高考数学选择题常考考点专练16

高考数学复习考点题型专题提升练习专题16立体几何中的最值问题一、单项选择题1．[2021·湖北武汉模拟]某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．3C．2D．12．[2021·湖北黄冈模拟]在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC，AB⊥BC，O为AC中点，OS＝OC＝1，则三棱锥S-ABC体积最大值为()A．12B．34C．13D．163．[2021·山东日照模拟]在棱长为3＋1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则()A．O1B＝2r1B．r1＋r2＝6C．这两个球的体积之和的最小值是3πD．这两个球的表面积之和的最小值是4π4．点M ，N 分别是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动．若P A 1∥平面AMN ，则P A 1的长度范围是()A ．[2，5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤322，5 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤322，3 D ．[2，3] 二、多项选择题5.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，P 是A 1B 上的一动点，则下列选项正确的是()A ．DP 的最小值为355B ．DP 的最小值为 5C ．AP ＋PC 1的最小值为 6D ．AP ＋PC 1的最小值为17056．[2021·江苏常熟中学模拟]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别为棱BC ，CD ，CC 1的中点，P 是线段A 1C 1上的动点(含端点)，则()A ．PM ⊥BDB ．AC 1∥平面EFMC ．PE 与平面ABCD 所成角正切值的最大值为2 2D ．当P 位于C 1时，三棱锥P -CEF 的外接球体积最小三、填空题7．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．8.[2021·广东珠海二模]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为平面AA1C1C内的动点，B1E＝2，则AE长度的最小值为________．9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上，且D1M⊥MN，则线段BN的长度的最大值为________，此时，三棱锥M-ACD1的体积为________．四、解答题10．[2021·山东济南市高三一模]已知正方体ABCD-A1B1C1D1和平面α，直线AC1∥平面α，直线BD∥平面α.(1)证明：平面α⊥平面B1CD1；(2)点P为线段AC1上的动点，求直线BP与平面α所成角的最大值．。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题16 函数的零点与方程的解考点知识1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝3x－ln x的零点所在区间是()A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝3x－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝32－ln2>0；当x＝3时，y＝1－ln3<0，两函数值异号，所以函数y＝3x－ln x的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是() A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n ，故有12n≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,33x-－log2x3＝0，则() A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0. 设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，g (1)＝1，即g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g (1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)， 由函数单调性可知，x 3>1， 即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点() A ．(－2，－1) B ．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2) 答案AD解析f(－2)＝1e2>0，f(－1)＝1e－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a －c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c －b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－log|x|的零点个数是()12A．5B．4C．3D．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝log|x|的图象如图所示，则y＝12f(x)－log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.12(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为()A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f (x )在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个． 故f (x )在[0,2023]上有406个零点， 即f (x )＝0在区间[0,2023]上有406个根． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为() A ．3B ．7C ．5D ．6 答案B解析根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7. (2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点． 题型三函数零点的应用 命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为() A ．(22－6,0) B ．(23－6,0) C ．(－2,0) D ．(25－6,0) 答案D解析作出函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ， 且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0， 则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上， 代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)， 所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点， 由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)． 命题点2根据函数零点的范围求参数 例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋axx ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x－1x，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y ＝3x ，y ＝－1x在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增． 当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，43.思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2 答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x－2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x x ，x >0，x 2＋2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a 的取值范围为() A ．(－1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1eC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪{－1}答案B 解析设h (x )＝ln x x(x >0)，则h ′(x )＝1－ln x x2， 令h ′(x )>0，得0<x <e ， 令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点， 所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，1e .课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4) 答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23<0，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为() A ．(0,0.5)，f (0.125) B ．(0,0.5)，f (0.375) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.25) 答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52，即f (0.25)． 3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x ≤0，log 2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0， 得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4， 作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点， 所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点， 综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎨⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x <0，1＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞) 答案A解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2 答案C解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6 答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]， f (x )＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x|＝x0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0， 即存在x 0，使|log 2x 0|－1＝x 0， 故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f (x )＝4x ，则函数y ＝f (x )－2x ＋1的零点为________． 