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二次根式解码专训一：巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值名师点金：本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中所有因数(或因式的幂的指数都小于2)；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子不一定是二次根式的是( )A.3a2B.x2＋1C.－3x(x≤0)D.－x2＋8x－16利用二次根式有意义的条件求字母的X围2．无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，化简式子（m－3）2＋（4－m）2.利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？412－402，8－x2，22，x2－4x＋4(x>2)，－x 12x，0.75ab，ab2(b>0，a>0)，9x2＋16y2，（a＋b）2（a－b）(a>b>0)，x3，x3.4．把下列各式化成最简二次根式：(1) 1.25； (2)4a3b＋8a2b(a≥0，b≥0)；(3)－n m 2(mn ＞0); (4)x －y x ＋y(x≠y)．利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值5．如果最简根式b －a3b 和2b －a ＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么( )A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－26．若最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，则代数式－3a 2b ＋(3a ＋2b)2的值为________．7．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值X 围．8．若m ，n 均为有理数，且3＋12＋34＝m ＋n 3，求(m －n)2＋2n 的值．解码专训二：二次根式中常见五种热门考点名师点金：本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查，二次根式的内容是中考热点之一．二次根式有意义的条件及性质1．若式子x ＋4x －2在实数X 围内有意义，则x 的取值X 围是________． 2．已知a ＋1＋|b －3|＝0，则1＋a ＋ab的值为________．二次根式的化简及运算3．(2014·某某)下列运算中错误的是( )A .2＋3＝5B .2×3＝ 6C .8÷2＝2D ．(－3)2＝34．若最简根式a ＋b3a 与a ＋2b 可以合并，则2a ＋3b ＝________.5．(2014·某某)计算：(5－1)(5＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8.二次根式的化简求值6．(2015·呼和浩特)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a5a 2b ＋3b 10ab 2÷72a 3b 2，其中a ＝52，b ＝－12.二次根式的综合应用7．等腰三角形的一边长为23，周长为43＋7，求这个等腰三角形的腰长．二次根式的规律性探究8．(2014·滨州)计算下列各式的值：92＋19；992＋199；9992＋1 999；9 9992＋19 999.99…9 2 014个9＋199…9,2 014个9)2)＝________.9．(2014·某某)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第(n－2)个数是__________．(用含n的代数式表示)10．(模拟·金湾区)观察下列各式及验证过程：①12－13＝1223；②12⎝⎛⎭⎪⎫13－14＝1338；③13⎝⎛⎭⎪⎫14－15＝14415.验证：12－13＝12×3＝222×3＝1223；12⎝⎛⎭⎪⎫13－14＝12×3×4＝32×32×4＝133 8；13⎝⎛⎭⎪⎫14－15＝13×4×5＝43×42×5＝14415.(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14⎝⎛⎭⎪⎫15－16的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，并验证．解码专训三：思想方法荟萃分类讨论思想名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值X围，这时候就要对字母进行分类，在不同的X围中化简二次根式．1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．数形结合思想名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值X围，然后对式子进行化简．2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.(第2题)类比思想名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．转化思想名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想．4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016.答案解码专训一1．D 点拨：3a 2、x 2＋1、－3x (x≤0)是二次根式，－x 2＋8x －16可化为－（x －4）2，只有当x ＝4时，才是二次根式，故－x 2＋8x －16不一定是二次根式． 2．解：∵x 2－4x ＋m ＝（x －2）2＋m －4， 且无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义， ∴m－4≥0， ∴m≥4.当m≥4时，（m －3）2＋（4－m ）2＝(m －3)＋(m －4) ＝2m －7.3．解：8－x 2，22，9x 2＋16y 2，x3是最简二次根式． ∵412－402＝（41－40）×（41＋40）＝81＝9， x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝x －2(x>2)， －x12x ＝－x 2x 2x ·2x＝－122x ， 0.75ab ＝0.25×3ab＝123ab ，ab 2＝b a(b>0，a>0)，（a ＋b ）2（a －b ）＝(a ＋b)a －b(a>b>0)，x 3＝3x 3， ∴412－402，x 2－4x ＋4(x ＞2)，－x12x，0.75ab ，ab 2(b ＞0，a ＞0)，（a ＋b ）2（a －b ）(a ＞b ＞0)，x3不是最简二次根式． 4．解：(1) 1.25＝54＝52. (2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b (a≥0，b≥0)． (3)由－nm2≥0，mn ＞0知：m ＜0，n ＜0，∴－n m 2＝－n m2＝－n －m ＝－－n m . (4)x －yx ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋yx －y (x≠y)．5．A 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2.故选A .6．1 点拨：∵最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，∴5a＋b ＝2a －b ，∴3a＋2b ＝0，∴3a＝－2b.∴－3a 2b ＋(3a ＋2b)2＝1＋0＝1.7．解：由题意得3a －8＝17－2a. ∴a＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可． ∴20－2x≥0，∴x≤10. 8．解：∵3＋12＋34＝3＋23＋32＝723＝m ＋n 3， ∴m＝0，n ＝72.∴(m－n)2＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－722＋2×72＝494＋7＝774.解码专训二1．x≥－4且x≠2 2.－333．A5．解：原式＝5－1－9＋2－1－1＋22＝－7＋3 2.6．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25ab ＋310ab ×2a 3b 27＝25ab ×2a 3b 27＋310ab ×2a 3b 27＝4a 2b 35＋3a 2b 35＝a 2b 5. 当a ＝52，b ＝－12时，原式＝－18. 7．解：当腰长为23时，底边长为43＋7－2×23＝7，∵23＋23＝43＝48＜7，∴此时不能组成三角形；当底边长为23时，腰长为(43＋7－23)÷2＝3＋72，∵2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋72＞23，∴能组成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的腰长为3＋72.8．100…0,\s\do4(2 014个0)) 9.n 2－2 10．解：(1)14⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＝15524，验证： 14⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＝14×5×6＝54×52×6＝15524. (2)1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）.验证：1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1n （n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）.解码专训三1．解：（a ＋2）2－（a －1）2＝|a ＋2|－|a －1|，分三种情况讨论： 当a≤－2时，原式＝(－a －2)－[－(a －1)]＝－a －2＋a －1＝－3； 当－2＜a≤1时，原式＝(a ＋2)＋(a －1)＝2a ＋1； 当a ＞1时，原式＝(a ＋2)－(a －1)＝3.点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．2．解：由m ，n 在数轴上的位置可知：m ＞n ，0＜m ＜1，n ＜－1. ∴m－n ＞0，m －1＜0，n ＋1＜0.∴原式＝|m|＋|n|＋|m －n|＋|n ＋1|－|m －1|＝m －n ＋m －n －1－n －(1－m)＝m －n ＋m －n －1－n －1＋m ＝3m －3n －2.方法点拨：在利用a 2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．3．解：(72＋26－3)(26－72＋3) ＝[26＋(72－3)][26－(72－3)] ＝(26)2－(72－3)2 ＝24－(98＋3－146)＝146－77.4．解：(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝[(3＋2)(3－2)]2 015·(3－2) ＝1×(3－2)＝3－ 2.。
