2020年江苏省百校联考高三年级第二次数学试卷及解析(最新)

2025届高三数学其次次考试试题留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准运用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必需保持答题卡的整齐。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1，2} 2．若复数z ＝(m ＋1)－2m i(m ∈R )为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i 3．设函数错误!未指定书签。

则f (f (－3))＝()A ．14B ．2C ．4D ．8 4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器----商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3．8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12．6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为()A ．0.38寸B ．1.15寸C ．1.53寸D ．4.59寸5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图象可以由y ＝sin2x ＋cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3，0)． 假如只有一个假命题，那么该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．“0＜x sin x ＜π2”是“0＜x ＜π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若→AF 2＝3→F 2B ，|→AB |＝|→AF 1|，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝35，则cos(α＋β)cos(α－β)＝( )A ．725B ．15C ．15D ．－725二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知x ＋y ＞0，且x ＜0，则( )A ．x 2＞－xy B ．|x |＜|y | C ．lg x 2＞lg y2D ．y x ＋x y＜－210．已知两点A (－4，3)，B (2，1)，曲线C 上存在点P 满意|PA |＝|PB |，则曲线C 的方程可以是( )A ．3x －y ＋1＝0B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 22－y 2＝1 D ．y 2＝3x11．设错误!未指定书签。

2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =，则实数a 的值为____________． 【答案】2【解析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解. 【详解】解：由{}2A B ⋂=，得212a a =+=或经检验，当2a =时，}{2A B ⋂=，符合题意， 当12a +=时，}{1,2A B ⋂=，不符合题意， 故a 的值为2． 【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()f x =_______.【答案】(1,2]【解析】根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =则()12log 10x -≥,即011x <-≤, 即12x <≤,故函数的定义域为(]1,2,故答案为(]1,2. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ． 【答案】充分必要【解析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解. 【详解】解：当1m =-时，(1,1),(3,3)ab =-=- ，即3b a =，所以a b ；当a b 时，31(2)0m m ⨯-⨯-=，解得1m =-， 故“1m =-”是“a b ”的充分必要条件． 【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题. 4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+∞上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 【答案】1【解析】由幂函数的单调性可得：220m m -<，运算可得解. 【详解】解：由题意，得220m m -<，解得02m <<， 故整数m 的值为1． 【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题. 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()πα-的值是____________． 【答案】2-【解析】由诱导公式可得tan 2α=，再运算可得解. 【详解】解：由题意可得2cos sin αα-=-，所以tan 2α=， 故tan()tan 2παα-=-=-． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2||a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________． 【答案】90【解析】由平面向量模的运算可得a b ⋅ ＝0，即可得解. 【详解】解：由题意，得22()2a b c +=，即22222a b a b c ++⋅=，又a b c ==， 故a b ⋅ ＝0，故a ，b 的夹角为90°． 【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题. 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则()4f π=____________．【答案】12【解析】由三角函数图像的平移可得()sin(2)3g x x πϕ=-+，由函数的奇偶性可得3πϕ=，再运算即可得解.【详解】解：将函数()y f x =的图像平移后得到()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数，则(0)g ＝sin()3πϕ-+＝0，又2πϕ<，所以3πϕ=，故1()sin()cos 42332f ππππ=+==．【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．【答案】9【解析】由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可. 【详解】解：1395133()()2()4()6()8sin()89222222f f f f f π=+=+=+=-+=-+=． 【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S ，且S BA BC =，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．【解析】由正弦定理可得B 3π=，又4cos A 5=，所以3sin A 5=， 再结合两角和的余弦公式求值即可. 【详解】BA BC=⋅1sin B cos B 2ac ca =，即sin B =，tan B =所以B 3π=．又4cos A 5=，所以3sin A 5=，故4cosC cos(A B)cos A cos B sin Asin B 10=-+=-+=． 【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.10．设函数()1x x f x e e -=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】先研究函数()1y f x =-的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可. 【详解】 解：令()()1x x g x f x e e -=-=-，显然()g x 为单调递增的奇函数．不等式2(21)()2f x f x -+<，可转化为不等式2(21)1[()1]f x f x --<--，即可得2(21)()()g x g x g x -<-=-．所以221x x -<-，解得112x -<<， 故原不等式解集为(﹣1，12)． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题. 11．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，可转化为213()ln 22f x x a a x =+--的最小值大于0，再求函数()f x 的最小值即可得解. 【详解】解：设213()ln 22f x x a a x =+--，则1()x f x x'-=， 得2min 13()(1)122f x f a a ==+-，所以213122a a +-＞0，解得a ＞2或a ＜1，故a 的取值范围是(-∞，1)(2，+∞)．【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ 的取值范围为____________．【答案】()0,4【解析】先设∠BAQ ＝θ，再将AP AQ 表示为θ 的函数，再利用三角函数求值域即可得解. 【详解】解：设∠BAQ ＝θ，θ∈(0，6π)，则∠BAP ＝θ＋3π． 在Rt △ABP 和Rt △ABQ 中，可得AQ ＝4cos θ，AP ＝4cos(θ＋3π)， 则AP AQ 4cos 4cos()cos8cos cos()333πππθθθθ⋅=⋅+=+2c o s 8c o s (c o s c o ss i n s i n )s i n c o s )332ππθθθθθθ=-=c o s 234(s i n 2)4c o s (2)2223θπθθ+=-=++ 由θ∈(0，6π)，得23πθ+∈(3π，23π)，所以11cos(2)232πθ-<+<． 故AP AQ ⋅∈(0，4)． 【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题. 13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan α的值为____________． 【答案】2π 【解析】由导数的几何意义可得：曲线在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又由曲线过点(απ-，sin()απ-)，运算可得解.【详解】解：因为()cos f x x '=，所以在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-， 又因为直线l 经过点(απ-，sin()απ-)，所以sin()sin ()cos απααπαα--=--，即2sin cos απα-=-， 故tan 2πα=．【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________． 【答案】351444⎛⎫⎧⎫⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，【解析】方程221()2()016f x af x a -+-=实根的个数等价于函数()t f x =的图像与直线12,tt t t == 的交点个数，其中12,t t 为方程 2212016t at a -+-=的根，作图观察即可得解. 【详解】解：令()t f x =，方程221112[()][()]01644t at a t a t a -+-=-+--=， 得114t a =+，214t a =-，根据()y f x =的图像，得如下简图：由104a -=，得14a =，此时11142t a =+=，符合题意； 由1141014a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得3544a <<．综上，a 的取值集合为(34，54){14}．【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的思想方法，属中档题.二、解答题15．已知m 为实常数.命题2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=命题:q 函数()ln f x x mx=-在区间[1,2]上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）26m <<；（2）()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题的真假可得2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=再由方程有解问题求解即可；（2）由复合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解. 