2020版高考数学复习专题6解析几何解密高考6函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”教案理

专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <.方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.5．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．6．（2020·江西高三）已知函数()()2xf x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值； （2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.14．（2020·河北高三期末）已知函数()f x 满足:①定义为R ；①2()2()9xx f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x x g x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.15．（2020·湖南高三月考）已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.16．（2020·江西高三期末）已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.17．（2020·江西高三期末）已知函数()()()2,xf x x m e nxm n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-.（1）求,m n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值.18．（2020·河南高三期末）已知函数()()ln 1mxf x x x m=+-+，()1,0x ∈-. （1）若1m =，判断函数()f x 的单调性并说明理由； （2）若2m ≤-，求证：关于x 的不等式()()()21xx m f x e x-+⋅<-在()1,0-上恒成立.19．（2020·江西高三月考）已知函数32()32f x x x x =-+，()g x tx t R =∈，，()xe x xφ=. （1）求函数()()y f x x φ=⋅的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0m n ，，，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在x m =处的切线方程； ①若对[]x m n ∀∈，，()16h x t ≤-恒成立，求实数M 的取值范围.专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥ 【解析】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+，要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞，即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()()ee 10xxf x ax =--≥,且e0x>,所以e 10x ax --≥,构造函数()e 1xu x ax =--,则()'e xu x a =-,又()00u =,若0a ≤,则()'0u x >,则()u x 在R 上单调递增,则当0x <时,()0u x <矛盾,舍去；若01a <<,则ln 0a <,则当ln 0a x <<时,'()0u x >,则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a >,则ln 0a >,则当0ln x a <<时,'()0u x <,则()u x 在(0,ln )a 上单调递减,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a =,则当0x <时,'()0u x <,当0x >时,'()0u x >, 则()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, 故()()00u x u ≥=,则()()e 0xf x u x =⋅≥,满足题意；综上所述,1a =.（2）证明:由（1）可知()()2e 1e xxf x x =-+⋅,则()()'e2e 2xxf x x =--,构造函数()2e 2xg x x =--,则()'2e 1xg x =-,又()'g x 在R 上单调递增,且()'ln20g -=,故当ln2x <-时,)'(0g x <,当ln 2x >-时,'()0g x >, 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,又()00g =,()2220e g -=>,又33233332223214e 16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+, 结合零点存在性定理知,在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ,使得()00g x =, 当0x x <时,()'0f x >,当00x x <<时,()'0f x <,当0x >时,()'0f x >, 故()f x 在()0,x -∞单调递增,在()0,0x 单调递减,在()0,∞+单调递增,故()f x 存在唯一极大值点0x ,因为()0002e 20xg x x =--=,所以00e 12xx =+, 故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0322x -<<-,所以()201133144216f x ⎛⎫<--+<⎪⎝⎭. 方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-. （1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈. 【答案】（1）sin1a ≤.（2）max ()(1)0h x h ==.（3）见解析.【解析】（1）由()0f x >，得：sin 0x ax ->，因为01x <<，所以sin xa x<， 令sin ()x g x x=，()2cos sin 'x x xg x x -=， 再令()cos sin m x x x x =-，()'cos sin cos sin 0m x x x x x x x =--=-<， 所以()m x 在()0,1上单调递减， 所以()()0m x m <，所以()'0g x <，则()g x 在()0,1上单调递减， 所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤. （2）当1a =时，()sin f x x x =-， ①()ln 1h x x x =-+，()11'1x h x x x-=-=， 由()'0h x =，得：1x =，当()0,1x ∈时，()'0h x >，()h x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 在()1,+∞上单调递减； ①()max (1)0h x h ==.（3）由（2）可知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <， 即ln 1x x <-， 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即()1ln 1ln n n n+-<， 分别令1,2,3,,n n =L 得，()11ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2n n n-<-<+-<L ，将上述n 个式子相加得：()()*111ln 1121n n N n n+<++++∈-L . 【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln 3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）322ln 220x y +-+=（2）()1,2（3）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=--，化简得：322ln 220x y +-+= ()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>，令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得1211x x ==+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q211x ∴=+<()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在1,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意①当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）2y x =-，8833918y e x e =-.（2）8319a e ≤≤.（3）345[,1)(7,5]3a e e e∈⋃. 【解析】（1）设切点为()00,x y ，()()'31xf x e x =+，则切线斜率为()0031x e x +，所以切线方程为()()000031x y y e x x x -=+-，因为切线过()2,0，所以()()()000032312x x ex e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =. 当00x =时，切线方程为2y x =-， 当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-. （2）由题意，对任意x R ∈有()()322xe x a x -≥-恒成立，①当(),2x ∈-∞时，()()323222x x maxe x e x a a x x ⎡⎤--≥⇒≥⎢⎥--⎣⎦，令()()322x e x F x x -=-，则()()()2238'2x e x xF x x -=-，令()'0F x =得0x =，()()max 01F x F ==，故此时1a ≥.①当2x =时，恒成立，故此时a R ∈. ①当()2,x ∈+∞时，()()min323222x x e x e x a a x x ⎡⎤--≤⇒≤⎢⎥--⎣⎦，令()8'03F x x =⇒=，()83min 893F x F e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即()()322xex a x -<-，由（2）知()83,19,a e ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，令()()322x e x F x x -=-，则当(),2x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立，因为()01F =最大，()513F e -=，()11F e =-，所以当53a e<时，至少有两个整数成立， 所以5,13a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 当()2,x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立，因为83893F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭最小，且()337F e =，()445F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有(347,5a e e ⎤∈⎦.综上：(345,17,53a e e e ⎡⎫⎤∈⋃⎪⎦⎢⎣⎭. 【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x--+--+'=--+==， 当0a =时，()20f x x '=-<； 当0a >时，2a x >时，()0f x '<；02ax <<时，()0f x '>； 当0a <时，x a >-时，()0f x '<；0x a <<-时，()0f x '>；综上所述，当0a =时，()f x 在()0,∞+上为减函数； 当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数； 当0a <时，()f x 在()0,a -上为增函数，在(),a -+∞上为减函数. （2）要证()()f x g x <，即证()21ln 0x x x -+>，当12x =时，不等式显然成立； 当12x >时，即证ln 021x x x +>-；当102x <<时，即证ln 021xx x +<-； 令()ln 21x F x x x =+-，则()()()()()22411112121x x F x x x x x ---'=+=--， 当12x >时，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数；在()1,+∞上()0F x '>，()F x 为增函数，①()()min 110F x F ==>，①ln 021xx x +>-.当102x <<时，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0F x '>，()F x 为增函数；在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数， ①()max 111ln 0442F x F ⎛⎫==-<⎪⎝⎭，①ln 021x x x +<-， 综上所述，当0x >时，()()f x g x <成立.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax+-'=-+= 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<<当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ①0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增 0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> Q 0a >，(0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增，1()()ln 1F x F a a a∴≥=+-设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时，()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<时，()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥=，()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（①）()11f =-；（①）（①）1； （①）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，①()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ①函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）①()a g x x x=+，①2()1a g x x =-'，（①）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又①函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ①1x =是函数()g x 的极值点，①(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（①）①211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ①2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，①1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（①）知1()g x x x =+，①21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，①11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，①1(1)()(3)g g g e <<，①1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，①12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，①312k ≥-+=-，又①1k >，①1k >， ①当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，①121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，①342ln 33k ≤-+，又①1k <， ①342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2hx x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为35．