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空间几何的有关计算公式空间几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和其性质。
在空间几何中，有很多重要的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种空间图形的性质，比如体积、表面积、角度等。
本文将介绍一些常见的空间几何计算公式，并且探讨它们的应用。
1. 空间图形的体积和表面积计算公式。
在空间几何中，我们经常需要计算各种图形的体积和表面积。
下面是一些常见图形的体积和表面积计算公式：1.1 立方体的体积和表面积计算公式。
立方体是空间几何中最简单的图形之一，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = 边长a ×边长b ×边长c。
表面积 S = 2 × (边长a ×边长b + 边长b ×边长c + 边长c ×边长a)。
1.2 圆柱体的体积和表面积计算公式。
圆柱体是另一个常见的空间图形，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = π×半径r²×高h。
表面积 S = 2 ×π×半径r² + 2 ×π×半径r ×高h。
1.3 球体的体积和表面积计算公式。
球体是空间几何中最简单的曲面图形，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = (4/3) ×π×半径r³。
表面积 S = 4 ×π×半径r²。
2. 空间图形的角度计算公式。
在空间几何中，我们也经常需要计算各种角度。
下面是一些常见角度的计算公式：2.1 直线的夹角计算公式。
如果有两条直线l1和l2，它们的方向向量分别为a和b，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a| × |b|)。
其中，a·b表示a和b的点积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。
2.2 平面的夹角计算公式。
如果有两个平面α和β，它们的法向量分别为n1和n2，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = |n1·n2| / (|n1| × |n2|)。
1.3.2球的体积与表面积【课题】：§1.3.2球的体积与表面积A 【教学目标】：１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】：1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。
并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。
2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：练习与测试：1. 球的体积是323π，则此球的表面积是 ( ) A. 12π B. 16π C. 163π D. 643π2. 两个球的表面积之比为1：9， 则此两球的体积之比为 （ ）A. 1: 729B. 1: 27C. 1: 9D. 1: 33. 一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为 （ ） A. 1: B. 1: 3 C. D. 1: 24. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则此几何体的表面积是 ；体积是 。
《1.3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆LL∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式 小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为 自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.教师引导学生共同完成让学生巩固加深所学内容并灵举例（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，图1 图2图3RA 'C 'CAOA 'B 'C 'D 'D C BAO准备 课堂小结 1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π= 3．熟练掌握球的内切、外接问题解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.学生小结,教师完善.学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.作业1、课本P29B12、《世纪金榜》 P16例23、《世纪金榜》P17 基础自主演练64、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 6，求半球的表面积和体积。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1.3.2球体的体积和表面积亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！ 1. 3.2 球的体积和表面积【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积334R =球Ｖ，表面积Ｓ＝４R2 二、典例例 1．一种空心钢球的质量是 732g，外径是 5cm，求它的内径.1/ 12（钢密度 9g/cm 3 ）求空心钢球的体积。
解析：利用体积=质量/密度及球的体积公式334R =球Ｖ解：设球的内径为 r,由已知得球的体积 V=732/9(cm 3 ) 由 V=(4/3) (53 -r 3 )得 r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________( 3 4 ) 例 2 在球心同侧有相距 9 的两个平行截面，它们的面积分别为 49和 400，求球的表面积。
（答案：2500）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为 R,球心到较大截面的距离为 x 则 R2 =x 2 +20 2 ,R 2 =(x+9) 2 +7 2 解得 x=15,R=25 所以球的表面积Ｓ＝2500 点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