答案1解析由f (x )－2x ＋1＝4x －2x ＋1＝0，得2x (2x －2)＝0，x ＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________． 答案f (x )＝x 2－1 (答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)． 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根， 即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点， 当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x ≤1，(x －2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x －1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案A解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x－1|＋1＝⎩⎨⎧e x，x ≥0，2－e x，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1＝1x－sin x ， 所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ， 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －18，e －16 D ．(0，e －1) 答案B解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，∴⎩⎨⎧ 6m >e －1，4m <e －1，即e －16<m <e －14. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ， 则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2， h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点， 只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。

2022年高三毕业班数学考点归纳变式演练16 三角恒等变换（新高考解析版）1、专题16三角恒等变换专题导航名目常考点01两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用1常考点02两角和与差的正切公式的应用4常考点03二倍〔半〕角公式的应用6常考点04简洁的三角恒等变换---化简与证明9常考点05三角函数模型的应用11常考点06函数的图象与性质的综合应用16易错点01忽视角的范围致误21专项训练〔全卷共22题〕22专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点01两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例1】〔2021·全国高考真题〔文〕〕已知，则〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.应选：B2、.【点睛】此题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.n【典例2】〔2021·全国高三其他模拟〕已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】依据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后依据位置关系推断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.【详解】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，所以，又因为，所以，应选：D.【技巧点拨】1.三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特别角的三角函数转化为特别角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之3、间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而到达解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号改变规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应留意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应留意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．n3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)依据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一4、个三角函数值；(4)写出α的大小．【变式演练1】〔2021·全国高考真题〔文〕〕tan255°=A．－2－B．－2+C．2－D．2+【答案】D 【分析】此题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础学问、基本计算能力的考查．【详解】=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特别角的三角函数值、运算求解能力．【变式演练2】〔2021·山东聊城高三期中〕角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则〔〕A．B．C．D．【答案】A 【解析】由角的终边经过点，得，因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，所以，应选：.n【变式演练3】〔2021·河南鹤壁5、高考模拟〕平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．【答案】【解析】由题意知：，，由，得，，故答案为：.常考点02两角和与差的正切公式的应用【典例1】〔2021·广东高三其他模拟〕我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.依据三角学学问可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.【答案】【解析】依据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，所以.故答案为6、：.【典例2】〔2021·安徽高三其他模拟〕已知，为锐角，，，则n〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以.所以，，又，则.应选：C.【技巧点拨】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要娴熟，精确，而且要熟识公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟识公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往简单被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培育从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟识了公式的逆用和变形应用后，才能真正把握公式的应用．提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β7、，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【变式演练1】〔2021·河南焦作市〕若，则【答案】【解析】因为，所以，解得，则应选：A.【变式演练2】〔2021·贵溪市试验中学高二期末〕的值是_______.【答案】n【解析】由进行转化，可得答案.【详解】解：由故答案为：.【变式演练3】〔2021·湖南衡阳市八中高三模拟〕已知为锐角，，则〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由正切的二倍角公式求得，再由可求.【详解】因为，所以.应选：A.常考点03二倍〔半〕角公式的应用【典例1】〔2021·全国高考真题〔文〕〕若，则〔〕A．B．C．D．【答8、案】An【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.应选：A.【典例2】〔2021·全国高考真题〕已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A．B．C．D．【答案】B【分析】首先依据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，应选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的学问点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，依据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.【技巧点拨】19、.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清晰已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．留意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时肯定要留意公式成立的条件和角之间的关系．(2)留意特别角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，肯定要考虑引入特别角，把“值变角”构造适合公式的形式．n2.已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【变式演练1】(2021年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．【答案】【解析】，，当时，，故函数的最小值为．【变式演练2】〔2021·全国高考真题〕已知∈〔0， 10、〕，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，应选B．【点睛】此题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，推断正余弦正负，运算精确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，讨论角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．【变式演练3】〔2021·河南高一月考〕已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的值.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕2n【解析】〔Ⅰ〕由题意得：原式〔Ⅱ〕，=．