上海市延安高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海市延安中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.下列函数中,在区间)0+∞，上为增函数的是（ ） A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.1y x x=+C.()ln 2y x =+D.12y x -=2.在△ABC 中,“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是（ ） A.若30a ＞，则20180a ＞ B.若40a ＞，则20190a ＞ C.若30a ＞，则20190S ＞D.若40a ＞，则20200S ＞4.若函数()f x 满足：对于任意的,,a b c ∈R ，()()(),,f a f b f c 都可成为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数2()21+=+x x t f x 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)0,+∞B.[]0,1C.[]1,2D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}{}2|03B x x =，＜＜，则AB =_______.6.若tan 2α=，则sin 2α= .7.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若127S π=，则()67cos a a +=________.9.幂函数()f x的图像过点2⎛ ⎝⎭，则()14f -=______. 10.已知：sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，则tanα:tanβ=________.11.设△ABC 中,a b c 、、分别为内角、AB 、C 的对边,sin sin ab B C ==，△ABC 的面积为则边b 的长为__________.12.已知数列{}n a 中,12512n n n n a n -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，为奇数，，为偶数则()122lim n n a a a →∞++⋯+=______. 13.已知数列{}n a 中,132a =，前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________. 14.如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()212l l l ＞，扇环的两条边AD 和BC 的长都是d ,则此扇环的面积为________(用12l l 、和d 表示).15.已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足1234a a a a ＜＜＜，且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立,则实数a 的取值范围是_________.16.已如函数())20182018log 20182xx f x x -=--+，则关于x 的不等式()()264f x f x -+＞的解集为____________.三、解答题（题型注释）17.已知()15cos cos 2313αβααβ+=-=-，，、均为锐角. (1)求sin α的值； (2)求()cos αβ-的值.18.已知函数()211221log log 28.2f x x a x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，(1)若1a =,求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a +=有解,求实数a 的取值范围. 19.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足:()()2*1141.n n a S a n N ==+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*11n nn n n a a b n N a a ++=+∈，求()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值； (3)是否存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=?若存在,求出所有符合条件的m k 、；若不存在,请说明理由.21.定义区间()[)(][]c d c d c d c d ，、，、，、，的长度均为d c -,其中.d c ＞ (1)若函数21xy =-的定义域为[]a b ，，值域为102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，写出区间长度[]a b ，的最大值；(2)若关于x 的不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集构成的各区间长度和为6,求实数t的取值范围；(3)已知m n R ∈，，求证:关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值.参考答案1.C【解析】1.对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A 选项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不符合题意. 对于B 选项，1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，()ln 2y x =+在()2,-+∞上递增，故在区间()0+∞，上为增函数，符合题意.对于D 选项，12y x -=在区间()0+∞，上为减函数，不符合题意. 故选：C. 2.B【解析】2.将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要条件.当“cos cos sin sin A B A B ＞”时，()cos cos sin sin cos 0A B A B A B -=+>，所以()cos cos 0C A B =-+<，所以ABC ∆是钝角三角形.当“ABC ∆是钝角三角形”时，有若C 为钝角时，则()()cos cos cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=--<，所以cos cos sin sin A B A B >.当B 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0B A A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 当A 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0A B A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 所以当“ABC ∆是钝角三角形”时，不能推出“cos cos sin sin A B A B >”. 故“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B. 3.C【解析】3.根据等比数列通项公式、前n 项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.对于A 和C 选项， 2310a a q =>，则10a >，0q ≠.201520183a a q =⋅，由于q 的符号无法确定，故2018a 无法确定符号，A 选项错误.20192019111q S a q -=⋅-，由于2019110,01q a q->>-，所以20190S >，C 选项正确. 对于B 和D 选项，3410a a q =>，则1a 和q 同号（可能同时为正，或者同时为负）201520194a a q =⋅，其中40a >，而q 的符号无法确定，故B 选项错误.20192020111q S a q -=⋅-，其中2019101q q->-，而1a 的符号无法确定，故D 选项错误. 故选：C. 4.D【解析】4.先由题意得到()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，将函数()f x 解析式变形，得到1()121-=++x t f x ，分别讨论1t =，1t >，1t <三种情况，根据函数单调性求出函数值域，进而可求出结果.由题意可得：()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，因为21()12121+-==+++x x x t t f x ， 当1t =时，()1f x =，此时()()(),,f a f b f c 都为1，能构成一个等边三角形，满足题意； 当1t >时，1()121-=++x t f x 在R上是减函数，所以11()11121-<=+<+-=+x t f x t t ， 即()()()(),,1,∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得2t ≤，所以12t <≤； 当1t <时，1()121-=++x t f x 在R上是增函数，所以1()1121-<=+<+x t t f x ， 即()()()(),,,1∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得21≥t ，解得12t ≥；所以112t ≤<； 综上，122t ≤≤. 故选：D 5.{}1,2【解析】5.根据交集的知识，求得两个集合的交集. 交集是两个集合的公共元素，故{}1,2A B =.故答案为：{}1,2. 6.45【解析】6.sin 2α.7.()()3,44,⋃+∞【解析】7.根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞8.【解析】8.根据等差数列前n 项和公式，求得67a a +的值，进而求得()67cos a a +的值. 依题意()11212671267π2a a S a a +=⨯=+=，所以677π6a a +=，所以()67cos a a +=ππcos πcos 66⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为： 9.116【解析】9.