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五年级高思知识点、测试题内容:第一讲第二讲整除问题一末位判别法1、能否被2、5整除看个位2、能否被4、25整除看末二位3、能否被8、125整除看末三位4、能否被16、625整除看末四位二、数字和系列1.被3整除的数的特征:各位数字之和能被3整除2、被9整除的数的特征:各位数字之和能被9整除3、弃九法和乱切法把和为“9”的数字丢掉把一个数随意的切成几段，再求和，然后看和能否被3或9整除判断能都被3或9整除数字求和法求数字和数字较少时使用弃九法和为9 就划掉数字较多时使用乱切法随意切再求和有省略号时使用4.99和999的断开求和法9---------一位断开再求和99-------两位断开再求和999-----三位断开再求和三、奇偶位差法------11四、分解判别法五.断开----求和-----做差六.重码数问题1、aaaaaa除以（7、11、13）2.abcabc----7、11、133.ababab----7、134. abcdabcdabcd--7、13练习1.多位数5265914056囗能被9整除，则"囗"中可以填几？2.多位数7A13能被11整除，则A为多少？3.多位数190AB能被11整除.则多位数有几个？4.四位数3 □3□能被36整除，那么这个四位数可能是多少？5.七位数22 □333 □能被44整除，那么这个七位数是多少？6.要使六位数15ABC6能被36整除，而所得的商最小，那么A、B、C 各等于多少？7.多位数6AB7能被99整除，则A、B乘积为多少8.已知八位数123 □□678能被99整除，这个八位数是多少？9.多位数1036A能被7整除，则A为多少？10.11.。
【知识点回顾】1、整除：如果一个整数a ，除以一个自然数b ，得到一个整数商c ，而且没有余数，那么叫做a 能被b 整除或b 能整除a ，记作b | a2、被某些数字整除的特点：能被2、5整除： 末位上的数字能被2、5整除能被4、25整除： 末两位的数字所组成的数能被4、25整除能被8、125整除： 末三位的数字所组成的数能被8、125整除能被3、9整除： 各个数位上数字的和能被3、9整除能被7整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除 能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除能被13整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除3、整除的性质：（1）如果a 、b 能被c 整除，那么（a+b ）与（a-b ）也能被c 整除（2）如果a 能被b 整除，c 是整数，那么a 乘以c 也能被b 整除（3）如果a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 也能被c 整除（4）如果a 能被b 、c 整除，那么a 也能被b 和c 的最小公倍数整除例1. 已知452013x y ，求所有满足条件的六位数2013x y例2. 李老师为学校一共买了28枝价格相同的钢笔，共付人民币9口.2口元。
已知口处数字相同，请问每枝钢笔多少元?例3. 已知整数1a2a3a4a5a 能被11整除。
求所有满足这个条件的整数例4. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小【练习】1. 四位数841口能被2和3整除，口中应填什么？2. 把789连续写多少次，所组成的数能被9整除，并且这个数最小3. 四位数36ab能同时被2、3、4、5、9整除，则该四位数36ab是什么？4. 七位数22A333A能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，那么A 是什么？5. 同时能被3，4，5整除的最小的四位数是什么？6. 从3，5，0，1这四个数字中任选出3个组成没有重复数字且同时能被3，5整除的三位数有几个？7. 一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数46x，求x8. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱。
第三讲 数论之数的整除性卷Ⅰ 1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征； 2. 巧妙运用整除性质及特殊数的整除特征解决数的整除问题；答案：因为432165a a a a a a 能被5整除，所以4a 是5；由于165432a a a a a a 、321654a a a a a a 和543216a a a a a a 分别能被2、4、6整除，因此1a 、3a 、5a 是偶数，取值为2、4、6，进而知道2a 、6a 是1和3；上述能被4整除的那个六位数的末两位32a a 应是4的倍数，而2a 是奇数，所以3a 只能为2和6．根据上面的分析，为使原六位数最大，1a 可取最大的数字6，2a 取1、3中的大数3，这样其余各数分别是3a =2，4a =5，5a =4，6a =1，所以最大值为632541．教学目标专题精讲 想 挑 战 吗？用数字1、2、3、4、5、6排列成一个六位数654321a a a a a a ，将1a 移到最后，所得的六位数165432a a a a a a 能被2整除；再将2a 移到最后，所得的六位数216543a a a a a a 能被3整除；……；最后把5a 移到最后，所得的六位数543216a a a a a a 能被6整除，那么654321a a a a a a 的最大可能值是多少？ 数的整除性质： [性质1] 如果a 能被b 整除，b 能被c 整除，那么a 一定能被c 整除． 例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除． [性质2] 如果a 、b 都能被c 整除，那么(a ±b ) 也一定能被c 整除． 例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除． [性质3] 如果c 能分别被两个互质的自然数a 、b 整除，那么c 一定能被ab 整除． 例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除．①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；10101=3×7×13×37；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73.（一）整除的性质【例1】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除，因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495．注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意.（拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个能被5整除，另一个能被6整除，还有一个能被7整除．那么原来的三位数是多少？分析：那个能被5整除的两位数的个位数字是0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字．注意到各位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是5．三位数能被8整除意味着末两位数应能被4整除．在51~59之间只有52、56是4的倍数，但52不是5、6、7中任何一个数的倍数，故题设中的三位数个位数字一定是6．由上述分析可知，百位数字和6组成的两位数是6的倍数，可能为36、66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有656是8的倍数．【例2】1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？分析：（1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000），（0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002），…(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．【例3】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？分析：如果2008+a 能被2007-a 整除，那么2008+a 2007-a 为自然数，2008+a 2008200712007-a 2007a++=-也是自然数， 4015能被（2007-a ）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803， 所以当a 取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a 能被2007-a 整除.【例4】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除． 分析：abcdef =abc ×1000+def =abc ×999+（abc +def ），因为999能被37整除，所以abc ×999能被37整除，而（abc +def ）也能被37整除，所以其和叶能被37整除.（前铺）已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯．注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．（前铺）证明：形如abcabc 的六位数一定能被7，11，13整除． 分析：1001,100171113abcabc abc =⨯=⨯⨯，所以得证.（拓展）若4b+2c+d=32.试问abcd 能否被8整除?请说明理由．分析：由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010bcd b c d =++，有(42)9688(12)bcd b c d b c b c -++=+=+，所以abcd 能被8整除.（拓展）已知a ，b 是整数，求证a+b,ab 、a-b 这三个数之中，至少有一个是3的倍数．分析：若a,b 之一是3的倍数，则ab 是3的倍数；若a,b 都不是3的倍数：1)a=b=3k+1或3k-1 （都余1或都余2），则a-b 是3的倍数；2)a,b 一个是3k+1 一个是3k-1 （一个余1，一个余2），则a+b 是3的倍数；所以a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.（拓展）五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值是_______．分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd×10+e=(abcd+e)+ abcd ×9，因为abcde是9的倍数，所以(abcd+e)是9的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和e都能取最小，这样和也就最小．abcd是4的倍数，所以最小是1000，要让(abcd+e)是9的倍数，e最小是8，所以abcde最小值是10008.2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时，abcd是4的倍数，所以最小是1024，但e为2，矛盾，所以abcd最小是1028，即abcde最小值是10287.（二）整除的特征【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．5，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，35=5×7，40=5×8，45=5×9，50=5×5×2，55=5×11，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个5，写到55时共出现11＋1＋1=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．[前铺] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有++147=+个0．124[巩固] 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？343=，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一分析：因为37个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．[拓展] 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？分析：积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少4个2和4个5．975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，共有3个5，2个2，方框内至少是2×2×5=20 答：在方框内最小应填20．卷Ⅱ【例6】 已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？分析：因为555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由5个205555□ 9个209999=5个205555□99999910999969个14+⨯知 5个205555□ 9个149999也能被7整除；又 5个205555□ 9个149999可以表示成 5555552910⨯＋ 5个145555□ 9个149999，说明 5个145555□9个149999也能被7整除， 相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．