【详解】解：（1）当命题p 为真命题时，即2(1,2),0,x x x m ∃∈+-=因为函数()1,2y f x =在（）为增函数，则(1)0(2)0f f <⎧⎨>⎩，则26m m >⎧⎨<⎩故26m <<，（2）当命题q 为真时，即函数()ln f x x mx =-在区间[1,2]上是单调递增函数．即'1()0f x m x=-≥ 在区间[1,2]恒成立， 即'1(2)02f m =-≥，即12m ≤，又命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，则命题 p ，q 一真一假，①当p 为真，q 为假时，2612m m <<⎧⎪⎨>⎪⎩则26m <<，②当p 为假，q 为真时，2612m m m ≤≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或，则12m ≤， 综上可得实数m 的取值范围为()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题. 16．已知向量(sin,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()f a =，求sin(2)6πα+的值．【答案】（1）3,2,2,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）或0【解析】（1）由平面向量数量积的运算可得：()f x=)24x π- ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；（2）先由已知求出7212x k ππ=+或11212x k ππ=+（k Z ∈）， 再代入运算即可得解. 【详解】（1）解：因为()f x a b =⋅， 所以()sin cos sin()sin()222424x x x x f x ππ=++-=11sin cos sin()2224x x x π-=- ，令22242k x k πππππ-≤-≤+，解得：32244k x k ππππ-≤≤+， 故函数()f x 的单调递增区间为32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）因为()f a =，所以sin()244x π-=，即sin()4x π-=即7212x k ππ=+，或11212x k ππ=+（k Z ∈）；所以sin(2)6πα+=4sin(4)3k ππ+=或sin(2)6πα+=sin(42)0k ππ+=故sin(2)6πα+的值为02-．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题. 17．在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点． （1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅； （2）若2AB AC CA CD ??，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅ =221()2CB CA -=72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因为AB CD ⋅=1()()2CB CA CB CA -⋅- =221()2CB CA -=1692- =72; (2)因为2AB ACCA CD ??，所以22=(),AB AC CA CD CA CA CB CA CA CB ?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+， 由余弦定理可得222222222AB AC BCCA CB ABAB ACCA CA CBAB ACCA CB+-+-=+，化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.18．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．【答案】（1）23,,sin cos 124l ππθθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）24⎡⎤-⎣⎦；（3）当4BM =时，翻折后重叠部分的图形面积最小【解析】（1）由图可知l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，再求函数定义域的范围即可；（2）由三角函数的性质求函数在区间上的值域即可；（3）由均值不等式求函数的最值，由取等的条件求出BM 的值即可. 【详解】解：（1）设顶点B 翻折到边AD 上的点为'B ，由题意可得'sin BM B M l θ==,sin cos2AM l θθ=，因为sin sin cos26l l θθθ+=，所以()6sin 1cos 2l θθ=+=23sin cos θθ，即l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，由题意有0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，首先利用sin 6l θ≤，可知21cos 2θ≥，解得cos 2θ≥，所以0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由cos 12,l ≤，可知1sin 22θ≥，即12πθ≥， 即,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）223sin 3(1tan )cos x l θθθ===+，当,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2θ⎡⎤∈-⎣⎦，所以246x -≤≤，故x 的取值范围为24⎡⎤-⎣⎦；（3）319sin cos 22sin cos S l l θθθθ=⋅= ， 又3sin cos θθ=16≤=（当且仅当23sin θ=2cos θ 即6πθ=时取等号，故当23sin46sin cos 66BM πππ=⋅=时，S=故 4BM =时，S取最小值【点睛】本题考查了三角函数的值域及利用均值不等式求函数最值问题，属难度较大的题型. 19．已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0a ≥时，试求函数()f x 的最小值； （2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围． 【答案】（1）155ln 52a--+；（2）[)0,+∞ 【解析】（1）讨论0a =或0a >，判断函数的单调性，求最值即可； （2）由导数的应用，分别讨论 ①当1a =-时，②当10a -<<时， ③当1a <-时， ④当0a ≥时，函数()f x 的单调性，最值即可得解. 【详解】解：（1）由21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，， 则2'(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-+-++-==-， ①当0a =时，'(1)()x f x x-=-， 当[1.5]x Î时，'()0f x ≤，函数为减函数，所以min ()(5)5ln5f x f ==-+ ，②当0a >时，当[1.5]x Î时，'(1)(1)()0ax x f x x+-=-≤，函数为减函数，即min 15()(5)5ln 52af x f ==--+ ， 综上可得当[1.5]x Î，且0a ≥时，函数()f x 的最小值为155ln 52a--+； （2）①当1a =-且(1,)x ∈+∞ 时，2'(1)()0x f x x-=> ，即函数在()1,+∞为增函数，()1(1)1022a af x f +->+-=，不合题意，②当10a -<<时，函数的单调增区间为()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24144444()1()(1)()ln()13ln()2222a a af a a a a a a a a -+-=--+--+-+-=--+--， 由10a -<<，141,4a a->-> ，所以4430,ln()0,02aa a -->->->，故 ()102af x +->，不合题意， ③当1a <-时，函数的单调减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1()1(1)1022a af f a -+->+-=，不合题意， ④当0a ≥时，函数的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 所以()1(1)1022a af x f +-?-=，符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型. 20．已知函数32()3f x x x px q =-++，其中,p q R ∈．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求,p q 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列；（3）若函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，对任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，求p 的取值范围．【答案】（1）2p q ==；（2）见解析；（3）[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由导数的几何意义可得解； （2）由等差数列的判定，只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，代入运算即可；（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 得'(1)2,()1f f x ==- ，又'2()36f x x x p =-+，即22,31p q p +-=-+=-， 故2p q ==；（2）要证12()2()f x p q f x +-，，成等差数列， 只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，又函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，则12122,3px x x x +==，3212111()()3f x f x x x px q +=-+++322223x x px q -++==22121212121212()()33()2()22(2)x x x x x x x x x x p x x q p q ⎡⎤⎡⎤++--+-+++=+-⎣⎦⎣⎦ ， 命题得证；（3）由函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，得(0)0f =，解得0q =且230xx p -+=有两个根为,m n ，于是有9400p p ∆=->⎧⎨≠⎩ ，即()9,00,4p ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭，'2()36f x x x p =-+有两个相异的实根，不妨设为1,212()t t t t <，①当90,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20m t n <<<，函数在[]2,m t 为减函数，在[]2,t n 为增函数，又()()0f m f n == 所以max ()()()0f x f m f n ===，故不等式()14f x p ≤+恒成立， ② 当(),0p ∈-∞时，120m t t n <<<< ，函数()f x 在[]12,t t 为减函数，在[]1,t m ， []2,t n 为增函数，由()()0f m f n ==，211360t t p -+=故32max 111()3f x t t pt =-+=12233p p t ⎛⎫-+⎪⎝⎭，对于任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，于是12233p p t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14p ≤+，又1t =，故2233p p⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭14p ≤+，令ϕ=()3ϕ>，则22(3)97279ϕϕϕ---≤+， 解得36ϕ<≤，解得36<≤，即90p -≤<， 即[)9,0p ∈-综上可得p 的取值范围为[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.。

