2019届高考数学(人教A版文科)一轮复习考点规范练：52

考点规范练不等关系及简单不等式的解法基础巩固.(安徽合肥模拟)已知∈,下列命题正确的是().若>,则>.若>,则.若>,则>.若>,则>.若集合{<}⌀,则实数的取值范围是().{<<}.{≤<}.{<≤}.{≤≤}.设∈[∞),则的大小关系是()≤≥>< .(吉林长春模拟)若<,则在下列不等式:①;②>;③>;④>中,正确的不等式是().②③.①④.②④.①③.已知α∈,β∈,则α的取值范围是()....(,π).已知集合{<}{<<},则()⫋⫋∩⌀.不等式<的解集为().{<<}.{<,且≠}.{<<,且≠}.{<或<<}.若对任意∈,不等式<恒成立,则实数的取值范围是().(].().(∞)∪[∞).(∞].若不等式()>的解集为{<<},则函数()的图象为().函数的定义域是..已知关于的不等式<(>)的解集是空集,则的取值范围是..对任意∈[],函数()()的值恒大于零,则的取值范围是.能力提升.已知函数()()(),如果不等式()>的解集是(),那么不等式()<的解集是().....已知关于的不等式()()<的解集是,则实数的取值范围是()..∪(∞)...(河南郑州月考)已知实数满足<<,且<<,则的取值范围是()>,且><,且<>,且<<<<,且<<.若关于的不等式>在区间[]上有解,则实数的取值范围为..若对一切∈(],不等式()()≤恒成立,则的取值范围是.高考预测.已知函数()(∈),对任意实数都有()()成立,当∈[]时()>恒成立,则的取值范围是()<<>.不能确定<或>答案：解析:当时不正确不正确不正确;对于>≥,则>,故选.解析:当时,满足条件.当≠时,由集合{<}⌀,可知得<≤.综上,可知≤≤.解析:由题意知≤,且≥≥,可得≥,故选.解析:因为<,故可取.因为<,所以②错误;因为()()>,所以④错误.综上所述,②④错误,故选.解析:由题意得<α<π≤,∴≤≤,∴<α<π.解析:由题意可得{<<}.又{<<},故⫋.解析:因为不等式<等价于()()()<,所以该不等式的解集是{<或<<}.故选.。

高考大题专项练三高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.2.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1;数列{b n}满足b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),b1=1.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.4.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.5.(2017河南南阳一模)已知f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{a n},n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=,设数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.6.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.8.已知数列{a n}是公比为的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,数列{b n}是等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;(2)比较+…+S n的大小.答案：1.解:(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知,=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解:(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N*),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3,得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=,∴T n=,①∴T n=,②由①-②,得T n=,解得T n=.3.解:(1)由S n=2a n-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又S n=2a n-1,S n-1=2a n-1-1(n≥2),两式相减,得S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-2a n-1.故a n=2a n-1,n≥2.所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.故a n=1·2n-1=2n-1.由b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),得=1.又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.∴=1+(n-1)·1=n.∴b n=.(2)由(1)得=n·2n-1.∴T n=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2T n=1·21+2·22+…+n·2n.两式相减,得-T n=1+21+…+2n-1-n·2n=-n·2n=-1+2n-n·2n.∴T n=(n-1)·2n+1.4.(1)证明:∵a n+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解:由(1)知-1=,则+1.故+n.设T n=+…+,①则T n=+…+,②由①-②,得T n=+…+=1-,∴T n=2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.(1)解:f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},则x=kπ+,解得x=2k+1(k∈Z),把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{a n},所以a n=2n-1.(2)证明:b n=,故T n=b1+b2+…+b n<=.6.证明:(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.7.解:(1)因为a n=,所以S n-S n-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为=,所以T n=+…+=.所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2, 故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解:(1)由题意,得(1-a2)2=a1(a3+1),即=a1,解得a1=.故a n=.设等差数列{b n}的公差为d,又解得(舍去),故λ=.(2)由(1)知S n=1-,则S n=.①由(1)知T n=nb n+1,当n=1时,T1=b1=b2, 即b2=2b1=16,故公差d=b2-b1=8,则b n=8n,又T n=nλ·b n+1,故T n=4n2+4n,即.因此,+…+==.②由①②可知+…+S n.。