（答案 50）【板书设计】一、球的面积和体积公式二、例题例 1 变式 1 例 2 变式 2 【作业布置】P30 1、2 1.3.2 球的体积和表面积课前预习学案一．预习目标：记忆球的体积、表面积公式二．预习内容：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1.3.2 课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题学习重点：球的体积和面积公式的实际应用学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
二．学习过程：教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积334R =球Ｖ，表面积Ｓ＝４R2 例 1．一种空心钢球的质量是 732g，外径是 5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm 3 ）求空心钢球的体积。
变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为3/ 12____________ 例 2 在球心同侧有相距 9 的两个平行截面，它们的面积分别为 49和 400，求球的表面积。
变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
课后练习与提高一．选择题 1．．将气球的半径扩大 1 倍，它的体积增大到原来的（）倍 A2 B4 C8 D16 2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（） A.16 B.20 C.24 D.32 3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（） A.1 倍 B.2 倍C.59倍D.47倍. 二．填空题 4.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积为_____________.. 三．解答题 6. 图 5 是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6cm，高为 20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图 5 亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。
心情的好坏，会直接地影响我们工作、学习的效果。
你也能看到，在体育比赛中，由于心理状态的起伏，参赛选手的发挥会跟着有较大的起伏。
同样的道理，心理状态的正常与否对参加考试的同学来说也至关重要。
心理方面的任何失衡都会使你手忙脚乱，得分率降低，平时掌握的内容也有可能发挥不出来；相反，保持良好的心态，则会使你如虎添翼，发挥出最佳水平。
加强心理调整，保持考前状态考试中的心理偏差有两种：一是过于放松，难以集中注意力，总是想起别的东西；二是过于紧张，心跳加快，手心出汗，有头晕的感觉。
那么如何进行考前的心理状态调整呢？考前应该按照一定的时间顺序进行自身的心理状态调整。
在考前 10 天：每个学生的实力已经定型，一般无论怎么用功，水平也不会有显著地提高。
所以，考生在这个时段主要应该进行一些提纲挈领的复习，即考前复习要有所侧重，特别是检查一下重点内容的掌握情况，如老师明5/ 12确指定和反复强调的重点内容，自己最薄弱的、经常出错的地方。
所以，考前 10 天考生宜看书而不宜做题。
通过看书可以温习已有的知识，增强自信心，而做题则不同，一旦题目太难，就会挫伤自信心。
另外，考试前人的精神往往高度集中，理解力和记忆力在短期内急剧提高，因此在这个时段内应该加强记忆方面的知识，如历史、地理、政治、英语等，但是也不可过度紧张而耗费考试时的精力。
在考前 3 天：这个时间很多学生认为万事大吉，完全不沾书本，这是十分错误的。
重要内容虽然已经掌握了，但还是要适当浏览一下，如历史、地理、政冶的基本知识、语文的文学常识、英语的单词、数学的公式等。
对自己已经考过的试题应该看一看，把经常出错的地方再强化一下，适当地做一点热身题。
所以，在考前 3 天还要适当地翻阅一下书本，这样做不仅使这些重点内容始终在大脑中处于待提取的激活状态，而且可以使自己心里踏实。
在这 3 天，应该调整自己的心理状态，切不要把弦绷得太紧，应该适当地放松自己，如通过散步、和家人聊天、听音乐等方式调整自己的心态。
此外，还应该做好考试的物质准备，如文具、准考证、换冼的衣物、考试中提神的香水等。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 在考前 1 天：考试前 1 天仍然有许多准备要做，不要认为万事俱备，只欠东风，也不要破罐子破摔，听天由命。
在这天应注意以下问题，第一，注意自己的饮食，考前1 天应该遵循自己平时的饮食习惯，可以多加几个菜，适当增加肉蛋类食品，但不要为了补充能量而暴饮暴食，以免消化不良，直接影响第二天的考试；第二，不要参加剧烈的运动，以免体能消耗过大或发生其他的意外，从而影响第二天的考试。
也不要长时间地玩棋牌、上网打游戏，以免过度兴奋。
适当的放松和休息应该是最后一天的主旋律；第三，熟悉考场，应该仔细考察通往考场所在地的交通线路，选择路程最短、干扰最少、平时最熟悉的路线，还应该考虑如果发生交通堵塞后的应对措施。
对考场所在学校、楼层、教室、厕所以及你的座位位置都要亲自查看，做到心中有数，以防止不测事件的发生；第四，要认真检查考试时所使用的准考证、文具等，并把它们全部放在文具盒内，以保证第二天不出现慌忙现象；第五，如果有的同学不看书心里就不踏实，还要临阵磨枪，那就不妨把第二天所考科目的课本随意翻阅一遍，但不可太动脑筋。
如果有的同学不愿再看书，那就听一些轻松欢快的音乐，以放松一下自己；第六，严格按照平时的作息时间上床睡觉，不应太晚，也不宜太早，以免成太早或太晚上床而又不能及时入睡。
7/ 12睡前可用温水洗脚，以帮助自己睡眠，如数数、深呼吸等。
切不要服用安眠药，因为安眠药会抑制人的大脑，导致第二天考试不够兴奋。
要增强自信心要获取好成绩，一定要有自信心。
这如同体育运动员一样，要在比赛中获取好的名次，应该具有良好的竞技状态，以保证自己能够发挥出最好的水平。
考生在进入考场之前，多想一些有把握获取好成绩的条件，如自己已经全面和系统地复习了，考试就像平时测验，无非在这里多做几道题而已，尽量回忆和憧憬一些美好的事情，设法使大脑皮层产生兴奋中心，产生一种积极的情绪。
自我放松，缓和紧张的心理状态常用的自我放松训练有以下几种：呼吸松弛训练。
坐在座位上，双目微闭，两脚着地，双手自然放在膝上，脚与肩同宽。
然后进行腹式呼吸 3~4 次。
吸气时用鼻慢慢地吸，先扩张到腹部，在扩张到胸部，吸足气后屏一屏气，然后用鼻和嘴将气慢慢地吐出，这个过程连续多次就可以达到平静的心理状态，消除紧张和忧虑的效果。
肌肉松弛训练。
考试时，坐姿要放松，一旦双手发生颤抖或有紧张情绪，可迅速拉紧所有的肌肉，然后立即解除紧张、也可马上做深呼吸，反复两三---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 次，这时全身肌肉必会放松，就可避免生理、心理紧张加剧而引起的恶性循环。
