分析： x ∈ [ － 1，2]时， f(x) ∈ [ －1， 3]． m>0 时， x ∈ [ － 1， 2]时， g(x) ∈ [2－ m ， 2＋ 2m] ；m ＝ 0 时， g(x) ＝ 2，x 0∈ [ － 1， 2]， f(x) ∈ [ － 1， 3]； m ＜ 0， x ∈ [ － 1， 2]时， g(x) ∈[2 ＋2m ， 21[－ 1， 3]； m ＜0， [2＋ 2m ， 2－ m] í[－ 1， 3]，得 0≤m ≤或 21－ 1≤m<0，故实数 m 的取值范围是 － 1，2 .题型一例 1函数分析式及方程区间根问题已知 f(x) 是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0， 5)，且 f(x) 在区间[－ 1， 4]上的最大值是 12.(1) 求 f(x) 的分析式；(2) 能否存在整数 m 使得方程 f(x) ＋37x ＝0 在区间 (m ， m ＋ 1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明原因．解： (1) ∵ f(x) 是二次函数， 且 f(x) ＜ 0 的解集是 (0，5), ∴ 可设 f(x) ＝ ax(x － 5)(a ＞ 0)．∴f(x) 在区间 [－ 1， 4]上的最大值是 f( － 1)＝6a.由已知得 6a ＝ 12, ∴ a ＝ 2,∴ f(x) ＝ 2x(x －5)＝ 2x 2－ 10x(x ∈R )．(2) 方程 f(x) ＋ 37＝ 0 等价于方程 2x 3－ 10x 2＋37＝ 0.设 h(x) ＝2x 3－ 10x 2＋ 37，则 h ′(x)＝ 6x 2x10 10 － 20x ＝2x(3x － 10)．当 x ∈ 0， 3 时， h ′ (x)＜ 0，h(x) 是减函数； 当 x ∈3 ，＋ ∞ 时，h ′ (x)＞ 0， h(x) 是增函数．∵ h(3)＝ 1＞ 0， h 10 ＝－ 1＜ 0， h(4)＝ 5＞0，∴ 方程 h(x) ＝ 0 在区间1010， 4 3 27内分别有独一实数根，而在区间 (0， 3)， (4，＋ ∞)内没有实数根，所以存在 3，3 ， 3独一的自然数m ＝ 3，使得方程 f(x) ＋37＝0 在区间 (m ， m ＋1) 内有且只有两个不一样的实数根．x已知 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x) 为二次函数，且知足 f(2) ＝ 1，f(x) 在 (0，＋ ∞)上的两个零点为 1 和 3.(1) 求函数 f(x) 在 R 上的分析式；(2) 作出 f(x) 的图象，并依据图象议论对于 x 的方程 f(x) － c ＝ 0(c ∈ R )根的个数．解： (1) 由题意，当 x>0 时，设 f(x) ＝a(x － 1)(x －3)(a ≠0)，2当 x<0 时，－ x>0 ，∵ f(x) 为 R 上的奇函数，∴ f( － x)＝－ f(x) ，∴ f(x) ＝－ f( － x)＝－ [ － (－x) 2＋ 4(－ x) －3]＝ x 2＋ 4x ＋ 3，即 x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ 4x ＋ 3. 当 x ＝ 0 时，由 f( － x)＝－ f(x) 得 f(0) ＝ 0，－ x 2＋ 4x － 3， x>0，∴ f(x) ＝ 0，x ＝ 0，x 2＋ 4x ＋ 3， x<0.(2) 作出 f(x) 的图象 (如下图 )，由 f(x) － c ＝ 0 得： c ＝ f(x) ，在图中作 y ＝c ， 依据交点议论方程的根：当 c ≥3或 c ≤－ 3 时，方程有 1 个根；当 1<c<3 或－ 3<c< － 1 时，方程有 2 个根；当 c ＝－ 1 或 c ＝ 1 时，方程有 3 个根；当 0<c<1 或－ 1<c<0 时，方程有 4 个根；当 c ＝ 0 时，方程有 5 个根 .题型二函数性质及应用问题2a例 2 已知函数f(x)＝x＋x(x≠0，常数a∈ R)．(1)议论函数 f(x) 的奇偶性，并说明原因；(2) 若函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围．解： (1) 当 a＝0 时， f(x) ＝ x2，对随意 x∈ (－∞，0)∪ (0，＋∞)，f( － x)＝ (－ x) 2＝ x2＝ f(x),∴f(x) 为偶函数．当 a≠ 0 时， f(x) ＝x2＋ax(a ≠0，x≠ 0)，取 x＝±1，得 f(－ 1)＋ f(1)＝ 2≠0，f( －1)－ f(1) ＝－ 2a≠0，∴f( －1) ≠－ f(1)， f( －1) ≠ f(1) ，∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．＜ x ，f(x1)－f(x 2)2＋a－ x2－ a ＝（x1－x2）[x＋ x2)－a]，要使(2) (解法 1)设 2≤x1 2＝ x1x12x2x1x21x2(x1函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞)上为增函数，一定f(x 1)－ f(x 2)＜ 0 恒成立．∵x1－ x2＜ 0，x1x2＞ 4，即a＜ x1x2(x1＋x2 )恒成立，又x1＋ x2＞ 4, ∴ x1 x2(x1＋ x2)＞ 16.∴ a 的取值范围是(－∞， 16] ．(解法 2)当 a＝ 0 时， f(x) ＝ x2，明显在 [2，＋∞)上为增函数．当 a＜ 0 时，反比率函数a在 [2，＋∞)上为增函数，∴ f(x) ＝ x2＋a在 [2，＋∞)上为增函数．当x xa＞ 0 时，同解法 1.a(解法 3)f ′＝(x)2x－ x2≥ 0 对 x∈ [2，＋∞)恒成立．33∴ a≤ 2x 而 y＝ 2x 在 [2，＋∞)上单一递加，最小值为16，∴a≤ 16.评论：本题主要考察函数奇偶性、单一性及分类议论办理含参数问题．已知函数f(x) ＝ x|x－ a|(x∈R)．(1)判断 f(x) 的奇偶性，并证明；(2)务实数 a 的取值范围，使函数 g(x) ＝ f(x) ＋ 2x＋ 1 在R上恒为增函数．解： (1) 当 a＝ 0 时， f(x) ＝ x|x|，定义域为R ，又 f( － x)＝ (－ x)|－x|＝－ x|x|＝－ f(x) ，∴f(x) 是奇函数 .当 a≠0时， f(a)＝ 0， f( － a)＝－ a|－2a|，∵ f( － a) ≠± f(a)，∴ f(x) 是非奇非偶函数．∴当 a＝ 0时， f(x) 为奇函数；当 a≠0时， f(x) 为非奇非偶函数．x2＋（ 2－ a）x＋ 1， x≥a，在 R 上恒为增函数，(2) g(x)＝x|x－a|＋2x＋1＝－x2 ＋（2＋a）x＋1，x<a∴ y＝ x2＋ (2－ a)x＋ 1 在[a，＋∞)上是增函数，且 y＝－ x2＋ (2＋ a)x＋ 1 在 (－∞，a]上是增函数，－2－ a2≤a，∴∴ － 2≤ a≤ 2.2＋ a2≥a，题型三含字母的函数最值议论问题例 3设a为实数，函数f(x) ＝ x2＋ |x－ a|＋ 1， x∈R.(1)议论 f(x) 的奇偶性；(2)求 f(x) 的最小值．解： (1) 当 a＝ 0 时，函数f( － x)＝ (－ x)2＋ |－ x|＋ 1＝ f(x) ，此时 f(x) 为偶函数．当 a≠0时， f(a)＝ a2＋ 1， f( － a)＝ a2＋ 2|a|＋ 1， f( － a)≠ f(a)， f( －a) ≠－ f(a) ．此时函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．21 23(2) ① 当 x ≤a 时，函数 f(x) ＝ x － x ＋ a ＋1＝ x － 2 ＋ a ＋ 4.1f(x) 在 (－ ∞， a)上的最小值为 f(a) 若 a ≤ ，则函数 f(x) 在 (－ ∞， a)上单一递减，进而，函数＝ a 2＋ 1. 211 3 1 若 a ＞2 ，则函数 f(x) 在( －∞，a]上的最小值为 f2 ＝ 4 ＋ a ，且 f 2 ≤ f(a)．21 23② 当 x ≥a 时，函数 f(x) ＝ x ＋ x － a ＋ 1＝ x ＋2－ a ＋ 4.若 a ≤－ 1，则函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上的最小值为 f － 1 ＝ 3－ a ，且 f －1≤ f(a) ．22 4 21若 a ＞－ 2，则函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上单一递加，进而，函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上的最小值为2f(a)＝ a ＋ 1.综上，当 a ≤－ 1时，函数 f(x) 的最小值是 3－ a ；2 4当－ 1 1 22 ＜ a ≤ 时，函数 f(x) 的最小值是 a ＋ 1；2当 a ＞ 1时，函数 f(x) 的最小值是 a ＋ 3.2 4评论：函数奇偶性的议论问题是中学数学的基本问题，假如平常注意知识的累积，对解本题会有较大帮助．因为 x ∈ R ， f(0) ＝ |a|＋ 1≠0，由此清除 f(x) 是奇函数的可能性．运用偶函数的定义剖析可知，当 a ＝ 0 时， f(x) 是偶函数，第 (2) 题主要考察学生的分类议论思想、对称思想．已知函数 f(x) ＝x|x － 2|.设 a ＞0，求 f(x) 在 [0， a]上的最大值．x 2 － 2x ＝（ x －1） 2－ 1， x ≥ 2，解：f(x) ＝x|x － 2|＝－x 2 ＋2x ＝－（ x － 1） 2＋ 1， x ＜ 2.∴ f(x) 的单一递加区间是 (－ ∞， 1]和 [2，＋ ∞); 单一递减区间是 [1，2] ．① 当 0＜ a ＜ 1 时， f(x) 是 [0，a]上的增函数， 此时 f(x) 在 [0，a]上的最大值是 f(a) ＝a(2－a)； ② 当 1≤a ≤2时， f(x) 在 [0，1]上是增函数，在 [1，a]上是减函数，此时 f(x) 在[0， a]上的最大值是 f(1) ＝ 1；③ 当 a ＞ 2 时，令 f(a) － f(1) ＝ a(a － 2)－ 1＝a 2－2a － 1＞ 0, 解得 a ＞ 1＋ 2.若 2＜ a ≤1＋ 2，则 f(a) ≤f(1)，f(x) 在 [0，a]上的最大值是 f(1) ＝1；若 a ＞ 1＋ 2，则 f(a)＞ f(1) ，f(x) 在 [0，a]上的 最大值是 f(a)＝ a(a － 2)．综上，当 0＜a ＜ 1 时， f(x) 在 [0， a]上的最大值是 a(2－a)；当 1≤a ≤1＋ 2时， f(x) 在 [0，a]上的最大值是 1；当 a ＞ 1＋ 2时， f(x) 在 [0，a]上的最大值是 a(a － 2)．题型四 函数综合问题例 4 定义函数 φ(x)＝ 1， x ≥0， 2－ a) ·φ2(x － a)．f(x) ＝ x 2－ 2x(x－ 1， x<0，(1) 解对于 a 的不等式 f(1) ≤ f(0)；(2) 已知函数 f(x) 在 x ∈ [0， 1]上的最小值为 f(1) ，求正实数 a 的取值范围．解： (1) f(1) ≤f(0)即 1－ 2(1－ a) ·φ－(1a) ≤0.3当 a ＞ 1 时， φ(1－ a)＝－ 1，∴1＋ 2(1－ a) ≤0，a ≥ .1当 a ≤1时， φ (1－ a)＝ 1，∴ 1－ 2(1－ a) ≤0，a ≤ 2.1 3综上， a ≤ 2或 a ≥2.