学校集体性食物中毒事件应急预案一、背景介绍近年来，学校集体性食物中毒事件频发，给学校师生健康和生命安全带来了严重威胁。

为了保障学校师生的食品安全和健康，制定一套完善的学校集体性食物中毒事件应急预案是非常必要的。

二、应急预案目标1. 确保食品安全：及时发现、阻止和控制食品污染，确保食品安全。

2. 快速应对：在发生食物中毒事件时，迅速采取措施，避免事态扩大。

3. 保障师生安全：师生人身安全和身体健康是最重要的，预案目标是最大程度地减少伤害和死亡，对受害者进行及时救治。

三、应急预案制定过程1. 成立应急预案制定工作组：由学校领导、相关部门负责人和专家组成，负责制定学校集体性食物中毒事件应急预案。

2. 收集信息和制定应急流程：收集学校食品安全相关政策法规、监测控制技术标准和应急预案相关资料，制定学校集体性食物中毒事件的应急流程和处置方案。

3. 完善预案：在制定初稿的基础上，组织应急预案试行，根据实际情况进行修订和完善，确保预案的适用性和有效性。

4. 培训和演练：开展教师和学生的应急演练，提高应急预案的执行能力和应对水平。

四、应急预案主要内容1. 应急组织机构和职责：(1) 建立学校食品安全应急指挥部，明确各成员的职责和权限。

(2) 配备应急指挥部所需的人员、设备和场所，确保指挥工作的顺利进行。

(3) 制定指挥部人员的轮班制度，确保全天候应急工作。

2. 食品安全监测和预警：(1) 学校食品安全监测设备的配置和使用方法。

(2) 建立食品安全隐患排查机制，及时发现问题并解决。

(3) 与食品安全监测机构建立紧密合作关系，及时获取食品安全预警信息。

3. 食物中毒事件的应急处置：(1) 发现食物中毒事件后，立即上报应急指挥部。

(2) 迅速切断食品供应渠道，停止食品消费。

(3) 隔离病源，对中毒人员进行初步救治，确保其生命安全。

(4) 组织相关部门对食品和食品环境进行调查和抽样检测，找出污染原因。

(5) 封存并保存食品样品，留作证据。

考点规范练55　几何概型基础巩固1.若在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-2x2≥4的概率是( )A. B. C. D.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D.3.北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达到熟能生巧之境.若铜钱是半径为1 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A. B. C. D.4.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( )A. B. C. D.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )A. B.C. D.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-之间的概率为( )A. B. C. D.8.(2017江苏,7)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 .9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 .10.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则关于x的方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 .能力提升11.(2017山东临沂一模)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+与圆x2+y2=1不相交的概率为( )A. B. C. D.12.在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-13.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为( )A. B. C. D.14.设点(a,b)是区域内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间内是增函数的概率为 .15.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为 .16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .高考预测17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为 .答案：1.D　解析:因为2x-2x2≥4,所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2,所以所求概率为.2.B　解析:所求概率为,故选B.3.B　解析:由题意可得半径为1 cm的圆的面积为π×12=π(cm2),而边长为0.5 cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25(cm2),故所求概率为.4.A　解析:试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成所求事件的区域长度为1 min,故所求的概率为.5.C　解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C、F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为.6.B　解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为.7.D　解析:∵-1≤x≤1,∴-.由-≤sin,得-,则-≤x≤1.故所求事件的概率为.8.　解析:由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.9.　解析:作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为.10.　解析:当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有解得所以<p≤1或2≤p≤5,即p∈∪[2,5],由几何概型的概率计算公式可知所求概率为. 11.C　解析:要使直线y=kx+与圆x2+y2=1相交,应满足≥1,解得-≤k≤,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+与圆x2+y2=1不相交的概率为P=.故选C.12.B　解析:由函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,可得Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得a2+b2≥π2,如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},其面积SΩ=(2π)2=4π2.事件A表示函数f(x)有零点,所构成的区域为M={(a,b)|a2+b2≥π2},即图中阴影部分,其面积为S M=4π2-π3,故P(A)==1-.13.C　解析:由题意,得表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为,故选C.14.　解析:作出不等式组所对应的平面区域如图△AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S△AOB=×4×4=8.若f(x)=ax2-2bx+3在区间内是增函数,则即则A(0,4),B(4,0),由即C.则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间内为增函数的点(a,b)所构成的区域为△OBC,其面积为×4×.故所求的概率为.15.　解析:如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=,且点M在BD上时,满足∠AMB≥90°,故所求概率为.16.　解析:以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为.17.　解析:分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为π()2=,平面区域N的面积为×3×2+×3×6=12,故所求的概率为.。