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ①当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ①当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 6．（2020·江西高三）已知函数()()2x f x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.【答案】（1）单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞（2）证明见解析【解析】（1）因为()()2x f x x e =-，所以()()1x f x x e '=-，令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x ¢<，解得1x <.故()f x 的单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞.（2）要证()2ln 6xf x x x >-，只需证()ln 32x f x x>-.由（1）可知()()min 1f x f e ==-.令()ln 3(0)2x h x x x =->，则()21ln 2xh x x -'=， 令()21ln 0ln 102xh x x x e x-'=>⇒<⇒<<， 所以当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()max 132h x h e e==-. 因为 2.71828e =⋅⋅⋅，所以 2.75e ->-，所以1133 2.7524e -<-=-， 从而132e e->-，则当0x >时，()()min max f x h x >.故当0x >时，()()f x h x >恒成立，即对任意的()0,x ∈+∞，()2ln 6xf x x x >-.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =，则21()ln (0)2h x b x x x =->，当2()b b x h x x x x-'=-=，当0b …时，()0h x '…恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）()f x 在R 上有且仅有一个零点，即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2xx g x e=， 可得(2)()0,()2xx x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x …时，()0g x '…，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =…，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞. （2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增， 所以0()(2)g x g <<，即220()g x e<<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x …时，()0g x '…，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减， 所以(0)()(2)g g x g <…，即220()g x e <…， 即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e ->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点，故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()2af x x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 无极值. ①当0a >时，令'()0f x =，得x a =，在(0,)a 上，'()0f x >，()f x 是增函数；在(,)a +∞上，'()0f x <，()f x 是减函数. 所以()f x 有极大值()2ln 21f a a a a =-+，无极小值.（2）由（1）知，①当0a ≤时，()f x 是减函数，令2a x e =，则0(0,1]x ∈，222220()(2)21(2)320a a f x a a e a e --=-+--=->，不符合题意，①当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+， 要使得对任意0x >，2()(1)f x a ≤-恒成立， 即要使不等式22ln 212a a a a -+≤-成立， 则22ln 230a a a a --+≤有解.令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>，所以'()2ln 2g a a a =-令()'()2ln 2h a g a a a ==-，由22'()0ah a a-==，得1a =. 在(0,1)上，'()0h a >，则()'()h a g a =在(0,1)上是增函数； 在(1,)+∞上，'()0h a <，则()'()h a g a =在(1,)+∞上是减函数. 所以max ()(1)20h a h ==-<，即'()0g a <， 故()g a 在(0,)+∞上是减函数，又(1)0g =，要使()0g a ≤成立，则1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞. 9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（2）三条切线，理由见解析；（3）0,2⎡+⎣ 【解析】（1）()()()222xxf x x x e x x e '==++，()0f x '>得，2x <-或0x >；()0f x '<得，20x -<<；所以()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+；单调减区间为()2,0-； （2）过()1,0P 点可做()f x 的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,x x x e，所以切线斜率()()00002xx x k x e f '=+= 所以过切点的切线方程为：()()002200002x x x e x x e x y x -=+-，切线过()1,0P 点，代入得()()0022*******x x x e x x e x -=+-，化简得(0000x x x x e=，方程有三个解，00x =，0x =0x 所以过()1,0P 点可做()f x 的三条切线. （3）设()()21xg x x e k x -=-，①0k =时，因为20x ≥，0x e >，所以显然20x x e ≥对任意x ∈R 恒成立； ①k 0<时，若0x =，则()()0001f k k =>-=-不成立， 所以k 0<不合题意.①0k >时，1x ≤时，()()210xg x x e k x -=->显然成立，只需考虑1x >时情况；转化为21xx e k x ≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立令()21xx e h x x =-（1x >），则()min k h x ≤，()()()(()2222(2)111xx xx x x ex x e x x e h x x x +--'==--，当1x <<时，()0h x '<，()h x 单调减；当x >()0h x '>，()h x 单调增；所以()(min 2h x h==+=所以(2k ≤+综上所述，k 的取值范围(0,2+⎡⎣. 10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b ；（2）2642ln 2<-m【解析】（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-, ()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x xx x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）①21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，①121x x a +=+，121=x x ，①211x x =①32a ≥①111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.①()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,①()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ①152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥ （2）（①）()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f f f a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭LL L（①）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-<⎪⎝⎭， 所以()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=， 因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）极小值为1a e-+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，。

专题六解析几何题型一直线方程及位置关系1．(1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1,1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4,2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( B ) A.32 B.94 C.12D.14突破点拨(1)利用直线平行的判断方法．(2)先求AC 的值，再利用点到直线的距离公式求出点B 到AC 的距离，最后表示出面积． 解析 (1)直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1.故选C.(2)由两点间的距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0. 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫m －322－14. 又1<m <4.所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．故选B.2．(1)(2017·湖南长沙模拟)在平面内，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且l 1∥l 2∥l 3(l 2在l 1与l 3之间)，l 1与l 2之间的距离为a ，l 2与l 3之间的距离为b ，若AB →2＝AB →·AC →，则△ABC 的面积的最小值为( B )A.a ＋b 2B ．abC ．2abD.a 2＋b 22(2)(2017·湖北荆州调考)若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__2x －y －1＝0__.突破点拨(1)由AB →2＝AB →·AC →⇒AB →⊥BC →.(2)由圆心C (3,0)知k PC ＝－12，且MN ⊥PC .解析 (1)以直线l 2为x 轴，点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则l 1：y ＝a ，l 3：y ＝－b .由AB →2＝AB →·AC →，得AB →·CB →＝0，即AB ⊥BC .设直线AB 的斜率为k ，则AB ：y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫a k ，a ，直线BC ：y ＝－1k x ，得C (kb ，－b )，所以S △ABC ＝12⎝⎛⎭⎫a k 2＋a 2·(kb )2＋(－b )2 ＝122a 2b 2＋a 2b 2k 2＋k 2a 2b 2≥122a 2b 2＋2a 2b 2＝ab ， 当且仅当k ＝±1时等号成立．(2)圆心C 的坐标为(3,0)，直线PC 的斜率为－12，故直线MN 的斜率为2，所以直线MN的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(1)确定直线的几何要素是直线上的一点和直线的方向，刻画直线方向的要素是其倾斜角，当倾斜角不等于90°时可以使用斜率表示直线的方向．解题时要善于分析确定直线的几何要素，写出正确的直线方程．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意两直线斜率是否存在．题型二 圆的方程及性质1．(1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10(2)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20突破点拨(1)由已知三点，求出圆的方程，然后求出M ，N 的坐标，进而求出|MN |. (2)借助平面几何的相关知识辅助求解． 解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26) 或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， 所以|MN |＝4 6.故选C.(2)由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连OM ，则有d 21＋d 22＝OM2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5， 即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2．(1)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 B.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝2 D.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝2 (2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.突破点拨(1)利用已知条件和圆的性质求出圆心和半径即可． (2)先确定直线过的定点，再求圆的标准方程．解析 (1)由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4，故选A. (2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.故所求方程为(x －1)2＋y 2＝2.圆的性质在求圆的方程中的应用(1)圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上．(2)圆上异于某直径端点的点与该直径的两端点连线垂直．(3)已知某圆与某直线相切，则过切点且垂直于该切线的直线必过该圆的圆心．题型三 直线与圆的位置关系1．(1)(2017·哈尔滨一模)过直线kx ＋y ＋3＝0上一点P 作圆x 2＋y 2－2y ＝0的切线，切点为Q .若|PQ |＝3，则实数k(2)(2017·江西重点学校模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0 . 突破点拨(1)考虑圆心到直线的距离的最大值．(2)利用数形结合，把问题转化为圆心C 到直线l 的距离小于或等于两个圆的半径之和问题．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径是r ＝1.根据题意，PQ 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，Q 是切点，|PQ |＝3，则|PC |＝2.当PC 与直线kx ＋y ＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得|4|k 2＋1≤2，解得k ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)将圆C 的方程化为标准形式为(x ＋4)2＋y 2＝1，其圆心为(－4,0)，半径r ＝1.因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以圆心(－4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤r ＋1，即d ＝|－4k －2|k 2＋1≤2，整理可得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.2．(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( C )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°突破点拨(1)先利用圆心在直线l 上，求得a 的值，再利用线段AB ，BC ，AC 构成的直角三角形求解．(2)方法一：设出直线l 的方程，表示出S △AOB ，再利用均值不等式求解．方法二：先利用sin ∠AOB 表示出S △AOB ，然后求出当S △AOB 取得最大值时|OC |的值，进而求出直线l 的倾斜角．解析 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.