(2) 当 x ＝ 1 时， f(x) ＝ f(1) ．由题意， " x ∈ [0， 1)， f(x) ≥ f(1)恒成立．Ⅰ. a>1 时，2232①由 f(x) ≥f(1)，得 x ＋ 2x(x － a) ≥3－2a ，即 2a(x － 1) ≤2x ＋ x － 3.2x 3＋ x 2－ 32＋ 3，上式对全部x ∈ [0， 1)恒成立，∵ x ∈ [0， 1)，①式即 2a ≥，即 2a ≥2x ＋ 3x x － 1∴ 2a ≥ 2＋ 3＋3，即 a ≥4.Ⅱ . 0＜ a ≤1时，由 f(x) ≥f(1)，得 x 2－ 2x(x 2－ a) ·φ2－(xa) ≥2a － 1.(ⅰ ) 当 a ≤ x ≤1 时， x 2－ 2x(x 2－ a) ≥2a － 1，32即 2a(x － 1) ≥2x － x － 1. ②3－ x 2－ 12x 2x ∈ [0， 1)恒成立，∵ x ∈ [0， 1)，②式即 2a ≤，即 2a ≤2x ＋ x ＋ 1，上式对全部x － 1∴ 2a ≤ 2a ＋ a ＋ 1.此式恒成立．(ⅱ ) 当 0≤x＜ a 时， x 2＋2x(x 2－a) ≥2a － 1， 32即 2a(x ＋ 1) ≤2x ＋ x ＋ 1. ③∵ x ∈ [0， 1)，③式即2x 3＋ x 2＋ 1 22a ≤ ，即 2a ≤2x － x ＋ 1.x ＋ 1当 a ≤1，即 0＜ a ≤1时， 2a ≤ 2( a)2－ a ＋ 1，∴ a ≤ 1.联合条件得 0＜ a ≤1.4 16 16 当 a ＞ 1 1 ＜ a ≤1时， 2a ≤ 1 ，(0 ＜a ≤ 1)，即 1－4 16 8∴ a ≤ 7 .联合条件得 1 ＜ a ≤7. 16 16 16故 0＜ a ≤7. 167由Ⅰ、Ⅱ，得 0＜ a ≤ 或 a ≥4.已知函数 f(x) ＝ 3－ 2log 2x ， g(x) ＝ log 2x.(1) 假如 x ∈ [1， 4]，求函数 h(x) ＝ [f(x) ＋ 1]g(x) 的值域；(2) 求函数 M(x) ＝f （x ）＋ g （x ）－ |f （ x ）－ g （ x ） |的最大值；2(3) 假如对不等式 f(x 2)f( x)＞ kg(x) 中的随意 x ∈ [1，4]，不等式恒成立，务实数 k 的取值范围．解：令 t ＝ log 2x ，(1) h(x) ＝ (4－ 2log 2x) ·log 2x ＝－ 2(t － 1)2＋ 2.∵ x ∈ [1， 4]，∴ t ∈ [0，2]，∴ h(x) 的值域为 [0， 2]．(2) f(x) － g(x) ＝ 3(1－ log 2x)，当 0＜ x ≤2时， f(x) ≥ g(x)；当 x ＞2 时， f(x) ＜ g(x) ，g （ x ）， f （x ） ≥g（ x ），∴ M(x) ＝f （x ）， f （ x ）<g （ x ），log 2x ， 0<x ≤ 2，即 M(x) ＝3－ 2log 2x ， x>2.当 0＜ x ≤2时， M(x) 最大值为 1；当 x ＞ 2 时， M(x) ＜1. 综上，当 x ＝2 时， M(x) 取到最大值为 1.(3) 由 f(x 2)f( x)＞ kg(x) ，得 (3－ 4log 2x)(3 － log 2x)＞ k ·log 2x.∵ x ∈[1， 4]，∴ t ∈ [0，2]，∴ (3－ 4t)(3－ t) ＞ kt 对全部 t ∈ [0， 2]恒成立．① 当 t ＝ 0 时， k ∈ R ；（ 3－ 4t ）（ 3－ t ） 9 9② t ∈ (0，2]时， k ＜t 恒成立，即k ＜4t ＋ t － 15.∵ 4t ＋ t ≥ 12 ，当且仅当9，即 t ＝ 3时取等号．∴4t ＋ 9－ 15 的最小值为－ 3.4t ＝ t2t综上， k ＜－ 3.1. (2013 ·安徽卷 )定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ 1)＝ 2f(x) ．若当 0≤ x ≤1时． f(x) ＝x(1 －x)，则当－ 1≤x ≤ 0 时， f(x) ＝ ________．答案：－ x （x ＋ 1）2（ x ＋ 1）（ 1－ x － 1）分析：－ 1≤x ≤0时， 0≤ x ＋1≤1， f(x) ＝1f(x ＋ 1)＝＝－ x （ x ＋1） .222log 1x ， x ≥ 1，2. (2013 北·京卷 )函数 f(x) ＝2的值域为 ________．2x ， x<1答案： (－ ∞， 2)分析：函数 f(x) 在 (－ ∞， 1)上单一增， f(x) ∈ (0， 2)；在 [1，＋ ∞)上单一减， f(x) ∈ (－ ∞，0]，故函数值域为 (－ ∞， 2)．3. (2013 江·苏卷 )已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数．当 x>0 时，f(x) ＝ x 2－ 4x ，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 ________．答案： (－ 5， 0)∪ (5，＋ ∞)分析： x>0 时， f(x) ＝ x 2－4x ，f(x)>x 即为 x 2－ 5x>0 ，所以 x>5；f(x) 是定义在 R 上的奇函 数， x<0 时， f(x) ＝－ x 2－ 4x ，f(x)>x 即为 x 2＋ 5x<0 ，－ 5<x<0.综上，不等式的解集为 (－5， 0)∪ (5，＋ ∞)．（ x － a ） 2， x ≤ 0，4. (2014 上·海卷 )f(x) ＝若 f(0) 是 f(x) 的最小值，则a 的取值范围为1＋ a ，x>0 ，x ＋ x________．答案： [0， 2]分析：因为当 x>0 时， f(x) ＝ x ＋1＋ a 在 x ＝1 时获得最小值 2＋ a ，由题意当 x ≤0时， f(x)x＝ (x － a)2 应当是递减的，则 a ≥0，此时最小值为 22f(0) ＝ a .所以 a ≤ a ＋ 2，解得 0≤ a ≤ 2.5. (2013 ·上海卷 )已知真命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于点 P(a 、 b)成中心对称图形 ”的充要条件为 “函数 y ＝ f(x ＋a)－ b 是奇函数 ”．(1) 将函数 g(x) ＝ x 3－ 3x 2的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位， 求此时图象对应的函数分析式，并利用题设中的真命题求函数g(x) 图象对称中心的坐标； 2x(2) 求函数 h(x) ＝ log 24－ x 图象对称中心的坐标；(3) 已知命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于某直线成轴对称图象 ”的充要条件为 “存在实数 a 和 b ，使得函数 y ＝ f(x ＋ a)－ b 是偶函数 ”．判断该命题的真假．假如是真命题，请赐予证明；假如是假命题， 请说明原因， 并类比题设的真命题对它进行改正， 使之成为真命题 (不用证明 )．解： (1) 平移后图象对应的函数分析式为 y ＝ (x ＋1) 3－ 3(x ＋1)2＋2，整理得 y ＝ x 3－ 3x ， 3因为函数 y ＝ x － 3x 是奇函数，由题设真命题知，函数g(x) 图象对称中心的坐标是 (1，－ 2)．(2) 设 h(x) ＝ log 2 2x的对称中心为 P(a ， b)，由题设知函数 h(x ＋ a)－ b 是奇函数．设 f(x) 4－x＝ h(x ＋ a)－ b ，则f(x) ＝ log 2 2（ x ＋ a ） － b ，即 f(x) ＝ log 2 2x ＋ 2a － b. 4－（ x ＋ a ） 4－ a －x由不等式 2x ＋ 2a2（ x ＋ 2）－ b ，x ∈( － 2，4－a － x >0 的解集对于原点对称， 得 a ＝ 2.此时 f(x) ＝ log 22－ x2x图象对称中心的2)．任取 x ∈(－ 2，2)，由 f( － x)＋ f(x) ＝0，得 b ＝1，所以函数 h(x) ＝ log 24－ x坐标是 (2，1).(3) 此命题是假命题．举反例说明：函数 f(x) ＝x 的图象对于直线 y ＝－ x 成轴对称图象，可是对随意实数 a 和 b ，函数 y ＝ f(x ＋ a)－ b ，即 y ＝x ＋ a － b 总不是偶函数．改正后的真命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于直线 x ＝ a 成轴对称图象 ”的充要条件是 “函数 y ＝f(x ＋ a)是偶函数 ”.6. (2013 安·徽卷 )设函数 f(x) ＝ ax －(1＋ a 2)x 2，此中 a>0，区间 I ＝ {x|f(x)>0} ． (1) 求 I 的长度 (注：区间 ( α， β )的长度定义为 β－ α)；(2) 给定常数 k ∈ (0，1) ，当 1－ k ≤ a ≤1＋k 时，求 I 长度的最小值．解： (1) 令 f(x) ＝ x[a － (1＋a 2)x] ＝ 0，a a 解得 x 1＝ 0， x 2＝ 1＋ a 2，∴ I ＝ x 0<x< 1＋a 2，a∴I的长度x2－x1＝1＋ a 2.(2) k ∈ (0， 1)，则 0<1 －k ≤ a ≤1＋k<2 ，由(1) 知 I ＝ a2，I ′＝ 1－ a 2 2>0，则 0<a<1，2 ）1＋a （1＋ a故 I 对于 a 在 (1－ k ， 1) 上单一递加，在 (1， 1＋k)上单一递减．∴I 的最小值必然在a ＝ 1－ k 或 a ＝1＋ k 处获得．I 1＝ 1－ k 2＝ 1－ k 2，I 2＝1＋ k2，1＋（ 1－ k ） 2－ 2k ＋ k 1＋（ 1＋ k ）1－ k2I 1＝ 2－ 2k ＋ k ＝ 2－ k 2－k 3I 21＋ k2－ k 2＋k 3 <1，2＋ 2k ＋ k 21－ k 2.I min ＝2－ 2k ＋ k(本题模拟高考评分标准，满分 15 分)(2013 扬·州一模 )轮滑是衣着带滚轮的特制鞋在坚硬的场所上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员经过助跑道获得速度后飞离跑道而后落到离地面高为 的平台上 E 处，飞翔的轨迹是一段抛物线 CDE( 抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内 为这段抛物线的最高点． 此刻运动员的滑行轨迹所在平面上成立如下图的直角坐标系，在地面上，助跑道一端点 A(0 ， 4)，另一端点 C(3， 1)，点 B(2 ， 0)，单位： m.1 m)，Dx 轴(1) 求援跑道所在的抛物线方程；(2) 若助跑道所在抛物线与飞翔轨迹所在抛物线在点 和空中姿态优美，要求运动员的飞翔距离在 4 m 到 6 m行过程中距离平台最大高度的取值范围？C 处有同样的切线， 为使运动员安全之间 (包含 4 m 和 6 m)，试求运动员飞(注：飞翔距离指点 C 与点 E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．)解： (1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x) ＝ a 0x 2＋ b 0x ＋c 0，c 0＝ 4， 依题意， 4a 0 ＋2b 0＋ c 0＝ 0， (3 分 )9a 0 ＋3b 0＋ c 0＝ 1，解得 a 0＝ 1， b 0＝－ 4， c 0＝ 4，∴ 助跑道所在的抛物线方程为 f(x) ＝ x 2－ 4x ＋ 4.