考点规范练点与直线、两条直线的位置关系
基础巩固
.(浙江温州模拟)若直线()和:()()互相垂直,则()
或
或
或
或
.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是()
.
.若动点分别在直线和上移动,则的中点到原点的距离的最小值为() .已知平行四边形的一条对角线固定在()()两点点在直线上移动,则点的轨迹方程为()
.
如图所示,已知两点()(),从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又
回到点,则光线所经过的路程是()
.已知平行直线,则与之间的距离是.
.已知点()关于直线对称的点是(),则直线在轴上的截距是.
.已知点()到直线的距离不大于,则的取值范围是.
.已知两条直线:()().当分别为何值时与:
()相交?()平行?()垂直?
.已知光线从点()射出,到直线上的点后被直线反射到轴上的点,又被轴反射,这时反射光线恰
好过点(),求所在的直线方程.。

§9.7　抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)标准方程p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标O (0,0)对称轴x 轴y 轴焦点坐标F (p2，0)F (－p 2，0)F(0，p2)F(0，－p 2)离心率e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋，也称为抛物线的(p 2，0)p2焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(a 4，0)a43．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2.p 24(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝(α为弦AB 的倾斜角)．2psin2α(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方(a4，0)程是x ＝－.(　×　)a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(p2，0)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(　√　)p 24(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　×　)(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(　√　)题组二　教材改编2．[P64A 组T3]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案　B解析　抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P59T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案　y 2＝－8x 或x 2＝－y解析　设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .题组三　易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4 B ．6C ．8 D ．12答案　B解析　如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±2x B ．y 2＝±2x 2C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±4x 2答案　D解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则22＝，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝±4x .故选D.p22226．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案　[－1,1]解析　Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.题型一　抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案　4解析　如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解　由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)，∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝＝2，42＋225即|PB |＋|PF |的最小值为2.52．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．解　由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为＝3，|1＋5|12＋(－1)22所以d 1＋d 2的最小值为3－1.2思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案　5解析　如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.[1－(－1)]2＋(0－1)25题型二　抛物线的标准方程和几何性质命题点1　求抛物线的标准方程典例(2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝9x32C ．y 2＝x D ．y 2＝3x 92答案　D解析　分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝|AA 1|＝，1232故抛物线的方程为y 2＝3x .命题点2　抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝；p 24(2)＋为定值；1|AF |1|BF |(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为.(p2，0)由题意可设直线方程为x ＝my ＋，代入y 2＝2px ，p2得y 2＝2p，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)(my ＋p2)因为在抛物线内部，(p 2，0)所以直线与抛物线必有两交点．则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y ＝2px 1，y ＝2px 2，所以y y ＝4p 2x 1x 2，212212所以x 1x 2＝＝＝.y 21y 24p 2p 44p 2p 24(2)＋＝＋1|AF |1|BF |1x 1＋p 21x 2＋p 2＝.x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24因为x 1x 2＝，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，p 24得＋＝＝(定值)．1|AF |1|BF ||AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 242p (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝(|AC |＋|BD |)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |.1212所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是2A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.B ．1 C. D ．21232答案　D解析　由题意得3x 0＝x 0＋，即x 0＝，p2p4即A ，代入抛物线方程，得＝2，(p4，2)p 22∵p >0，∴p ＝2.故选D.(2)(2017·郑州二模)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )12A. B. C. D ．2537597答案　A解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝|AB |，12∴Error!又Error!得x 1＝，23则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋＝.2353题型三　直线与抛物线的综合问题命题点1　直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若·＝0，则k ＝________.MA→ MB → 答案　2解析　抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋，x 1x 2＝4.8k 2所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝，8k y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为·＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)MA→ MB → ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明　由题意知，F ，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，(12，0)且A ，B ，P ，Q ，R.(a 22，a )(b 22，b )(－12，a )(－12，b )(－12，a ＋b2)记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝＝＝a －b1＋a 2a －b a 2－ab 1a＝－＝－b ＝＝k 2.ab a b －0－12－12所以AR ∥FQ .(2)解　设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝|b －a ||FD |＝|b －a |，1212|x 1－12|S △PQF ＝.|a －b |2由题意可得|b －a |＝，|x 1－12||a －b |2所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得＝(x ≠1)．2a ＋b yx －1而＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．a ＋b2当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练(2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解　(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①又x 2＝2py 得y ′＝，xp 则A ，B 处的切线斜率乘积为＝－＝－1，x 1x 2p 22p 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x ＋b ，x 1p 又切点A 在抛物线y ＝上，x 22p∴y 1＝，∴b ＝－＝－，x 212p x 212p x 21p x 212p ∴y AN ＝x －.x 1p x 212p 同理y BN ＝x －.x 2p x 22p 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴Error!解得N.(x 1＋x 22，x 1x 22p )∴N (pk ，－1)．|AB |＝|x 2－x 1|1＋k 2＝，1＋k 24p 2k 2＋8p 点N 到直线AB 的距离d ＝＝，|kxN ＋1－yN |1＋k 2|pk 2＋2|1＋k 2S △ABN ＝·|AB |·d 12＝≥2，p (pk 2＋2)32p ∴2＝4，∴p ＝2，2p 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨　(3)中证明·＝0.QA→ QB → 规范解答解　(1)∵抛物线C ：x 2＝y ，1m ∴它的焦点F.[2分](0，14m )(2)∵|RF |＝y R ＋，14m ∴2＋＝3，得m ＝.[4分]14m 14(3)存在，联立方程Error!消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－.[6分]12设A (x 1，mx )，B (x 2，mx )，则Error!