江苏省百校大联考高三年级第二次考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合，若，则实数的值为____________．2．函数的定义城为____________．3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为____________．5．已知，则的值是____________．6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称， 则=____________． 8．已知函数，则的值为____________． 9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，,则的值为____________．10．设函数，则不等式的解集为____________． {1,2,4}{,1}A B a a ==+，{2}AB =a y 1m =-(,1)a m =(2,3)b m =-22()m mf x x -=(0,)+?m 2sin()sin()2pa p a -=+tan()p a -,,a b c ||2||a b c +=,a b ()sin(2)(||)2f x x p j j =+<6p ()4f psin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，132f 骣琪琪桫ABC △,,a b c ,,A B C ABC △S S BA BC=4cos 5A =cos C ()1x x f x e e -=-+2(21)()2f x f x -+<11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________．12．如图所示，两点(可与两点重合)是在以为直径的上半圆弧上的两点，且，则的取值范围为____________．13．已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为____________．14．已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知为实常数.命题命题函数在区间上是单调递增函数．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，求实数的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量，函数． （1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值．(0,)x ?∞213ln 022x a a x +-->a ,P Q ,A B AB 460AB PAQ ==?，∠AP AQ l sin y x =(,sin )(0)2A pa a a <<l sin y x =(,sin )Bb b a b p -=tan a 21,0(),0x x x f x x x e -ì<ï=íï³ïî221()2()016f x af x a -+-=a m ;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p :q mx x x f -=ln )(]2,1[p m p q p q m (sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-()f x a b =?)(xf ()f a =)62sin(πα+17．（本小题满分14分）在中，点为边的中点．（1）若，求；（2）若，试判断的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为． （1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式； （2）设的长为，求的取值范围；（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）当，且时，试求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，试求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数，其中． （1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；（3）若函数有三个零点，对任意的，不等恒成立，求的取值范围．ABC ∆D AB 43CB CA ==，AB CD ×2AB AC CA CD ??ABC ∆ABCD cm AB 6=cm AD 12=AB M M B AD BC N MN l BNM ∠θl θθl BM xcm x M 21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，[1.5]x Î0≥a )(x f (0,)()102ax f x ??-?，a 32()3f x x x px q =-++R q p ∈,)(x f ))1(,1(f 30x y +-=q p ,)(x f )(,2121x x x x <12()2()f x p q f x +-，，)(x f )(,,0n m n m <[,]x m n Îp x f +≤14)(p参考答案一、填空题1、22、3、充分不必要4、15、-26、90°7、8、99、 10、 11、 12、（0, 4） 13、 14、二、解答题 15、16、(]2,121104-33⎪⎭⎫ ⎝⎛211-，),2()1,(+∞--∞ 2π⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543，17、18、19、20、。