求得幂函数()f x 的表达式，令()4f x =求得()14f-的值.设幂函数()f x x α=，将2⎛ ⎝⎭代入得22α=，所以12α=-，即()12f x x -=.()4f x =，所以124x -=，解得116x =，根据反函数的性质知()11416f -=.故答案为：116. 10.5【解析】10. 因为sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，所以sinαcosβ+cosαsinβ=12,sinαcosβ−cosαsinβ=13,因此sinαcosβ=512,cosαsinβ=112,即tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=5.11.【解析】11.由正弦定理得到b c =，利用三角形面积公式求得sin C ，由此求得,,C B A 的大小，利用余弦定理解方程，解方程求得a 的值.由正弦定理得b c =，由三角形面积公式得1sin 2ab C =，而ab =1sin sin 2C B ==，所以π6B C ==，2π3A =.由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=，即22222221211,3222b a a a b b b --==-⋅=，223ab ，3a b ，代入ab =2260,b b ===故答案为：12.14-【解析】12.利用分组求和法求得122n a a a ++⋯+的表达式，进而求得其极限值. 依题意1321,,,n a a a -是首项为25，公比为125的等比数列；242,,,n a a a 是首项为12-，公比为14的等比数列.故122n a a a ++⋯+()()1321242n n a a a a a a -=+++++++211111525241111254n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--，所以()122lim n n a a a →∞++⋯+=21521111254=---14=- 故答案为：14-. 13.12【解析】13.利用递推关系式求得{}n S 的通项公式，有2348337n n S S ＜＜，化简后求得所有n 的可能取值，进而求得满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和. 由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n S S S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322nn S -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=. 故答案为：12 14.()122l l d +⋅【解析】14.根据扇环的面积公式，求得扇环的面积. 根据扇环的面积公式可知，扇环的面积为()122l l d +⋅.下面证明扇环公式：设,OA OB x AOB α==∠=，则21l lx x dα==+，所以()12,l x d l x αα=+=，12l l d α-=.扇环的面积等于AOB DOC S S -扇形扇形()121122l x d l x =+-12121122l l l l αα=⋅-⋅()()1212121122l l l l l l d α-=⋅+⋅=⋅+⋅. 故答案为：()122l l d +⋅15.11717a -<<-【解析】15.根据二次函数的性质结合数列{}n a 的单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.依题意可知2n a an n =+是二次函数类型，且开口向下，即0a <，对称轴12x a=-.由于{}n a 满足1234a a a a ＜＜＜,且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立，所以7117222a <-<，解得11717a -<<-. 故答案为：11717a -<<-. 16.{|3x x <-或}2x >【解析】16.首先证得()()4f x f x +-=，判断出()f x 单调性后化简不等式()()264f x f x -+>，解一元二次不等式求得原不等式的解集.0x x x >-≥0x >恒成立，所以函数()f x 的定义域为R .由于())20182018log 20182xx f x x --=--+20182018log 20182xx -=--+)20182018log 20182x xx -=+-+所以()()4f x f x +-=.由于())20182018log 220181xxf x x =-++为增函数，所以有()()264f x f x -+>得()()()264f x f x f x ->-=-，则26x x ->-，即()()26320x x x x +-=+->，解得3x <-或2x >.故答案为：{|3x x <-或}2x >17.（1）sin 13α=；（2）539+.【解析】17.首先根据,αβ的大小，求得()sin ,sin 2αβα+的值. （1）利用cos2α的二倍角公式，求得sin α的值.（2）利用()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦，求得()cos αβ-的值. 由于,αβ为锐角，所以0π,02παβα<+<<<，所以()sin αβ+==，12sin 213α==.（1）由二倍角公式得25cos 212sin 13αα=-=-，29sin 13α=，由于sin 0α>，所以sin 13α=. （2）由()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()()cos2cos sin 2sin ααβααβ=+++5112513331339+⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（1）7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,2⎤-∞-⎦【解析】18.（1）利用配方法，结合二次函数的性质，求得()f x 的值域.（2）化简方程()0f x a +=，分离常数a ，根据方程()0f x a +=有解，求得a 的取值范围.（1）当1a =时，()()2222217log log 2log 24f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由于182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-，所以当21log ,22x x =-=时，()f x 有最小值为74；当2log 3,8x x ==时，()f x 有最大值为14.故()f x 的值域为7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原函数可化为()()2221log log 28.2f x x a x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-.依题意关于x 的方程()0f x a +=有解，即()222log log 20x a x a +++=①，在182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时有实数根. 当21log 1,2x x =-=时，①化为1230a a -++=≠，所以12x =不是①的根. 当1,82x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，(](]22log 1,3,log 10,4x x ∈-+∈，①可化为()()222log 1log 2a x x +=--，()()()2222222log 2log 12log 13log 1log 1x x x a x x ++-++=-=-++()223log 12log 1x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦②.其中()223log 1log 1x x ++≥=+223log 1log 1x x +=+，即1182x ⎡⎥=⎤∈⎢⎣⎦，时，等号成立.所以②式可化为2a ≤-. 所以a 的取值范围是(,2⎤-∞-⎦.19.（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.【解析】19. 解：（1）138t =． 记乙到C 时甲所在地为D ，则15D 8A =千米． 在CD ∆A 中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ， 所以()1CD f t ==. （2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时．当13788t t =≤≤时， ()f t == 当718t ≤≤时，()55f t t =-. 所以.因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是，()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3418，不超过3. 20.（1）21n a n =-；（2）2；（3）存在，523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩【解析】20. （1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得122n b b b n ++⋯+-，进而求得()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值. （3）首先假设存在符合题意的,m k ，根据已知条件列方程组，解方程组求得,m k 的值. （1）由()241n n S a =+得()21141n n S a ++=+，两式相减并化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，由于0n a >，所以12n n a a +--，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n =-.