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《信息论》(电子科大)第六章 连续信源与连续信道PPT课件

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第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量

第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量

6.1 单符号连续信源的熵与微分熵
1、单符号连续信源
定义
信源发出的消息为单一符号，这些符号随机取值于 一个连续域
表示
连续型随机变量X
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX
随机变量X的取值x为信源发出的消息
定义
对应于单符号连续信源和单符号连续信宿的信道
表示
信源——连续型随机变量X 信宿——连续型随机变量Y
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX 随机变量X的取值x为信源发出的消息
Y y [c, d] 通常[c, d] [a , b] dP(Y y) p( Y y) p( y) dY 随机变量Y的取值y为信宿收到的消息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息 与信道容量
教学内容和要求
理解单符号连续信源及其模型，理解其熵，掌握 其微分熵 理解单符号连续信道及其模型，掌握其平均互信 息，理解其信道容量 掌握高斯信道的信道容量，香农公式
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
微分熵不能作为信息度量，平均互信息——微分熵 差，具有信息度量的意义 信宿每收到一条消息所含信源一条消息的平均信息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
I(X; Y) h(X) h(X / Y)
以信宿为参考，利用信宿的微分熵和信道的噪声 微分熵来度量信道中传输的平均信息 以信源为参考，利用信源的微分熵和信道的损失 微分熵来度量信道中传输的平均信息

信息论与编码课件910PPT

信息论与编码课件910PPT
消息的形式可以是离散消息（如汉字、符号、字母） 或连续消息（如图像、语音）。
信源消息中的信息是一个时变的不可预知的函数，因 此，描述信源消息或对信源建模，随机过程是一个有效的 工具，随机过程的特性依赖于信源的特性。
离散信源和连续信源
信源的输出被抽象为一个随机变量序列（随机过程）
离散信源：如果信源输出的随机变量取值于某一离散符号集 合，消息在时间和幅值上均是离散的，就叫做离散信源。
pi
log
[
1] pi
自信息量的单位取决于对数选取的底。
单位：比特bit、奈特nat、笛特Det 。
当对数的底取2时，单位为比特bit
当以自然数e为底时，单位为奈特nat（理论推导常用）
当以10为底时，单位为笛特Det（工程计算常用）
表
对数及常用公式
y=log10x y=logbx
x=10y x=by
➢ 离散(数字)消息，一组未知量，可用随机序列来描述： X=(X1…Xi…Xn)
➢ 连续(模拟)消息，未知量，它可用随机过程来描述： X(t)
信息：它是更高层次哲学上的抽象，是信号与消 息的更高表达层次。
信息、消息和信号
❖ 信息、消息和信号是既有区别又有联系的三 个不同的概念。
消息中包含信息，是信息的载体。 信号携带着消息，它是消息的运载工具。
什么是信息？
就狭义而言，在通信中对信息的表达分为 三个层次：信号、消息、信息。 信号：是信息的物理表达层，是三个层次 中最具体的层次。它是一个物理量，是一 个载荷信息的实体，可测量、可描述、可 显示。
消息：(或称为符号)是信息的数学表达层，它虽 不是一个物理量，但是可以定量地加以描述，它 是具体物理信号的进一步数学抽象，可将具体物 理信号抽象为两大类型：

信息论基础课件35-6

信息论基础课件35-6

7
当 输 入 随 机X变 是量 均 值 为 零 、方X2的 差高 为斯 随 机 变 量 。 噪 N是 声均 值 为 零 、方2高 差斯 为随 机 变 量
输出随机Y变也量 是一个高斯随，机其变均量值为零
方差为Y2 X2 2 PY,此时 h(Y)达到最大值。
C1 2lo2 g e(X 22)1 2lo2 g e2
log1P PN x log1(30)
14
3.20 设电话信号的信息率5.6104比特/秒，在一个噪声功率
谱为N0= 510-6 mW/Hz、限频F、限输入功率P的高斯信道中 传送，若F=4kHz，问无差错传输所需的最小功率P是多少瓦？
若F→∞，则P是多少瓦？
解：
Ct
Wlog1( PX ) PN
3.5 连续信道
连续信道：输入输出均为连续的信道。
单维连续通信系统：
X
Y
p(Y/X)
仿照离散信道，我们定义连续信道的信道容量C为 信源X等于某一概率密度函数p0(x)时，信道平均互 信息量的最大值，即
Cma{Ix(X;Y)}
p(x)
1
加性连续信道：
X
+
Y=X+N
加
性
信
道
N 所谓加性连续信 指道 噪， 声是 为连续随 N，机 且与 X相互统计独立的信道。 1. X、N统计独立
15
22
22
5
对于高斯加性信道
h (Y /X )h (N ) p (n )lo 2p g (n )dn
N
p(n)lo2g
N
1
[n2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ]
e 22 dn
2 2
1l
2