(2)由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，如图所示．方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 方法二 S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取最大值．此时，|OC |＝1，则∠OPC ＝30°，得直线l 的倾斜角为150°.圆的综合应用(1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在点P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．思维导航(1)由圆的几何性质知BA ⊥BC ，通过设点列式可求E 的方程．(2)只需证明PQ ⊥QC .可用判别式方法或导数方法求出E 在点P 处的切线的斜率，再求解．规范解答(1)设C 点的坐标为(x ，y )，则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0.因为AC 是直径，所以BA ⊥BC ，或C ，B 均在坐标原点． 因此BA →·BC →＝0，而BA →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y ， 故有－x 24＋2y ＝0，即x 2＝8y .另一方面，设C ⎝⎛⎭⎫x 0，x 28是曲线x 2＝8y 上一点， 则有|AC |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 208－22＝x 20＋168，AC 中点的纵坐标为2＋x 2082＝x 20＋1616，故以AC 为直径的圆与x 轴相切． 综上可知，C 点轨迹E 的方程为x 2＝8y . (2)设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝8y得x 2－8kx －16＝0. 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－16. 由y ＝x 28对x 求导得y ′＝x 4，从而曲线E 在点P 处的切线斜率k 2＝x 24，直线BC 的斜率k 1＝x 218x 1－x 12＝x 14，于是k 1k 2＝x 1x 216＝－1616＝－1，因此QC ⊥PQ .所以△PQC 恒为直角三角形．【变式考法】 已知圆O ：x 2＋y 2＝25，圆O 1的圆心为O 1(m,0)(m ≠0)，且与圆O 交于点P (3,4)，过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，O 1于点A ，B .(1)若k ＝1，且|BP |＝72，求圆O 1的方程；(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，O 1于点C ，D .当m 为常数时，试判断|AB |2＋|CD |2是否为定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．解析 (1)当k ＝1时，直线l ：y －4＝x －3，即x －y ＋1＝0， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋1|22＋⎝⎛⎭⎫7222＝(m －3)2＋42， 整理得m 2－14m ＝0，解得m ＝14或m ＝0(舍去)， 所以圆O 1的方程为(x －14)2＋y 2＝137. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l ：y －4＝k (x －3)，即y ＝kx －(3k －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，x 2＋y 2＝25，消去y 得 (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2)x ＋9k 2－24k －9＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 3·x 1＝9k 2－24k －9k 2＋1，所以x 1＝3k 2－8k －3k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，(x －m )2＋y 2＝(m －3)2＋42，消去y 得， (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2－2m )x ＋9k 2－24k －9＋6m ＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得3·x 2＝9k 2－24k －9＋6m k 2＋1，所以x 2＝3k 2－8k －3＋2m k 2＋1，所以x 1－x 2＝3k 2－8k －3k 2＋1－3k 2－8k －3＋2m k 2＋1＝－2mk 2＋1.|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m k 2＋12＝4m 2k 2＋1. 同理可得，|CD |2＝4m 2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4m 2k 2k 2＋1，所以|AB |2＋|CD |2＝4m 2k 2＋1＋4m 2k 2k 2＋1＝4m 2为定值．1．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题中正确的是( D )A ．若d 1－d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析 当d 1＝d 2＝0时，可排除A 项，B 项，C 项，若d 1·d 2<0，则点P 1，P 2在直线l 的两侧，所以直线P 1P 2与直线l 相交．故选D.2．(高考改编)已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， 即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.3．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，结合题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2⇒a <－2，故选A.4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.5．(2017·河南洛阳一模)已知{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，则直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m －4与直线7x ＋(5－m )y －8＝0平行，则有7×1＝(5－m )·(m ＋3)且7×(3m －4)≠8×(m ＋3)．由7×1＝(5－m )·(m ＋3)整理得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2或m ＝4.由7×(3m －4)≠8×(m ＋3)，得m ≠4，所以m ＝－2，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4的方程为x ＋y ＝－2，交x 轴于点(－2,0)，交y 轴于点(0，－2)，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是12×2×2＝2，故选B.6．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.解析 根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555. 解析 易知圆心为(2，－1)，r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，∴弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．(教材回归)如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为13 .解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，且最大距离为|OC |.|OC |＝22＋(－3)2＝13.9．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 .(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是__①②③__(写出所有正确结论的序号)． 解析 (1)设圆心C (a ，b )，半径为r ，∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，∴a ＝1，r ＝|b |，又∵圆C 与y 轴正半轴交于两点，∴b >0，则b ＝r . ∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1，∴r ＝2， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)设N (x ，y )，而A (0，2－1)，B (0，2＋1)， 则|NB |2|NA |2＝x 2＋(y －2－1)2x 2＋(y －2＋1)2＝x 2＋y 2－2(2＋1)y ＋3＋22x 2＋y 2－2(2－1)y ＋3－22， 又x 2＋y 2＝1，∴|NB |2|NA |2＝4＋22－2(2＋1)y4－22－2(2－1)y ＝2＋12－1·22－2y 22－2y ＝(2＋1)2， ∴|NB ||NA |＝2＋1，同理|MB ||MA |＝2＋1. ∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，且|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2＋1－12＋1＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2＋1＋12＋1＝2＋1＋2－1＝22， 故正确结论的序号是①②③.10．(2017·河南郑州一模)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为2×52－32＝8. 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， 即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn .又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A.3 B ．2 C.2D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3.∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)， ∵点B ，A 在抛物线上， ∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，① y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0. ∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．[22－3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α，所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α，令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t －3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C.9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__. 解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA，易知此时|P A|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|P A|＝|OP|2－|OA|2＝2，即所求最小值为2.第2讲椭圆、双曲线、抛物线题型一 椭圆及其性质1．(1)(2017·云南四市联考)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( D )A.24B.23C.63D.64(2)若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.突破点拨(1)利用椭圆的定义和几何性质转化求解． (2)运用椭圆的定义求解． 解析 (1)设P (x ，y )，|OP |2＝x2＋y 2＝a 28.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，c 2a 2＝38，e ＝c a ＝64，故选D.(2)由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．突破点拨(1)利用原点到直线的距离，列关于a ，c 的方程求解．(2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b )，再利用弦AB 的长等于圆M 的直径求解． 解析 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.圆锥曲线的离心率的算法技巧(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解关键．(2)在求解有关离心率的问题时，并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．题型二 双曲线及其性质1．(1)(2017·山东部分重点中学模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，且△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率是( B )A.2B.3C.2＋1D.3＋1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 突破点拨(1)根据等边三角形列出等式，将等式用双曲线方程中的量表示，并转化为求离心率．(2)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．解析 (1)由题意知，△F 1AB 为等边三角形，故|AF 1|＝|AB |.由双曲线的定义，得|AF 1|－12|AB |＝2a .因为|AB |＝2b 2a，可得b 2＝2a 2，所以e ＝ 3.故选B.(2)由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 2．(1)(2017·河南信阳二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( C )A ．4B ．6C ．8D ．10(2)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( D )A.433B ．23C ．6D ．43突破点拨(1)用渐近线方程确定a 的值，再利用定义求|PF 2|. (2)可用特殊位置法求解，如F 的横坐标x ＝2.解析 (1)双曲线x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2a x ，即2x ±ay ＝0.已知双曲线的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，∴a ＝3.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|2－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝8或－4，舍去－4.故选C.(2)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)， 其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23) ，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D. 题型三 抛物线及其性质1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A.72B.52 C ．3 D ．2突破点拨利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． 解析 因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF|＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.【变式考法】 把本例条件“FP →＝4FQ →”改为“PF →＝12PQ →”，其他条件不变，则|QF |＝__8__.解析 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，A 为l 与x 轴的交点．因为PF →＝12PQ →，所以|PF →|＝12|PQ →|.因为△P AF ∽△PQ ′Q ，所以|AF ||QQ ′|＝|PF ||PQ |，所以|QQ ′|＝8，则|QF |＝|QQ ′|＝8.2．(2017·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．突破点拨(1)利用抛物线的定义可求解．(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .联立抛物线方程，可推出b ＝1－2k 2，再写出S △OPQ ＝f (k )，利用基本不等式或求导的方法求f (k )max .解析 (1)抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为|AO |＝|AF |＝32，所以可求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫±1436－p 2，p 4. 将点A 的坐标代入x 2＝2py ，得116(36－p 2)＝2p ×p4，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y ＝kx ＋b ， 并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点M (x 0,1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝4k 2＋2b ＝2，即b ＝1－2k 2.因为直线l 与C 交于P ，Q 两点， 所以Δ＝16k 2＋16b >0，得k 2＋b >0， 故k 2＋b ＝k 2＋1－2k 2>0，k 2∈[0,1)． 由y ＝kx ＋b ，令x ＝0得y ＝b ＝1－2k 2， 故S △OPQ ＝12|b ||x 1－x 2|＝12|1－2k 2|×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－2k 2)2(1－k 2). 设t ＝1－2k 2，则t ∈(－1,1]．设y ＝(1－2k 2)2(1－k 2)＝t 2·t ＋12＝12(t 3＋t 2)，令y ′＝12(3t 2＋2t )＝32t ⎝⎛⎭⎫t ＋23＝0，得t ＝0或t ＝－23， 由y ′>0得t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23∪(0,1]； 由y ′<0得t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以y ＝12(t 3＋t 2)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1，－23，(0,1]，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，0， 当t ＝－23时，y ＝227；当t ＝1时，y ＝1>227，故y max ＝1，所以S △OPQ 的最大值是2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的策略解答直线与圆锥曲线的位置关系的题，常常用到“设而不求”的方法，根据条件设出直线方程，与曲线联立，消去y ，整理出一个关于x 的二次方程，设出两个交点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2为二次方程的两个根，根据根与系数的关系，结合题中条件带入求解．注意：设直线方程时，考虑是否有斜率不存在的情况，若有，要讨论．圆锥曲线与其它知识的交汇和新定义问题(一)知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.思维导航把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依据题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此类交汇性试题．规范解答C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22，故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为 d ′＝d －r ＝22－2＝ 2.对于曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1， 得x ＝12，该切点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ， 则曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2⇒a ＝94或a ＝－74(舍去)．答案 94【变式考法】 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为 57. 解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55±45×255＝11525或－55(舍去)．如图，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理得 r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.1．(教材回归)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( B )A ．4B ．5 C.15D.10解析 由抛物线的定义知，点A 到焦点的距离等于点A 到其准线的距离．所以|AF |＝y 1＋p2＝4＋1＝5.故选B. 2．(2017·湖北武昌调考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( D )A.2B.3C.5D ．2解析 双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0.由于直线与圆相切，所以|3b －a |a 2＋b 2＝1，即(3b－a )2＝a 2＋b 2，所以ba＝3，双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选D.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m ＝( D ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8解析 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. 4．(2017·上海浦东模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线上存在点P 使△OPF 2是以O 为顶点的等腰三角形，且|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，其中c 为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( A )A.2B.2＋1C.3D.3＋1解析 由题意知|OP |＝|OF 2|，因为O 为F 1F 2的中点， 由平面几何知识有PF 1⊥PF 2. 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，从而有 |PF 1|＝a ＋2c 2－b 2，|PF 2|＝－a ＋2c 2－b 2. 由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，解得a 2＝b 2， 即ba＝1，所以双曲线的离心率为e ＝ 2. 5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2，又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24，因为1≤b <2，所以0<e ≤32.故选A.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的—个焦点，则p ＝ 22 .解析 拋物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.7．(2017·山东青岛二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为3 .解析 由已知和双曲线的定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a . 因为2c >2a ，所以△PF 1F 2中30°角所对的边长为2a . 由余弦定理有4a 2＝4c 2＋16a 2－16ac ·32， 即3a 2－23ac ＋c 2＝0，两边同除以a 2， 得e 2－23e ＋3＝0，所以e ＝ 3.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，点P (0,1)在C 1上， 所以c ＝1，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 9．(考点聚焦)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解析 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0， 从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|. 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 连接F 1Q ，由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2.因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.1．(2017·山东青岛二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( B ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析 将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)·x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0.由椭圆与直线只有一个公共点，知Δ＝0，得a 2＋b 2＝9.又c a ＝a 2－b 2a ＝55，∴b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.3 C ．1＋2D ．1＋3解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝⎛⎭⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，解得e ＝1＋2，故选C.3．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，c ＞0，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.故选B.4．(2017·山西太原模拟)已知抛物线K ：x 2＝2py (p >0)，焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则( D )A.d |PF |＝pB.d |PF |2＝pC.d |PF |＝2p D.d 2|PF |＝p 2解析 使点P 为原点O ，则切线l 为x 轴，且d ＝p 2，|PF |＝p2.代入四个选项中检验知选D.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2.所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.6．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( A )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°， 所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.7．(2017·湖南雅礼中学调研)已知抛物线E ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为E 上一。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题06 导数（文）【主题考法】本主题考试题型为选择填空题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则，考查利用导数函数研究函数的切线，利用导数研究函数单调性、极值及最值进而研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、不等式等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为5至10分.【主题回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错提醒】1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．学科-网2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.【主题考向】考向一导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.例1直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. C. D.【分析】由题知M（1,2）在切线上，将其代入切线方程即可求出k，求出曲线在x=1处的导数即为切线的斜率，即可求出b.考向二 利用导数研究函数的性质【解决法宝】利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数)(x f '；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式)(x f '>0或)(x f '<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式)(x f '≥0或)(x f '≤0在单调区间上恒成立问题来求解.(4)①若求极值，则先求方程)(x f '＝0的根，再检查)(x f '在方程根的左右函数值的符号. ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程)(x f '＝0根的大小或存在情况来求解. (5)求函数)(x f 在闭区间],[b a 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值)(a f ，)(b f 与)(x f 的各极值进行比较得到函数的最值.例2 函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()0,1D. ()0,+∞【分析】由函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点知，)(x f '恰好有两个零点，转化函数y=lnx 与y=2mx ﹣1的图象有两个交点，数形结合即可求出实数m 的取值范围.考向三 导数的综合应用【解决法宝】研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考． 例3已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【分析】先考虑当1=x 时，当0)1(≥f 时，a 满足的条件，当10<<x 时，参变分离为1ln 22-≥x x x a ，利用导数求1ln 22-=x x x y 的最大值，即可求出a 的取值范围.【解析】当时，恒成立，；当时， 即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：， 综上可得，实数的取值范围为.，故选C .【主题集训】 1. 已知函数，则其单调增区间是A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定义域为，令，解得，故函数单调增区间是，故选2.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()f x f x >'，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞⎪⎝⎭D. (),0-∞ 【答案】A【解析】根据题意构建函数()()()()'(,'0xxf x f x f xg x g x e e -==<），故函数在R 上递减，且g(0)=2018,所以()2018x f x e <等价于()()()0xf xg x g e=<，所以0x >，故选A.3.已知：，若方程有唯一的实数解，则（ ）A.B.C.D. 1【答案】B4.已知定义在上的奇函数可导，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以当时，，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得，选D.5.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C.6.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D7.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】有两个正根，即有两个正根，令，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以,故选：A ．8.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 【答案】B【解析】由)()(x f x f -=知函数()x f 为偶函数，设()()x xf x F =，则()x F 为奇函数，当()0,∞-∈x 时，()()()0<'+='x f x x f x F ，所以()F x 在()0,∞-上为递减函数，所以()F x 在R 上是递减函数．