(*)212∵P 是线段AB 的中点，∴P ，(x 1＋x 22，mx 21＋mx 22)即P ，∴Q，[8分](1m ，yP )(1m ，1m )得＝，QA → (x 1－1m ，mx 21－1m )＝.QB → (x 2－1m ，mx 2－1m )若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则·＝0，QA→ QB → 即·＋＝0，[10分](x 1－1m )(x 2－1m )(mx 21－1m )(mx 2－1m )结合(*)式化简得－－＋4＝0，4m 26m 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－，12而2∈，－∉.(－12，＋∞)12(－12，＋∞)∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝x 2或y ＝－x 2112136答案　D解析　分两类a >0，a <0，可得y ＝x 2或y ＝－x 2.1121362．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若＝3，则||等于( )FA → FB → AF→ A ．3 B ．4 C ．6 D ．7答案　B解析　由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝|FK |＝，∴||＝||＝，∴||＝3||＝4，故选B.2343BF → BH → 43AF → BF→3．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为4，则抛物线C 的方程为( )5A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案　C解析　由Error!得Error!或Error!即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则＝4，得p ＝1(舍去负值)，(4p )2＋(8p )25故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2017·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4答案　B解析　不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知Error!即Error!∴A ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，(p 2，4p )∴＝2p ×，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.16p 2p25．(2018届新余市第一中学模拟)动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．x 2＝4yD ．x 2＝8y答案　D解析　∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y ，故选D.6．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若·＝－12，则抛物线C 的方程为( )OA→ OB → A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案　C解析　由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋，联立Error!p2消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得·＝x 1x 2＋y 1y 2＝＋y 1y 2OA → OB → (my 1＋p 2)(my 2＋p2)＝m 2y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋＋y 1y 2＝－p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，pm 2p 2434即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2017·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案　y 2＝16x解析　设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋＝6，即x M ＝6－，p2p2又由题意可知x M ＝，∴＝6－，解得p ＝8.p4p4p2∴抛物线方程为y 2＝16x .8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线上x x 23轴上方一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率等于________．答案　－22解析　双曲线－y 2＝1的右焦点为(2,0)，x 23∴抛物线方程为y 2＝8x ，p ＝4.∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，∴x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2.2∵点A 在x 轴上方，∴A (1,2)，2∴直线AF 的斜率k ＝＝－2.221－229．(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案　23解析　y 2＝2px 的准线方程为x ＝－.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ，Bp2(－p 2，p 3)，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而－＝1，(－p 2，－p 3)p 23p 24又p >0，所以p ＝2.310．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案　6解析　如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝|FO |＝1.12又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于2A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→解　(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.2(x －p2)由题易知，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得5p4|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．设C (x 3，y 3)，22则＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)．22又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，232整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点作直线l 与抛物线C 交于不(0，12)同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解　由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝，12所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(14，0)14(2)证明　由题意知，直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k ≠0)，12l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.1－kk 214k 2因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.y 2x 2(x 1，y 2x 1x 2)因为y 1＋－2x 1＝y 2x 1x 2y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝(kx 1＋12)x 2＋(kx 2＋12)x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝＝0，(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2所以y 1＋＝2x 1，y 2x 1x 2故A 为线段BM的中点．13．(2017·邵阳联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0,2)是抛物线2(x 0>p2)C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝截得的弦长为|MA |.若＝2，则p23|MA ||AF ||AF |等于( )A. B ．1 C ．2 D ．332答案　B解析　由题意知M (x 0,2)在抛物线上，2则8＝2px 0，则px 0＝4，①由抛物线的性质可知，|DM |＝x 0－，＝2，p2|MA ||AF |则|MA |＝2|AF |＝|MF |＝，2323(x 0＋p2)∵圆M 被直线x ＝截得的弦长为|MA |，p23则|DE |＝|MA |＝，3233(x 0＋p2)又|MA |＝|ME |＝r ，在Rt △MDE 中，|DE |2＋|DM |2＝|ME |2，即2＋2＝2，13(x 0＋p2)(x 0－p2)49(x 0＋p2)代入整理得4x ＋p 2＝20，②20由①②，解得x 0＝2，p ＝2(舍负)，∴|AF |＝＝1，故选B.13(x 0＋p2)14．过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则|AF |＋|BF |的值为________．答案　6解析　设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则|HH ′|＝(|AA ′|＋|BB ′|)，由抛物线的定义可得，12|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|.由题意知直线的斜率必存在，设为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，计算得出k <且k ≠0，13又x 1＋x 2＝，AB 的中点为，4－6kk 2(2－3k k 2，2k )线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－(x －4)，且过中点，则＝－1k (2－3k k 2，2k )2k 1k，(2－3k k 2－4)得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝(舍去)，12则H (2，－1)，|HH ′|＝2＋1＝3，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|＝6.15．已知曲线G ：y ＝及点A (1,0)，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直－x 2＋16x －15线l ：x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________.答案　14解析　曲线G ：y ＝，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C －x 2＋16x －15为半圆M 与抛物线y 2＝4x 的两个交点，由y 2＝4x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－12x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．所以|AB |＋|AC |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12＋2＝14.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案　(2,4)解析　如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则Error!两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．当k 存在时，x 1≠x 2，则有·＝2，y 1＋y 22y 1－y 2x 1－x 2又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·＝－1，y 0－0x 0－5即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－2<y 0<2.33因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y ＝r 2，20故r 2＝y ＋4<12＋4＝16.20又y ＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，20所以4<r 2<16，即2<r <4.。

