1.3 整除 及其性质
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整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
除法的整除与余数知识点总结
除法的整除与余数知识点总结除法是数学中的一种基本运算，它涉及到整除和余数的概念。
在本文中，我将对除法的整除与余数进行知识点的总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、整除的定义与性质整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
对于两个整数a和b，若存在一个整数c，使得a = b * c，我们说a能够被b整除，记作b|a。
下面是整除的一些重要性质：1. 任何数都可以被1整除，即1|a，其中a为任意整数。
2. 任何整数a能够被自身整除，即a|a。
3. 若a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a也能够被c整除，即若b|a且c|b，则c|a。
4. 若a能够被b整除，并且b不为0，则a/b是整数，即若b|a且b≠0，则a/b为整数。
这些性质在解题和证明中经常应用，对于理解整除概念起到重要作用。
二、余数的定义与应用余数是指在进行除法运算时，被除数除以除数后所剩下的未被整除的部分。
对于两个整数a和b，其中a为被除数，b为除数，我们用符号a%b表示a除以b的余数。
下面是余数的一些重要性质：1. 若a能够被b整除，则a%b等于0。
2. 余数不可为负数，即对于任意整数a，a%b的值在0到b-1之间。
3. 若a>b，则a%b的值小于b。
余数在解决问题时具有广泛的应用，例如：1. 判断一个数的奇偶性：若一个整数a%2的余数为0，则a为偶数，否则为奇数。
2. 进行模运算：模运算是指将一个数除以另一个数的余数，常用符号为a≡b(mod m)表示a和b对模m同余，也即a% m = b% m。
3. 判断能否整除：若余数为0，则被除数能够被除数整除。
通过了解余数的定义和应用，我们能够更好地理解和利用除法运算。
三、应用举例为了加深对整除与余数的理解，下面举两个具体的例子进行说明。
例1：判断一个数是否能够被5整除。
解析：我们只需要判断这个数的个位上的数字是否是0或5，如果是，则这个数能够被5整除。
例如，对于数字155，它的个位数字为5，所以能够被5整除。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质在小学数学学习中，除法是一个重要的概念。
除法涉及到数的整除性质和余数的概念。
本文将对除法的余数与整除性质进行归纳总结。
一、整除性质整除性质是除法中最基本的概念之一。
当两个数a和b满足$a\bmod b=0$时，我们可以说b整除a，记作$b|a$。
整除性质具有以下几个特点：1. 自反性：对于任意的正整数a，有$a|a$；2. 传递性：对于任意的正整数a、b和c，如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$；3. 反对称性：对于任意的正整数a和b，如果$a|b$且$b|a$，则a=b。
二、余数的概念当两个数a和b满足$a\bmod b=r$，其中r为一个非负整数，我们将r称为a除以b的余数。
余数的性质如下：1. 常见余数：对于除数为10的整数，其余数范围一定是0~9之间的数字；2. 零除法无意义：任何数除以0都没有意义，因为不存在一个数乘以0能得到非零的结果；3. 余数的唯一性：当a和b固定时，a除以b的余数是唯一确定的；4. 余数和商的关系：对于任意的正整数a、b和c，有$a=b\timesc+r$，其中r为a除以b的余数；5. 余数的性质综合：对于正整数a、b和c，如果$a\bmod b=0$且$b\bmod c=0$，则$a\bmod c=0$。
三、应用举例除法的余数与整除性质在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一些例子来说明其应用：1. 求整数的奇偶性：当一个整数a除以2的余数为0时，可以判断a为偶数；当a除以2的余数为1时，可以判断a为奇数；2. 商数的应用：有时候除法的商数也会被运用，比如计算某个物品的平均分配数量等；3. 寻找规律：通过观察除数和余数之间的关系，可以寻找数列的规律或者解决一些数学问题。
综上所述，除法的余数与整除性质是小学数学中的基础知识之一。
它们在数学运算以及实际问题中都扮演着重要的角色。