常考点04简洁的三角恒等变换---化简与证明【典例1】〔11、2021·湖南·长郡中学〕设，，化简【答案】【解析】因为，，所以，【典例2】〔2021·重庆一中高三其他模拟〕已知，，，，则______．【答案】【解析】留意综合已知条件，进一步缩小的范围，以及的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出，,的值，由，利用两角差的正弦公式计算.【详解】，∴，，∴，又∵，n∴，∴，，,又∵，∴，又∵，∴，∴,故答案为：.【技巧点拨】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间12、的差异与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以关心我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较冗杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提示：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要依据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，依据角的范围确定三角函数的符号．【变式演练1】〔2021·四川眉山市〕计13、算______.【答案】【解析】.故答案为：.【变式演练2】〔2021·千阳县中学高三其他模拟〕已知，则n__________．【答案】【解析】因为，所以，，故.故答案为：.【变式演练3】〔2021·陕西西安市·交大附中高三〕已知，则〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，即，则，.应选：A常考点05三角函数模型的应用【典例1】〔2021·重庆一中高三其他模拟〕筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为〔单位：〕〔在水面下则为负数〕，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，14、则与时间〔单位：〕之间的关系为n〔，，〕．则以下说法正确的有〔〕A．B．C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为【答案】ABD【解析】由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解．【详解】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，则，故B正确；振幅A为筒车的半径，即，故A正确；由题意，t=0时，d=0，，即，，∴，故C错误；，由d=6，得，得∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．应选：ABD．【典例2】〔2021·山西临汾市·高三其他模拟〔理〕〕海水受日月的引力，在肯定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常状况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与15、水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5〔1〕已知该港口的水深与时刻间的改变满足函数，n，画出函数图象，并求出函数解析式.〔2〕现有一艘货船的吃水深度〔船底与水面的距离〕为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙〔船底与洋底的距离〕，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：【答案】〔1〕作图见解析，；〔2〕该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.【解析】〔1〕由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；〔2〕由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.【详解】〔1〕由图象可知16、，，则有又因为时取最大值 6.5，可得，所以〔2〕货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港.令，得得，即，当时，；当时，，所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.【技巧点拨】三角函数模型的应用表达在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关学问解决问题．n【变式演练1】〔2021·浙江高二期末〕健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参与高考之前需要参与统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测17、得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则以下说法错误的选项是〔〕A．收缩压为B．C．舒张压为D．【答案】B【解析】通过观看图象得到该人的收缩压和舒张压，通过图象求出，，利用周期公式求出得解．【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；周期，知，所以选项B错误；由题得，所以所以选项D正确.应选：B【变式演练2】〔2021·兰州市第二中学高三月考〔文〕〕筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的状况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如下图，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动18、，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度〔单位：米〕与时间〔单位：秒〕之间的函数关系式是〔〕nA．B．C．D．【答案】A【解析】有题意设，依据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果.【详解】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，周期为120s，，最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，所以，当t=0时，H=0，，所以.应选：A.【变式演练3】〔2021·广东深圳市·高三二模〕摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如下图，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远19、处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为〔〕A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则nC．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【答案】BC【解析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可推断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可推断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可推断C；求出在上的单调性，结合当时，即可推断D.【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；分钟后，转过的角度为，则，B正确；周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，则，又高度相等，则关于对称，则，则；令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上20、单调递减，当时，，当时，，所以在只有一个解；应选:BC.常考点06函数的图象与性质的综合应用【典例1】〔2021·浙江高考真题〕设函数.〔1〕求函数的最小正周期；〔2〕求函数在上的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；〔2〕由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.n【详解】〔1〕由帮助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;〔2〕由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.【典例2】〔2021·江西新余市·高三期末〕已知函数.〔1〕已知，求的值；〔2〕当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕结合三角恒等改变化简得，得21、到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；〔2〕依据〔1〕求出当时，进而，原不等式等价于n，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.【详解】解：〔1〕，，.〔2〕当时，，可得，由，不等式可化为，有.令，，则，若不等式恒成立，则等价于，解得：.故实数的取值范围为.【技巧点拨】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．2.讨论y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．【变式演练1】〔2021·上海高考真题〕设常数，函数．〔1〕若为偶函数，求的值；〔2〕若，求方程在区间上的解．n【答案】(1);(2)或或.【分析】〔1〕依据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可22、求出，〔2〕先求出a的值，再依据三角形函数的性质即可求出．【详解】〔1〕∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；〔2〕∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】此题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【变式演练2】〔2021·全国高三〔文〕〕已知，函数．〔Ⅰ〕若，求的单调递增区间；〔Ⅱ〕若的最大值是，求的值．【答案】〔Ⅰ〕,;〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅰ〕由题意由，得．n所以单调的单调递增区间为，.〔Ⅱ〕由题意，由于函数的最大值为，即，从而，又，故．【变式演练3】〔2021·重庆市蜀都中学校高三月考〕已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为〔〕A．B．C．D．【答案】A23、【解析】，，将的图象向左平移个单位得到，所以，因为实数，满足，所以中一个取最大值1，一个取最小值不妨取，所以，解得，，解得，所以，，当时，，所以时，，因为，所以，所以的最小取值为，应选：A.n易错点归纳易错点01忽视角的范围致误【例1】已知sinα＝,sinβ＝,且α,β为锐角,则α＋β＝________.【错解】∵α、β为锐角,∴cosα＝＝,cosβ＝＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.又0α＋βπ.∴α＋β＝或α＋β＝π.【错因分析】没有留意到sinα＝,sinβ＝本身对角的范围的限制,造成错解．