考点规范练13函数模型及其应用基础巩固1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1003.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.124.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米B.900米C.1 000米D.1 200米5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元7.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%9.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2 m,则此人()A.可在7 s内追上汽车B.可在9 s内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 mD.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m10.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣,若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=若y=30元,则他购物总金额为元.11.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.能力提升12.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图,则点P所走的图形是()13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A.16 hB.20 hC.24 hD.28 h14.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.高考预测16.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD 分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是()答案：1.D解析:由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.2.C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.3.A解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y 最大.4.A解析:设这个广场的长为x米,则宽为米.故其周长为l=2≥800,当且仅当x=200时取等号.5.C解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.6.B解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.7.B解析:设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n 元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.8.C解析:设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x=1.017,所以x=1.7%.9.D解析:已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.10.1 350解析:若x=1 300,则y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此x>1300.故10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350.11.16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.12.C解析:函数的运动图象有两个特点,①点P运动到周长的一半时,OP最大;②点P的运动图象是抛物线.选项A,B中点P开始运动后的一段路程是直线,故不符合;选项D中OP的距离不是对称变化的,也不符合,故选C.13.C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=e kx+b图象上的两个点,所以由②得,48=e22k·e b,③把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,所以e11k=.所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y==(e11k)3·e b=×192=24(小时).14.16解析:当t=0时,y=a,当t=8时,y=aa,可得e-8b=.故容器中的沙子只有开始时的八分之一时,可得y=a e-bt=a,即e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.546.6元解析:依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.故两次共购得价值为470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.16.C解析:依题意得s=f(t)=分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,故选C.。

