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三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
![三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]](https://img.taocdn.com/s1/m/bff5d6ed6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a74.png)
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。
外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。
垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。
内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。
旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形的重心重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 交于P ，则.2===PFCP PE BP PD AP三角形的内心内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心. 三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.例：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点O叫做△ABC的外心.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内（图1）；直角三角形的垂心在直角的顶点（图2）；钝角三角形的垂心在三角形外（图3）.三角形的旁心旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.补充：三角形的中心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。
本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。
一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。
这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。
首先，我们来推导五心定理。
假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。
根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。
2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。
3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。
4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。
5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。
综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。
接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。
二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。
外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。
2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。
内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。
3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。
垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。
4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