【正解】因为α,β为锐角,所以cosα＝＝,cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝co24、sαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝,又因为0α＋βπ,所以α＋β＝.【纠错笔记】依据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,依据三角函数值缩小角的范围；此题中(0,π)中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避开增解．专项训练〔全卷共22题〕总分：150分完成时间：120分钟一､选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.n1．〔2021·全国高考真题〕〔〕A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.25、应选：D.2．〔2021·全国高三其他模拟〕若，，则〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】依据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.【详解】由知，，或，则，由知，，或，则，，则应选：C3．〔2022·河南高三月考〕若，且，则〔〕A．-7B．C．D．-7或【答案】An【解析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；【详解】解：因为，所以，所以，得，则或，又，所以.应选：A4．〔2021·河北高三其他模拟〕已知函数()的最小正周期为，关于函数的性质，则以下命题不正确的选项是〔〕A．B．函数在上的值域为C．函数在上单调递增D．函数图象的对称轴方程为()【答案】D【解析】首先把函数的关系式进行恒26、等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.【详解】解：函数，由于函数的最小正周期为，即，所以，故A正确；故.对于B：由于，所以函数的最小值为，函数的最大值为3，函数的值域，故B正确；对于C：当时，，故函数在该区间上单调递增，故C正确；对于D：当，时，整理得()为函数的对称轴，故D错误.应选：D.5．〔2021·广东佛山市·高三其他模拟〕〔〕A．2B．－2C．1D．－1【答案】D【解析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】n6.〔2021·海南枫叶国际学校高一期中〕若，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以，所以，27、两边平方得，所以，应选：C7．〔2021·沈阳市·辽宁试验中学高三二模〕n攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省试验中学校内内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为〔〕．A．B．C．D．【答案】A【解析】分别用和表示出的一半，得出侧棱与底面边长的比，再依据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，28、，取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如下图：设侧棱长为，底面边长为，由题意知，，则，解得；由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，中，，所以，由，解得，所以，所以，解得，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为．应选:A．8．〔2021·四川高三月考〔理〕〕函数的图象在上恰有两个极大值点，则的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】Dn【解析】，设，因为，所以，函数的图象在上恰有两个极大值点，则，∴，所以．应选：D．二､选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.〔2021·广东高三期末〕已知函数f〔x〕＝sin〔ωx+〕﹣c29、os〔ωx+〕〔0＜ω＜6〕的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为〔〕A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为，由，，因为，所以，，由题意可得，，得，，因为，所以或.应选：BC.10．〔2021·湖南永州市·高三其他模拟〕已知函数，则以下结论中错误的选项是〔〕A．点是的一个对称中心点B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到C．在上单调递增nD．是方程的两个解，则【答案】BCD【解析】首先利用三角恒等改变将函数化为一个角的一种函数形式即，然后依据三角函数的性质进行推断.【详解】对于A：令，解得，当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错30、误；对于C：当时，，而函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；对于D：令，解得或，即或，所以，故D错误.应选：BCD.11．〔2021·福建高三三模〕已知函数的最小正周期为，则以下结论中正确的选项是〔〕A．对一切恒成立nB．在区间上不单调C．在区间上恰有1个零点D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称【答案】AB【解析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论.【详解】解：∵函数的最小正周期为，∴，.令，求得为最大值，故有对一切恒成立，故A正确；在区间上，，函数没有单调性，故B正确；在区间上，，函数有2个零点，故C错误；将函数的图像向左平移个单位长度，所得的图像关于不原点对称，故31、D错误，应选：AB.12．〔2021·福建师大附中高三其他模拟〕如下图，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的选项是〔〕nA．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到【答案】BC【解析】首先求出函数的周期，再依据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再依据正切函数的性质一一推断即可；【详解】解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；因为，所以，所以，因为所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；令，，解得，，所以函数的对称中心为，32、，故C正确；将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；应选：BC三､填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.13．〔2021·江苏高考真题〕已知=，则的值是____.【答案】【分析】直接根据两角和正弦公式展开，再平方即得结果.n【详解】故答案为：【点睛】此题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．〔2021·山东高三其他模拟〕若，则＝__________________．【答案】﹣【解析】先用诱导公式化简，再依据二倍角及变形，再求值即可.【详解】解：因为tan〔π﹣α〕＝﹣tanα＝4，所以tanα＝﹣4，则cos〔2α＋〕＝sin2α＝2sinαcosα＝33、＝＝﹣．故答案为：﹣．15．〔2021·全国高三其他模拟〕已知函数在上恰有10个零点，则m的取值范围是________________．【答案】【解析】先用降幂公式和帮助角公式化简，再转化为图象与轴交点个数问题.【详解】∵，∴，∵在上恰有10个零点，∴在上恰有10个解，∴，解得，故答案为：．16．〔2021·上海复旦附中高三模拟〕已知函数.若存在，对任意，都有成立.给出以下两个命题：n〔1〕对任意，不等式都成立.〔2〕存在，使得在上单调递减.则其中真命题的序号是__________.〔写出全部真命题的序号〕【答案】〔1〕〔2〕【解析】由帮助角公式可得，由题意可得是的最小值点，关于对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．【。

基本不等式及不等式的应用基础篇考点一基本不等式及其应用1.(2022广东深圳外国语学校月考，6)在下列函数中，最小值为2的是( )A.y=x+1xB.y=lg x+1lgx(1<x<10)C.y=x 2−2x+2x−1(x>1)D.y=sin x+1sinx (0<x<π2)答案C2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x，y>0，x+9y+xy=7，则3xy的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案C3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考，9)设a>0，b>0，a+b=1，则下列不等式中一定成立的是( )A.ab≤14B.√a+√b≥√2C.2a+2b≥2√2D.ba +4b≥8答案ACD4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0，b>0，且ab=4，则( )A.√a+√b≤2√2B.a 2b +b2a≥4C.log2a 2+b2a+b ≥1 D.2a(a-b)>18答案BC5.(多选)(2022新高考Ⅱ，12，5分)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( )A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC6.(2023届湖北摸底联考，14)若函数f(x)=a x+b x(a>0，b>0，a≠1，b≠1)是偶函数，则1 a +4b的最小值为.答案47.(2018天津，13，5分)已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则2a+18b的最小值为.答案148.(2019天津理，13，5分)设x>0，y>0，x+2y=5，则√xy的最小值为. 答案4√39.(2021浙江湖州中学月考)函数y=√2x−1+√5−2x(12<x<52)的最大值是.答案2√2考点二应用基本不等式求解最值考向一配凑法求最值1.(2023届辽宁鞍山质量监测，8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，经常应用于高中数学竞赛，主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a，b，x，y>0，则a 2x +b2 y ≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出，函数f(x)=2x +91−2x(0<x<12)的最小值为( )A.16B.25C.36D.49答案B2.(2022山东平邑一中开学考，6)实数a，b满足a>0，b>0，a+b=4，则a 2a+1+b2b+1的最小值是( )A.4B.6C.32D.83答案D3.(2023届福建龙岩一中月考，15)已知正实数a，b满足ab+a+b=3，则2a+b的最小值为.答案4√2-34.(2022天津南开中学模拟，13)若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则x−y(x+y)2的最大值为.答案185.(2022湖南湘潭三模，14)已知正数a，b满足a+b=5，则2a+1+12b的最小值为. 答案34考向二常数代换法求最值1.(2022河北邢台入学考，7)已知a>0，b>0，且a+b=2，则2a +12b的最小值是( )A.1B.2C.94D.92答案C2.