2013高考第一轮复习课件和测试(11.2复数的概念与运算)

2013年高考数学总复习 11-2 复数的概念与运算但因为测试 新人教B 版1.(2011²福建理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i∈S [答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(文)(2011²天津文，1)i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．－1－2iD ．－1＋2i[答案] A [解析]1－3i 1－i ＝1－3i 1＋i 1－i 1＋i ＝4－2i2＝2－i. (理)(2011²安徽皖南八校联考)复数z 满足z ＝2－i 1－i ，则z －等于( )A ．1＋3iB ．3－i C.32－12i D.12＋32i [答案] C[解析] ∵z ＝2－i 1－i ＝2－i 1＋i 2＝3＋i2，∴z －＝32－12i ，故选C.3．(2011²揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 [答案] A[解析] 1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝12，故选A.4．(文)(2011²山东济南一模)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i2是实数，则a 等于( )A.12 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B [解析] ∵a1＋i ＋1－i 2＝a 1－i 2＋1－i2＝1＋a 2－1＋a2i 是实数， 又∵a ∈R ，∴1＋a 2＝0，∴a ＝－1.(理)(2011²山东潍坊一模)复数z ＝2＋m i1＋i (m ∈R)是纯虚数，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 因为z ＝2＋m i 1－i 2＝2＋m 2＋m －22i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ＝0，m －2≠0.得m ＝－2.5．(2010²广东江门调研)已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( )A ．1B ．±1 C. 3 D ．± 3[答案] D[解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝± 3.6．(文)(2011²安徽文，1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－ 12D.12[答案] A[解析]1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a ＋2a ＋1i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝02a ＋15≠0，∴a ＝2.(理)(2011²温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i(a ，b ∈R)，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 2＝12＋32i(a ，b ∈R)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝32，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52>2， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A.7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi －i2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 8．(2011²无为中学月考)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．[答案] 5[解析] ∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3－2i )＝x (－1＋2i )＋y (1－i )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，故x ＋y ＝5.9．(2010²上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i)(cos θ＋isin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512.10．(2010²江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R)．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a ＋1≠0，∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a ＋1≠0，∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6＝0a ＋1≠0∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数.11.(文)(2011²东北四市统考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋is in37°，则z 1²z 2为( )A.12＋32i B.32＋12i C.12－32i D.32－12i [答案] A[解析] z 1²z 2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i²sin60°＝12＋32i ，故选A.(理)若z ＝cos θ＋i sin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2[答案] D[解析] ∵z 2＝cos2θ＋i sin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z)， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．12．如果复数(m 2＋i )(1＋mi )是实数，则实数m 等于( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 2[答案] B[解析] ∵(m 2＋i )(1＋mi )＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i 是实数，m ∈R ， ∴由a ＋bi (a 、b ∈R)是实数的充要条件是b ＝0， 得m 3＋1＝0，即m ＝－1.13．(2011²南通调研)若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.[答案]17[解析] ∵z ＝3＋ii －i ＝－3i ＋1－i ＝1－4i ，∴|z |＝17.14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．(文)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2， 又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0， 所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2<0，m 2＋3m ＋2>0.解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.(理)设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，那么u 是不是纯虚数？并说明理由．[解析] (1)设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R ，b ≠0)， ω＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －bi 1＋a ＋bi ＝1－a 2－b 2－2bi 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i ， ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 是纯虚数．16．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥00≤a ≤4b ≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋bi －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：(6,5)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.1．(2011²罗源一中月考)已知复数z 1＝cos α＋i s in α，z 2＝sin β＋i cos β，(α，β∈R)，复数z ＝z 1²z －2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] ∵z ＝(cos α＋i sin α)²(sin β－i cos β)＝sin(α＋β)－i cos(α＋β)的对应点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β<0－cos α＋β>0，∴角α＋β的终边在第三象限．2．(2010²安徽合肥市质检)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位，x ∈R)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C [解析] a b ＝3＋2i 4＋xi ＝3＋2i 4－xi 16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2²i ∈R ，∴8－3x16＋x2＝0，∴x ＝83.3．(2010²泰安市质检)若复数2＋ai1－i (a ∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D [解析]2＋ai 1－i ＝2＋ai 1＋i 1－i 1＋i ＝a ＋2i ＋2－a 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0a ＋2≠0，∴a ＝2.4．若i 是虚数单位，则满足(p ＋q i)2＝q ＋p i 的实数p 、q 一共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对[答案] D[解析] 由(p ＋q i)2＝q ＋p i 得(p 2－q 2)＋2pq i ＝q ＋p i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0q ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝32q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－32q ＝12，因此满足条件的实数p 、q 一共有4对．5．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i (tan B －cot A )对应点位于复平面的第________象限.[答案] 二[解析] 由于0<A <π2，0<B <π2且A ＋B >π2∴π2>A >π2－B >0 ∴tan A >cot B ，cot A <tan B 故复数z 对应点在第二象限．6．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R)的解集为区间(－53，2)，则复数m ＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．[答案] 三[解析] ∵mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R)的解集为(－53，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0－53＋2＝n m>0－53³2＝p m<0，∵m <0，∴p >0，n <0.故复数m ＋ni 所对应的点位于复平面内的第三象限．7．(2011²上海文，19)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1²z 2是实数，求z 2.[解析] 设z 1＝(a ＋2)＋b i ，a ，b ∈R ，∵(z 1－2)(1＋i )＝1－i ，∴a －b ＋(b ＋a )i ＝1－i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1，∴z 1＝2－i.又设z 2＝c ＋2i ，c ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(c ＋2i)＝(2c ＋2)＋(4－c )i ∵z 1z 2∈R ，∴4－c ＝0，c ＝4，∴z 2＝4＋2i.。