2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。

江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第二次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知1．已知集合{}2340,{12},A xx x B x x =+->=-<∣则()RA B =（ ）A ．{11}xx -<∣ B ．{13}x x -<<∣ C ．{13}xx <<∣ D ．{11}x x -<<∣2．已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A ．33i -B ．13i -C ．13i +D ．33i +3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数ln ||()e ex xx f x -=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．点P 为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点，直线2x p =交抛物线C 于M ，N 两点，若PMN 的面积为20，则p =（ ）A ．1B C ．2D 6．已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．29-B ．29C ．79-D ．7 97．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]-B ．(2,4)-C ．[2,2]-D ．(2,2)-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，面1111D C B A 的交线长为（ ）A ．2π B CD ．π9．已知向量(1,3),(2,1),(3,5),a b c ==-=-则（ ） A ．(2)//a b c + B ．(2)a b c +⊥C ．||10a c +=+D ．||2||a c b +=10．已知实数x ，y 满足322,124,x y x y -<+<-<-<则（ ） A ．x 的取值范围为(1,2)- B ．y 的取值范围为(2,1)- C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-11．已知函数()2sin()||2,f x x πωϕωϕ+⎛⎫=+∈<⎪⎝⎭N 的图象经过点A ，且()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω= B ． 6πϕ=C ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在(0,2)π上有3个极小值点12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式ee (ln 1)xmx x -+e32()3e f x x x x ⎡⎤--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e- 13．在等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=-，则数列{}n a 的公差为_________. 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.15．已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是_________.17．在ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3B π=.（1）若4,3a c ==，求sin A 的值（2）若ABC的面积为ABC 周长的最小值.18．在①1120(2)n n n a a a n +--+=且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .19．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.20．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，||2AB =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF t AF BF +=恒成立.若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.二、解答题22．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC B —C 1D —B 1的大小.。