(2022辽宁六校联考，7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2，若正实数a、b满足f(a)+f(2b)=m，则2a +3b的最小值为( )A.85B.8+4√35C.8√35D.2√105答案B3.(多选)(2021山东潍坊四中检测，10)已知a>1，b>0，且1a−1+4b=1，则下列命题正确的是( )A.a>2B.ab-b的最小值为16C.a+b的最小值为9D.1a−2+9b的最小值为2答案ABD4.(2021天津二模，14)已知正实数x，y满足x+y=1x +9y+6，则x+y的最小值是. 答案85.(2020天津，14，5分)已知a>0，b>0，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为.答案4考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考，7)函数f(x)=4x+12x +(√2)x( )A.2√2B.2√3C.4D.3√2答案C2.(多选)(2020新高考Ⅰ，11，5分)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2021天津，13，5分)若a>0，b>0，则1a +ab2+b的最小值为.答案2√2综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略考向一恒成立与能成立共存问题1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟，11)已知函数f(x)=-x-1，x∈[-2，2]，g(x)=x2-2x，x∈[-1，2]，下列结论正确的是( )A.∀x∈[-2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<-3B.∃x∈[-2，2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<1C.∃x∈[-1，2]，g(x)=a，则实数a的取值范围是-1≤a≤3D.∀x∈[-2，2]，∃t∈[-1，2]，f(x)=g(t)答案ABC2.(2022重庆巴南月考，14)已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是. 答案[12,+∞)考向二函数最值与不等式结合问题1.(2022重庆名校联盟联考，5)已知x>0、y>0，且2x +1y=1，若2x+y>m2+8m恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.(-1，9) B.(-9，1)C.[-9，1]D.(-∞，-1)∪(9，+∞)答案B2.(多选)(2023届重庆南开中学质检，10)已知正数x，y满足x+2y=4，若存在正数x，y使得12x +x≤t−2y−1y成立，则实数t的可能取值是( )A.2B.4C.6D.8答案CD3.(2021广东佛山南海石门中学模拟，5)已知x，y∈(0，+∞)，且x+y=1，若不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(−32,1)B.[−32,1]C.(-2，1)D.(−∞,−32)∪(1，+∞)答案A4.(2021浙江绍兴模拟，4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.(−235,+∞) B.[−235,1]C.(1，+∞)D.(−∞,−235)答案A5.(2021湖南师大附中月考，13)已知函数f(x)=x2+4，g(x)=ax，当x∈[1，4]时，f(x)的图象总在g(x)图象的上方，则a的取值范围为.答案(-∞，4)6.(2021广东云浮月考，15)已知f(x)=x2-2x+4，g(x)=a x(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[1，2]，都存在x2∈[-1，2]，使得f(x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围是.答案(0,14)∪(2，+∞)专题综合检测一、单项选择题1.(2022石家庄二中月考，9)下列命题为真命题的是( )A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a<b<0，则1a >1b答案D2.(2022辽宁丹东五校联考，9)设1a <1b<0，则( )A.a2>b2B.ab>b2C.a+b≥2√abD.2a+2b>2√2a·2b 答案D3.(2022河北曲阳一中月考，4)已知函数f(x)=log2x2·log2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )A.34B.32C.2D.4答案B4.(2022石家庄二中月考，6)若正数x，y满足x+3y=5xy，当3x+4y取得最小值时，x+4y的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案B5.(2022重庆涪陵实验中学期中，6)已知x>0，y>-1，且4x +1y+1=3，则x+y的最小值为( )A.4B.3C.2D.1答案C二、多项选择题6.(2022广州执信中学月考，11)设a，b∈R，则下列结论正确的是( )A.若a<b<0，则(a-1)2<(b-1)2B.若a+b=2，则2a+2b≥4C.若2a-2b>2-a-2-b，则a>bD.若a>b>0，且a+b=1，则a b>b a答案BCD7.(2022辽宁六校协作体期中，10)下列说法正确的是( )A.当xÎ(0，1)时，x√1−x2≤12B.sin2x+2sin 2x的最小值为2√2C.x 2x4+2≤√24D.若a>1，b>12，则2√(log2a)·[log2(2b)]1+log2(ab)≤1答案ACD8.(2022辽宁省部分中学期末，11)三元均值不等式:“当a、b、c均为正实数时，a+b+c3≥√abc3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A.若x>0，则x2+2x≥3B.若0<x<1，则x2(1-x)≤19C.若x>0，则2x+1x2≥3D.若0<x<1，则x(1-x)2≤19答案AC三、填空题9.(2022重庆七中期中，13)正数a，b满足1a +9b=1，若不等式a+b≥m对任意实数m恒成立，则实数m的最大值是.答案1610.(2022沈阳三十一中月考，15)已知a>b，关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在实数x0，使得a x02+2x0+b=0成立，则a 2+b2a−b的最小值为.答案2√211.(2022广东深圳实验学校月考，14)已知log2(a+4b)=2log2(2√ab)，则a+b的最小值是.答案9412.(2022广东阳春一中月考，16)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3}，则b c =，b+c+25a+2的最小值为.答案-56813.(2022河北曲阳一中月考，14)已知a，b∈R，且a>b2>0，则a2+1(2a−b)b的最小值是. 答案2。

一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ）A ．49B ．29C ．12D ．134．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．718 5．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．511．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．534 B ．532 C ．532 D ．13212．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3213．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2 14．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ） A ．12 B ．122± C ．1102± D ．3222± 15．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 18．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．19．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.20．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．21．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．22．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.23．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.24．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2x π的值介于1[0,]2的概率为 ． 25．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题26．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）27．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.28．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.29．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.30．已知0,0a b >>.(1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b +≥-．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．A6．B7．D8．B9．D10．A11．C12．B13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键. 4．C解析：C【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算. 5．A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()x xf x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．6．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】由已知α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m+2n,∴α在基底m, n下的坐标为(0,2).8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于1a >，所以1x x a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．C解析：C【解析】试题分析：先求得M（2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM=532，故选C．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．点评：简单题，应用公式计算．12．B解析：B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