通过了解和掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学运算能力。
整除性质及规律总结旭
整除性质一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c 的积整除；（例如：72=8*9, 24=3*8, 90=9*10）5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、（2、3、4、5、8、9、25、125）若一个整数的末位是0、2、4、6、8，则这个数能被2整除。
若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
若一个整数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除.若一个整数的末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除三、（7、11、13）能被七整除的数规律若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数的规律(1)、把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.奇位数字的和9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法".2、11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
1.3整除的判断与弃九法-北师大版选修4-6初等数论初步教案
1.3 整除的判断与弃九法-北师大版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解什么是整除2.掌握判断一个数能否被3整除的方法3.掌握弃9法判断一个数能否被3整除二、教学重点1.整除的定义2.判断3的整除性3.弃九法的使用三、教学内容1. 什么是整除整除指在除法中，被除数被除数整除，即余数为0。
例如，12÷3＝4，因为4×3＝12，所以说12能够被3整除。
2. 判断一个数能否被3整除的方法通过累加数位上的数字，判断这个数是否能被3整除。
例如，判断一个数3435是否能被3整除，我们可以将它的各个数字相加得到3+4+3+5=15，判断15是否能被3整除，因为15可以整除3，所以得知3435能够被3整除。
3. 弃九法判断一个数能否被3整除弃九法又称弃余法，是我们常用的判断一个数是否能被3整除的方法。
将这个数的各位数字累加，如果和是3的倍数，那么这个数就能被3整除。
这个方法的原理是，两个数模3同余，当且仅当两个数的差是3的倍数时。
具体方法如下：•将整数中各个数位上的数累加起来，得到一个新的数•如果新得到的数大于等于10，重复以上步骤，直到新得到的数小于10•判断新得到的数是否是3的倍数，如果是，则原来的整数也是3的倍数例如，要判断1458是否能被3整除，我们可以使用弃九法：1.1+4+5+8＝182.1+8＝93.9是3的倍数，因此1458也是3的倍数四、教学过程1. 整除的定义1.教师向学生介绍什么是整除2.例子：13÷3求余数，答案是什么？3.讲解如何用文字来表达整除2. 判断一个数能否被3整除的方法1.老师用一些具体的例子向学生演示如何用数字和方法判断一个数是否能被3整除2.导入不太适合数字方法判断的例子，如：9999999能否被3整除3.讲解如何使用数位之和判断一个数是否能被3整除3. 弃九法如何判断一个数能否被3整除1.老师向学生介绍弃九法的定义和原理2.老师给学生介绍若干适合使用弃九法的例子，让他们自己操作一下3.大力表扬：弃九法非常适合解决一些数字很大的问题五、教学方法•听：听老师讲解整除的定义•看：看老师用例子演示如何用数字和方法判断一个数是否能被3整除•做：做一些题目，提高学生使用这些方法的能力六、教学效果评估•整合知识点：请学生识别一组数字是否能被3整除，给出答案的整除原因•实践应用：给出一些特定的数字，要求学生使用判断3的整除性的方法判断其是否能被3整除•思维评估：请学生思考，在能被3整除的情况下，是否有可能存在能被3整除却没有被判断出来的数字？七、教学参考资料1.北师大版初等数学6年级上册，P197-P198，判断整数能否被3整除2.北师大版初等数学6年级上册，P199-P200，弃余法判断整数能否被3整除。
除法的整除与余数知识点
除法的整除与余数知识点在数学中，除法是一种基本运算符，用于将一个数（称为被除数）除以另一个数（称为除数），并得到商和余数。