(7 分 ) (2) 设飞翔轨迹所在抛物线为g(x) ＝ax 2＋ bx ＋ c(a ＜ 0)，f （ 3）＝g （ 3），9a ＋3b ＋ c ＝ 1，依题意得f ′（ 3）＝g ′（ 3）， 6a ＋b ＝ 2， 解得 b ＝ 2－ 6a ，(9 分)c ＝ 9a － 5，∴ g(x) ＝ax 2＋(2－ 6a)x ＋ 9a － 53a － 121＝a x －＋1－ .aa令 g(x) ＝ 1 得 x －3a －1 2＝12，a a∵ a ＜ 0，∴ x E ＝3a － 1－ 1＝3－ 2.(11 分 )aa a当 x ＝ 3a － 1时， g(x) 有最大值为 1－ 1，a a则运动员的飞翔距离 d ＝ 3－2－3＝－ 2，(13 分 )a a飞翔过程中距离平台最大高度h ＝ 1－ 1－1＝－ 1，a a依题意， 4≤－ 2≤ 6，得 2≤－1≤ 3，a a即飞翔过程中距离平台最大高度的取值范围在2 m 到3 m 之间． (15 分 )1. 已知 a ＝5－ 1，函数 f(x) ＝ a x .若实数 m 、 n 知足 f(m) ＞ f(n) ，则 m 、 n 的大小关系为2________． m ＜ n答案： 分析： 考察指数函数的单一性．∵ a ＝5－ 1∈ (0， 1)，∴ 函数 f(x) ＝ a x在 R 上递减． 2由 f(m) ＞ f(n) ，得 m<n.2. 已知函数 y ＝ f (x) 是定义在 R 上的周期函数， 周期 T ＝5，函数 y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤的1)图象 对于原点对称．又知 y ＝ f(x) 在 [0， 1]上是一次函数，在 [1， 4]上是二次函数，且在 x ＝ 2 时函 数获得最小值－ 5.(1) 求证： f(1) ＋ f(4) ＝ 0；(2) 求 y ＝ f(x) ， x ∈ [1， 4]的分析式；(3) 求 y ＝ f(x) 在 [4， 9]上的分析式．(1) 证明： ∵ f (x) 是以 5 为周期的周期函数， ∴ f(4)＝ f(4－ 5)＝ f( － 1)．又 y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤ 1) 对于原点对称，∴ f(1) ＝－ f( －1) ＝－ f(4), ∴ f(1) ＋f(4) ＝ 0.(2) 解： 当 x ∈ [1， 4]时，由题意可设 f(x) ＝ a(x － 2)2－ 5(a ＞ 0)．由 f(1)＋ f(4) ＝0，得 a(1 － 2)2－ 5＋ a(4－ 2)2－ 5＝0，∴ a ＝2，∴ f(x) ＝ 2(x － 2)2－ 5(1 ≤x ≤4)．(3) 解： ∵ y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤是1)奇函数，∴ f(0) ＝ 0.又知 y ＝f(x) 在 [0， 1]上是一次函数， ∴ 可设 f(x) ＝ kx(0 ≤x ≤，1)而 f(1) ＝ 2(1－2) 2－ 5＝－ 3，∴ k ＝－ 3，∴ 当 0≤x ≤1时， f(x) ＝－3x ，进而当－ 1≤x＜ 0 时， f(x) ＝－ f(－ x)＝－ 3x ，故－ 1≤ x ≤1时， f(x) ＝－ 3x ，∴ 当 4≤ x ≤6时，有－ 1≤x－ 5≤1，∴ f(x) ＝ f(x － 5)＝－ 3(x － 5)＝－ 3x ＋ 15，当 6＜ x ≤9时， 1＜ x － 5≤4，∴ f(x)＝ f(x － 5)＝ 2[(x － 5)－ 2]2－ 5＝ 2(x － 7) 2－ 5，－ 3x ＋ 15，4≤ x ≤ 6，∴ f(x) ＝2（ x － 7）2－ 5， 6＜ x ≤9.评论：紧抓函数几个性质，将未知的转变为已知的，注意函数图象及端点值．。

专题二函数、不等式、导数摸清规律预测考情考点一 函数的图象与性质1．有关函数的奇偶性问题(1)若f (x )是奇函数，且x ＝0有意义时，则f (0)＝0；(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶． 2．有关函数的对称性问题(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称； (3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 3．有关函数的周期性问题(1)若函数y ＝f (x )的图象有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(2)若函数y ＝f (x )的图象有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(3)如果函数y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ，c )和一条对称轴x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝4|a －b |；(4)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； (5)若f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ；(6)若f (x ＋a )＝－1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a .类型一 函数的概念及表示[典例1] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2(x ＋1)， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54 C ．－34D ．－14解析：通解：(讨论a 的取值，计算f (a )，并求a )当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. 优解：(根据分段函数值域，确定a 的范围) ∵2x －1＞0，∴当x ≤1时，2x －1－2＞－2，故a ＞1. ∴－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＝7， ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.答案：A(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：优解：(数形结合法)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．故选C. 答案：C [母题变式]在本例(2)中，函数y ＝f (x 2＋1)的值域如何求？ 解析：设t ＝x 2＋1，∴t ≥1，∴f (t )＝t 2≥1. 所以函数y ＝f (x 2＋1)的值域为[1，＋∞)，选D.1．(1)形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法．2．求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如y ＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)的值域，常把其分子分离成不含自变量x 的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如y ＝x ＋kx (k ＞0)的值域，常用基本不等式求解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域． [自我挑战]1．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选B.由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：通解：选C.∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.优解：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A.由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.类型二 函数的图象及应用[典例2] (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m解析：(利用图象的对称性求解) 因为f (－x )＝2－f (x )， 所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1， 所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称． 所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， …，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称， 所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋＋y i )＝m .故选B.答案：B(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )。

第2讲 函数的应用1．(2016·天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，18 B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4 (k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0，⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a－2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0， 解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.3．(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案33解析 由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33.1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)已知实数a >1,0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 (1)B (2)A解析 (1)因为a >1,0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ， 所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点． (2)当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,10)(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，∴f (2)f (3)<0，故f (x )的零点在区间(2,3)内．