因为0.121log 30ln 2128=-<<<<，所以0.121(log )(ln 2)(2)8F F F >>，即a b c >>，故选B ． 9.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( )A. (]1,3B. 1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，不等式程()ln 21x a x >+只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到()()ln2221,ln3321a a >+≤+，解得不等式组解集为1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,故选B.10.已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，，故选D.11.设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.12.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】原方程可化为，令，则．设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．∴实数的取值范围是．选C ．13. 已知函数()()232x f x e x a x =+++在区间()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D14.已知函数，则下列关于的表述正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，的最小值为C.有个零点 D.有无数个极值点【答案】D【解析】A 因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y 轴对称；A 不正确； B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x 处取得的，故得到两个图像无交点，故B 是错误的; C,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确； D ，化一得到，，此时满足的x 值有无数个；故选D.15. 函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】∵函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点∴方程2ln 20x x x ax +-+=在()0,+∞上有且只有一个根，即2ln a x x x=++在()0,+∞上有且只有一个根，令()2ln h x x x x=++，则()()()2222211221x x x x h x x x x x +-+-='=+-=，当01x <<时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时， ()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 13h x h ==由题意可知，若使函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则()min 3a h x ==，故选D. 16. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为____. 【答案】2 【解析】∵当时，，∴当时，，∵函数为奇函数，∴，则∴ ∴曲线在点处的切线的斜率为17. 已知l 为曲线在A （1，2）处的切线，若l 与二次曲线也相切，则______．【答案】4【解析】的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点，，解得. 18.已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】 由题意得，因为，所以，所以函数单调递减， 由因为为奇函数，，所以，即，解得.19.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),33,-∞-⋃+∞20.曲线1x y e x -=+的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为____________. 【答案】2y x =【解析】设切点为()0100,x x e x -+，则1'1x y e -=+，即011x k e -=+，故切线方程为()()0011001x x y e x e x x ----=+-，又切线过原点， ()()001100010x x e x e x --∴--=+-，解得01x =，将01x =代入()()0011001x x y e x e x x ----=+-，可得切线方程为2y x =，故答案为2y x =.21.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线下方,,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时, 取到最小值,且g(0)=1;直线恒过点(1,0),斜率为,由图知当时不合题意,故,若要存在唯一的整数，使得在直线下方,则,即,代入得,解得,故填.22.已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与)(x g 的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】0m ≥或21e m e+=-【解析】因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x =有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e=∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e +-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时， ()0h x '<，当1x e <时， ()0h x '>，所以当1x e =时， (h x ）有唯一极小值21e e+-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e +=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e +=-.。

回顾6 解析几何[必记知识]1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋y b＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[提醒] 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离 |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 1：Ax＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2)．[提醒] 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等.4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．椭圆的标准方程及几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 几 何 性 质图形范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)；B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )；B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a ，短轴长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率 焦距与长轴长的比值：e ∈(0，1)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2[提醒] 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，b a越趋近于1，椭圆越接近于圆.所以e 越大椭圆越扁；e 越小椭圆越圆，当且仅当a ＝b ，c ＝0时，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2（a ＞0）.7．双曲线的标准方程及几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (a＞0，b＞0) 图形几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2[提醒] (1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0＜2a＜|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹不存在.8．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形几何对称轴x轴y轴顶点O(0，0)[必会结论]1．与圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A ，B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(4)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点P (x 0，y 0)引圆的切线，切点为T ，则|PT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .(5)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(6)若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长d ＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2－r 2. 2．椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0(焦半径公式)，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(e 为椭圆的离心率) (2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S△PF 1F 2取得最大值，为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 3．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±bax .(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x (a ＞0，b ＞0)，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ.(3)若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0，焦点在x 轴上；λ＜0，焦点在y 轴上)．4．双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则k PA ·k PB ＝b 2a2，S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a .5．抛物线焦点弦的相关结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为直线AB 的倾斜角，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p 1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α.(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|FA |＋1|FB |＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (6)S △OAB ＝p 22sin α(O 为抛物线的顶点)．[必练习题]1．过圆x 2＋y 2－x －y ＋14＝0的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x －y ＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选 C.由题意知圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，所以过圆的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.2．圆心为(4，0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋y 2＝1 B ．(x －4)2＋y 2＝12 C ．(x －4)2＋y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝9解析：选B.由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2＋y 2＝12，故选B.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则其渐近方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±4xC ．y ＝±12xD ．y ＝±14x解析：选C.由题意得e ＝c a ＝52，又a 2＋b 2＝c 2，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选C.4．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若|AB |＝4，|BC |＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233解析：选 A.不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，如图，由题意知，2a ＝4，a＝2，因为∠CBA ＝π4，|BC |＝2，所以点C 的坐标为(－1，1)，因为点C 在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，所以b 2＝43，所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.5．已知⊙M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到原点O 的距离为( )A ．143或73B ．154或83C ．133D ．163解析：选D.因为⊙M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，所以⊙M 不可能过异侧的顶点和焦点，不妨设⊙M 经过双曲线的右顶点和右焦点，则圆心M 到双曲线的右焦点(5，0)与右顶点(3，0)的距离相等，所以x M ＝4，代入双曲线方程可得y M ＝±16×⎝ ⎛⎭⎪⎫169－1＝±473，所以|OM |＝16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4732＝163，故选D.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D.易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x 得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D. 7．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1(a ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为43，则双曲线的方程为( )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 26－y 212＝1D ．x 24－y 212＝1 解析：选 D.根据对称性，不妨设点A 在第一象限，A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝a 2，y ＝23a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 212＋a 2，y ＝23a 12＋a2，因为四边形ABCD 的面积为43，所以4xy ＝4×23a312＋a2＝43，解得a ＝2，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，选D.8．已知圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2与圆C 2：x 2＋(y －b )2＝2(b ＞0)相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则b ＝________．解析：由题意知C 1(1，0)，C 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝2，所以线段AB 和线段C 1C 2相互垂直平分，则|C 1C 2|＝2，即1＋b 2＝4，又b ＞0，故b ＝ 3.答案： 39．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，以原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为________．解析：如图，因为四边形PAOB 为正方形，且PA ，PB 为圆O 的切线，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a ＝2b ，所以e ＝c a ＝22. 答案：2210．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．解析：由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为y ＝33x .抛物线的焦点为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点为F 2(2，0)．又y ′＝1p x ，故抛物线C 1在点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p 处的切线的斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，又点F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 2(2，0)，M⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6三点共线，所以p2－00－2＝p 6－p233p －0，即p ＝433.43答案：3。