[前铺1] 已知10□8971能被13整除，求□中的数．分析：10□8-971=1008-971+□0=37+□0．上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8．[前铺2] 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？分析：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.[巩固1] 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使得这个六位数能够被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？分析：（法1）这个六位数能够被17和19整除，那么也应当能被17×19=323整除，因为119911减去某个数□□00就可能是323的倍数.119911=323×371＋78，说明119911应当减去的四（三）位数满足□□00除以323也余78，也就是满足□□22除以323应当能够除尽.说明□□22是4522，那么□□00是4600，因此所求的六位数是119911－4600=115300.[巩固2] 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.【例7】 （★★全国小学数学奥林匹克）200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6. 200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺] 如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例8】 已知多位数55…5599…99□□（其中5和9各n 个）能被7整除，那么当n 取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？分析：由例题1知当n=6k （k 为自然数），100÷7=14…2，所以共有15种不同的情况；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．[前铺1] 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？分析：199300÷105余10，199300-10=199290，即它的最后两位数是90.[前铺2] 已知200520052005□□是72的倍数，求末两位数是多少？分析：72=8×9，因为被9整除，所以末两位数字和是被9除余6的，因为被8整除，注意到百位是奇数，所以末两位被8除余4，满足这2个条件的2位数就只有60.[拓展] 已知多位数□□55…5599…99（其中5和9各n 个）能被77整除，那么方格内的数字是多少？分析：由例题知当n=6k （k 为自然数），100÷77=1…23，方格内的数字是77；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．【例9】 已知四十一位数55…55□7□99…99（其中5和9各19个）能被77整除，那么方格内的数字分别是多少？分析：由上题知可化为5□7□9能被7整除，50709÷77=658…43，所以□0□0+43=7 k （k 为自然数），即□0□0+1=7 k （k 为自然数），又21+□+□=11 k （k 为自然数），所以□+□=10，设第一个□为x ，则第二个□为（10-x ），有1000x+10（10-x ）+1=7 k （k 为自然数），，所以x=6，即第一个□为6，所以第二个□为4，即所求的数为56749.[前铺1] 五位数329A B 能被72整除，问：A 与B 各代表什么数字？分析：已知329A B 能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以329A B 既能被8整除，又能被9整除．根据能被8整除的数的特征，要求29B 能被8整除，由此可确定B ＝6.再根据能被9整除的数的特征，329A B 的各位数字之和为A ＋3＋2＋9＋B ＝A ＋3－f －2＋9＋6＝A ＋20，因为l ≤A ≤9，所以21≤A ＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.[前铺2] 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除.分析：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数．因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4.这个七位数是4735800.[拓展1] 买28支价格相同的钢笔共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？分析：∵9□.2□元=9□2□分，28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□．4｜2□可知□处能填0或4或8．因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8．又∵9828分=98.28元，98.28÷28＝3.51（元），即每支钢笔3.51元．[拓展２] 仓库有两个箱子，其中一个装了74个大杯子，另一个装了75个小杯子．地上有两个价格牌，一个写着总价“132.××元”，另一个写着“总价123.××元”．已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯子的单价是多少元？分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S和s．如果s×75=132.××，S×74=123.××，因为S>s，所以s>132.××－123.×× > 8元．可是如此小杯子的总价格大于8×75=300元，不符合题目要求．所以123.××是小杯子的总价钱．由此可得出123××是75=3×25的倍数，则××可以为00、25、50、75，经实验12300和12375是75的倍数．相应的s分别为：12300÷75=1.64元、12375÷75=1.65元．【例10】求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺] 求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.练习三1. （例1）有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和，例如：30满足上述要求，因为30=9＋10＋11；30=6＋7＋8＋9；30=4＋5＋6＋7＋8．