(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点即2x |log 0.5x |－1＝0的解，即|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x的解，作出函数g (x )＝|log 0.5x |和函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象．由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有2个零点．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)答案 D解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．①若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；②确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 ①∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x 时取等号，∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e.∴g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e.∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点．②若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． 如图，作出函数g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，。

第二讲 函数的图象与性质[考情分析]1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现；2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]解析：∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D. 答案：D2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i＝2×m2＝m ，所以∑mi ＝1(x i ＋y i )＝m .答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝ 2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案：B4．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C5．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立， ∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. 答案：16．(2014·高考全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0，f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3. 答案：(－1,3)函数及其表示[方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[题组突破]1．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.109 B.19 C ．－19D ．－109解析：由题意可得：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A. 答案：A2．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∩(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0x －1>0x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.答案：D3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B [误区警示]分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，求值时要注意判断自变量的取值，否则要分类讨论．函数图象及应用[典例] (1)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：当x ＝0时，则y ＝e cos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e .可排除A ，B ，D ，选C.答案：C(2)函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )解析：因为f (x )＝ln(x －1x )，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，选B. 答案：B(3)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )。

第2讲函数的图象与性质自主学习导引真题感悟1．(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝D．y＝x|x|解析利用排除法求解．A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.答案 D2．(2012·山东)函数y＝cos 6x2x－2－x的图象大致为解析利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解．∵y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x，∴f(－x)＝cos(－6x)2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x趋近＋∞，排除选项B；当x趋近＋∞时，y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x趋近0，排除选项C.故选择选项D.答案 D考题分析高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用，考查图象时一般以图象的应用与识别为主，题目立意多样、角度很灵活，高、中、低档题目皆有，题型有选择题，也有填空题，若为解答题，则与导数相结合．网络构建高频考点突破考点一：函数及其表示【例1】(1)(2012·衡水模拟)函数y ＝ 1－lg (x ＋2)的定义域为A ．(0,8]B ．(－2,8]C ．(2,8]D ．[8，＋∞)(2)(2012·石家庄二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ， x ＞0，9－x ＋1， x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是A ．7B ．2C ．5D ．3[审题导引] (1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之； (2)根据自变量的范围代入解析式求解．[规范解答] (1)⎩⎨⎧ x ＋2＞01－lg (x ＋2)≥0⇒⎩⎨⎧x ＞－2x ≤8⇒－2＜x ≤8，∴函数的定义域为(－2,8]．(2)∵f (1)＝log 21＝0，log 312＜0，∴f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (0)＋31log 29-＋1＝90＋1＋3log 43＋1＝7.[答案] (1)B (2)A 【规律总结】1．求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f (x )的定义域[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 2．求f (g (x ))类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性． 【变式训练】1．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝2log f (x )的定义域是________．解析 要使函数g (x )有意义，则需f (x )＞0，由函数f (x )的图象知2＜x ≤8， 即函数g (x )＝2log f (x )的定义域为(2,8]． 答案 (2,8]2．已知函数f (x )＝2x－12x ，且g (x )＝⎩⎨⎧f (x )， x ≥0，f (－x )， x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．解析 易知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ， x ≥0，2－x －2x ， x ＜0，∵当x ≥0，g ′(x )＝(2x ＋2－x )ln 2＞0， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，当x ＜0时，g ′(x )＝－(2x ＋2－x )ln 2＜0， ∴g (x )＞g (0)＝0.故函数g (x )的最小值为g (0)＝0. 答案 0考点二：函数的图象【例2】(1)(2012·丰台二模)已知函数y ＝sin ax ＋b (a ＞0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是(2)(2012·武威模拟)函数y＝ln|x|x的图象大致是[审题导引](1)利用已知函数的图象求出a，b的范围，再选择y＝log a(x＋b)的图象；(2)利用函数y＝ln|x|x的性质，结合排除法求解．[规范解答](1)由y＝sin ax＋b的图象知其周期T＝2πa＞2π，∴0＜a＜1.又∵0＜b＜1，故选A.(2)∵x＝±1是y＝ln|x|x的零点，且当x＞1时，y＞0，当0＜x＜1时，y＜0，故可排除A、B.当x＞0时，y＝ln xx，由于函数y＝x的增长速度要大于函数y＝ln x的增长速度，故当x →＋∞时，y ＝ln xx →0. 故可排除D ，选C. [答案] (1)A (2)C 【规律总结】函数图象的识别方法(1)性质法：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系．(2)图象变换法：根据函数解析式之间的关系，或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象． 【变式训练】3．