（2）由（1）得112121112221212121n n n n n a a n n b a a n n n n +++-⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以 122n b b b n ++⋯+-1112212331121521n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--+ 12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-2=. （3）存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=.理由如下： 假设存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=，由（1）得()()12211300m m m m k a a a a m k k ++++++⋯+=+-+=.由于正整数,m k 均大于2，故2114m k k +->+≥，且21m k +-和1k +的奇偶性相同.由22300235=⨯⨯得 21232125k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⎩或12521235k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⨯⎩，解得523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩.因此存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=. 21.（1）2log 3；（2）227t ≤；（3）定值为43，证明见解析.【解析】21.（1）令210xy =-=求得函数的零点，令1212xy =-=，求得定义域区间长度最大时,a b 的值.（2）先求得不等式711x >+的解集A ，设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，根据AB 的长度为6列不等式组，由此求得t 的取值范围.（3）将原不等式223x m x n+>--转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值43.（1）令210xy =-=，解得0x =，此时0y =为函数的最小值.令1212xy =-=，解得11x =-，223log 2x =.故定义域区间长度最大时231,log 2a b =-=，故区间[],a b 的长度为223log 1log 32b a -=+=.（2）由711x >+得601x x -+>+，解得16x -<<，记()1,6A =-.设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集为A B .设不等式()22log log 32x tx t ++<等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩，所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂⊆，由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立. 当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t >. 当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立. 当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数227t ≤.（3）原不等式223x m x n+>--可化为 ()()()()233342230x m n x m n mn x m x n -+++++<--①.令()()()23334223g x x m n x m n mn =-+++++，其判别式()()233412223m n m n mn ∆=++-++()29160m n =-+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根12,x x ，设12x x <，则()()()123g x x x x x =--，根据求根公式可求得2143x x -==.而()()2g m n m =-，()()2g n m n =-. i)当m n =时，不等式①等价于()()1230x x x x --<，解得12x x x <<，即不等式①的解集为()12,x x ，区间长度为2143x x -=. ii)当m n ≠时，不妨设m n <，则()()20g m n m =->，()()20g n m n =-<，所以12m x n x <<<.此时不等式①即()()()()1230x x x x x m x n --<--，解得1m x x <<或2n x x <<，即不等式①的解集为()()12,,m x n x ⋃，区间的长度为()1212x m x n x x m n -+-=+-+()334433m n m n ++=-+=.综上所述，关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值43.。

2020-2021上海西延安中学高中必修三数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A．12B．13C．14D．154．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 5．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ） A ．12B ．13C ．23D ．567．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 8．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 10．运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3二、填空题13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．14．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．16．若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是__________。

延安中学2018-2019学年度第一学期高三年级考试数学期中试卷一、填空题(1-6每小题4分,7-12每小题5分,共54分)1.已知集合{}{}，＜＜，，，，30|2101x x B A =-=则=B A _______. 2.已知，2tan =α则=α2sin _______.3.函数()()3log 12-=x x f 的定义域为_________. 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为，n S 若π，712=S 则()=+76cos a a ________. 5.幂函数()x f 的图像过点，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222则()=-41f ______. 6.已知()()，，31sin 21sin =-=+βαβα则=βαtan tan ________. 7.设△ABC 中,c b a 、、分别为内角、AB 、C 的对边,，，C B ab sin sin 360==△ABC 的面积为315,则边b 的长为__________.8.已知数列{}n a 中,，为偶数，为奇数，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n a n n n 12152则()=+⋯++∞→n n a a a 221lim ______. 9.已知数列{}n a 中,，231=a 前n 项和为，n S 且满足()，*132N n S a n n ∈=++则满足 7833342＜＜n n S S 所有正整数n 的和是___________. 10.如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()，＞212l l l ,扇环的两条边AD 和BC的长都是d ,则此扇环的面积为________(用21l l 、和d 表示)。

11.已知数列{}n a 的通项公式为，n an a n +=2若满足，＜＜＜4321a a a a ,且当8≥n 时, 1+≥n n a a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________.12.已如函数()，220181log 201822018+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-x x x x x f 则关于x 的不等式 ()()462＞x f x f +-的解集为____________.三、选择题(每小题5分,共20分)13.下列函数中,在区间()∞+，0上为增函数的是 A.x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.x x y 1+= C.()2ln +=x y D.21-=x y 14.在△ABC 中,“B A B A sin sin cos cos ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是A 若，＞03a 则02018＞a B.若，＞04a 则02019＞aC.若，＞03a 则02019＞SD.若，＞04a 则02020＞S16.对于函数()x f ,若对任意()()()c f b f a f R c b a 、、，，，∈为某三角形的三条边长,则称()x f 为“可构造三角形函数”,已知()122++=x x t x f “可构造三角形函数”,则实数a 的取值范围是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221， B.[]21， C.[]10， D.[]∞+，0三、解答题(共76分)17.(第1小题6分,第2小题8分,共14分)已知()βααβα、，，1352cos 31cos -=-=+均为锐角。