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．分析：3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，也即除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、4、5的最小公倍数是60．60以内满足上述三个条件的数是30，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11＋40，所以第一个符合题意的数是750=60×12＋30，最大的一个数是990=60×16＋30，共计16－12＋1=5个数，分别为750、810、870、930、960．关键是让学生把该问题转化到整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系．2. （例3）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a 来：（1995+a ）能整除1995×a.分析：1995a 1995+a ⨯是自然数，所以1995a 199519951995-=1995+a 1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a 是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a 的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.3. （例4）已知p 、q 都是大于1的整数，并且qp 12-和p q 12-都是整数，那么p ＋q 的值是多少？ 分析：根据对称性，不妨设p q ≥，于是21q p-为大于0、小于2的整数，只能等于1.由于21q p -=，可将21p q -化为34q-，这样3q =，5p =，所以8p q +=.4. （例5）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：1到10的乘积里会出现2×5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是49个0，还要扩大至220时加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．5. （例6）二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？分析：由111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；还可变为13｜333-1□2，即可知方格应填1．6. （例7）已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？分析：13n+2=9k ，所以k=6 时，n=4位最小值.人生要学会遗忘人生在世，忧虑与烦恼有时也会伴随着欢笑与快乐的．正如失败伴随着成功，如果一个人的脑子里整天胡思乱想，把没有价值的东西也记存在头脑中，那他或她总会感到前途渺茫，人生有很多的不如意．所以，我们很有必要对头脑中储存的东西，给予及时清理，把该保留的保留下来，把不该保留的予以抛弃．那些给人带来诸方面不 利的因素，实在没有必要过了若干年还值得回味或耿耿于怀．这样，人才能过得快乐洒脱一点．众所周知，在社会这个大家庭里，你要想赢得别人的尊重，你首先必须尊重别人，多记住别人的优点，而学会遗忘别人的过失．其次，一个人要学会遗忘自己的成绩，有些人稍微做了一点成绩就骄傲起来，沾沾自喜，这显然是造成失败的一个原因．成绩只是过去，要一切从零开始，那样才能跨越人生新的境界．同时，一个人自己对他人的帮助，应该看作是一件微不足道小事，以至于遗忘．这样，你的处事之道方能获得他人的赞许．人生需要反思，需要不断总结教训，发扬优点，克服缺点．要学会遗忘，用理智过滤去自己思想上的杂质，保留真诚的情感，它会教你陶冶情操．只有善于遗忘，才能更好地保留人生最美好的回忆．成长故事。
nm…d 000 第三讲整除、质数与合数1.整除问题（1）用位值的知识证明常用的特殊自然数的整除特征1）2 系列：能被 2 和 5 整除的数要看个位，能被 4 和 25 整除的要看末两位，能被 8 和 125 整除的要看末三位。
请大家想想为什么？我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质，假设一个多位数为是nm…dcba则还可以表示为：nm…dcba =nm…d 000 +cba =nm…d ⨯1000 +cba ，由于8 1000 所以8 ，因此只要cba 能被8 整除该数就一定能被8 整除。
2）3 系列：能被 3 和 9 整除只需看各位数字之和能否被 3 和 9 整除，为什么?我们以三位数abc 为例来证明被 9 整除只需看各位数字之和这一性质，如：abc = 100a +10b +c =(99a + 9b)+(a +b +c)显然(99a + 9b)是 9 的倍数，因此只要(a +b +c)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
3）7,11,13 系列：被7、11、13 整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7、11、13整除。
为什么呢？仔细观察我们会发现7×11×13＝1001,比1000大1，由此可以有如下证明：假设一个多位数为是nm…dcba ，有：nm…dcba =nm…d000 +cba =nm…d⨯1000 +cba=nm…d ⨯1001-nm…d +cba =nm…d ⨯1001-(nm…d -cba )，由于 1001 是 7、11、13的倍数，故只要(nm…d -cba)能被7、11、13 整除即可。
4）特别的，我们还有另外一种判别能否被11 整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11 整除，这个定理也是可以证明的，我们以简单的三位数abc 来说明：abc =100a +10b +c = 99a +11b +a -b +c =(99a +11b)+(a +c -b)显然(99a +11b)是 11的倍数，因此只要(a +c -b)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整知识说明除，反之亦然。