除法的整除与余数是除法运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍除法的整除与余数的相关知识点。
一、整除的概念及性质1. 整除的定义：如果一个数a可以被另一个数b整除（即a除以b的余数为0），则称a能够被b整除，记作b | a，读作“b整除a”或“a是b的倍数”。
例如，4 | 12，表示4可以整除12。
2. 整除的性质：a）对于任意的整数a，满足1 | a和a | a。
b）若a | b且b | c，则a | c。
（整除具有传递性）c）若a | b且a | c，则a | (mb + nc)，其中m和n为任意整数。
（整除具有线性性质）二、余数的概念及计算方法1. 余数的定义：在除法运算中，如果被除数a不能被除数b整除，那么a除以b所得到的余数就是a对b的余数。
余数通常用r表示，即a modb = r。
例如，13 ÷ 5 = 2 余 3，因此13对5的余数为3。
2. 余数的计算方法：假设被除数为a，除数为b，商为q，余数为r，那么有以下公式成立：a =b * q + r三、整除与余数的求解方法1. 判断整除：当一个数a能够被另一个数b整除时（即a mod b = 0），我们可以通过判断a与b的关系来确定是否整除。
如果两个数之间存在整数倍关系，即b = ka（k为整数），则a能够被b整除。
2. 求解余数：为了计算a除以b的余数r，我们可以将a除以b并取其余数部分。
常用的方法有：a）短除法：将a除以b的过程简化为手算的步骤，依次从高位到低位进行计算，最终得到余数r。
b）取模运算：利用计算机编程中的取模运算符（%）可以直接得到a mod b的结果。
四、应用举例1. 判断整除：a）判断一个数是否是另一个数的倍数：若一个数a能够被另一个数b整除，则a是b的倍数。
例如，判断36是否是9的倍数，可以计算9 | 36，如果结果为真，则36是9的倍数。
整除性质及规律总结
整除性质及规律总结整除性质是指一个数能够被另一个数整除的特性。
在数学中，整除性质是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决一些数学问题，特别是在解决整数运算、因式分解等问题时起到重要的作用。
整除性质的基本概念是“整除”。
如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么我们就说a被b整除，记作a，b。
换句话说，如果存在一个整数c使得a=bc，那么我们就可以说a被b整除。
整除性质有以下几个重要的规律：1.任何整数都能被1整除。
对于任意整数a，都有a，12.任何整数都能整除它自己。
对于任意整数a，都有a，a。
3.如果整数a能被整数b整除，那么a也能被b的所有因数整除。
即如果a，b，且b，c，则a，c。
4.如果整数a能够整除整数b，且整数b能够整除整数a，那么a和b相等或它们都是0。
即如果a，b且b，a，那么a=b或a=b=0。
5.如果一个整数a能够整除整数b，那么a的绝对值一定小于或等于b的绝对值。
即如果a，b，则，a，≤，b。
这些整除性质和规律可以帮助我们解决许多数学问题。
以下是一些例子：1.素数判定：根据整除性质，如果一个数除了1和它本身外没有其他因数，那么这个数一定是素数。
因为只有1和它本身能够整除它。
例如，判断一个数a是否为素数，我们只需要从2到a的平方根遍历，看是否有能够整除a的数。
2.因式分解：根据整除性质，如果一个数a能够整除另一个数b，那么a就是b的因数。
因此，我们可以通过找出一个数的所有因数，然后对这些因数进行组合，得到这个数的因式分解式。
例如，将一个数b进行因式分解，我们可以从2开始遍历到b的平方根，找出所有能够整除b的数，然后将它们进行组合。
3.取模运算：取模运算是指将一个数除以另一个数，所得到的余数。
根据整除性质，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么b模a的结果一定为0。
因此，我们可以利用取模运算来判断一个数能否被另一个数整除。
例如，判断一个数b能否被3整除，我们只需要计算b模3的结果，如果结果为0，则说明b能够被3整除。
中考数学整除知识点总结
中考数学整除知识点总结一、整除的定义在中学数学中，我们把两个整数a和b(a≠0)满足条件a÷b = c（c是整数），就称a能被b 整除，b能整除a，记作b | a。
另外，任意整数都能被1整除，0不能被任何数整除。
二、整除的性质1. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 如果a能被b整除，且b能被c整除，那么a能被c整除。
3. 如果a能被b整除，b≠0，那么a和b的绝对值之差能被b整除。