(2012·兰州模拟)函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的解析 因函数y ＝xsin x 是偶函数，故排除A ， 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x ＞sin x ，即xsin x ＞1，排除B ，D ，故选C. 答案 C4．(2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为解析 由y ＝f (x )的图象写出f (x )的解析式．由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎨⎧x (0≤x ≤1)，1(1＜x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1＜x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1＜x ≤2).图象应为B.答案 B考点三：函数的性质及应用【例3】(1)(2012·湘潭二模)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (－0.5)，f (0)，f (0.6)的大小关系是 A ．f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6) B ．f (－0.5)＜f (0.6)＜f (0) C ．f (0)＜f (0.6)＜f (－0.5) D ．f (－0.5)＜f (0)＜f (0.6)(2)(2012·聊城二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，则f (2 012)－f (2 011)的值为A ．－12 B.12C ．2D ．－2[审题导引] (1)利用函数f (x )的奇偶性与单调性比较各数的大小； (2)利用函数的周期性与奇偶性求解．[规范解答] (1)f ′(x )＝2x ＋sin x ， ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0，即f (x )＝x 2－cos x 在(0，＋∞)上是增函数， 又f (x )是偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)， ∴f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6)．(2)由题可知函数的周期为4，故f (2 012)－f (2 011)＝f (0)－f (－1)＝0－2－1＝－12.[答案] (1)A (2)A 【规律总结】函数性质的综合应用求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路，即把自变量化归到已知区间中，然后根据函数的有关性质进行求解，如例3第(1)题中要比较f (－0.5)，f (0)，f (0.6)的大小，就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到[0，＋∞)内，然后根据函数的单调性比较它们的大小．[易错提示] 常见周期函数的几种形式函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合，常涉及函数周期的求解，常见形式主要有以下几种：(1)如果f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝|a －b |； (2)如果f (x ＋a )＝－f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |； (3)如果f (x ＋a )＝－f (x )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(4)如果f (x ＋a )＝1f (x )或者f (x ＋a )＝－1f (x )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(5)如果函数f (x )既有对称中心，又有对称轴，则该函数是一个周期函数，若其中的对称中心为(a ，m )，与其相邻的对称轴为x ＝b ，则该函数的一个周期为T ＝4|a －b |. 【变式训练】5．(2012·东莞二模)已知函数f (x )＝|x |－sin x ＋1|x |＋1(x ∈R )的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m的值为________．解析 f (x )＝|x |－sin x ＋1|x |＋1＝1－sin x|x |＋1，令g (x )＝－sin x|x |＋1，易知g (x )是R 上的奇函数，设g (x )的最大值为a ，则其最小值为－a ， ∴M ＝1＋a ，m ＝1－a ，∴M ＋m ＝2. 答案 26．(2012·龙岩模拟)已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (2 012)＝A．－2 B．0C．2 D．3解析∵f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x＋1)的图象关于(0,0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于(1,0)对称，即f(2－x)＋f(x)＝0.①∵f(x－1)是偶函数，即其图象关于直线x＝0对称，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，即f(x)＝f(－2－x)．②由①②两式得f(2－x)＝－f(－2－x)，即f(x＋4)＝－f(x)，③可得f(x＋8)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝8.∴f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)，在③式中，令x＝0得f(4)＝－f(0)＝－2，∴f(2 012)＝－2.答案 A名师押题高考【押题1】在同一个坐标系中画出函数y＝a x，y＝sin ax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是解析当a＞1时，y＝sin ax的周期T＝2πa＜2π，可排除A，C.当0＜a＜1时，y＝sin ax的周期T＝2πa＞2π，可排除B，故选D.答案 D[押题依据]高考对函数的图象的考查有识图、用图、作图三个方面，利用函数的性质与函数图象变换的方法考查对函数图象及性质的理解是高考的热点，本题考查利用函数解析式中参数范围对函数图象的影响，难度较小，故押此题．【押题2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是A ．[2，＋∞)B ．[3，5)C ．[2，3)D ．[3，＋∞)解析 ∵当x ≥0时，f (x )＝x 2且f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x ＋t )≥2f (x )＝f (2x )，且f (x )是定义在R 上的单调递增函数，∴x ＋t ≥2x ，整理得，(2－1)x ≤t ，由于y ＝(2－1)x 在x ∈[t ，t ＋2]时单调递增，所以(2－1)(t ＋2)≤t ，解得t ≥ 2. 答案 A[押题依据] 利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要的题型，是高考的热点．本题利用函数的奇偶性推出函数的单调性并能恰当地加以应用，对函数的奇偶性考查较为容易，而着重考查了函数的单调性，符合高考的要求，故押此题．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：rx=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.] [迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则ab f (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1，又由图可知12＜f (c )＜1，故1＜1f (c )＜2， ∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7 [由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，且f (x )为偶函数，故f (x )在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y ＝f (x )与y ＝1有7个交点，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________．f (－25)＜f (80)＜f (11) [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．][规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]。

第 1 讲 函数的图象与性质1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热门内容，对图象的考察主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，经过数形联合的思想解决问题；对函数性质的考察，则主假如将单一性、奇偶性、周期性等综合在一同考察， 既有详细函数也有抽 象函数．2. 函数的图象与性质会波及以下题型： (1) 函数“二域三性”的考察； (2) 函数性质在解决不等式问题中的应用； (3) 函数与方程问题； (4) 函数性质在数列等问题中的应用； (5) 利用导数来刻画函数的性质．1. 已知函数f(x) 在区间 ( － 2， 3) 上是增函数，则 y ＝ f(x ＋ 5) 的一个递加区间是________．答案： ( － 7，－ 2)分析：令－ 2＜ x ＋ 5＜ 3，解得－ 7＜ x ＜－ 2.2. 已知二次函数 f(x) 知足 f(2 ＋ x) ＝ f(2 － x) ，且 f(x) 在 [0 ， 2] 上是增函数，若 f(a) ≥f(0) ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： [0 ， 4]分析：由题意可知函数 f(x) 的图象张口向下，对称轴为 x ＝ 2( 如图 ) ，若 f(a ) ≥f(0) ，从图象察看可知 0≤a ≤4.3. 若二次函数 g(x) 知足 g(1) ＝ 1， g( － 1) ＝ 5，且图象过原点，则g(x) 的分析式为____________． ＝ 3x 2－2x答案： g(x)分析：设 g(x) ＝ ax 2＋bx ＋c(a ≠0) ，由于 g(1) ＝ 1，g( － 1) ＝5，且图象过原点，所以a ＋b ＋c ＝1，a ＝ 3，a －b ＋c ＝5，解得 b ＝－ 2，所以 g(x) ＝ 3x 2－ 2x.c ＝ 0， c ＝ 0，4. (2018 ·南京学情调研 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 ( －∞， 0]上为单一增函数．