【内容概述】能被2，3，4，5，8，9，11整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数的计算．1.整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)，记作b︱a．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，记作5︱15．反之，则称为不能整除，用“”表示，如715.如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数．如15是5的倍数，5是15的约数．特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数．因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．2．整除的性质：性质1.如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被C整除．性质2.如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．性质3.如果b︱a，c︱a，且b、c互质，那么bc︱a．如果b、c都能整除，且b和c互质，那么b与c的积能整除a．性质4.如果c︱b，b︱a，那么c︱a．如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．3.一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6，8；(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0，5；(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被7整除(即qponm cba能被7整除，7︱cba-qponm或7︱qponm-cba)；(5)能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被11整除(即qponm cba能被11整除11︱cba-qponm或11︱qponm cba)或者，其奇数位数字之和偶数位数字之和所得的差能被11整除；qponm cba表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积，下同．4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》．5．对于一些特殊的合数的判断方法．能被4整除的数，末两位数能被4整除；能被8整除的数，末三位数能被8整除；能被25整除的数，末两位数能被25整除；能被125整除的数，末三位能被125整除；能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．范例1 在公元9世纪，有个印度数学家——花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法”．如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他们看1234的数字和为，10除以9余1，1898的数字和除以9余8，18922的数字和除以9余4，678967的数字和除以9余7，178902的数字和除以9余0，余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3．所以上面的加法算式一定是错误的．为什么呢?6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0，只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数．范例2 试求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连续的“0”?【分析与解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共有l+1+1+3+1=7个因数5；其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25个因数2．其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7．评注：多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续0的个数．因为因数2的个数远多于因数5的个数，所以只考虑因数5的个数即可．7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6等类问题都可以使用试除法．如果一个数能同时被多个整数整除，那么一定能被这些数的最小公倍数整除，而求多个数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法：①短除法求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法．范例3试求120、180、300的最小公倍数．【分析与解】于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800．②分解质因数将一组数的每个数严格分解质因数，然后提出每个质因数的最高次所对应的数，将这些提出的数相乘，求出积就是最小公倍数．8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6类问题．1．173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?【分析与解】方法一：利用整除特征注意能被9，11，6整除的数的特征：能被9整除的数，其数字和是9的倍数；能被11整除的数，其奇数位数字和和与偶数位数字和的差为11的倍数；或将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；能被6整除的数，其数字和是3的倍数，且末位为0，2，4，6，8的其中之一.1+7+3=ll，当口内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当口内填7所组成的数为9的倍数；173口的奇数位数字和为7+口，偶位数数字和为1+3=4，所以当口内填11+4-7=8时，奇数位数字和22和与偶数位数字和的差为11，所组成的数为11的倍数；1+7+3=11，当口内填入l，4，7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内填入4组成的数为6的倍数．所以，这三种情况下填人口内的数字的和为7+8+4=19．方法二：采用试除法用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．2．如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?【分析与解】因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；能被5整数的数，其末位只能是0或5．方法一：利用整除特征末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．