4. 如果a能被m整除，b能被m整除，那么a ± b（a和b同号）也能被m整除。
5. 如果a能够被b整除，而b不等于0，那么a的倍数中也能被b整除。
三、整除的运算1. 整除与乘法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a×c能被b×c整除。
2. 整除与除法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a÷c能被b÷c整除。
四、整除定理1. 整除定理一如果整数a能被整数b整除，那么a必能被b的所有因数整除。
2. 整除定理二如果整数a和b均为非零整数，则a能被b整除的充分必要条件是当且仅当b的所有质因数都是a的质因数时a能被b整除。
五、奇数与偶数整除的性质在奇数和偶数之间也有一些特殊的表现。
奇数与奇数相乘或相加、偶数与偶数相乘或相加、奇数与偶数相乘或相加，分析后都是奇数，而偶数与偶数相除或奇数与偶数相除就一定是偶数。
六、整除在数论中的应用整除在数论中有着非常重要的应用，比如素数、最大公因数和最小公倍数等问题都是基于整除概念来研究的。
（1）素数素数就是只能被1和自身整除的自然数，素数是数论中的基本概念。
（2）最大公因数最大公因数是指有多个数的一个共同因子中最大的一个数，它是整除概念在数论中的一个重要应用。
（3）最小公倍数最小公倍数是指一个自然数所有公倍数中，除1之外最小的一个数。
整除是数学中一个基础而又重要的概念，它贯穿于整个数学学科，涉及到了很多数学问题的解答。
1.3_整除的概念
§1.3 整除的概念
鲁东大学教师教育学院
作业 P44 1. 2) 2. 1) 3. 1) 4. 2)
§1.3 整除的概念
鲁东大学教师教育学院
g( x ) | f ( x ) g( x ) 除 f ( x ) 的余式 r x 0.
§1.3 整除的概念
鲁东大学教师教育学院
3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
x3 x 2 x
余式 r ( x) (k 3) x (l 2) 又 f ( x ) | g( x ) ，即
2 x2 (k 1) x l
2 x2 2 x 2
(k 3) x (l 2)
r ( x) (k 3) x (l 2) 0 k 3, l 2
可按下列计算格式求得：
a
a0
＋)
a1 ab0 b1
a2
an1 abn 2 bn1 r
an abn1
ab1 b2
b0 a0
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1 , ,
bn1 an1 abn 2 ,
§1.3 整除的概念
r an abn1 .
称 q( x ) 为 g ( x ) 除 f ( x ) 的商， r ( x )为 g ( x ) 除 f ( x ) 的余式．
§1.3 整除的概念
鲁东大学教师教育学院
求g ( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x).
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g( x ) | f ( x ) g( x ) 除 f ( x ) 的余式 r x 0.
§1.3 整除的概念
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3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
x3 x 2 x
余式 r ( x) (k 3) x (l 2) 又 f ( x ) | g( x ) ，即
2 x2 (k 1) x l
2 x2 2 x 2
(k 3) x (l 2)
r ( x) (k 3) x (l 2) 0 k 3, l 2
可按下列计算格式求得：
a
a0
＋)
a1 ab0 b1
a2
an1 abn 2 bn1 r
an abn1
ab1 b2
b0 a0
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1 , ,
bn1 an1 abn 2 ,
§1.3 整除的概念
r an abn1 .
称 q( x ) 为 g ( x ) 除 f ( x ) 的商， r ( x )为 g ( x ) 除 f ( x ) 的余式．
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求g ( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x).