若 f ( － 1) ＝－ 2，则知足 f (2 x －3) ≤2的 x 的取值范围是 ________．答案： ( －∞， 2] 分析：由于 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且在 ( －∞， 0] 上为单一增函数，所以 f ( x )在 R 上为单一增函数． 由于 f ( － 1) ＝－ 2，所以 f (1) ＝2，故 f (2 x －3) ≤2＝ f (1) ，即 2x －3≤1，解得 x ≤2.,一 ) 研究函数的单一性,11) 已知函数 f(x) ＝a － |x| . (1) 求证：函数 y ＝ f(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2) 若 f(x)<2x 在 (1 ，＋∞ ) 上恒建立，务实数 a 的取值范围．1(1) 证明：当 x ∈(0 ，＋∞ ) 时， f(x) ＝ a － ， x 设 0<x 1<x 2，则 x 1x 2>0，x 2－ x 1>0，f(x 2) － f(x 1) ＝ (a －1) － (a －1) ＝1 －12－ x1在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数．＝x>0，所以 f(x)x2x1x1x2x1x21(2) 解：由题意得a－ <2x 在 (1 ，＋∞ ) 上恒建立，x1设 h(x) ＝ 2x ＋x，则 a<h(x) 在 (1 ，＋∞ ) 上恒建立．任取 x1，x2∈ (1 ，＋∞ ) 且 x1<x2，1h(x 1) － h(x 2) ＝ (x 1－ x2 )(2 －x1x2) ．12，由于 1<x <x1>0，所以 x1－x2<0， x1x2>1，所以 2－x x12所以 h(x 1)<h(x 2) ，所以 h(x) 在 (1 ，＋∞ ) 上单一递加．故 a≤h(1)，即 a≤3，所以实数 a 的取值范围是 ( －∞， 3] ．1(2018 ·启东中学月考) 已知 f(x)＝a－x是定义在(0，＋∞ )上的函数．(1)求证：函数 y＝ f(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2)若函数 y＝f(x) 在 [m， n] 上的值域是 [m，n](m ≠n) ，务实数 a 的取值范围．11x1－ x2(1)证明：设 x1，x2∈ (0 ，＋∞ ) ，且 x1＜ x2，则 f(x 1) － f(x 2) ＝ a－x1－a－x2＝ 1 2x x ＜0，所以函数 y＝ f(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数．(2)解：由 (1) 知 y＝ f(x) 在 [m， n] 上单一递加，f （ m）＝ m，1所以f（n）＝n，所以 m， n 是 f(x)＝ x 即 a－x＝ x 的两个不等的正根，所以 x2－ax＋ 1＝ 0 在 (0 ，＋∞ ) 上有两个不等的正根，2＝ a － 4>0，所以所以 a>2，所以 a 的取值范围为(2 ，＋∞ ) ．a>0，,二 )研究函数的最值,2)函数 f(x)＝ 4x2－ 4ax＋ a2－ 2a＋ 2 在区间 [0 ，2] 上有最小值3，求 a 的值．解： f(x)＝ 4x－a22－ 2a＋2，a①当2≤ 0，即 a≤0时，函数f(x) 在 [0 ， 2] 上是增函数．2所以 f(x) min＝f (0) ＝a－2a＋ 2.2由 a －2a＋2＝3，得 a＝1± 2.由于 a≤0，所以 a＝1－ 2.a②当 0< <2，即 0<a<4 时，2af ( x)min＝ f (2)＝－2a＋2.1由－ 2a＋ 2＝ 3，得a＝－ ?(0 ， 4) ，舍去．2a2③ 当2≥ 2，即 a ≥4时，函数 f ( x ) 在[0 ，2] 上是减函数， f ( x ) min ＝ f (2) ＝ a － 10a ＋ 18. 由 a 2－ 10a ＋ 18＝ 3，得 a ＝5± 10.由于 a ≥4，所以 a ＝ 5＋ 10. 综上所述， a ＝ 1－2或 5＋ 10.2x(2018 ·启东检测 ) 设函数 f ( x ) ＝ x － 2在区间 [3 ，4]上的最大值和最小值分别为M ， m ，2m则 ＝ ________．M8答案： 32x 4分析：由题意可知 f ( x ) ＝x － 2＝ 2＋ x － 2，所以 f ( x ) 在区间 [3 ， 4] 上单一递减，所以 M4 4 2 16 8＝ f (3) ＝6， ＝ f ＝ 4，所以 m＝ 2＋ (4) ＝ 2＋ ＝ ＝ .3－ 2 m 4－ 2 M 6 3, 三 ) 研究函数的图象,3) 已知 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时， f ( x ) 为二次函数，且知足 f (2) ＝ 1， f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上的两个零点为 1和3.(1) 求函数 f ( x ) 在 R 上的分析式；(2) 作出 f ( x ) 的图象，并依据图象议论对于 x 的方程 f ( x ) － c ＝ 0( c ∈ R) 的根的个数．解： (1) 由题意，当 x >0 时，设 f ( x ) ＝ a ( x －1) ·(x － 3)( a ≠0) ， 由于 f (2) ＝ 1，所以 a ＝－ 1，所以 f ( x ) ＝－ 2 ＋4 －3.xx当 x <0 时，－ x >0，由于 f ( x ) 为 R 上的奇函数， 所以 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ [ － ( － x ) 2＋ 4( － x ) － 3] ＝ x 2＋4x ＋ 3，即当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 2＋ 4x ＋ 3.由于 f ( x ) 是奇函数，所以 f (0) ＝0，2－ x ＋ 4x － 3， x >0，所以 f ( x ) ＝ 0， x ＝ 0，x 2＋4x ＋ 3，x <0.(2) 作出 f ( x ) 的图象 ( 以下图 ) ，由 f ( x ) － c ＝ 0 得 c ＝ f ( x ) ，在图中作 y ＝ c ，依据交点议论方程的根：当 c ≥3或 c ≤－ 3 时，方程有 1 个根；当 1<c <3 或－ 3<c <－ 1 时，方程有 2 个根；当 c ＝－ 1 或 c ＝ 1 时，方程有 3 个根； 当 0<c <1 或－ 1<c <0 时，方程有 4 个根；当 c ＝0 时，方程有 5 个根．(2018 ·淮安期中 ) 已知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象对于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“ Z ”形折线段 ABOCD ，不含 A (0 ，1) ， B (1 ，1) ，O (0 ，0) ， C ( － 1，－ 1) ， D (0 ，－ 1) 五个点，则知足题意的函数 f ( x ) 的一个分析式为 ____________________________ ．答案： f ( x ) ＝ － 1，－ 1<x <0， x ，－ 1<x <0，x ， 0<x <1 或 f ( x ) ＝1， 0<x <1分析：知足题意的函数 f ( x ) 的图象是线段 和 ( 除端点 ) 或许线段和(除端点 )，OB CDABOC－ 1，－ 1<x <0，x ，－ 1<x <0，所以函数 f ( x ) 的一个分析式为f ( x ) ＝ x ， 0< <1或 f ( x ) ＝ 1， 0< <1.xx,四 ) 函数图象与性质的综合应用,4) (2018 ·无锡一中月考 ) 已知定义在 R 上的函数 y ＝ f ( x ) 知足条件 f ( x33＋ 2) ＝－ f ( x ) ，且函数 y ＝ f ( x － 4) 为奇函数，给出以下四个命题：① 函数 f ( x ) 是周期函数； ② 函数 f ( x ) 的图象对于点 ( －3， 0) 对称；4③ 函数 f ( x ) 为 R 上的偶函数；④ 函数 f ( x ) 为 R 上的单一函数．此中真命题为 ________．( 填序号 )答案：①②③分析： f ( x ＋ 3) ＝ f x ＋ 3 ＋ 3＝－ f x ＋ 3 ＝ f ( x ) ，所以 f ( x ) 是周期为 3 的周期函数，2 2 233 ①正确；函数 f x －4 是奇函数，其图象对于点(0 ，0) 对称，则 f ( x ) 的图象对于点 －4， 03 ＋ x33 － x ＋ －f ( x ) 的图象对于点2，所以 f ( － x )对称，②正确；由于－4， 0 对称，－ 4＝2＝－ f － 3＋ x . 又 f －3＋ x ＝－ f － 3 ＋ x ＋ 3 ＝－ f ( x ) ，所以 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，所以函数 f ( x )2 22 2 R 上的偶函数，③正确； f ( x ) 是周期函数，在 R 上不行能是 函数，④ ．故真命 的序号 ①②③.(2018 ·徐州期中 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x － e －x ＋ 1(e 自然 数的底数) ．若 f (2 x － 1) ＋ f (4－ x 2)>2 ， 数 x 的取 范 是 ________．答案： ( －1， 3)分析：令 g ( x ) ＝ f ( x ) －1＝ e x － e －x ， g ( x ) 奇函数，且在 R 上 增．因 f (2 x－ 1) ＋ f (4 － x 2)>2 ，所以 f (2 x － 1) － 1＋ f (4 － x 2) － 1>0，即 g (2 x － 1) ＋ g (4 － x 2)>0 ，解得 g (2 x－ 1)> g ( x 2－ 4) ，即 2x －1>x 2－ 4，解得 x ∈( － 1， 3) ．1. (2017 ·全国卷Ⅱ ) 已知函数 f(x) 是定 在 R 上的奇函数，当 x ∈( －∞， 0) ， f ( x )＝ 2x 3＋ x 2， f (2) ＝ ________．答案： 12 分析：因 函数 f ( x ) 奇函数，所以 f (2) ＝－ f ( －2) ＝－ [2 ×( － 2) 3＋( － 2) 2] ＝ 12.2. (2018 ·江 卷 ) 函数 f(x) ＝ log 2x － 1的定 域 ________．答案： [2 ，＋∞)log 2x － 1≥ 0，分析： 由 解得 x ≥2，即 x ∈[2 ，＋∞ ) ．x ＞0.3. (2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 f ( x ) 是定 域 ( －∞，＋∞ ) 的奇函数， 足f(1－ )＝(1x f＋ x ) ．若 f (1) ＝ 2， f (1) ＋f (2) ＋ f (3) ＋⋯＋ f (50) ＝ ________．