2021届陕西省延安市黄陵中学（高新部）高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}0,2,3,5A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2,3,5B ．{}0,3,5C ．{}0,2,5D ．{}0,2,3【答案】A【分析】根据集合交集运算求解即可得答案 【详解】解：根据题意，{}{}{}2,0,2,3,53,4,52,3,5A B ==.故选：A.2．设x ∈R ，则“30x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题首先可通过运算得出30x -≥即3x ≤以及11x -≤即02x ≤≤，然后根据3x ≤与02x ≤≤之间的关系即可得出结果. 【详解】30x -≥，即3x ≤，11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，因为集合[]0,2是集合(],3-∞的真子集， 所以“30x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-3【答案】B【分析】利用余弦定理列方程求解即可得答案. 【详解】解：因为已知5a =，2c =，2cos 3A =， 所以由余弦定理得：2222452cos =243b c a b A bc b +-+-==，解方程得：3b =或13b =-（舍） 故选：B.4．“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x π-<B ．x R ∀∈，20x x π-≤C ．0x R ∃∈,2000x x π-<D ．0x R ∃∈，2000x x π-≤【答案】C【分析】根据全称命题的否定求结果.【详解】因为“”x R ∀∈的否定为0“”x R ∃∈，所以“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是:0x R ∃∈,2000x x π-<, 选:C.5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝x【答案】D【解析】试题分析：因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．【解析】对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,3【答案】D【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1(2)1f x --化为121x --，解得答案．【详解】解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=， 不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤， 故选：D.7．若函数3log (25),0()1,02xx x f x x +>⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则((1))f f -=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．3log 7【答案】C【分析】利用分段函数的性质求解即可【详解】(1)2f -=，3((1))(2)log 92f f f -=== 故选：C8．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9．函数f (x )＝ln x －22x的零点所在的区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【答案】B【分析】计算出(1),(2),(3),(4)f f f f ，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 的图象是连续不断的， 因为(0)f →-∞，(1)2f =-，21(2)ln 2ln 2042f =-=->，2(3)ln 309f =->，1(4)ln 408f =->，所以根据零点存性定理可知，函数()f x 在区间(1,2)内存在零点. 故选：B.【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.10． 函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．11．已知1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．13- B ．223C ．13D ．223-【答案】C【分析】根据题意，化简得17312212πππαα+=+-，再利用诱导公式对17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行化简求值即可.【详解】解：由题可知，1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于17183121212212πππππααα+=+-=+-， 所以1731cos cos sin 12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.12．已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ(0)2πϕ<<个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 【答案】C【分析】根据图象得周期求出ω，代入最高点求出ϕ，【详解】平移后的函数解析式为2cos()y x ωωϕ=-+，由题图知，T ＝21151212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2Tπ＝2， ∴y ＝－2cos(2x ＋2φ)， 将5(,2)12π代入得52cos(22)212πϕ-⨯+=，即5cos(2)16πϕ+=-，∴56π＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝12π＋k π(k ∈Z).又0<φ<2π，所以φ＝12π.故选：C.【点睛】本题考查了图象的平移变换、由图象求参数，属于基础题.二、填空题13．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x =-≤≤，根据B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x =--≤=-≤≤ 当B φ=时，则121m m +≥-，解得2m ≤；当B φ≠时，若B A ⊆，如图所示：则满足12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m <≤．综上，m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视B φ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝()1f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______．【答案】2．5 【分析】由()()()142f x f x f x =＋＝＋，求出函数的周期是4，再结合偶函数的性质，()105.5f 转化为()2.5f ，代入所给的解析式进行求解．【详解】()()()()14222f x f x f x f x ⎡⎤=⎣⎦＋＝＋＋＝＋．故函数的周期为4．∴()()()()105.5427 2.5 2.5 2.5f f f f ⨯＝－＝－＝．∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝．∴()105.5 2.5f ＝．【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．15．在△ABC 中，若b ，B ＝2A ，则△ABC 为______三角形． 【答案】等腰直角【分析】由B ＝2A ，得sin sin 2B A =，由正弦的二倍角公式可得sin 2sin cos B A A =，又b a ，由正弦定理可得cos A =.【详解】解：因为在△ABC 中，若b a ，B ＝2A ， 所以sin sin 2B A =，即sin 2sin cos B A A =， 由正弦定理sin sin a bA B=，则2cos b a A =又b a ，所以cos A 又()0,A π∈， 所以4A π=，即,24B C ππ==，即△ABC 为等腰直角三角形， 故答案为等腰直角.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题.16．由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________. 【答案】18【分析】先求得抛物线与直线的交点坐标，数形结合，利用定积分即可容易求得图形的面积.【详解】如图所示，解方程组224y xy x ⎧=⎨=-⎩得两交点为(2，－2)，(8，4).选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即8222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰()()3328882220222211224?332x x x x =+-+ 1656302433=+-+ 18=故答案为：18.【点睛】本题考查利用定积分求曲边梯形的面积，涉及抛物线的轨迹，属综合基础题.三、解答题17．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<．若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； 【答案】23x <<.【分析】分别解出两个不等式，由p q ∧为真，则p 真且q 真，可得答案. 【详解】由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 由31x -<得131x -<-<，解得24x <<， 即q 为真时，实数x 的取值范围是24x <<， 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<． 故答案为：23x <<.18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式00y f f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()ecos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，sin 3sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）tan C =；（2）S =. 