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课时作业58 相似三角形的判定及有关性质1.如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ∥AC ，EF ⊥BC ，BE EA ＝32，BD ＝6，求FC 的长．解：由DE ∥AC ，BE EA ＝32，BD ＝6，知DC ＝4. 又EF ∥AD ，故6－FD FD ＝32，解得FD ＝125，故FC ＝FD ＋DC ＝325. 2．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ；(2)△EFP ∽△BCP.证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB.又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP.3.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB·AC ＝BC·AD ；(2)AD 3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB·AC ＝12BC·AD. ∴AB·AC ＝BC·AD.(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE·AB ，同理CD 2＝CF·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD·DC ，∴AD 4＝BE·AB·CF·AC ，又AB·AC ＝BC·AD.即AD 3＝BC·CF·BE.4．(2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC. 求证：(1)EF ⊥BC ；(2)∠ADE ＝∠EBC.证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a.(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC.(2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB，∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC.5．(2016·银川模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1S 2的值．解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE.又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ，所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ，所以BF FC ＝DG FC.又因为D 是AC 的中点，则DGFC ＝12， 则BF FC ＝12，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BFBC ＝13， 又由BE BD ＝12可知h 1h 2＝12， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1S 2＝1 5.6．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H.(1)证明：因为AE EB ＝12， 所以AE AB ＝13. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH.又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ， 从而EF ＝13(BC －HC)＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD. (2)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH. 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝m m ＋n(BC －AD)＋AD ， 所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋n AD ，即(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.。
课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：本题考查函数的定义域，由于y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2022·北京海淀)假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：令1x ＝t ，得x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1∴f (x )＝1x －1.答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4D ．－2或2解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B. 答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，依据对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )。
高考解答题专项训练(四) 空间向量与立体几何1．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )． 因为点H 在棱PC 上， 所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)． 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，23.所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2. 2．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．解：(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH .在三棱台DEF -ABC 中， AB ＝2DE ，G 为AC 的中点， 可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形． 则O 为CD 的中点， 又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF -ABC 中， 由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ， 所以四边形BHFE 为平行四边形， 可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH . (2)设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF -ABC 中，G 为AC 的中点， 由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此DG ∥FC .又FC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC .在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点， 所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ， 因此GB ，GC ，GD 两两垂直．以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .所以G (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (0,0,1)．可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，F (0，2，1)． 故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的法向量，则由⎩⎨⎧n ·GH →＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0,0)， 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →·n |GB →|·|n |＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.3．(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12(如图①)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE -B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C (如图②)．(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：题图①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3.故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴题图②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB为二面角A1-DE-B的平面角，又二面角A1-DE-B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ， 设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，易知A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)， 所以P A 1→＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)． 因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54. ∴PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.4．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AB ＝AA 1，过AA 1的平面分别交BC ，B 1C 1于点D ，D 1.(1)求证：四边形ADD 1A 1为平行四边形；(2)若AA 1⊥平面ABC ，D 为BC 的中点，E 为DD 1的中点，求二面角A -C 1E -C 的余弦值．解：(1)证明：因为AA 1∥BB 1，AA 1⊄平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AA 1∥平面BCC 1B 1.又因为AA 1⊂平面ADD 1A 1，平面ADD 1A 1∩平面BCC 1B 1＝DD 1， 所以AA 1∥DD 1.因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面ABC ∩平面ADD 1A 1＝AD ，平面A 1B 1C 1∩平面ADD 1A 1＝A 1D 1，所以AD ∥A 1D 1.所以四边形ADD 1A 1为平行四边形． (2)因为D 为BC 的中点，AC ＝AB ， 所以AD ⊥BC .因为AA 1∥DD 1，AA 1⊥平面ABC ， 所以DD 1⊥平面ABC ，从而DD 1⊥AD . 又DD 1∩BC ＝D ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AC ＝BC ＝AB ＝AA 1＝2，则A (3，0,0)，E (0,0,1)，C 1(0，－1,2)，AE →＝(－3，0,1)，C 1E →＝(0,1，－1)． 设平面AC 1E 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎨⎧AE →·n ＝0，C 1E →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋c ＝0，b －c ＝0，取c ＝3，得n ＝(1，3，3)．由AD ⊥平面BCC 1B 1，得平面CC 1E 的一个法向量为DA →＝(3，0,0)， 所以cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →|·|n |＝37×3＝77，又易知二面角A -C 1E -C 为锐二面角， 故二面角A -C 1E -C 的余弦值为77.5．(2019·天津十二校联考)如图，ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝26，DE ＝3 6.(1)求证：面ACE ⊥面BED ；(2)求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°？若存在，求出AMAF 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面ADEF ，DE ⊥AD ，所以DE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又因为DE ∩BD ＝D ，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面BED .(2)因为DE ⊥DC ，DE ⊥AD ，AD ⊥DC ， 所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示．则A (3,0,0)，F (3,0,26)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)， 所以CA →＝(3，－3,0)，BE →＝(－3，－3,36)，EF →＝(3,0，－6)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎨⎧n ·BE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1－3y 1＋36z 1＝0，3x 1－6z 1＝0，令x 1＝6，则y 1＝26，z 1＝3， 则n ＝(6，26，3)．所以cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →|·|n |＝－3632×39＝－1313.所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313. (3)存在．点M 在线段AF 上，设M (3,0，t )，0≤t ≤2 6. 则BM →＝(0，－3，t )，BE →＝(－3，－3,36)， 设平面MBE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·BM →＝－3y 2＋tz 2＝0，m ·BE →＝－3x 2－3y 2＋36z 2＝0，令y 2＝t ，得m ＝(36－t ，t,3)，|cos 〈m ，CA →〉|＝|m ·CA →||m |·|CA →|＝|96－6t |32×(36－t )2＋t 2＋9＝12， 整理得：2t 2－66t ＋15＝0，解得t ＝62或t ＝562(舍)，故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°，此时AM AF ＝14.6．(2019·广州模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 的中点，点R 在线段BH 上，且BR RH ＝λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B (该点记为P )，如图2所示．(1)若λ＝2，求证：GR ⊥平面PEF ；(2)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，可知PE ，PF ，PD 三条直线两两垂直．∴PD ⊥平面PEF .在图1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 为BD 的中点，则EF ∥AC ，GD ＝GB ＝2GH .在图2中，∵PR RH ＝BR RH ＝2，且DG GH ＝2，∴在△PDH 中，GR ∥PD .∴GR ⊥平面PEF .(2)存在．由题意，分别以PF ，PE ，PD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系P -xyz .设PD ＝4，则P (0,0,0)，F (2,0,0)，E (0,2,0)，D (0,0,4)，∴H (1,1,0)．∴BR RH ＝PR RH ＝λ，∴PR →＝λ1＋λPH →，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，0. ∴RF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ1＋λ，－λ1＋λ，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－λ1＋λ，0.EF →＝(2，－2,0)，DE →＝(0,2，－4)，设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧EF →·m ＝0，DE →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y －4z ＝0. 取z ＝1，则m ＝(2,2,1)．∵直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225，∴|cos 〈m ，RF →〉|＝|m ·RF →||m ||RF →| ＝41＋λ3⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ2＝223λ2＋2λ＋2＝225，∴9λ2＋18λ－7＝0，解得λ＝13或λ＝－73(不合题意，舍去)．故存在正实数λ＝13，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225.。