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§ 1.3 整除及其性质一、数的整除性在带余除法算式a=bq+r(0≤r<|b|)中，r=0的情况非常重要。
定义 1 设a,b是两个整数，其中b≠0，若存在一个整数q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）.这时我们也称b为a的约数，a为b的倍数，记作b|a.若不存在这样的整数q，则称a不能被b整除（或b不能整除a），记作b不整除a.性质一（传递性）若c|b，b|a，则c|a.性质二（可加性）若c|a，c|b，则c|(a±b).（请读者自己写出证明过程）性质三（可乘性）若b|a，d|c，则bd|ac.性质四若b能整除a，则|b|能整除|a|.（请读者自己写出证明过程）二、整除的奇偶性不能定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数.性质五偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数.推论: 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.性质六奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数.推论若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积为偶数.性质七设a为整，n为正整数，则a n与a奇偶性相同.例一求证：7│abcabc（a≠0）.证明：因为abcabc=abc×1000+abc=abc×1001，所以1001│abcabc.又因为7│1001，于是7│abcabc.例2 求证：37│（333777+777333）.证明：因为37×3=111，所以333777=（111×3）777=（37×9）777=37×（37776×9777），那么：37│333777.同理可证：37│777333，所以37│（333777+777333）.例3 若n>1,(n-1)│（n+11)，求n.解：因为（n+11)=(n-1)+12，且(n-1)│（n+11)，所以(n-1)│12.又因为n>1，所以n=2, 3, 4，5,7,13.例4求证：⑴若一个数的末尾数字能被2整除，则这个数能被2整除；⑵若一个数的末尾两位数字能被4整除，则这个数能被,4整除. 证明：⑴设a=10b+c(b是整数，c∈{0,1,2，…，9}）.因为2│10，故2│10b（为什么？）；又因为2│c，所以2│a.⑵设a=100b+cd(b是整数，c,d∈{0,1,2，…，9}).因为4│100，故4│100b；又因为4│cd，所以4│a.例5设9｜62ab427 11｜62ab427，求62ab427解：因为9｜62ab427，故9｜（6+2+a+b+4+2+7）(为什么？)即9｜（a+b+21）,所以9｜（a+b+3）.因为11｜ 62ab427，所以11｜（7+4+a+6-2-b-2）(为什么？) 即11｜(a-b+13),所以11｜(a-b+2).由0≤a,b ≥9,知3≤a+b+3≤21.因为9｜（a+b+3），所以a+b+3=9，或a+b+3=18.于是a+b=6,① 或 a+b=15.②同理a-b=-2,③ 或 a-b=9.④由①，②之一与③，④之一两两搭配成的四个方程组中，只有①和③搭配的方程组的解a=2,b=4符合题意， 所以 62ab427=6 224 427.“例6 对正整数a,若存在正整数b,使b 2=a,则a 叫做完全平均数.类似地，可定义完全立方数等.求证：下列各数都是完全平方数4 356, 443 556，44 435 556， 4 444 355 556， … 证明： 设an= 444n ⋯个 3 555n ⋯个6（n ∈N*),则an=6+5×10+5×102+…+5×10n +3×101+n+4×102+n +4×103+n +…4×12+n=6+50（1+10+…+101n -）+3×101n ++4×102+n （1+10+…+101n -）=6+50×110110n --+3×10（n+1）+4×10(n+2)×110110n --=（2×31101-+n ）2 显然3│（101+n －1）,故2×31101-+n 是正整数.所以an 是完全平方数.例7 7个茶杯，杯口全朝下，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动.可否经若干次运动，使杯口全朝下？解： 容易知道，一个茶杯由口朝上翻转为口朝下，需经奇数次翻转.设经k 次运动可使杯口全朝下.此时，每个茶杯翻转的次数依次为：a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7.因为杯口全朝下，所以 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7均为奇数，于是7个茶杯翻转的总次数 a 1 +a 2+a 3+ a 4+ a 5+a 6+a 7=s 必为奇数.另一方面，由每次同时翻转4个茶杯为一次运动，得s=4k ，这与s 为奇数矛盾.所以不可能经过若干次运动使杯口全朝下.例 8 设a 1，a 2...a n 是1,2,3....，n 的任一排列，n 为正奇数，求证：（a 1-1)(a 2-2)....(a n -n ）为偶数。