【分析】（1）因为3A π=，所以23B C π+=，然后，由sin 3sin B C =变为2sin 3sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解即可 （2）利用正弦定理和余弦定理，求出b 和c ，利用面积公式求解即可 【详解】解：（1）因为3A π=，所以23B C π+=， 故2sin 3sin 3C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，1sin 3sin 2C C C +=，即5sin 22C C =，得tan 5C =． （2）由sin sin b cB C=，sin 3sin B C =，得3b c =． 在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 92(3)72a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =1c =，3b =，所以ABC 的面积为1sin 24S bc A ==． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用正弦定理，化简得3b c =，以及利用余弦定理求出b 和c ，难点在于运算，难度属于中档题20．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.【答案】（1）2a =；(1,3)-；（2）2.【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值．【详解】解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦ ∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数. 所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）21．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值.【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ， 得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤． 当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等. 22．已知函数()ln ,[1,]f x ax x x e =+∈．(1)若1a =，求()f x 的最大值；(2)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1e +；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据导数可判断出函数()f x在区间[1,e]上单调递增，故可得最大值．（2）由f(x)≤0分离参数可得lnxax≤在区间[1,e]上恒成立，令()lnxg xx=，根据导数求得函数()g x的最小值后可得所求的范围．【详解】(1)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x，∴f′(x)＝1＋＝．∵ x∈[1，e]，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在[1，e]上为增函数，∴ f(x)max＝f(e)＝e＋1．(2)∵ f(x)≤0即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，∴ a≤－，x∈[1，e]．令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，∵ x∈[1，e]，∴ g′(x)≤0，当且仅当x=e时等号成立，∴ g(x)在[1，e]上递减，∴ g(x)min＝g(e)＝1e -，∴ a≤－．∴实数a的取值范围为1,e∞⎛⎤--⎥⎝⎦．【点睛】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

志丹县高级中学2016-2017学年度第一学期期中考试高三年级数学(理)试题（全卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（10小题，每题5分，共50分）1.已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则（）A.（-∞,2]B.[1,2]C. [2,2]D. [-2,1]2.命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数y=ln(1-x)的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]5.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A. -2B. 0C.1D. 26.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A. B. C.0 D.7.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8.已知为正实数,则( )A. B.C. D.9.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A.3B.2C.1D.010.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)二、填空题（4小题，每题5分，共20分）11.已知是第三象限角,,则____________.12.已知则=________.13.已知函数的定义域为(-1，1),则函数的定义域为___________.14.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.三、解答题（共5小题，每题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，(Ⅰ)当m＝3时，求A∩（?R B)；(Ⅱ)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16.已知函数的最小正周期为. (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论在区间上的单调性.17.在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(Ⅰ)求cos A的值；(Ⅱ)求c的值.18. 设函数.(Ⅰ)求的单调区间和极值；(Ⅱ)已知当恒成立，求实数的取值范围.19.设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.高三年级数学理科试题答案一、选择题（每小题5分,共50分）1.D2.D3.A4.B5.A6.B7.B8.D9.B 10.C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分)11. 12. 13.(0，1) 14.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.解：由x－5x＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(Ⅰ)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则?R B＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩（?R B)＝{x|3≤x≤5}．(Ⅱ)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.16.解(I).所以(Ⅱ)所以17.解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故.(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.在△ABC中,.所以.18.解:(Ⅰ）∴当，∴的单调递增区间是，单调递减区间是当；当.(Ⅱ）∵上恒成立.令，由二次函数的性质，上是增函数，∴∴所求的取值范围是19.解: (I)设,则.所以.所以L的方程为.(II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于.满足,且.当时,,,所以,故单调递减;当时,,,所以,故单调递增.所以,().所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.。

上海市延安中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 2． 函数的定义域为（ ）ABC D3． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 4． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．5．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π6． 已知1cos()62πα-=，则cos cos()3παα+-=（ ）A ．12B ．12±C ．2D ．2±7． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．8． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 10．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[0,2]e -B. (,2]e -?C.[0,5]D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 12．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．设,则16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．215．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720207．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．69．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+，∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.4．