专专9.2圆的专专一、单选题1. 已知圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，a ，b为正实数，则ab 的最大值为 ( )A. B.94C.32D.22. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C.D.3. 已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)D 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 30B. 40C. 60D. 805. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，，若动点M 满足||2||MA MO =，则OM ON ⋅的取值范围是( )A.B.C.D.6. 若平面内两定点A ，B 之间的距离为2，动点P 满足|||PB PA =，则tan ABP∠的最大值为( )A.2B. 1C.D. 7. 已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++= 8. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，ABC 内接于圆，且60BAC ︒∠=，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是( )A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 2211()22x y x +=<D. 2211()44x y x +=<9. 已知线段AB 是圆C ：224x y +=上的一条动弦，且||23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则的最小值为( )A. 1B. 1C. 2D. 2二、多选题10. 已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，||PB =D. 当PBA ∠最大时，||PB =11. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1:2，则圆C的方程为( )A. 224()33x y ++= B. 224(33x y +-=C. 224(3x y +=D. 224(3x y ++=12. 关于圆2221:2104C x y kx y k k +-++-+=，下列说法正确的是( ) A. k 的取值范围是0k >B. 若4k =，过(3,4)M 的直线与圆C 相交所得弦长为125160x y --=C. 若4k =，圆C 与圆221x y +=相交D. 若4k =，0m >，0n >，直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则128m n+恒成立13. 圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q在直线l 上，则下列结论正确的是( )A. 直线l 与圆C 相交B. ||PQ 的最小值是1C. 若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是314. 已知222{(,)|}A x y x y r =+=，222{(,)|()()}B x y x a y b r =-+-=，1122{(,),(,)}A B x y x y ⋂=，则( )A. 22202a b r <+<B. 1212()()0a x x b y y -+-=C. 1212,x x a y y b +=+=D. 221122a b ax by +=+三、填空题15. 已知P ，Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y -+-=与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为__________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点.D 若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为__________.17. 已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________.18. 已知圆O ：221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=__________.19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 四、解答题20. 已知两个定点(4,0)A -，(1,0)B -，动点P 满足||2||.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ： 4.y kx =-()Ⅰ求曲线E 的轨迹方程；()Ⅱ若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且90(COD O ︒∠=为坐标原点)，求直线l的斜率；()Ⅲ若12k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点．答案和解析1.【答案】B解：由已知，得圆1C ：22()(2)1x a y ++-=的圆心为1(,2)C a -，半径1 1.r = 圆2C ：22()(2)4x b y -+-=的圆心为2(,2)C b ，半径2 2.r =圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，1212,||C C r r ∴=+即3a b +=， 由基本不等式，得29()24a b ab +=，取等号时32a b ==， 故选：.B2.【答案】A解：直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||4422AB =+=，点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到直线的距离为：，所以点P 到直线的距离h 的最大值为22232+=，最小值为2222-=，则ABP 面积为，最大值为1223262⨯⨯=， 最小值为122222⨯⨯=， 所以ABP 面积的取值范围为[2,6]. 故选.A解：由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =，且点D 在圆内，设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，这时||d CD ===所以最小的弦长||2AB ==， 故选.B4.【答案】B解：圆 M 的标准方程为 22(3)(4)25x y -+-=， 即圆是以 (3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由 22(03)(44)925-+-=<，即点 (0,4)P 在圆内， 则最短的弦是以 (0,4)P 为中点的弦， 所以 225()92AC =+，所以 8AC =， 过 (0,4)P 最长的弦 BD 为直径， 所以 10BD =，且 AC BD ⊥， 故而故选.B5.【答案】D解：设(,)M x y ，因为动点M 满足||||MA MO = 则222222(2)22(2)8x y x y x y ++=+⇒+-=，即(,)(1,0)[OM ON x y x ⋅=⋅=∈-， 故选.D解：以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图，则(1,0)A ，(1,0)B -，设，2222(1)2(1)x y x y ++=-+，整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+=，根据图象可知，当BP 为圆C 切线时，tan ABP ∠取得最大值， 此时BP == 则tan 1PC ABP PB ∠===， 故选：.B7.【答案】D解：圆M 方程的圆心(1,1)M ，半径2r =， 根据切线的性质及圆的对称性可知PM AB ⊥， 则||||42||||PAMPM AB SPA AM ⋅==⋅，要使||||PM AB ⋅最小，只需最小，即最小，此时PM l ⊥，min |212|||55PM ++∴==，22||||||1PA PM AM =-=， 过点M 且垂直于l 的方程为11(1)2y x -=-，将其与l 的方程联立，解得(1,0)P -， 以PM 为直径的圆的方程为，结合圆M 的方程两式相减可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故选.D(,)P x y8.【答案】D解：设BC 中点是D ，圆周角等于圆心角的一半，120BOC ︒∴∠=，60BOD ︒∠=，在直角三角形BOD 中，有12OD =， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 考虑A ，B 重合的极限情况，此时30OAC ︒∠=， 则直线AC 所在的方程为3333y x =-， 联立，得或故C 的横坐标为12-，AC 的中点横坐标为1.4因为A ，B 不重合，所以D 点横坐标14x <， 故选：.D9.【答案】C解：由题意，过圆心C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，又圆C ：224x y +=，圆心为(0,0)C ，半径2r =， 所以，则||||2||2||PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=， 当PC AB ⊥时，且D 在线段PC 上时，||PD 取最小值， 由点C 到直线40x y +-=的距离，所以，所以的最小值为42 2.-故选.C10.【答案】ACD解：由点(4,0)A ，(0,2)B ， 可得直线AB 的方程为240.x y +-=则圆心(5,5)=，故P 到直线AB 410<，42<，所以A 正确，B 错误.由题意可知，当直线PB 与圆相切时，PBA ∠最大或最小， 由于圆心到B 的距离为，此时，故C ，D 都正确.故选.ACD11.【答案】AB解：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π， 设圆心(0,)a ，半径为 r ， 则sin13r π=，cos||3r a π=，解得r =243r =，||3a =，即3a =±，故圆C 的方程为224(.33x y +±= 故选.AB12.【答案】ACD解：对于A ，若方程22212104x y kx y k k +-++-+=表示圆，则，化简得0k >，故A 正确；对于B ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.过(3,4)M 的直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线3x =的距离为1，则过(3,4)M 的直线与圆 C 相交所得弦长为2222123-=； 过(3,4)M 的直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则直线方程为，即430kx y k -+-=，设圆心到直线430kx y k -+-=的距离为d ，因为弦长为23，则222223d -=，解得1d =， 故，解得125k =， 所以直线方程为，即125160x y --=，故满足条件的直线方程为3x =或125160x y --=， 故B 错误；对于C ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.圆221x y +=的圆心为，半径为1，所以两圆心间的距离为，又21521-<<+，故两圆相交，故C 正确；对于D ，若4k =，则圆C 的圆心为，又直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则21m n +=，又0m >，0n >， 则444248m n m n m n m=++⨯= 当且仅当224n m =，即11,42m n ==时等号成立， 故D 正确. 故选.ACD13.