答案： 2分析：∵ f ( x ) 是定 域 ( －∞，＋∞ ) 的奇函数， 足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ，∴ f ( x ) 是周期 4 的函数， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋f (4) ＝ f (1) ＋ f (0) ＋f ( － 1) ＋f (0) ＝ 0，∴ f (1) ＋f (2) ＋⋯＋ f (50) ＝ f (1) ＋f (2) ＝ f (1) ＋ f (0) ＝ 2.|x| ＋ 2，x<1，4. (2017 ·天津卷 ) 已知函数f(x) ＝ 2a ∈ R ，若对于x 的不等式x ＋ x ， x ≥ 1.x ＋a 在 R 上恒建立， a 的取 范 是 ________．f ( x ) ≥ 2 答案： [ －2， 2]x的 象下方，分析： ( 解法 1) 由 意可知，函数 y ＝ f ( x ) 的 象恒不在函数 y ＝ ＋ a2x画出函数 y ＝ f ( x ) 和函数 y ＝ 2 的 象，如 所示．xxx当 a ＝0 ， 然 f ( x )> 2＋ a ；当 a <0 ，函数y ＝ 2＋ a 的 象由函数y ＝2 的象向右平移 |2 a |个 位 度获得．由 可知，当函数y＝x＋ a 在x < 2a部分的 象－2点 (0 ， 2) 时， a 获得最小值， 此时 a 2 a >0时，函数 y ＝ x ＋ a 的图象由函数 y ＝ x＝－ ；当 22的图象向左平移 |2 a | 个单位长度获得，由图可知，当函数y ＝ x在 x >－ 2a 部分的图象＋2 a经过点 (0 ，2) 或与函数 y ＝ f ( x ) 在 x >1 部分的图象相切时， a 获得最大值，而经过点 (0，2)a 2 ，当函数 y x ＋ a 在 x > － 2a 部分的图象与函数 y ＝ f ( x ) 在 x >1部分的图象相切 时， ＝ ＝22 2 1时，设切点为 P ( x 0， y 0)( x 0>1) ，由于 x >1 时， f ′ ( x ) ＝ 1－ 2，则 1－ 2＝ ，解得 x 0＝ 2，所x x 0 2 y 3. P (2 3) y x x > 2a 2 3a 以 0＝又点 ， 在函数 ＝ ＋ a 在 部分的图象上，所以 ＋ a － ＝ ，解得2 2＝2，所以 a 的最大值为 2. 综上所述， a 的取值范围是 [ －2， 2] ．( 解法 2) 不等式f ( ) ≥ x ＋ a 可转变为－ f ( x ) ≤ x＋≤ f ( x ) ，当 x <1 时，有－ | x | －2≤ xx 2 2 a2xxx x＋ a ≤ | x | ＋2，即－ | x | － 2－ 2≤a ≤ | x | ＋ 2－ 2. 由于当 x <0 时，－ | x | － 2－ 2＝ 2－ 2<－ 2，| x |x 3xx3xx x ＋2－ ＝－ ＋ 2>2，当 0≤ x <1 时，－ | x | － 2－＝－－2≤－ 2， | x | ＋ 2－ ＝ ＋2≥2，2 2222 2 所以－ 2≤ ≤2；当 x ≥1时，有－ x 2 x≤23x 2 x 2 3x 2－ ≤ ＋ ＋ ，即－－ ≤≤＋.又－ － ≤－ax 2ax x2x a 2 x 2 xx 22 3， 2＋x ≥ 2，所以－ 2 3≤ a ≤ 2. 综上， a 的取值范围是 [ － 2， 2] ．5. (2016 ·浙江卷 ) 已知函数 g(x) ＝ ax 2－ 2ax ＋ b(a ＞0) 在区间 [1 ， 3] 上有最大值 5，最小值 1. 设 f(x) ＝ g （x ） .x(1) 求 a ， b 的值；＋ k · |lg 2(2) 若 f(|lg x － 1|) x － 1| － 3k ≥1对随意 x ∈[1 ， 10) ∪(10 ， 100] 恒建立，求 k 的取值范围． －1)2＋解： (1) ( x ) ＝ ( － ，g a xba由于 a ＞ 0，所以 g ( x ) 在区间 [1 ，3] 上是增函数，g （ 1）＝ 1， a ＝ 1， 故 解得 b ＝ 2.g （ 3）＝ 5，2(2) 由已知和 (1) 可得 f ( x ) ＝ x ＋ x － 2，x － 1|) ＋k · |lg2f (|lgx － 1| － 3k ≥1，22k即 |lgx － 1| ＋|lg x － 1| － 2＋ |lg x － 1| － 3k ≥1. 令 t ＝|lg x － 1| ，则 t ∈(0 ， 1] ，t ＋2＋ 2 kt － 3k －3≥0对随意 t ∈(0 ， 1] 恒建立．2＋ 2k令 h ( t ) ＝ t ＋－ 3k －3， t ∈ (0 ，1] ，则 t① 当 k ＝－ 1 时， h ( t ) ＝t ≥0建立；② 当 k ＜－ 1 2＋ 2k时，h ( t ) ＝ t ＋ t － 3k － 3 在 (0 ，1] 上为增函数， t → 0 时，h ( t ) →－∞，舍去；③ 当 k ＞－ 1时， h ( t ) 在(0 ， 2＋ 2k ] 上为减函数，在 (2＋ 2k ，＋∞ ) 上为增函数，1若2＋ 2k ＜ 1，即－ 1＜ k ＜－ 2时， h ( t ) min ＝h (2＋2k ) ＝ 2 2＋ 2k － 3k －3≥0，得－1≤ ≤－ 1，即－ 1＜ ＜－ 1；921若 2＋ 2k ≥ 1，即 k ≥－ 2时， h ( t ) 在(0 ，1] 上为减函数， h ( t ) min ＝ h (1) ＝－ k ≥0，即－12≤ k ≤ 0.综上， k 的取值范围是 [ －1， 0] ．( 此题模拟高考评分标准，满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ＝ 1＋ x ＋ 1－x .(1) 求函数 f ( x ) 的定义域和值域；(2) 设 F ( x ) ＝a· ( f 2( x ) － 2) ＋ f ( x )( a 为实数 ) ，求 F ( x ) 在 a <0 时的最大值 g ( a ) ；2(3)22≤ g ( a ) 对 a <0 时全部的实数a 及 t ∈[ － 1，1] 恒对(2) 中 g ( a ) ，若－ m ＋ 2tm ＋ 建立，务实数 的取值范围．m解：(1) 由 1＋ x ≥0且 1－x ≥0，得－ 1≤ x ≤1，所以函数 f ( x ) 的定义域为 [ － 1，1] ．(2分)又 f 2( x ) ＝ 2＋ 2 1－ x 2∈ [2 ， 4] ，由 f ( x ) ≥0得值域为 [ 2，2] ．(4 分)(2) 令t ＝ ( x ) ＝1＋ ＋ 1－ x ，则 1－ x 2＝ 1 2－ 1，fx2t1 212所以 F ( x ) ＝ m ( t ) ＝ a ( 2t － 1) ＋ t ＝ 2at ＋ t － a ， t ∈ [ 2， 2] ． (6 分 )1 2由题意知 g ( a ) 即为函数 m ( t ) ＝ 2at ＋t － a ， t ∈[ 2， 2] 的最大值．注意到直线 t ＝－ 1是抛物线 ( ) ＝1 2＋ － a 的对称轴．a m t 2at t由于 <0 时，函数 y ＝ ( ) ， ∈ [ 2， 2] 的图象是张口向下的抛物线的一段，am t t12① 若 t ＝－ a ∈(0 ， 2] ，即 a ≤－ 2 ，则 g ( a ) ＝m ( 2) ＝ 2.(7分 )1 2 1 1 1② 若 t ＝－ a ∈( 2， 2] ，即－ 2 <a ≤－ 2，则 g ( a ) ＝ m ( －a ) ＝－ a －2a .(8 分 )③ 若 t11( )＝ (2) ＝a ＋ 2.(9 分 )＝－ ∈(2 ，＋∞ ) ，即－< <0，则a2 ag ama 1<0，＋2，－ <2 a综上，有 g ( a ) ＝－ a － 1 2 1， (10 分)，－ 2 ＜ a ≤－ 22a22， a ≤－ 2 .(3) 易得 g ( a ) min ＝ 2， (11 分 )由－ 2＋2＋ 2≤ ( ) 对 a <0 恒建立，m tmg a22即要使－ m ＋ 2tm ＋2≤ g ( a ) min ＝ 2恒建立 ? m －2tm ≥0，22mt ＋ m ，对全部的 t ∈ [ － 1， 1] ，h ( t ) ≥0建7h2（－ 1）＝ 2 m m ≥0，只要＋(14 分)h （ 1）＝－ 2 ＋ 2≥0，m m求出 m 的取值范围是 ( －∞，－ 2] ∪{0} ∪[2 ，＋∞ ) ． (16 分 )1. 设函数 y ＝ f(x ＋1) 是定义在 ( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) 上的偶函数，在区间 ( －∞， 0)上是减函数，且图象过点 (1 ，0) ，则不等式 (x －1)f(x) ≤0 的解集为 ________．答案： {x|x ≤0 或 1<x ≤2}分析：函数 y ＝ f(x ＋1) 的图象向右平移 1 个单位长度获得 y ＝ f(x) 的图象，由已知可得 f(x) 的图象的对称轴为 x ＝ 1，过定点 (2 ，0) ，且函数在 ( －∞， 1) 上单一递减，在 (1 ，＋∞) 上单一递加，则 f(x) 的大概图象以下图．不等式 (x －1)f(x) ≤0 可化为x>1，x<1，或f （ x ）≥ 0.f （ x ）≤0 由图可知切合条件的解集为{x|x ≤0 或 1<x ≤2} ．a2. 已知函数 f(x) ＝ 2x － x 的定义域为 (0 ， 1](a 为实数 ) ．(1) 当 a ＝ 1 时，求函数 y ＝ f(x) 的值域；(2) 求函数 y ＝f(x) 在区间 (0 ，1] 上的最大值及最小值， 并求出当函数 f(x) 获得最值时x 的值．1解： (1) 当 a ＝1 时， f(x) ＝ 2x －x ，任取 1≥x 1＞ x 2＞ 0，1 1 1 则 f(x 1) － f(x 2) ＝ 2(x 1－ x 2) － ( x 1 － x2 ) ＝ (x 1－ x 2)(2 ＋x 1x 2 ) ． ∵ 1 ≥x 1＞ x 2＞ 0，∴ x 1－ x 2＞ 0，x 1x 2＞ 0.∴ f(x 1) ＞ f(x 2) ，∴ f(x) 在(0 ， 1] 上单一递加，无最小值，当 x ＝1 时获得最大值1，∴ f(x) 的值域为 ( －∞， 1] ．(2) 当 a ≥0时， y ＝ f(x) 在 (0 ， 1] 上单一递加，无最小值，当 x ＝1 时获得最大值 2－a ；－ a当 a ＜0 时， f(x) ＝ 2x ＋ x ，a当－ 2≥ 1，即 a ∈( －∞，－ 2] 时， y ＝ f(x) 在 (0 ，1] 上单一递减，无最大值，当 x＝1 时获得最小值 2－ a ；a aa当－ 2＜ 1，即 a ∈( － 2， 0) 时， y ＝ f(x)在(0，－ 2] 上单一递减，在 [－2， 1]a上单一递加，无最大值，当x ＝－ 2时获得最小值 2 － 2a.3. (2018 ·扬州中学月考 ) 设函数 f(x) ＝ 1，1≤ x ≤ 2，－ ax ，x ∈ [1 ，3] ，g(x) ＝f(x)x －1， 2<x ≤3， 此中 a ∈ R. 记函数 g ( x ) 的最大值与最小值的差为 h ( a ) ．(1) 求函数 h ( a ) 的分析式；(2) 画出函数 y ＝ h ( a ) 的图象，并指出 h ( a ) 的最小值．1－ ax ， 1≤ x ≤2，解： (1) 由题意知 g ( x ) ＝（ 1－a ） x － 1，2<x ≤ 3，当 a<0时，函数 g( x)是[1，3]上的增函数，此时 g( x)max＝ g(3)＝2－3a， g( x)min＝ g(1)＝1－a，所以h( a) ＝ 1－ 2a；当 a>1时，函数 g( x)是[1，3]上的减函数，此时g( x)min＝ g(3)＝2－3a， g( x)max＝ g(1)＝1－a，所以h( a) ＝ 2a－ 1；当 0≤a≤1时，若x∈[1 ， 2] ，则g( x) ＝ 1－ax，有g(2) ≤g( x) ≤g(1) ；若 x∈(2，3]，则 g( x)＝(1－ a) x－1，有 g(2)< g( x)≤ g(3)，所以 g( x)min＝ g(2)＝1－2a，而g(3) －g(1) ＝ (2 － 3a) － (1 －a) ＝ 1－ 2a，1故当 0≤a≤2时，g( x) max＝g(3) ＝ 2－ 3a，有h( a) ＝ 1－a；1当2<a≤ 1 时，g( x) max＝g(1) ＝ 1－a，有h( a)＝a. 1－ 2a，a<0，11－a，0≤a≤，2综上所述， h( a)＝1a，2<a≤1，2a－ 1，a>1.(2) 画出y ＝ () 的图象，以下图，数形联合可得() min＝11() ＝ .h a h a h22。