教学资料范本【2020最新】数学高考（理）二轮专题复习：第一部分专题六解析几何1-6-2-含答案(1)编辑：__________________时间：__________________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k)＝(25－k)＋9，知两曲线的焦距相等．2．(20xx·宁夏银川质检)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )A. B.32C．1 D. 3解析：选D.由抛物线y2＝8x，有2p＝8⇒p＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取其中一条x－y＝0，由点到直线的距离公式，有d＝＝，故选D.3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点．则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝，①又∵椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1，故选B.4．已知抛物线y2＝2px 的焦点F 与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y2＝2px 的焦点F 与双曲线－＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A(m ，n)，又|AK|＝|AF|，所以m ＋4＝|n|，又n2＝16m ，解得m ＝4，|n|＝8，所以△AFK 的面积为S ＝×8×8＝32.5．(20xx·安徽合肥模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P 为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 解析：选 A.设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，PA1→·＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x －2＝4x2－x －5＝4－，其中x≥1.因此，当x ＝1时，·取得最小值－2，选A.6．(20xx·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C1：y2＝2px(p ＞0)与双曲线C2：－＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C1的准线的距离为p ，则双曲线C2的离心率等于( )A.B. 3C.D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝x ，联立⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pa2b2，y ＝2pa b ，故A.因为点A 到抛物线C1的准线的距离为p.所以＋＝p ，所以＝.所以双曲线C2的离心率e ＝＝＝.7．(20xx·山东德州一模)已知抛物线y2＝8x 与双曲线－y2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x±3y＝0B ．3x±5y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0解析：选A.抛物线y2＝8x 的焦点为F(2,0)，准线方程为x ＝－2，设M(m ，n)，则由抛物线的定义可得|MF|＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n2＝24，可得n ＝±2.将M(3，±2)代入双曲线－y2＝1(a ＞0)，可得－24＝1(a ＞0)，解得a ＝，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x，即5x±3y＝0.故选A.8．(20xx·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. B.12C. D.34解析：选A.由题意可知直线AE的斜率存在，设为k，直线AE的方程为y＝k(x＋a)，令x＝0可得点E坐标为(0，ka)，所以OE的中点H 坐标为，又右顶点B(a,0)，所以可得直线BM的斜率为－，可设其方程为y＝－x＋a，联立可得点M横坐标为－，又点M的横坐标和左焦点相同，所以－＝－c，所以e＝.9．已知双曲线的标准方程为－＝1，F为其右焦点，A1，A2分别是实轴的左、右端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x＝a分别交于M，N两点，若·＝0，则a的值为( )A. B.95C. D.165解析：选B.∵双曲线－＝1，右焦点F(5,0)，A1(－3,0)，A2(3,0)，设P(x，y)，M(a，m)，N(a，n)，∵P，A1，M三点共线，∴＝，m＝，∵P，A2，N三点共线，∴＝，∴n＝.∵－＝1，∴＝，∴＝.又＝，＝，∴·＝(a－5)2＋＝(a－5)2＋，∵·＝0，∴(a－5)2＋＝0，∴25a2－90a＋81＝0，∴a＝.故选B.10．(20xx·山东东营模拟)设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使·＝0，且|PF1|＝|PF2|，则该双曲线的离心率为( )A. B.＋1C. D.＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P，使·＝0，所以⊥，因为|PF1|＝|PF2|，所以|F1F2|＝2|PF2|＝4c，即|PF2|＝2c，所以|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝(－1)|PF2|＝2a，因为|PF2|＝2c，所以2c(－1)＝2a，e＝＝＝.11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.12．(20xx·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，|AB|＋|DE|的最小值为( )A．16 B．14C．12 D．10解析：选A.设AB倾斜角为θ，则|AB|＝，又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为＋θ，|DE|＝＝2pcos2θ而y2＝4x，即p＝2.∴|AB|＋|DE|＝2p＝＝≥16，当θ＝时取等号，即|AB|＋|DE|最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e＝的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A 两点，若△AOF的面积为4，则a的值为________．解析：因为e＝＝，所以＝，＝＝，设|AF|＝m，|OA|＝2m，由面积关系得×m×2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝＝2，又＝，所以a ＝4.答案：414．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案：x2＋＝115．(20xx·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B，C，F(c,0)，∴＝，＝，由∠BFC＝90°，可得·＝0，所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝.答案：6316．(20xx·山东潍坊模拟)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为________．解析：设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－＝(a＋b)2，因为＝＝MN，所以|AB|2≥|2MN|2，所以≥，所以最小值为.答案： 3。

专题六 解析几何目录一、考情分析.................................................................................1 二、两年高考试题展示.....................................................................1 三、知识、方法、技能.....................................................................15 四、延伸拓展.................................................................................26 （一）阿波罗尼奥斯圆.....................................................................26 （二）椭圆与双曲线的对偶性质.........................................................28 （三）抛物线性质总结 (35)一、考情分析解析几何高考全国卷中一般有2道客观题、1道解答题，客观题考查热点是双曲线的几何性质、椭圆、抛物线的定义及几何性质及抛物线与其他知识的交汇；解答题一般分2问，第1问主要考查曲线的方程，第2问主要考查直线与圆锥曲线的关系.二、两年高考试题展示1. 【2019全国卷Ⅰ】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为(A) 2212x y +=(B) 22132x y +=(C) 22143x y +=(D) 22154x y +=【答案】B【解析】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．2．【2018全国卷I 】已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=(A) (B) 3 (C) (D) 4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.3．【2018全国卷I 】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.4. 【2019全国卷Ⅱ】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．5. 【2019全国卷Ⅱ】11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 (A) 2(B) 3(C) 2 (D)5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．2e ∴=A ．6．【2018全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.7．【2018全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.8. 【2019全国卷Ⅲ】10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为(A)324(B)322(C)12x x (D) 32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上， 113326224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 9．【2018全国卷Ⅲ】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为(A)(B) 2 (C)(D)【答案】C【解析】由题可知，，在中，，在中,，，，故选C.10．【2018全国卷Ⅲ】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 (A) (B)(C)(D)【答案】A 【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离，故点P 到直线的距离的范围为，则，故答案选A.11. 【2019全国卷Ⅰ】16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则12,OB OF OF ==有221122,OBF BF O OBF OF B ∠=∠=∠=∠1AOB AOF ∠=∠．又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠则0260BOF ∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=． 12. 【2019全国卷Ⅲ】15.设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(15【解析】由已知可得2222236,36,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．122212,4MF MF a MF +===．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M的坐标为(．13. 【2019全国卷Ⅰ】19.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【解析】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =- ∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则()21212413413144129AB y y y y =+⋅+-=⋅+=14．【2018全国卷I 】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【解析】（1）由已知得，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为或.所以AM 的方程为或.（2）当l 与x 轴重合时，.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为，，则，直线MA ，MB 的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以.综上，.15. 【2019全国卷Ⅱ】21.已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值. 【解析】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2yx x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE kk =，可得直线QE方程：2k y x =-2222 4.k y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q 点和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+,因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形；（ii ）由（i ）可知：2222(,),(,)21212121P Q k k k k ++++，G 的坐标为232222(,)(2)21(2)21k k k k ++++，22222222222241()()2121212121k k k PQ k k k k k --+=-+-=+++++，23222222222226422241()()(2)2121(2)2121(2)21k k k k k PG k k k k k k k k ++=-+-=++++++++,22342222141418()2252(2)2121PQGk k k k k S k k k k k ∆+++=⨯⋅=+++++42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =. 16．【2018全国II 】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由得． ，故．所以．由题设知，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得或因此所求圆的方程为或．