【答案】BCD解：圆的方程化为标准形式为，圆心为，半径 4.r =圆心C 到直线l 的距离为22|3(2)437|543(4)d ⨯--⨯-==>+-，∴直线l 与圆C 相离，不相交，故选项A 错误；||PQ 的最小值为541-=，故选项B 正确；圆C 上的点到l 的距离最小值为541-=，最大值为549+=，2(1,9)∈，∴圆C 上到直线l 的距离为2的点P 有2个，故选项C 正确；Q 到圆C 的切线QT ，T 为切点，则，当||QC 最小时||QT 最小，||QC 的最小值等于C 到直线l 的距离5d =，22||543QT ∴=-=最小值，故选项D 正确.故选.BCD14.【答案】BCD解：设两圆相交于111(,)P x y ，222(,)P x y ，圆，圆C ：222()()x a y b r -+-=，则02||OC r <<，即22204a b r <+<，故A 错误，两圆方程相减可得直线12P P 的方程为：22220a b ax by +--=，即2222ax by a b +=+， 分别把111(,)P x y ，222(,)P x y 两点代入2222ax by a b +=+得：221122ax by a b +=+，222222ax by a b +=+，两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，故BD 正确； 由圆的性质可知：线段12P P 与线段OC 互相平分，12x x a ∴+=，12y y b +=，故C 正确，故选：.BCD15.【答案】3解：如图所示，因为圆N ：22(4)(2)1x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆G ：22(4)(2)1x y +++=， 则||||AP AQ +的最小值为22||12105355 3.MG --=+-=-故答案为55 3.-16.【答案】3解：设(,2)A a a ，0a >，(5,0)B ，5(,)2a C a +∴， 则圆C 的方程为(5)()(2)0.x x a y y a --+-=联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2).D223215(5,2)(,2)240.22a a a AB CD a a a a a ----∴⋅=--⋅-=+-= 解得：3a =或 1.a =-又0a >， 3.a ∴=即A 的横坐标为3.故答案为：3.17.【答案】22(1)(2)4x y -+-=解：圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故有|1||2|a a +=，解得1a =，或1(3a =-舍去)，故半径为2， 则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2) 4.x y -+-=18.【答案】12解：根据题意，设(,)M x y ，若||||MB MA λ=，变形可得222||||MB MA λ=，即222222()(2)x b y x y λλ-+=++，又由221x y +=，则变形可得：2221245b bx x λλ+-=+， 则有2225142b bλλ⎧=+⎨=-⎩， 解可得1(2λ=负值舍去)，12b =-； 故答案为：1.219.【答案】[4,2]--解：如图过直线60x y -+=上点P 作圆2210x y +=的切线，当两条切线垂直时，根据，得4OPB π∠=， 所以， 则由题意得，设(,6)A x x +，则22(6)25x x ++，即2680x x ++，解得42x --，所以点A 横坐标的取值范围是[4,2].--故答案为[4,2].--20.【答案】解：(1)设点P 坐标为(,)x y ，由||2||PA PB ==， 平方可得22228164(21)x y x x y x +++=+++，整理得：曲线E 的轨迹方程为224x y +=； (2)直线l 的方程为4y kx =-，依题意可得三角形COD 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1||2CD =则d ==，k ∴=；(3)由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上， 设1(,4)2Q t t -，以OQ 为直径的圆的方程为1()(4)02x x t y y t -+-+=， 即：22(4)02t x tx y y -+--=，又M ，N 在曲线E ：224x y +=上，可得MN 的方程为1(4)402tx t y +--=， 即()4(1)02y x t y +-+=，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线MN 过定点1(,1).2-。

1专题16 取对数【巩固训练】1.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b 2. 设实数0m >，若对任意的x e ≥，不等式2ln 0m x x x me -≥恒成立，则m 的最大值是（ ）.1.A e .3e B .C e .2D e 3.若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则x y 的最小值为 ．4.若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的定义域[m ，n ] 上的值域是[m 2，n 2]（1<m <n ），则实数a 的取值范围是 ．5. 若函数2()x f x a x =-（1a >）有且只有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．6.已知变量12,(0,)x x m ∈(0m >),且12x x <,若2112x x x x <恒成立,则实数m 的最大值是 ．2 【答案与提示】1.【答案】A2. 【答案】C 【提示一】2ln 0m x x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，构造函数()()0x g x xe x =>，等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 【提示二】2ln 0mx x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，两边取对数ln(ln )ln ln m m x x x x+≥+，构造函数()()ln 0g x x x x =+>，该函数单增，故等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 3 【答案】 【提示】133y z ≤≤，ln x ey z z =，令y t z =，133t ≤≤，ln ln ln ln x x z et t y z y =+=-.4.【答案】2(1,)e e【提示】方法同例1.5. 【答案】2(1,)e e【提示】2x a x =，取对数得ln 2ln ax x =，即2ln ln x a x =，分离函数转化为2ln x y x=、ln y a =有三个交点.6.【答案】e 【提示】211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇔<⇔<，则ln ()x f x x=单增. 2e。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高考数学选择题常考考点专练161、若{a n }是等比数列，a 4a 7＝－512, a 3＋a 8＝124, 且公比q 是整数，则a 10等于（ ）。

（A ）256 （B ）－256 （C ）512 （D ）－512 2、已知数列{2n －11}，那么有最小值的S n 是（ ）。

（A ）S 1 （B ）S 5 （C ）S 6 （D ）S 113、如果x n =(1－21)(1－31)(1－41)……(1－n1)，则∞→n lim x n 等于（ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）21（D ）不确定4、数列的通项公式是a n ＝(1－2x)n ，若∞→n lim a n 存在，则x 的取值范围是（ ）。

（A ）[0,21] （B ）[0, -21] （C ）[0, 1] （D ）[0,- 1] 5、不等式x 2－x ＋1>0的解集是（ ）。

（A ）{x| x<231i-或x>231i +} （B ）R （C ）ο/（D ）以上都不对6、已知方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋ki ＝0至少有一个实根，那么实数k 的取值范围是（ ）。

（A ）k ≥22或k ≤－22（B ）－22≤k ≤22 （C ）k ＝±22 （D ）k ＝227、已知集合P ＝{x| (x －1)(x －4)≥0}，Q ＝{n| (n ＋1)(n －5)≤0, n ∈N}与集合S ，且S ∩P ＝{1, 4}，S ∩Q ＝S ，那么集合S 的元素的个数是（ ）。

（A ）2个（B ）2个或4个（C ）2个或3个或4个（D ）无穷多个 8、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆车分别有一位司机和一名售票员，则可能的分配方案数是（ ）。

（A ）88A （B ）48A （C ）4444A A ⋅（D ）44A9、有4个学生和3名教师排成一行照相，规定两端不排教师，那么排法的种数是（ ）。

《集合》专项练习参考答案1．（2019全国Ⅰ卷, 文1, 5分）设集合, , 则A ∩B ＝（ ）（A ）{1, 3} （B ）{3, 5} （C ）{5, 7} （D ）{1, 7}【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3, 5, 故}5,3{=B A I , 故选B ．2．（2019全国Ⅱ卷, 文1, 5分）已知集合, 则A ∩B ＝（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】由29x <得33x -<<, 所以{|33}B x x =-<<, 因为{1,2,3}A =, 所以{1,2}A B =I , 故选D ．3．（2019全国Ⅲ卷, 文1, 5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==, 则A B ð＝（ ）（A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念, 得{0,2,6,10}A B =ð, 故选C ．4．（2019全国Ⅰ卷, 理1, 5分）设集合, , 则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得, x 1＝1, x 2＝3, 所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边, 小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0, 解得x ＞23．3{|3}2A B x x ∴=<<I ．选D ．5．2019全国Ⅱ卷, 理1, 5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限, 则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限, 应满足3010m m +>⎧⎨-<⎩, 解得31m -<<,故选A ．6．（2019全国Ⅲ卷, 理1, 5分）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=>, 则S ∩T ＝（ ）(A) [2, 3] (B)（－∞ , 2]U [3, ＋∞） (C) [3, ＋∞） (D)（0, 2]U [3, ＋∞）7．