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数−z的模长为( )A.2B.3C.D2.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=( )A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(3,0),B(12,-1),则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C x8>C y8”,则P(A)=( )A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )A.2ln 2B.ln 2C.12Dln 2.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥2m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为( A.2023×B2024.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=D1.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1D.PA·PC的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有( )A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ .14.已知{a n }是递增的等比数列,且满足a 3=1,a 1+a 3+a 5=919,则a 4+a 6+a 8= ▲ .15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r 1,r 2,且r 1r 2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ .16.设a>0,已知函数f (x )=e x -a ln (ax+b )-b ,若f (x )≥0恒成立,则ab 的最大值为 ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1―cos A sin A=sin2B 1+cos2B .(1)证明:cos B=a2b .(2)求ab 的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3.(1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+∙>+--∑=n a T a S k n n k k kk λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知A 1F =3FA 2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x ln x-1ax2(a>0).2(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:x1x2>1.a江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z (1+i )=1-3i ,所以z=1-3i 1+i =(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i ,所以|―z |=|z|=5,故选D .法二:两边取模|z (1+i )|=|1-3i |,得|z|·|1+i |=|1-3i |,所以|―z |=|z|=5,故选D .2.C 【解析】解不等式1x -1<-1,即xx -1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e ,所以N=(0,e ),所以M ∪N=(0,e ),故选C .3.C 【解析】a=(-2,1),c=(2,t ).若a ∥c ,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a 与c 互为相反向量;若a ·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a 与c 的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a 与c 的夹角为锐角”的充要条件,故选C .4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin (7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f (x )=sin (2x+π3).故选C .5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P (A )=1336,故选C .6.B 【解析】设切点为(x 0,ln x 0),y'=1x ,则a =1x 0,ax 0+b =ln x 0,得b=ln x 0-1,∴2a+b=2x 0+ln x 0-1.设f (x )=2x +ln x-1(x>0),f'(x )=-2x 2+1x =x -2x 2,当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )min =f (2)=ln 2,∴2a+b 的最小值为ln 2.7.C 【解析】因为抛物线C 过点P (1,-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ,线段AB 长度的最小值为通径2p=4,所以A 错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D　【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12n,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12n ≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD　【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD　【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=ba x,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-ba x,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3ab 2b+a =ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD　【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C ,AC 1=AB +AD +AA 1,AM =AB +1AD ,2AM -AC 1=AB -AA 1=A 1B ,故C 正确;对于D ,设PC =λD 1C ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λD 1C -AD -AB )·λD 1C =(λA 1B -AD -AB )·λA 1B =(λAB -λAA 1-AD -AB )·(λAB -λAA 1)=λ(λ-1)|AB |2-λ2AA 1·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·AA 1+λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)AA 1·AB -λAD ·AB +λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选BCD .12.BD 【解析】对于A ,因为a=1,所以方程f (x )=0即e x +1-x=0,又e x ≥x+1>x-1,所以e x +1-x>0恒成立,所以方程f (x )=0不存在实数根,所以A 错误.对于B ,因为f (x )=a (e x +a )-x ,定义域为R ,所以f'(x )=a e x -1,当a ≤0时,由于e x >0,则a e x ≤0,故f'(x )=a e x -1<0恒成立,所以f (x )在R 上单调递减,所以B 正确.对于C ,由上知,当a>0时,令f'(x )=a e x -1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a 时,f'(x )<0,则f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减;当x>-ln a 时,f'(x )>0,则f (x )在(-ln a ,+∞)上单调递增.当a>0时,f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增.所以函数f (x )有最小值,即最小值在x=-ln a 处取得,所以C 错误.对于D ,由上知f (x )min =f (-ln a )=a (e -ln a +a )+ln a=1+a 2+ln a ,要证f (x )>2ln a+32,即证1+a 2+ln a>2ln a+32,即证a 2-12-ln a>0恒成立,令g (a )=a 2-12-ln a (a>0),则g '(a )=2a-1a =2a2-1a.令g'(a )<0,则0<a<22;令g '(a )>0,则a>22.所以g (a )在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,所以g (a )min =g (22)=(22)2-12-ln 22=ln 2>0,则g (a )>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD .13.(-∞,1]　【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xx 2+1,因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xx 2+1的最大值,当x=0时,2x x 2+1=0,当x ≠0时,2xx 2+1=2x +1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273　【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=a 3q 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π　【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1O 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=23,∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2　【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln (ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e x 0)处的切线斜率为a ,e x0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e2,∴ab 的最大值为e 2.故答案为e2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos Asin A =sin2B 1+cos2B =2sin B cos B 2cos 2B=sin B cos B , 所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B ,..............................................................................................................2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos (A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B ,..........................................................................................4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b ..................................................................................................5分证法二:由1-cos A sin A =2sin 2A 22sin A 2cos A 2=sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B ,所以sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B,即sin A 2·(1+cos 2B )=cos A2·sin 2B ,所以sin A2=sin 2B ·cos A2-cos 2B ·sin A2=sin (2B-A2),又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b .(2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4,.......................................................7分由正弦定理,得a b =sin A sin B =sin2B sin B =2sin B cos Bsin B=2cos B ∈(2,3),...............................................................9分所以ab 的取值范围是(2,3).....................................................................................................................10分18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市..................................................................................................1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5,P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04,..................................................................................................3分由全概率公式可得P (D )=P (E )·P (D|E )+P (F )·P (D|F )+P (G )·P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,.................5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054..........................................6分(2)由条件概率公式可得P (E|D )=P (DE )P (D )=P (E )·P (D |E )P (D )=0.2×0.080.054=827.................................................11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.........................................................12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,②..................................................................................................................2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即a na n -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列..................................................................................4分(2)由(1)知a n =3n ,所以S n =3(1-3n)1-3=3n +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n=3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3n (n +1)2,...........................................................................6分所以n ￿k =1(1-2k )(S k -2a k+32)log 3T k=n ￿k =1(1-2k )(3k +1-32-2·3k +32)log 33k (k +1)2=n￿k =1(2k -1)3k k (k +1)=n￿k =1(3k +1k +1-3k k )=3n +1n +1-3>λ·3nn +1对任意n ∈N *恒成立,..................................................8分故λ<3-n +13n -1恒成立,....................................................................................................................................9分令f (n )=3-n +13n -1,则f (n+1)-f (n )=3-n +23n -(3-n +13n -1)=2n +13n >0,...............................................................11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.........................12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由A 1F =3FA 2,所以|A 1F |=3|FA 2|,所以|A 1F |=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=c a =12....................................................................................................3分(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x 24+y 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2,则h 1=|-4k |k2+1,h 2=|-k |k 2+1,............................................................................................................................5分又S △A1PQ =12h 1·|PQ|,S △A 2FP =12h 2·|A 2P|,S △A 1PQ=S △A2FP,所以|PQ ||A2P|=ℎ2ℎ1=14,............................................................................................................................................8分由图可得A 2P =4A Q ,A 2(2,0),Q (0,-2k ),所以P (25,-85k ),............................................................10分又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324...................................................12分法二:由题意知,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,-y -2k =0,y 23=1,消去y 得到方程(3+4k 2)x 2-16k 2x+16k 2-12=0,所以x A 2·x P =16k 2-123+4k 2,所以x P =8k 2-63+4k 2,......................................................................................................5分代入直线方程得P (8k 2-63+4k 2,-12k 3+4k2),Q (0,-2k ),..........................................................................................7分S △A2FP =12|A 2F|·y P =yP2,S △A1PQ=S △QA1A2-S △PA1A2=12·4·(-2k )-12·4·y P ,又因为S △A 1PQ=S △A 2FP,所以52y P =-4k ,....................................................................................................10分所以52·-12k3+4k2=-4k ,解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324.........................................................................12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD.∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD=CD ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面PCD ,∵PD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥PD ,......................................................................................................................2分同理CD ⊥PD.∵AD ∩CD=D ,AD ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥平面ABCD........................................................................................................................................4分(2)由(1)知AD ⊥PD ,CD ⊥PD ,AD ⊥CD ,∴DA ,DC ,DP 两两垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D (0,0,0),P (0,0,2),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,0,1).∵PD ⊥平面ABCD ,∴平面ABCD 的一个法向量为m=(0,0,1),.............................................................................................5分CN =λCP (0≤λ≤1),∴BM =(-2,-2,1),CP =(0,-2,2),∴BN =BC +CN =BC +λCP =(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN 的法向量为n=(x ,y ,z ),则BM ·n =-2x -2y +z =0,BN ·n =-2x -2λy +2λz =0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN 的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)....................................................................................7分设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ,则cos θ=|cos <n ,m>|=|n ·m|n ||m ||=|2-2λ|λ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λ|9λ2-12λ+5,...........................................8分设t=1-λ,则0≤t ≤1.①当t=0时,cos θ=0..................................................................................................................................9分②当t ≠0时,cos θ=2|t |9t2-6t +2=2t29t 2-6t +2=212(1t )2-6×1t+9=212[(1t -32)2+92],当t=23时,cos θ=223,∴0<cos θ≤223.......................................................................................................11分综上,0≤cos θ≤223.∴平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围为[0,223]..............12分22.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x-ax+1,.........................................................................1分由题意,f'(x )≤0恒成立,即a ≥ln x +1x恒成立,..........................................................................................2分设h (x )=ln x +1x ,h'(x )=-ln x x 2,当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )递增,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )递减,......................................................3分∴h (x )max =h (1)=1,∴a ≥1.................................................................................................................................4分(2)证法一:∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,又∵g (1)=1-a>0,∴0<x 1<1<1a <x 2,.............................................................................................................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证x 2>1ax 1(>1a ),只需证g (x 2)<g (1ax 1),即证g (1ax 1)=-ln (ax 1)-1x 1+1>0,即证ln (ax 1)+1x 1-1<0,(*)..........................................................................8分由g (x 1)=ln x 1-ax 1+1=0,设ax 1=t ∈(0,1),则ln x 1=t-1,x 1=e t-1,则(*)⇔ln t+e 1-t -1<0,.........................10分设G (t )=ln t+e 1-t -1(0<t<1),G'(t )=1t -1e t -1=e t -1-t t e t -1,由(1)知ln x ≤x-1,∴e x-1≥x ,∴e t-1-t ≥0,即G'(t )≥0,G (t )在(0,1)上递增,G (t )<G (1)=0,故(*)成立,即x 1x 2>1a .......................................................................................12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(t -1)t +1,当t>1时,ln t>2(t -1)t +1.设G (t )=ln t-2(t -1)t +1(t>0),G'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2≥0,∴G (t )在(0,+∞)上递增,又G (1)=0,当0<t<1时,G (t )<G (1)=0,当t>1时,G (t )>G (1)=0,∴引理得证.............................................................................5分∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,即0<ax 1<1<ax 2................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证ln x 1+ln x 2>-ln a ,即证a (x 2+x 1)>2-ln a ,(*).........................................................7分由引理可得ax 2+ln a-1=ln (ax 2)>2(ax 2-1)ax 2+1,化简可得a 2x 22+a (ln a-2)x 2+ln a+1>0,① (9)分同理ax 1+ln a-1=ln (ax 1)<2(ax 1-1)ax 1+1,即有a 2x 21+a (ln a-2)x 1+ln a+1<0.② (10)分由①-②可得,a 2(x 2+x 1)(x 2-x 1)+a (ln a-2)(x 2-x 1)>0,即a 2(x 2+x 1)+a (ln a-2)>0,即a (x 2+x 1)>2-ln a ,故(*)得证,从而x 1x 2>1a .........................................................................................................................................12分。