证明：因为（a 1-1)(a 2-2)....(a n -n ）=（a 1+a 2+....a n ）-（1+2+3+....n ）=0这说明奇数个整数之和为偶数，那么a1-1，a2-2.....an-n，中至少有一个味偶数，所以（a1-1)(a2-2)....(an-n）为偶数。
例 9 设f(x)=ax2+bx+c,a,b为整数，c为奇数.若存在奇数m,使f(m)为奇数，则方程f(x)=0无奇数根.证明：由c与f(m)=am2+bm+c均为奇数，知f(m)-c=am2+bm=m(am+b)为偶数.因为m为奇数，所以(am+b)必为偶数，且a,b必同奇或同偶。
对任一奇数k，有f(k)=ak2+bk+c=k(ak+b)+c易知(ak+b)必为偶数.所以k(ak+b)为偶数。
因为c 为奇数，所以f(k)为奇数，那么f(k)≠0，故方程f(x)=o无奇数根.例 10求证：任意两个奇数的平方和不是完全平方数。
证明：设两个奇数分别为a=2n+1.b=2m+1因为a2,b2均为奇数，所以k=a2+b2为偶数。
假设k为完全平方数，则只能是一个正偶数的平方。
设k=(2q)2，则k=4q2,故4|k另一方面，由k=4(n2+m2+n+m)+2知4不整除k，矛盾。
所以任意两个奇数的平方和不是完全平方数。
例 11 一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是几？解：这个数的前两位数应是17的倍数中最大的（两位），可知17*5=85 （17*6=102不符合），得到前两位是85因为三位数能被3整除，三位数的3个数字之和应是3的倍数。
8+5=13，个位数可以是2，5，8.个位选最大的8，即为858.答：这样的三位数中，最大的是858.例 12 各位数码是0，1，2，且能被225整除的最小自然数是多少？解析：225=25×9，能被225整除意味着要能同时被25和9整除。
能被25整除意味着末两位必须是00，能被9整除意味着00之前的数字和必须为9的倍数，比如11111111100就满足条件，而本题要求最小自然数，从而要尽可能使数位最少，则和为9且尽量是2答案为1222200.例 13 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小解析：865口口口能同时被3，4，5整除，其实就是能被3×4×5=60整除。
意即865口口口是60的倍数，865000÷60=14416余40，可见将865000减去40或者加上20即变成60的倍数，从而答案为865020。
此题若要求使数值尽可能大，则不用865000进行试除，而用865999÷60=14433余19，则最大数为865999-19=865980。
例 14 某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三个数字依次是多少？解析：2，3，4，5，6，7，8，9从右往左看，有9就不看3；有8就不看2，4；同时有8，9就不看6，从而只需要同时满足被5，7，8，9整除就可以了。
也就是能被5×7×8×9=2520整除就可以了1993999÷2520=791。
679，从而结果为999-679=320。
1993320符合条件例 15 张老师带领同学们去植树，学生的人数恰好等分为三组，已知学生和老师共种树312棵，学生和老师每人种的树一样多，并且不超过10棵，问一共有多少学生？每人种了几棵树?解析：312=棵树×人数，棵树不仅小于10，而且必须能整除312，符合条件的有1，2，3，4，6，8。
即312=1×312；312=2×156；312=3×104；312=4×78；312=6×52；312=8×39；人数分别是312，156，104，78，52，39，这其中只有52-1=51是3的倍数，从而学生人数为51，每人种了6棵树。
例 16 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？解析：末尾有1个零意味着乘式中有1对因子2，5末尾有2个零意味着乘式中有2对2，5末尾有3个零意味着乘式中有3对2，5要知道50乘到100的末尾有多少个0，就需要知道这个乘式中有多少对2，5。
显然在连续自然数中，因子2的数量要远多于5，所以只需要研究有多少个因子5就行了5的倍数有50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100共11个而这其中25的倍数有50，75，100共3个，这3个数中都有2个因子5，从而共有11+3=14个5，即乘积末尾有3个5。
例 17 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？解析：一位数是不可能和为13的的。
两位数11，22，33，44，55，66。
等其和也不可能为13。
三位数abc中，(a+c)+b=13，且(a+c)-b=11（必须等于11，因为没法相等）。
可见b=1，a+c=12；枚举如下：913,814,715,616,517,418,319。
共7个。
在四位数中，分四种情况：1口口口、2口口口、3口口口、4口口口：1abc：偶数位1+b，奇数位a+c，其和为13，差为11，同上只能是12-1。