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.18．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）3A π=；（2）13【解析】 【分析】 （1）把sin 31cos a C c A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得3sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】 （1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．22．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.23．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式． （2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121ns n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 24．（1）=BC 2【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225420ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n//α，则m⊥n；②若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m//n；④若α⊥β，m⊥β，则m//α；其中正确命题的序号是()A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①③2.“a=0”是“ab=0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.小王同学为了测定在湖面上航模匀速航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°，则航模的速度为()米/秒A. 2√3B. 4C. 2√5D. 2√64.已知为的导函数，则的图像是()A. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共11小题，共50.0分）5.已知集合A={y|y=x2−1,x∈R}，B={y|y=x2+1,x∈R}，则A∩B=______．6.已知函数f(x)=lgx，若f(2a)+f(2b)=f(2)(a>0，且b>0)，则2a+b的最小值是______．ab7.若球的表面积为，则该球的体积等于。

8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)，当x∈[4,6]的时候，f(x)=2x+1，f(x)在区间[−2,0]上的反函数为f−1(x)，则f−1(19)=______．9.设等差数列{a n}的前n项和为S n若a11−a8=3，S11−S8=3，则使a n>0的最小正整数n的______10.已知tanα，tanβ是方程2x2+3x−7=0的两个实数根，则tan(α+β)的值为______ ．11.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6“；事件B为“两颗骰子的点数之和大干8”求事件A发生时，事件B发生的概率是______ ．12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=π3对称，它的最小正周期为π.则函数y=f(x)图象上离坐标原点O最近的对称中心是______ ．13.方程|x2−a|−x+2=0(a>0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．14.已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，S n+S n−1=n2+2(n≥2)，则S21=______．15.已知A(1,−1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB//AD，则D点坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）16.证明：(x−1x )2n的展开式中的中间一项是(−2)n1×3×5×…×(2n−1)n!．17.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC的边长AB=1，侧棱长为√32，P是A1B1的中点，E、F分别是AC，BC，PC的中点．(1)求FG与BB1所成角的大小；(2)求证：平面EFG//平面ABB1A1．18.(12分)已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断的奇偶性。

2020-2021年上海市延安中学高三上期中一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知全集U R =, 集合{}|02M x x =≤≤，集合{}|1N x x =>，则MN =________2.函数()()22log 4f x x =- 的最大值为__________3.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于_________4.函数2()(2)f x x x =<-的反函数为____________5.已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________6.二项式61()x x- 的展开式中的常数项为______________. (用数字作答)7.若 sin cos 3,tan()2sin cos αααβαα+=-=-，则()tan =2-βα___________.8.在100件产品中有 90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品.则恰含1件二等品的概率是___________(结果精确到0.01 )9. 函数()2sin()(0)f x x =+>ωϕω的部分图像如右图所示，若5AB =,则ω的值为_________10.已知函数2log ,02()25(),239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ ，若函数()() g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________.11.已知数列*{}()n a n N ∈ ，若1111,=()2n n n a a a +=+ ，则2lim n n a →∞= __________.12.如图，C 为ABC ∆外接圆P 上一个动点，若01,3,150OA OB AOB ==∠= ，则OA OC ⋅的最大值为__________.二、选择题(本大题满分20分，共4题，每题5分)13.下列命题正确的是 （ ） (A)如果两条直线垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行；(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线， 那么这条直线平行于这个平面；(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 14.设()0+0,a b ∈∞∈+∞（，）， ，则“”a b < 是“11a b -<-”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件15. 某种类型的细胞按如下规律分裂:每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞.现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过 （ ） (A) 42小时 (B) 46小时 (C) 50小时 (D) 52小时16.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()19 4f x x x =+-，若对任何x m ≤,都有()23f x ≥-成立，则实数m 的取值范围是（ ）(A)21(]5-∞,(B)16(]3-∞, (C)9(,]2-∞ (D)19(,]4-∞ 三、解答题(本大题共有5题，满分76分)17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知直三棱柱111A B C ABC - 中，1 1AB AC AA ===，090BAC ∠= (1)求异面直线1A B 与11B C 所成角: (2)求点1B 到平面1A BC 的距离18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)函数() y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =- ，(1)求()f x 的解析式; (2)若函数()111(),(,][,)22f xg x x x -=∈-∞-+∞ ，求()g x 的值域.19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足tan 2cos co s sin B si A nCB C=--+(1)证明: 2b c a +=；(2)若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值.20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分)已知函数1()lg()f x a x=+(1)设1()fx -是()f x 的反函数，当1a =时， 解不等式11()2f x -<； (2)若关于x 的方程2()lg()0f x x += 的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值； (3)设0a ＞，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过lg 2,求a 的取值范围.21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求证:数列{}nS n是等差数列; (2)若1a =是公差为1的等差数列，求使122k k kS S S ++⋅为整数的正整数k 的取值集合； (3)记n an b t = (t 为大于0的常数)，求证：1212+.2n b b b b b n +++≤……2020-2021年上海市延安中学高三上期中一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知全集U R =, 集合{}|02M x x =≤≤，集合{}|1N x x =>，则M N =________【答案】(]1,22.