17. 【2019全国卷Ⅲ】21.已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】(1)证明：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，因为212y x =，所以'y x =， 则切线DA 为：111()y y x x x -=----------①，切线DB 为：222()y y x x x -=---------②，代入212y x =得22111222221212y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②，21x x ⨯-⨯①②得2112121()()02x x y x x x x -+-=，因为120x x -≠故消去得交点的纵坐标1212y x x =， 因为DA 和DB 的交点D 为直线12y =-上的动点，所以有121122y x x ==-，121x x =-，直线AB 为112121y y x x y y x x --=--，点A ，B 在曲线22x y =上，则有211222121222x y x x x x x x --=--，整理得21121121212111()()()()2222x y x x x x x x x x x x x x =+-+=-++=++，即121()()02x x x y ++-=.当0x =，12y =时无论1x ,2x 取何值时，此等式均成立.因此直线AB 过定点1(0,)2，得证. (2)设AB 的中点为G ，由题得G 点坐标为1212(,)22x x y y ++，则12125(0,)222x x y y EG ++=--，又1212(,)BA x x y y =--.由题意知EG BA ⊥，即0EG BA ⋅=即121212125()()()()0222x x y y x x y y ++-+--=.代入212y x =得222222121212151()()()02422x x x x x x +-+-⋅-=整理得22121212()()(6)0x x x x x x -++-=. 因120x x -≠，故221212()(6)0x x x x ++-=.所以120x x +=或221260x x +-=.由第一问中22111222221212y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②，为这里的(,)x y 为D 点坐标,然而12y =,故 221111122x x x x --=-，所以1111()2x x x =-，又因为121x x =-.所以121112111111()()()222x x x x x x x x x -=-=-=+.即D 坐标为1211((),)22x x +-. 那么1212(,)BA x x y y =--,121((),3)2ED x x =+. 设θ为BA与ED 的夹角，那么有221sin (2ADBE S BA ED BA ED BAθ=⋅==⋅-=四边形代入212y x =进行化简有ADBE S =四边形 若120x x +=，则3ADBE S ===四边形. 若221260x x +-=，则222121212()24x x x x x x +=++=,222121212()28x x x x x x -=+-=代入有ADBES ==四边形所以四边形ADBE 的面积为3或18．【2018全国卷Ⅲ】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【解析】（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故. （2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.三、知识、方法、技能1直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．(2)在使用过两点的直线的斜率公式k＝y2－y1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是x2－x1否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.(3)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤：①求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)；②利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．(4)直线的斜率与倾斜角的关系：①当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞；②当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大并趋近于0(k ≠0)． 2.给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；3.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解. 3.直线在x 轴上的截距是直线与x 轴的交点的横坐标，直线在y 轴上的截距是直线与y 轴的交点的纵坐标，注意截距不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.截距相等包括经过原点的直线.【例】求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．【解析】当直线不经过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1(a ≠0)，将点A (－5，2)代入方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线经过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.综上可知，所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.4. 运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5. 无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.由两直线平行求参数要注意排除重合的情况.6.运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.7.判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6.解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，如四边形有外接圆的充要条件：对角互补.7.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0. 8.关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在． 9.关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． ②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．10.与角平分线有关的问题常转化为轴对称问题.【例】在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A、C的坐标．【答案】A(－1，0)，C(5，－6)11.求圆的方程必须具备三个独立的条件.从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程.因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法.(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等.(3)常见圆的方程的设法：12.才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法.13.求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程.(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解②中的方程组，求得a，b，r或D，E，F的对应值，代入圆的标准方程或一般方程.14.具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种： ①同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0).其中的a ，b 是定值，r 是参数. ②半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0).其中r 是定值，a ，b 是参数.③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R ).④过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，因此应用时注意检验C 2是否满足题意，以防丢解).当λ＝－1时，圆系方程表示直线l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.若两圆相交，则l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l 为公切线.15.在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离.16.要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等.可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记.17.涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F. 18.计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形.当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2(A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视. 19.已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y 2＋F ＝0.20.研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法.两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程.21.已知点()00,P x y 及圆C ：()2220x y r r +=>，若点P 在圆C 上，则直线200x x y y r +=为圆C 在点P处的切线；若点P 在圆C 外，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 方程为200x x y y r +=；若点P 在圆C 内，过点P 的直线与圆C 交于点A ，B ，过A ，B 作圆C 的切线，则两切线交点轨迹方程为200x x y y r +=.22.求曲线的轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系f (x ，y )＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数.(4)相关点法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，首先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得到要求的轨迹方程.(5)交轨法：动点P (x ，y )是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程.(6)参数法：当动点P (x ，y )的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f (x ，y )＝0.(4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程.23.要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明. 24.根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律： (1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法； (2)双动点的轨迹问题——相关点法； (3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法.25.利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x ，y 的取值范围的制约.26.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下： (1)曲线f (x ，y )＝0关于已知点A (a ，b )的对称曲线的方程是f (2a －x ，2b －y )＝0； (2)曲线f (x ，y )＝0关于y ＝kx ＋b 的对称曲线的求法：设曲线f (x ，y )＝0上任意一点为P (x 0，y 0)，点P 关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ，y )，则由轴对称的条件知，P 与P ′的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y －y0x －x 0·k ＝－1，y ＋y 02＝k ·x ＋x 02＋b ，从中解出x 0，y 0，将其代入已知曲线f (x ，y )＝0，就可求出曲线f (x ，y )＝0关于直线y ＝kx ＋b 对称的曲线方程.27．椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解.28.在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在.29.椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定.30.求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值.31.直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.32.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一. 33.椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.34.求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算.35.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用.36.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.37.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线.38.双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，则①x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若点P在右支上，则r1＝ex0＋a，r2＝ex0－a；若点P在左支上，则r1＝－ex0－a，r2＝－ex0＋a.②y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，若点P在上支上，则r1＝ey0＋a，r2＝ey0－a；若点P在下支上，则r1＝－ey0－a，r2＝－ey0＋a.39.如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：(1)||AB＝x1＋x2＋p；(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1|| AF ＋1||BF＝2p.40.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°；(2)取MN的中点R，则∠ARB＝90°；(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴.41.求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法.若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0).若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左.m有两解时，则抛物线的标准方程有两个.对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论.42.对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.43.在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m (或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程.44.对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组.为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决. 以“求直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1(k 为参数)是否过定点？有以下常用方法：①待定系数法：假设直线l 过点(c 1，c 2)，则y －c 2＝k (x －c 1)，即y ＝kx －c 1k ＋c 2，通过与已知直线方程比较得c 1＝－2，c 2＝1.所以直线l 过定点(－2，1).②赋值法：令k ＝0，得l 1：y ＝1；令k ＝1，得l 2：y ＝x ＋3，求出l 1与l 2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k ＋2k ＋1恒成立，所以线l 过定点(－2，1).赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程.③参数集项法：对直线l 的方程中的参数集项得y ＝k (x ＋2)＋1，令k 的系数为0，得x ＝2，y ＝1，k 的取值是任意的，但l 的方程对点(－2，1)恒成立，所以直线l 过定点(－2，1).45.圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l (或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l 上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解.46.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；。