所以，题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以补上90，即在末两位的方格内填人90即可．3．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?【分析与解】方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32×23×5×7=8×9×5×7=2520整除．用1993000试除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．4．从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?【分析与解】因为[3，5，7，13]=1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．所以，满足题意的5位数最大为94185．5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?【分析与解】方法一：采用试除法823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．方法二：视作数字谜假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑3口口口3除以823的商：30003÷823=36……375；39993÷823=48……489．所以商在37～48之间，而823的个位3只有与1相乘所得的积才是3，所以这个商的尾数为1，这样的数字在37～48之问，只有41．有823×41=33743．所以改动31743的千位为3即可．6．在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【分析与解】方法一：采用试除法如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(323-191=)132．所以当132+323n是100的倍数时，才能保证在只改动110011的千位、百位数字，而得到323的倍数．所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…验证有n=16时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．方法二：视为数字谜因为[17，19]=323，所以有：注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为323×7=2261；于是有所以第4行的末位为10+1-6=5，所以乘数的十位数字只能为5，于是第4行为323×5=1615；于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之间，又是323×100的倍数，所以只能为32300×3=96900；于是最终有 .所以题中的方框内应填入5，3这两个数字．7．已知四十一位数55…5口99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?【分析与解】 我们知道abcabc 这样的六位数一定能整除7、11、13；下面就可用这个性质来试着求解：由上知2055555个2099999个的末6位数999999必定整除7；有2055555个2099999个=2055555个1499999个×1000000+999999；于是只用考察： 2055555个1499999个×1000000，又因为1000000，7互质，所以1000000对整除7没有影响，所以要求2055555个1499999个一定是7的倍数．注意到，实际上我们已经将末尾的6个9除去；这样，我们将数字9、5均6个一组除去，最后剩下的数为(2036)555-⨯个口(2036)999-⨯个，即55口99．我们只用计算55口99当“口”取何值时能被7整除，有口为6时满足.评注：对于含有类似n abcabc abcabc abcabc个的多位数，考察其整除7、11、13情况时，可以将abcabc 一组一组的除去，直接考察剩下的数．8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少?【分析与解】因为168=20×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，口口口688的口不管怎么填都得不到7的倍数．至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．当然验证的确满足．所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少?【分析与解】因为72=32×23，所以这个数必须是8的倍数，即后三位必须是8的倍数(也一定有后二位为4的倍数，末位为偶数)，且数字和是9的倍数.有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍数，但是只有456，920，728，536是8的倍数．验证这些数对应的自然数的数字和：456对应123456，数字和为2l，920对应123…91011…1920，数字和为102，728对应123…91011…192021…28，数字和为154，536对应123…91011…192021…293031…36，数字和为207，所以在上面这些数中，只有536对应的123…91011…192021…293031…36既是8的倍数，又是9的倍数．所以，满足题意的自然数为36．10．1至9这9个数字，按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律：n n 位原序数与位反序数的差一定是99n 9n ⎧⎨⎩的倍数为奇数时的倍数为偶数时(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数．对于上面的规律想想为什么?)那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，4)处、(8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．11．有15位同学，每位同学都有编号，他们是l 号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【分析与解】 (1)列出这14个除数：2、3、4、5 、6、7、 8、9 、 10、11 、12 、 13 、 14 、15.注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类。
第三讲 整除进阶问题
上一讲我们学习了很多特殊数的整除特性，今天我们来利用这些特性解决一些较复杂的问题 例题1：已知51位数 5 5 5□9 9
9 能被 13 整除，中间方格中的数字是多少？ 解
析