（2019北京, 文1, 5分）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或, 则A B =I （ ）（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =，，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)23(,3)2【解析】画数轴得, , 所以, 故选C ．8．（2019北京, 理1, 5分）已知集合, , 则（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【解析一】对于集合A ：（解绝对值不等的常用方法是两边同时平方）|x |＜2, 两边同时平方得x 2＜4, 解方程x 2＝4得, x 1＝－2, x 2＝2, 所以A ＝{x |－2＜x ＜2}（大于取两边, 小于取中间）．所以A ∩B ＝{－1, 0, 1}．故选C ．【解析二】对于集合A ：（绝对值不等式解法二：|x |＜2⇔－2＜x ＜2）．A ＝{x |－2＜x ＜2}．所以A ∩B ＝{－1, 0, 1}．故选C ． 9．（2019上海, 文理1, 5分）设x ∈R , 则不等式31x -<的解集为_______． 【答案】(24)，【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x , 故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(．【解析一】对不等式31x -<：（解绝对值不等的常用方法是两边同时平方）|x －3|＜1, 两边同时平方得(x －3)2＜1, 解方程(x －3)2＝1得, x 1＝2, x 2＝4, 所以A ＝{x |2＜x ＜4}． 【解析二】对于集合A ：（绝对值不等式解法二：|x －3|＜1⇔－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4）．A ＝{x |2＜x ＜4}． 10．（2019山东, 文1, 5分）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===, 则()U A B U ð＝（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6} 【答案】A11．（2019山东, 理2, 5分）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A ∪B ＝（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C【解析】对于集合A ：∵y ＝2x ＞0, ∴A ＝{y |y ＞0}．对于集合B ：∵x 2－1＝0, 解得x ＝±1, ∴B ＝{x |－1＜x ＜1}（大于取两边, 小于取中间）．∴A ∪B ＝(1,)-+∞12．（2019四川, 文2, 5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤5}, Z 为整数集, 则集合A∩Z 中元素的个数是(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}A =Z I , 由Z 为整数集得Z ＝{…－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3…}．故A Z I 中元素的个数为5, 选B ．13．（2019四川, 理1, 5分）设集合{|22}A x x =-≤≤, Z 为整数集, 则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6(2,3)A B =I {|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B =I {0,1}{0,1,2}{1,0,1}-{1,0,1,2}-【答案】C【解析】由题意, 知{2,1,0,1,2}A =--Z I , 由Z 为整数集得Z ＝{…－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3…}．故A I Z 中元素的个数为5, 选C ．14．（2019天津, 文1, 5分）已知集合}3,2,1{=A , },12|{A x x y y B ∈-==, 则A B I ＝（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{ （D ）}3,2,1{ 【答案】A 【解析】∵},12|{A x x y y B ∈-==, ∴当x ＝1时, y ＝2×1－1＝1；当x ＝2时, y ＝2×2－1＝3；当x ＝3时, y ＝2×3－1＝5．∴{1,3,5},{1,3}B A B ==I ．选A ．15．（2019天津, 理1, 5分）已知集合}{4,3,2,1=A , }{A x x y y B ∈-==,23, 则=B A I（A ）}{1 （B ）}{4 （C ）}{3,1 （D ）}{4,1 【答案】D 【解析】∵}{A x x y y B ∈-==,23, ∴当x ＝1时, y ＝3×1－2＝1；当x ＝2时, y＝3×2－2＝4；当x ＝3时, y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时, y ＝4×3－2＝10． ∴{14710}{14}B =A B =I ，，，，，．选D ．16．（2019浙江, 文1, 5分）已知全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合P＝{1, 3, 5}, Q ＝{1, 2, 4}, 则U P Q U （）ð＝（ ） A ．{1} B ．{3, 5} C ．{1, 2, 4, 6} D ．{1, 2, 3, 4, 5}【答案】C17．（2019浙江, 理1, 5分）已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}, Q ＝{x ∈R |x 2≥4}, 则P ∪(C R Q )＝（ ）A ．[2, 3]B ．(－2, 3]C ．[1, 2)D ．(−∞, −2]∪[1, ＋∞)【答案】B 【解析】对于集合Q ：∵x 2＝4, 解得x ＝±2, ∴B ＝{x |x ≤－2或x ≥2}（大于取两边, 小于取中间）． 18．（2019江苏, 文理1, 5分）已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B I _______． 【答案】{}1,2-【解析】{}{}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-I I．故答案应填：{}1,2-19．（2015全国Ⅰ卷, 文1, 5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2, n ∈N}, B ＝{6, 8,10, 12, 14}, 则集合A∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】由已知得A ＝{2, 5, 8, 11, 14, 17, …}, 又B ＝{6, 8, 10, 12, 14}, 所以A∩B ＝{8, 14}．20．（2015全国Ⅱ卷, 文1, 5分）已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}, B ＝{x |0＜x ＜3}, 则A ∪B ＝( )A ．(－1, 3)B ．(－1, 0)C ．(0, 2)D ．(2, 3) 【答案】A【解析】因为A ＝(－1, 2), B ＝(0, 3), 所以A ∪B ＝(－1, 3), 故选A ． 21．（2014全国Ⅰ卷, 文1, 5分）已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}, N ＝{x |－2＜x ＜1},则M∩N ＝( )A ．(－2, 1)B ．(－1, 1)C ．(1, 3)D ．(－2, 3) 【答案】B【解析】M∩N ＝{x |－1＜x ＜3}∩{x |－2＜x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． 22．（2014全国Ⅱ卷, 文1, 5分）已知集合A ＝{－2, 0, 2}, B ＝{x |x 2－x －2＝0}, 则A∩B ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{－2} 【答案】B【解析】∵集合A ＝{－2, 0, 2}, B ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{2, －1}, ∴A∩B ＝{2}, 故选B ． 23．（2013全国Ⅰ卷, 文1, 5分）已知集合A ＝{1, 2, 3, 4}, B ＝{x |x ＝n 2,n ∈A}, 则A∩B ＝( ) A ．{1, 4} B ．{2, 3} C ．{9, 16} D ．{1, 2} 【答案】A 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2, n ∈A}＝{1, 4, 9, 16}, ∴A∩B ＝{1, 4}, 故选A ． 24．（2013全国Ⅱ卷, 文1, 5分）已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}, N ＝{－3, －2, －1, 0, 1}, 则M∩N ＝( )A ．{－2, －1, 0, 1}B ．{－3, －2, －1, 0}C ．{－2, －1, 0}D ．{－3, －2, －1} 【答案】C【解析】由题意得M∩N ＝{－2, －1, 0}．选C ． 25．（2018全国卷, 文1, 5分）已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}, B ＝{x |－1＜x ＜1}, 则( )（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A ＝B （D ）A∩B ＝∅【答案】B【解析】A ＝{x |－1＜x ＜2}, B ＝{x |－1＜x ＜1}, 则B ⊂≠A, 故选B ． 26．（2018全国卷, 文1, 5分）已知集合M ＝{0, 1, 2, 3, 4}, N ＝{1, 3,5}, P ＝M∩N , 则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 【答案】B 【解析】由题意得P ＝M∩N ＝{1, 3}, ∴P 的子集为⌀, {1}, {3}, {1, 3}, 共4个．27．（2018全国卷, 文1, 5分）已知集合, 则（A ）（0, 2）（B ）[0, 2]（C ）|0, 2|（D ）|0, 1, 2|【解析】, , 选D2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=∈A B =I {}|22,{0,1,2}A x x B =-≤≤={}0,1,2A B =I30．（2007全国卷, 文1, 5分）设{|210}S x x =+>, {|350}T x x =-<, 则S T ⋂＝A ．∅B ．1{|}2x x < C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 【答案】D ．28．（2009全国卷, 文2, 5分）设集合A ＝｛4, 5, 7, 9｝, B ＝｛3, 4, 7, 8, 9｝, 全集, 则集合中的元素共有( )(A)3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【解析】, ．故选A ． 29．（2008全国卷, 文1, 5分）已知集合M ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}, N ＝{x |x ＋1<0}, 则M∩N ＝( )A.(－1, 1)B.(－2, 1)C.(－2, －1)D.(1, 2) 【答案】C【解析】易求得{}{}|21,|1=-<<=<-M x x N x x ∴{}|21=-<<-I M N x xU A B =U ()U A B I ð{3,4,5,7,8,9}A B =U {4,7,9}(){3,5,8}U A B A B =∴=I I ð。