第74课时离散型随机变量的期望与方差

课题：离散型随机变量的期望与方差教学目标：了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.（一） 主要知识及主要方法：1.数学期望:则称 =ξE 11p x 22…n n … 为ξ的数学期望，简称期望2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +⨯，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .4.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(5.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 6.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 7.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .8.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.9.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-10.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. （二）典例分析：问题1．()1（07浙江）随机变量ξ的分布列如右： 其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是()2设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表, 则E ξ ，则D ξ=()3(07重庆联考) 随机变量ξ的分布列如右：那么()54E ξ+等于.A 15 .B 11 .C 2.2 .D 2.3()4(07黄岗调研)已知()~,B n p ξ，8E ξ=， 1.6D ξ=，则n 与p 的值分别为.A 100和0.08 .B 20和0.4 .C 10和0.2 .D 10和0.8()5(07天津十校联考)某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且 1.5E ξ=，则a b -的值为：.A 0.1- .B 0 .C 0.1 .D 0.2()6(06四川) 设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4，()P k ak b ξ==+ （1,2,3,4k =），又ξ的数学期望3E ξ=，则a b +=问题2．设随机变量ξ的分布列如右表，求E ξ和D ξ.问题3．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量的样品检验它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两种材料哪一种稳定性好.问题4．(06全国Ⅱ)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．()1用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；()2若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．问题5．（07辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q的函数关系式为：3232010(0)3q C q q q =-++> 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格设123分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量q ，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．()1分别求利润123L L L ,,与产量q 的函数关系式；()2当产量q 确定时，求期望q E ξ；()3试问产量q 取何值时，q E ξ取得最大值．（三）课后作业1.已知ξ的分布列为如右表：则E ξ= ，D ξ=2.抛掷一颗骰子，设所得点数为ξ，则E ξ= ，D ξ=3.设服从二项分布(),B n p 的随机变量ξ的期望和方差分别为2.4和1.44，则二项分布的参数,n p 的值为 .A 4n =，0.6p = .B 6n =，0.4p =.C 8n =，0.3p = .D 24n =，0.1p =（四）走向高考：4.（06福建）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一 个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是5.（07四川文）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克） 分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 .A 150.2克 .B 149.8克 .C 149.4克 .D 147.8克6.（07湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．()1任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；()2任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．7.（07四川）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.()1若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;()2若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产E，并求该商家拒收这批产品的概率.品数ξ的分布列及期望ξ。

12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。

期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。

在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。

期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。

离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。

方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。

运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。

可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。

总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。

以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。

随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。

在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。

一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。

对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。

通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。

例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。

随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。

对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。

二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。

通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。

方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。

这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。

例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。

在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。

现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。

离散随机变量的期望与方差离散随机变量是概率论中的一个重要概念，它在描述随机现象中的离散取值时起到了关键作用。

离散随机变量的期望与方差是两个重要的统计量，对于揭示随机变量的特征及其分布有着重要意义。

本文将详细介绍离散随机变量的期望与方差的计算方法及其应用。

一、离散随机变量的期望离散随机变量的期望指的是随机变量取各个值时的加权平均值，也可以理解为该变量的平均值。

假设离散随机变量X的取值为{x1, x2, x3, ..., xn}，相应的概率为{p1, p2, p3, ..., pn}，则离散随机变量的期望可用以下公式表示：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + x3*p3 + ... + xn*pn其中，E(X)表示离散随机变量X的期望值。

举个例子来说明，假设X表示一枚均匀骰子的点数，它可以取1、2、3、4、5、6这六个值，并且每个值的概率都是1/6。

那么X的期望为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5这意味着，如果我们不断地进行均匀骰子的试验，并记录每次试验的点数，那么这些点数的平均值会接近于3.5。

二、离散随机变量的方差离散随机变量的方差是用来衡量随机变量的取值对其期望的偏离程度。

方差的计算方法如下：Var(X) = E((X-E(X))^2) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn其中，Var(X)表示离散随机变量X的方差。

继续以均匀骰子的点数为例，我们计算其方差：Var(X) = (1-3.5)^2*(1/6) + (2-3.5)^2*(1/6) + (3-3.5)^2*(1/6) + (4-3.5)^2*(1/6) + (5-3.5)^2*(1/6) + (6-3.5)^2*(1/6) ≈ 2.92方差的平方根被称为标准差，它度量了离散随机变量的取值波动程度。