考点规范练抛物线基础巩固.(广西桂林一模)若抛物线(>)上的点(,)到其焦点的距离是点到轴距离的倍,则等于()...抛物线上的一点到焦点的距离为,则点的纵坐标是().. .(河北张家口月模拟)已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,若,则线段的中点的横坐标为() .(山西运城模拟)已知抛物线与直线相交于两点,若中点的横坐标为,则此抛物线方程为().已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为的右焦点与抛物线的焦点重合是的准线与的两个交点,则().已知抛物线(>)上一点()(>)到其焦点的距离为,双曲线的左顶点为,若双曲线的一条渐近线与直线平行,则实数().....若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是. .已知抛物线,过焦点的直线与抛物线交于两点,过分别作轴的垂线,垂足分别为,则的最小值为..已知过抛物线(>)的焦点,斜率为的直线交抛物线于()()(<)两点,且.()求该抛物线的方程;()为坐标原点为抛物线上一点,若λ,求λ的值..已知一条曲线在轴右边上每一点到点()的距离减去它到轴距离的差都是.()求曲线的方程; ()是否存在正数,对于过点(),且与曲线有两个交点的任一直线,都有<?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.能力提升.设为抛物线的焦点为该抛物线上三点.若,则().设为坐标原点是以为焦点的抛物线(>)上任意一点是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()... .(安徽合肥一模)已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线(>)的准线交于两点为坐标原点,若△的面积为,则的值为()..已知抛物线(>)的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且.()求的方程;()过的直线与相交于两点,若的垂直平分线'与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程.。

考点规范练1集合的概念与运算基础巩固1.下列集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={2,3},N={3,2}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={2,3},N={(2,3)}2.(2017全国Ⅲ,文1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.43.(2017北京,文1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)4.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为()A.3B.6C.8D.95.已知数集{x2+x,2x},则x的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)6.(2017山东,文1)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)7.已知全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x>0}B.{x|-3<x<0}C.{x|-3<x<-1}D.{x|x<-1}8.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}9.已知集合U=R,A={x|0<x<4},B={x|x2-3x+2>0},则()A.A⊆BB.B⊆AC.A∪B=RD.A⊆∁R B10.(2017江苏,1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.11.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=.12.已知集合A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数为.能力提升13.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=()A.(2,3]B.(-∞,1]∪(2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,0)∪[1,+∞)14.已知集合A={x|y=},B={y|y-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.[0,1)D.[0,1]15.集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是.17.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.高考预测18.已知集合A=,集合B={y|y=t-2},则A∩B=()A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)答案：1.B解析:选项A中的集合M,N都表示点集,又因为集合M,N中的点不同,所以集合M与N 不是同一个集合;选项C中的集合M,N的元素类型不同,故不是同一个集合;选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故不是同一个集合;由集合元素的无序性,可知选项B中M,N表示同一个集合.2.B解析:由题意可得A∩B={2,4},则A∩B中有2个元素.故选B.3.C解析:因为A={x|x<-2或x>2},所以∁U A={x|-2≤x≤2}.故选C.4.D解析:集合B中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.5.D解析:由集合中元素的互异性,可得在集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x,即x≠0,x≠1,故x的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),故选D.6.C解析:由|x-1|<1,得-1<x-1<1,即0<x<2.所以M={x|0<x<2},所以M∩N=(0,2).7.C解析:题图中阴影部分表示的集合是A∩B,而A={x|-3<x<0},故A∩B={x|-3<x<-1}.8.A解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.9.C解析:∵x2-3x+2>0,∴x>2或x<1.∴B={x|x>2或x<1}.∵A={x|0<x<4},∴A∪B=R,故选C.10.1解析:由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.11.(1,2]解析:∵0<log4x<1,∴log41<log4x<log44,即1<x<4,∴A={x|1<x<4}.又B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}.12.4解析:因为集合A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,且A={1,2},A⊆B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4},即所求集合B的个数为4.13.D解析:因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞)14.C解析:因为A={x|y=}={x|x(1-x)≥0}=[0,1],B={y|y-1<0}=(-∞,1),所以A∩B=[0,1).故选C.15.D解析:∵x2-2x-3<0,∴(x+1)(x-3)<0.∴B={x|-1<x<3}.∵在-1<x<3中的整数有0,1,2,∴A∩B={0,1,2}.16.(-∞,-2]解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A⊆B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.(-∞,4]解析:当B=⌀时,有m+1≥2m-1,可得m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,如图,则解得2<m≤4.综上,m的取值范围为(-∞,4].18.B解析:由<1,得>0,即x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞).设m=≥0,则t=m2+3,故y=m2+3-2m=(m-1)2+2,因此B=[2,+∞).所以A∩B=(3,+∞),故选B.。