函数()()22log 4f x x =- 的最大值为__________【答案】23.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于_________ 【答案】9π4.函数2()(2)f x x x =<-的反函数为____________【答案】,4y x x =-＞5.已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________ 【答案】26.二项式61()x x- 的展开式中的常数项为______________. (用数字作答) 【答案】20-7.若sin cos 3,tan()2sin cos αααβαα+=-=-，则()tan =2-βα___________.【答案】438.在100件产品中有 90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品.则恰含1件二等品的概率是___________(结果精确到0.01 )【解析】319010410011748000.303921225C C P C ==≈9. 函数()2sin()(0)f x x =+>ωϕω的部分图像如右图所示，若5AB = ,则ω的值为_________【答案】3π 10.已知函数2log ,02()25(),239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ ，若函数()() g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________.【答案】5,19⎛⎫⎪⎝⎭11.已知数列*{}()n a n N ∈ ，若1111,=()2n n n a a a +=+ ，则2lim n n a →∞= __________.【解析】由11211212nn n n n n a a a a ++++⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得1212n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由1212a a +=，得212a =-， 累加得35721211124111112111222223414nn nn a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=--++++=-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-， 所以22lim 3n n a →∞=-. 12.如图，C 为ABC ∆外接圆P 上一个动点，若01,3,150OA OB AOB ==∠= ，则OA OC ⋅的最大值为__________.【解析】法一：由余弦定理得220||2cos1507AB OA OB OA OB =+-⋅=，由正弦定理得外接圆半径0172sin150AB R =⋅=， 所以||OA OC OA d ⋅=，其中d 是OC 在OA 上的投影，过点P 作PC OA '∥交圆于点C '，如图， 则max 11722OA R d +=+=， 所以OA OC ⋅的最大值为172+. 法二：以O 为原点建系，同法一得||7AB =，7R =，且1,22P ⎛ ⎝⎭，所以圆P 的方程为22172x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，由参数方程，设12C θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，而(1,0)A ，所以1122OA OC θ⋅=≤. 二、选择题(本大题满分20分，共4题，每题5分)13.下列命题正确的是 （ D ） (A)如果两条直线垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行；(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线， 那么这条直线平行于这个平面；(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 14.设()0+0,a b ∈∞∈+∞（，）， ，则“”a b < 是“11a b -<-”的 ( C ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件15. 某种类型的细胞按如下规律分裂:每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞.现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过 （ ） (A) 42小时 (B) 46小时 (C) 50小时 (D) 52小时【解析】由题意得细胞总数y 和分裂时间x 的函数解析式为*2,3100xy x N ⎛⎫=⨯∈ ⎪⎝⎭，由103100102x y ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以845.45lg3lg 2x >≈-，故选B. 16.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()19 4f x x x =+-，若对任何x m ≤,都有()23f x ≥-成立，则实数m 的取值范围是（ D ）(A)21(]5-∞,(B)16(]3-∞, (C)9(,]2-∞ (D)19(,]4-∞ 【解析】当(0,2]x ∈时，19()4f x x x =+-的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当(2,0]x ∈-时，192(0,2],(2)22()24x f x x f x x +∈+=++-=+， 所以119()2228f x x x ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭，值域为1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， (2)2()n f x n f x +=，以此类推，当(2,22]()x n n n N ∈--+∈时，值域为21,2n +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，满足()23f x ≥-， 当(2,4]x ∈时，1912(0,2],(2)2()242x f x x f x x -∈-=-+-=-， 所以19()2222f x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，满足()23f x ≥-， 1(2)()2nf x n f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以此类推，当()*(2,22]x n n n N ∈+∈时，值域为)22,n -⎡-+∞⎣，当(4,6]x ∈时，1()4494f x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，值域为[1,)-+∞， 解1244943x x ⎛⎫-+-≥- ⎪-⎝⎭，得19164643x x <≤≤≤或， 综上，当19,4x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，()23f x ≥-恒成立，故选D.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知直三棱柱111A B C ABC -中，1 1AB AC AA ===，090BAC ∠= (1)求异面直线1A B 与11B C 所成角； (2)求点1B 到平面1A BC 的距离. 【解析】（1）连接1A C ，在直三棱柱111A B C ABC -中，11,AA AB AA AC ⊥⊥， 又11AB AC AA ===，090BAC ∠=， 所以112A B AC BC ===，因为11//BC B C ，所以1A BC ∠即为异面直线1A B 与11B C 所成角，在1A BC ∆中，因为112A B AC BC ===，所以13πA BC ∠=， 所以异面直线1A B 与11B C 所成角为3π； （2）设点1B 到平面1A BC 的距离为h ，则11322sin 23A BC πS ∆=⨯⨯⋅=， 11111122A B B S ∆=⨯⨯=， 由1111B A BC C A B B V V --=得1111133A BC A B B S h S CA ∆∆⋅=⋅，解得h ，所以点1B到平面1A BC.函数() y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =- ，(1)求()f x 的解析式; (2)若函数()111(),(,][,)22f xg x x x -=∈-∞-+∞ ，求()g x 的值域. 【解析】（1）因为() y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，所以(0)0f =， 设0x ＜，则0x -＞，所以22()2()()2()f x x x x x f x -=---=--=-，所以2()2f x x x =+，所以222()2,000,0,x x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-⎩=＞＜；（2）当12x时，()11()2220f x g x x x x -⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当1x =时取等号，当12x -时，()117()22f xg x x x x -==+-， 所以()g x 的值域为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足tan 2cos co s sin B si A nCB C=--+(1)证明: 2b c a +=；(2)若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值.