专题06 双曲线【母题来源一】【2020年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=122x a 25y（a >0）的一条渐近线方程为y x ，则该双曲线的离心率是 ▲ . 【母题来源二】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线xOy 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 2221(0)y x b b -=>【母题来源三】【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线xOy的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值22221(0,0)x y a b a b -=>>(,0)F c 是________________．【命题意图】通过了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，结合数形结合的思想考查它的简单几何性质以及双曲线的简单应用.【命题规律】双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，难度中档，注重对计算能力以及数形结合思想的考查.从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）对双曲线定义与方程的考查；（2）对双曲线简单几何性质的考查，如求双曲线的渐近线、准线、离心率等； （3）双曲线与其他知识的综合，如平面几何、向量、直线与圆等．【方法总结】（一）对双曲线的定义与标准方程必须掌握以下内容：（1）在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意这一隐含条件． d c a ≥-（2）求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.22,a b （3）在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.221(0)Ax By AB +=<（4）常见双曲线方程的设法：①与双曲线(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为22221x y a b-=． 2222(0,0,0)x y a b a b λλ-=>>≠②若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为n y x m=±或． 2222(0,0,0)x y m n m nλλ-=>>≠2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠③与双曲线(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221x y a b-=． 22221(0,0,x y a b a k b k-=>>-+22)b k a <-<④过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． ()2210mx ny mn +=<⑤与椭圆(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221x y a b +=． 22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<（二）对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ，b 的关系，结合已知条件可解.（三）求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系,a c a b c ，，将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分222c a b =+c e a ===双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双a b c ，，a b c ，，222a b c =+曲线中.222c a b =+（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或,a c c e a=e 2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.1()e ∈+∞,（四）求解双曲线的离心率的范围的方法：一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区222c a b =+c e a=e 分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于1()e ∈+∞,)1(0e ∈，e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.1．（江苏省苏州市昆山震川高级中学2020届高三下学期三模数学试题）已知双曲线，则该双曲线的渐近线为_______．2221(0)2x y a a -=>2．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线的一()22210y x b b -=>个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________．3．（2020届江苏省高三高考全真模拟（六）数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线C 的一条准y x =±F 线与两条渐近线所成的三角形的面积为______． 4．（2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期第三次调研考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线（a ＞0）的左准线，则实数a 的值是_______． 22212x y a -=5．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知抛物线的准22y x =线也是双曲线的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是________． 2213x y m -=6．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）若双曲线＝12222x y a b －（a >0，b >0）与直线y x 无交点，则离心率e 的取值范围是________．7．（江苏省南通市2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）已知离心率的双曲2e =线D ：的左、右焦点分别为，，虚轴的两个端点分别为22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1A，，若四边形的面积为D 的焦距为______．2A 1122A F A F 8．（2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题）在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程22221x y a b-=0a >0b >32为______．9．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到其渐近线的距离为_________________． 221169x y -=10．（2020届江苏省百校高三下学期第四次联考数学试题）在平面直角坐标系中，双xOy 曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近22221(0,0)x y a b a b-=>>2c x 线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为____________．2c 11．（2020届江苏省盐城市高三下学期第三次模拟数学试题）若双曲线（a ＞22221x y a b-=0，b ＞0）的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_______．12．（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模数学试题）在平面直角坐标系中，xOy 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点C ()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若2F x l C A B 1F AB 是正三角形，则双曲线的离心率为__________．C 13．（2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研数学试题）双曲线的左，右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与双曲22221(0,0)x y a b a b-=>>12F F ，2F x线交于两点，若_____________． A B ，12F F =14．（2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题）已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为、，点P 是第一22221x y a b -=10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭20F ⎫⎪⎪⎭象限内双曲线上的点，且，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为1212tan PF F ∠=_____．15．（2020届江苏省宿迁市沭阳中学高三下学期百日冲刺模拟考试数学试题）已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为22221(0,0)x y a b a b -=>>(1,______．16．（2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考数学试题）在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆x 2＋y 2＝5相交于A ，B ，C ，D 四点，则四2214y x -=边形ABCD 的面积为_______．17．（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期三模数学试题）已知直线与双曲:2l y x =线的一条渐近线垂直，且右焦点到直线l 的距离为2，则双曲线的标准方22221x y a b-=程为_______．18．（江苏省南京市2020届高三下学期6月第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为22221x y a b-=半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为_______．19．（2020届江苏省南通市如皋中学、如东中学高三下学期阶段联合调研数学试题）已知双曲线的两条渐近线与直线22213x y b-=x =__________．20．（2020届江苏省高三高考全真模拟（八）数学试题）在平面直角坐标系中，若双xOy曲线的值是________．如何学()22104x y m m m -=>+m 好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

解密高考⑥ 函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”——————[思维导图]————————————[技法指津]——————函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参数函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点，对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分母题突破：2019年济南模拟(1)看到证明f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点，想到解决此问题应分两步：①确定有零点；②确定唯一性．可先求出f ′(x )的零点，然后利用导数证明单调性，进而确定唯一性．(2)看到求a 的取值范围，想到根据f (x )≥ax 构造函数或分离参数求解．[规范解答·评分标准](1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1， g ′(x )＝x cosx ．············································2分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时， g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减. ················4分 又g (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点.6分(2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0. ······················7分 由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，x 0)单调递增，在(x 0，π)单调递减. ···························································10分又f (0)＝0，f (π)＝0，所以，当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax .因此，a 的取值范围是(－∞，0]. ·····························12分[构建模板·三处关键] 解函数与导数综合问题的关键关键1：会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；关键2：证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；关键3：不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．, 已知函数f (x )＝(x －1)ln x ＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)a ＝0时，f (x )＝(x －1)ln x ，f ′(x )＝ln x ＋(x －1)·1x ＝ln x －1x＋1，设g (x )＝ln x －1x＋1， 则g ′(x )＝x ＋1x 2＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，∴x ∈(0,1)时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(x －1)ln x ＋ax ＞0，得－ax ＜(x －1)ln x ，而x ＞0，∴－a ＜x －x x＝ln x －ln x x . 记h (x )＝ln x －ln x x ，则h ′(x )＝1x －1x ·x －ln x x 2 ＝ln x ＋x －1x 2， 设m (x )＝ln x ＋x －1(x ＞0)，显然m (x )在(0，＋∞)上单调递增，而m (1)＝0，∴x ∈(0,1)时，m (x )＜0，h ′(x )＜0，h (x )单调递减， x ∈(1，＋∞)时，m (x )＞0，h ′(x )＞0，h (x )单调递增， ∴h (x )min ＝h (1)＝0.∴－a ＜0，∴a ＞0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．。