名师精准押题绝密★启用前|试题命制中心2020年第二次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{}{2,0,1,8},6,0,8,9A B ==,则集合AB 中元素的个数为___________.2．运行如图所示的流程图,若输出的S =2,则正整数n 的最小值为___________.3．设复数(32i)(1i)z =+-（i 是虚数单位）,则z 的共轭复数为____________.4．在区间[]22ππ-，内任取两个数分别记为,p q ,则函数22()21f x x px q =+-+至少有一个零点的概率为___________.5．将函数()4cos(2)3f x x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到的图象关于原点对称,则m 的最小值是___________.6．一个圆锥SC 的高和底面半径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等,则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为___________.7．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ,若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列,则数据x 的所有可能值的和为___________.8．已知,x y 满足约束条件1,14,21,y x y x x ≥+⎧⎪⎪≤-+⎨⎪≥⎪⎩则2x z y +=的取值范围为___________.9．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[2,2]a b ,则a b +的值为___________.10．已知M 、N 是离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,P 是双曲线上的动点,且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠,则12||4||k k +的最小值为___________.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和、前n 项积分别为,n n S P ,若2323S S =,51P =,则201821i i a ==∑___________.12．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若22cos cos cos a Abc B C=,则最小的内角A 的值为___________. 13．已知函数3(1)()2ln(2)(1)x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨⎪+>-⎩,如果存在实数,m n ,其中m n <,使得()()m f f n =,则n m -的取值范围是___________.14．在平面直角坐标系xOy 中,若直线12y x m =+上存在一点A ,圆22:(2)4C x y +-=上存在一点B ,满足4OA OB =,则实数m 的取值范围为___________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）设()f α=⋅m n ,其中向量1,),(2sin ,cos 1)4242ααα==-m n . （1）若()1f α=-,求cos()32απ-的值；（2）在ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos cos 2cos 0a B b A c C ++⋅=,求函数()f A 的取值范围.16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC 为正三角形,PA ⊥平面ABC,PA =,点,,D E N 分别为理综押题【绝密】名师精准押题,,PB PC AC 的中点,点M 为DB 的中点.（1）求证：MN ∥平面ADE ； （2）求证：平面ADE ⊥平面PBC . 17．（本小题满分14分）有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ,园区一端是观景湖EHFCD （注：EHF 为抛物线的一部分）.现以AB 所在直线为x 轴,以线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy .观景湖顶点H 到边AB 的距离为18百米.17||||8EA FB ==百米.现从边AB 上一点G （可以与A 、B 重合）出发修一条穿过园区到观景湖的小路,小路与观景湖岸HF 段相切于点P .设点P 到直线AB 的距离为t 百米.（1）求||PG 关于t 的函数解析式,并写出函数的定义域；（2）假设小路每米造价m 元,请问：t 为何值时小路造价最低,最低造价是多少？ 18．（本小题满分16分）如图,已知,A B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,,P Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB △和PQA △面积的比值. 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 共有*(3,)M M M ≥∈N 项,其前n 项和为n S ()n M ≤,记n M n T S S =-.设**(,,)n n n b S T n M M n =-≤∈∈N N .（1）若7M =,数列{}n a 的通项公式为21n a n =-,求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n b 的通项公式为2n n b =, ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 中是否存在不同的三项按一定次序排列后构成等差数列？若存在,求出所有的项；若不存在,请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数21()(0)e x x f x x -=>,1()ln 2g x x x =-（其中e 为自然对数的底数）.（1）分别求函数()f x 和()g x 的极值点；（2）设函数()()()(0)h x f x ag x a =->,若()h x 有三个极值点, ①求实数a 的取值范围；②求证：函数()h x 的两个极小值相等.数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