专题二 三角函数、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质[考情分析]三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命题，难度为中档偏下.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡ 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12⎦⎤＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D. 答案：D3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．答案：B5．(2015·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14 ＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 答案：D6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换[方法结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：[题组突破]1．(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则g (x )的图象可能是由f (x )的图象( )A ．向右平移2π3个单位得到的B ．向右平移π3个单位得到的C ．向右平移7π12个单位得到的D ．向右平移π6个单位得到的解析：由题意可得，在函数f (x )＝sin 2x 的图象上，(π8，y )关于对称轴x ＝π4对称的点为(3π8，y )，而17π24－3π8＝π3，故g (x )的图象可能是由f (x )的图象向右平移π3个单位得到的． 答案：B2．(2017·河西五市联考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )。

专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．－14≤a <0B ．a ≤－14C ．－1≤a ≤－14D ．a ≤－1解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋a ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋2 ]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2 ]． 答案：(－∞，－1＋2 ]函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式 (1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象． (2)伸缩变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝kf (x )的图象； y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (kx )的图象． (3)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )的图象． (4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方y ＝|f (x )|的图象， y ＝f (x )的图象―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧y ＝f (|x |)的图象．[典型例题]命题角度一 函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x －e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e －xx 2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e>2，故排除C ，选B.(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB＝tan x ，所以BP ＝tan x ， 所以AP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C. 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP＝BC 2＋CP 2＋AD 2＋DP 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫1－1tan x 2＋1＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan x 2.当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π4≤x ≤π，则APOA＝tan(π－x )＝－tan x ， 所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2x ， 所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B. 法二：当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二 函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2.【答案】 ⎝⎛⎭⎫－94，2对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．[对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B.因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ，所以f (－x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋e x－1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期．(2)若f (x ＋T )＝1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期．(3)若f (x ＋T )＝－1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期．(4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )． (2)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b 2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一 函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.(2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式．命题角度二 函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数， 所以g (x )max ＋g (x )min ＝0. 因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ， m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________． 解析：因为f (x ＋2)＝－1f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝52，所以f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．[对点训练]1．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x，因为e 2>1，所以e x f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x ，因为e 3<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x 不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cosx －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ，因为a >0，b >0，所以b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－12a －2b ≤－52－2＝－92，所以－12a －2b 的上确界为－92，故选A.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， 所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或x＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5B.12C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211＝f ⎝⎛⎭⎫－611＝f ⎝⎛⎭⎫611，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509＝f ⎝⎛⎭⎫49，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247＝f ⎝⎛⎭⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B.11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝1x ，得k ＝1m .又ln(2m )＝km －3，解得m ＝12e 2，则k ＝2e 2.由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。