【解析】（1）因为sin sin sin tan cos 2cos cos A B CA AB C+==--， 所以sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin B A C A A B A C A +=--，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，所以sin()sin()2sin A B A C A +++=，即sin sin 2sin C B A +=，由正弦定理得2b c a +=；（2）因为2,b c a b c +==，所以a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形，由余弦定理得214212cos 54cos AB θθ=+-⨯⨯⨯=-，所以213sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB θAB ∆∆=+=⋅+ 5353sin 3cos 2sin 434πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以当32ππθ-=即56πθ=时，四边形OACB 面积取得最大值2.20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分)已知函数1()lg()f x a x=+(1)设1()fx -是()f x 的反函数，当1a =时， 解不等式11()2f x -<； (2)若关于x 的方程2()lg()0f x x += 的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值； (3)设0a ＞，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过lg 2,求a 的取值范围.【解析】（1）因为()1()lg y f x x a -==+，所以110yx a -+=，所以101y x a=-，所以11()10xf x a-=-， 当1a =时，11011()12xf x -=-＜，故解集为(,0)(lg3,)-∞+∞； （2）方程2()lg()0f x x +=即()2lg 0ax x +=，即21ax x +=的解集中恰好有一个元素， 当0a =时，1x =，符合题意， 当0a ≠时，140a ∆=+=，解得14a =-， 综上所述，0a =或14a =-； （3）当0a ＞时，设120x x <<，则1211a a x x +>+，1211lg lg a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值为(),(1)f t f t +，所以11()(1)lg lg lg 21f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以1211(1)ta t t t t -≥-=++设1t r -=，则102r ≤≤，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， 因为2y r r =+在上递减，所以219422r r +≥+=，所以211229323332r r r r r =≤=-++--， 所以实数a取值范围是23a ≥． 21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求证:数列{}nS n是等差数列; (2)若1a =是公差为1的等差数列，求使122k k k S S S ++⋅为整数的正整数k 的取值集合；(3)记n an b t = (t 为大于0的常数)，求证：1212+.2n b b b b b n +++≤……的【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，从而112n S n a d n -=+， 所以当2n 时，111121222n n S S n n da d a d n n ---⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 所以数列{}nS n是等差数列； （2）因为1a =是公差为11=，(1)n n =-=，所以2n S n =，所以2212222(1)(2)321k k k S S k k k S k k +++++⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎝=⎥⎣⎦⎭， 显然1,2k =满足条件，3k =不满足条件，当4k 时，因为232(3)22=2>04(43)k k k k --=----，所以23201k k +<<，所以232112k k +<+<，故122k k k S S S ++⋅不是整数， 综上所述，正整数k 的取值集合是{1,2}；（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n an n a a n d b a =+-=，所以11(2)n n a a d nn b a a n b ---==， 所以数列{}n b 是首项和公比均大于0的等比数列，设公比dq a =，下面证明：1n p k b b b b ++，其中,p k 为正整数，且1p k n +=+，因为()()()()1111111111111n p k p k n p k b b b b b b qb q b q b q q -----+-+=+--=--，当1q >时，x y q =为增函数，因为10,10p k --，所以1110,10p k q q ----，所以1n p k b b b b ++，当1q =时，1n k p b b b b +=+，当01q <<是，x y q =为减函数，因为10,10p k --，所以1110,10p k q q ----，所以1n p k b b b b ++，综上，有1n p k b b b b ++，其中,p k 为正整数，且1p k n +=+， 所以()()()()1111n n n n n b b b b b b b b +=++++++()()()()121321n n n n b b b b b b b b --++++++++()()1211n n n b b b b b b -=+++++++，所以1212nnb b b b b n++++.。

一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值316．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．58．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2310．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-12．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++13．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(22,10C ．()22,10D ．)10,814．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．55D ．77二、填空题16．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________17．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=____________． 18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=_________．20．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 21．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．22．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．23．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．24．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.25．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC 的面积取最小值时有2c =__________.26．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 27．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 28．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 30．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试1．D2．D3．B4．D5．A6．B7．A8．D9．A10．B11．C12．A13．B14．A15．D二、填空题16．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发17．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利18．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题19．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法20．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(121．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的22．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际23．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公24．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题25．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S取得最小值易得(C为锐角)则则三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。