在本题中， 5 5□9 9 能被 13 整除．这个数的位数太多，我 25个5 25个9 们可以想办法使它变得简短一些． 利用
13
的整除特征，末三位 999
与前面的 5
5□9
9 之差必须 25个5 22个9 9 25个5 22个9 能被
13 整除，于是 5 5□9 9 25个5 22个9 应该能被 13 整除． 观察上述过程，我们实际上是从原数中去掉了末尾的 999999．为什么可以这样做呢？这与“差的整除性”有什么关系吗？这个去 9 的过程要继续进行到什么时候为止呢？除了方框后面的 9 之外，方框前面的 5 又该怎么考虑呢？ 随堂练习1：. 已知多位数1 1□3 3 3 能被 13 整除，那么中间方格内的数字是多少？ 2010个1 2010个3 小结：通过上题，可以知道对于每三位重复的多位数，在考虑 7、11、13 的整除性时， 可根据三位截断法和差的整除性去掉其中形如abcabc 的部分，新数对于 7、11、13 的整除性不变． 例题2：已知多位数 81□2 5 8 25 8 2 58 能同时被 7 和 13 整除，方格内的数字是多少？ 2010个258
分
析：在本
题
中
8
1
□2010个258 变短，考虑到7、11和13的整除特性一样的，那能不能用和例题 1类似的方法去解决呢？。
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用教学目标1.五年级奥数数的整除之四大判断法综合运用（三）学生版2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除．即如果b∣a, c∣b,那么c∣a．用同样的方法,我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a．性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除,且数b 和数c 互质,那么a 一定能被b与c 的乘积整除．即如果b ∣a ,c ∣a ,且(b ,c )=1,那么bc ∣a ．例如：如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a 能被数b 整除,那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ,那么bm ｜am （m 为非0整数）；性质6 如果数a 能被数b 整除,且数c 能被数d 整除,那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜a ,且d ｜c ,那么bd ｜ac ；综合系列【例 1】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为8,那么甲乙两数之和是_________．【例 2】 有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是12的倍数,那么这5个数之和的最小值是________．【例 3】 173□是个四位数字。
第二讲：整除问题进阶上讲我们学习了一些常用的整除判断方法，本讲我们再学习一些新的判断方法。
一、截断作和。
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数，在前面加个0相当于是两位数）之和能被99整除。
举个例子：9912875643是不是99的倍数？方法1：99 12 87 56 43-------99 + 12 + 87 + 56 + 43=99×3=297，和是99的倍数，所以这个数就是99的倍数。
还可以怎么做？方法2：99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。
是9的倍数，数字和是9的倍数。
9+9+1+2+8+7+5+6+4+3=54，54÷9=6，所以这个数是9的倍数；是11的倍数，奇偶位和差分析法。
奇数位的和：3+6+7+2+9=27偶数位的和：4+5+8+1+9=27差是：27-27=0 0÷11=0，所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。
1、六位数（）2008（）能同时被9和11整除。
这个六位数是多少？分析：是9的倍数也是11的倍数即是：9×11=99的倍数。
设六位数是BA2008。
两位一截。
共3个两位数。
+=+≤A+BA+B2=891818922008和应该是99的倍数，所以只能是99×1=99成立，99×2=198不成立。
=99，所以A=1,B=7，所以这个六位数是：120087。
答：120087。
2、已知九位数1234（）（）789能被99整除。
这个九位数是多少？分析：设1234（A ）（B）789，从个位开始，两位一截，得到：1、23、4（A ）、（B）7 、89，和是：01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×10+7=160+A+10×B=99的倍数。
160+A+10×B的最小值：160+0+10×0=160（A和B在中间可以最小是0 。
一、题目简介在数学中，有一类经典的题目是要解释某个数为什么能整除某个数。
这类题目既考察了学生对数学概念的理解，也锻炼了学生的逻辑推理能力。
在本文中，我们将围绕这个主题展开深入探讨，分析常见的整除性质，并且给出一些具体的例子，以期能够帮助读者更好地理解整除的概念。
二、整除的定义要解释某个数为什么能整除某个数，首先需要了解整除的定义。
在数学中，我们称整数a能整除整数b，当且仅当存在一个整数c，使得b=ac。
如果一个数能整除另一个数，那么这个数就是另一个数的倍数。
这是整除的基本定义，也是我们理解整除性质的起点。
三、整除的性质接下来，我们将介绍几条关于整除的性质，这些性质在解释某个数能整除某个数的过程中起着至关重要的作用。
1. 若a|b且b|c，则a|c这条性质可以理解为，如果a能整除b，b能整除c，那么a就能整除c。
这是由整除的传递性决定的，也是解释某个数能整除某个数的重要性质之一。
2. 若a|b且a|c，则a|(mb+nc)，其中m、n为任意整数这个性质表明，如果a能够同时整除b和c，那么它同样能整除它们的线性组合。
这个性质在解一些复杂的整除问题时尤为重要，能够帮助我们快速求解问题。
3. 若a|b且a|c，则a|pb+qc，其中p、q为任意整数这条性质是对上一条性质的推广，它表明了如果a能够同时整除b和c，那么它同样能整除它们的任意次幂的线性组合。
这个性质在数论中有着广泛的应用。
四、举例说明为了更好地理解整除的性质，我们接下来通过具体的例子来加以说明。
我们考虑整数a=6和b=18。
我们要解释为什么6能整除18。
根据整除的定义，我们需要找到一个整数c，使得18=6c。
显然，c=3时符合要求，因此6能整除18。
再如，我们考虑整数a=2和b=8。
同样地，我们要解释为什么2能整除8。
根据整除的定义，我们需要找到一个整数c，使得8=2c。
显然，c=4时符合要求，因此2能整除8。
通过以上例子，我们可以清楚地看到整除的性质在解释某个数能整除某个数的过程中起到了至关重要的作用。