语文试卷一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题,19分)阅读下面的文字,完成1~5题。

汤显祖年轻的时候怀有满腔经天纬地的济世热情。

汤显祖的政治理想,说来也很简单,就是经世致用,造福百姓,使人人冻馁无虞,安居而乐业;使人人乐于向善,民德归于淳厚。

在他看来,士大夫要先正其身,然后才能正人,而政治是否清明,老百姓日子是否好过,最终决定于士大夫和官员的德性和修养。

他曾经代拟过一篇《为士大夫喻东粤守令文》:“清吏之法法身,浊吏之法法人也。

”他所提出的“清吏”与“浊吏”两个概念,并不新鲜,但是,他的“法身”和“法人”的说法,却极为深刻,精辟地揭示了中国自古以来封建统治者的一种普遍德性:他们置身于法律之上,拿自己当法外的“特选之民”,高人一等,飞扬跋扈;他们的道德绳墨,只是用来裁制百姓,他们法律的刀斧,也只是用来宰割人民——他们教别人不要“利己”,自己却很少“利人”,教别人要“利人”,自己却专门“利己”。

在汤显祖看来,吃饭是老百姓的头等大事,而农业生产则是一个官员必须关心的头等大事。

他做官期间,曾多次下到乡里,劝农励耕。

他曾经在诗里记录过自己这方面的活动,在《丙申平昌迎春,晓云如金,有喜》里,他这样写道:“仙县春来仕女前,插花堂上领春鞭。

青郊一出同人笑,黄气三书有大年。

”可见,为了督促和鼓励农民耕地种田,他确实用了一番心思。

汤显祖的政绩,不仅当时就赢得了人民的敬意,为他建了“生祠”,直到清代顺治年间,遂昌知县缪之弼还为他建了“遗爱祠”。

如果说,汤显祖早期的两部剧作的主题,在探讨“至情”,那么,他晚年的写作,则在强化了反讽力度的同时,致力于寻求精神出路——解决自己的精神困境,回答那些与“生活哲学”有关的重大问题。

也就是说,汤显祖后期的“二梦”,是一种缘于精神焦虑的写作。

汤显祖的一生,几乎就在几种选择的困扰中度过。

他在《和大父游城西魏夫人坛故址诗》的序中说:“家君恒督我以检儒,大父辄要我以仙游。