《信息论方法》课件

《信息论方法》课件
信道容量：信道能够传输的最大信息量 编码定理：信道容量可以通过编码技术达到 信道编码：将信息转换为适合信道传输的信号 信道解码：将接收到的信号转换为原始信息
失真函数和信息率失真函数
单击此处添加标题
失真函数：描述信号失真的程度，通常用均方误差或方差表示
单击此处添加标题
信息率失真函数：描述信息传输过程中信号失真的程度，通常用信息熵或互 信息表示
解调：将接收到的射频信号还 原为信息信号
调制解调器：实现调制和解调 功能的设备
调制解调技术：如FSK、PSK、 QAM等，用于提高传输速率和 可靠性
光纤通信系统的编码与调制
光纤通信系统的基 本原理
光纤通信系统的编 码方式
光纤通信系统的调 制方式
光纤通信系统的传 输速率和距离
06
信息论在数据处理中的 应用
起源：1948年，美国数学家 克劳德·香农提出信息论
信息论：研究信息的传输、 存储、处理和利用的科学
发展：信息论在通信、计算 机科学、经济学等领域得到
广泛应用
意义：信息论为信息处理提 供了理论基础，推动了信息
时代的发展
信息论的基本概念
信息量：衡量信息不确定性 的度量
信息：指具有不确定性的事 件或消息
信号的统计特性和信息量
信号的统计特性：包括均值、 方差、自相关函数等
信息量的定义：信息量是信号 中包含的信息量的度量
信息量的计算：通过香农熵公 式计算
信息量的应用：在信号处理中， 信息量可以用来衡量信号的质 量和传输效率
信号的压缩编码和解码
编码方法：包括Huffman编 码、LZW编码、JPEG编码 等
预测编码：根据过去的数据 预测未来的数据
预测编码的应用：语音识别、 图像处理、数据压缩等

信息论课件第六章

信息论课件第六章

根据这样一个信道矩阵，设计 一个译码规则A，即 F (b1 ) = a1 A : F (b2 ) = a2 F (b3 ) = a3
由于S个输出符号中的每一个都可以译成r个输入符号 r s 种译码规则可供选择。 中的任何一个，所以共有
译码规则的选择应该根据什么准则?一个很自然的 准则当然就是要使平均错误概率最小. 为了选择译码规则,首先必须计算平均错误概率. 在确定译码规则F(bj)=ai后,若信道输出端接收到的 符号为bj,则一定译成ai,如果发送端发送的就是ai,这 就为正确译码;如果发送的不是ai,就认为错误译码. 那么收到bj 条件下译码的条件正确译码概率为 P[F(bj)|bj]=P(ai|bj) 令P(e|bj)为条件错误译码概率,其中e表示除了F(bj)=ai 以外的所有输入符号的集合. 条件错误译码概率与条件正确译码概率之间有关系 (6.3) P(e|bj)=1-P(ai|bj)=1-P[F(bj)|bj]
一般P(b j ) ≠ 0, b j ∈ B, 这样，最大后验概率准则就可 表示为：选择译码函数 F (b j ) = a * a * ∈ A, b j ∈ B
使满足P(b j | a * ) P(a * ) ≥ P(b j | ai ) P(ai ) ai ∈ A, ai ≠ a * (6.7)
若输入符号的先验概率 P ( ai )均相等，则上式可以写 成 选择译码函数 F (b j ) = a * a * ∈ A, b j ∈ B ( 6 .8 a ) (6.8b) 并满足 P (b j | a * ) ≥ P (b j | ai ) ai ∈ A, ai ≠ a *
6.2 错误概率与编码方法
从(6.10)可知，消息通过有噪信道传输时会发生错 误，而错误概率与译码规则有关。 但一般当信道给定即信道矩阵给定，不论采用什 么译码规则，PE总不会等于或趋于0。 而要想进一步减少错误概率PE，必须优选信道编 码方法。

《信息论与编码》课件第6章 信道编码理论

《信息论与编码》课件第6章 信道编码理论
X
信源编码
Y
差错控制 编码
Z
调制
信息错误
数据错 误一定
物理信道
条件：实
信宿
重建 符号
Xˆ
信源译码
Yˆ 差错控制 Zˆ
接收 信息
译码
接收 数据
解调
注
际信息传 输速率不 大于信道
容量，
意 1.信道一定，数据出现差错的概率一定，这是无
法改变的，与差错控制编码/译码方式无关
2.数据出现差错的概率不可改变，但是可以通过引 入差错控制编码/译码，降低信息传递中的错误
即如何选择 译码规则和 编码方法
减少信道传 输中的信息 差错
由于信道噪声或者干扰的存在， 会产生数据传输错误。
信道编码定理，也 称为香农第二定理
通信原理告诉我们，信噪声为例， 介绍虚警概率、漏报概率，以及 计算错误概率的过程和方法
原始
数
符号
信息
据
信源
(4) 纠正t个随机错误, ρ个删除,则要求码的最小距离满足 d0 ≥ ρ +2t+1
分组码的最小汉明距离满足下列关系
d0 n k 1
奇偶校验码是只有一个检验元的分组码 最小汉明距离为2，只能检测一个错误， 不能纠错。
是不等式， 不能用于计
算d0
差错 控制 译码 已知 条件
任务
6.3 译码规则
p( y)
p( y)
﹝ ❖ 考虑y的取值 两者之间比较
P(0 | y 0)
(1 pe ) p
p(1 pe ) (1 p) pe
P(1| y 0)
(1 p) pe
p(1 pe ) (1 p) pe
﹝ 两者之间比较

信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论

信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论
33
§1.2.1 通信系统模型
例如，奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错，打乱了“1”数目的奇偶性，就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括：
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能：将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出，要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号，例如，0、1符号变成 两个电平，为远距离传输，还需载波调制，例如，ASK， FSK，PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年，Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时，把通信问题分成三个层次： 第一层：通信符号如何精确传输？（技术问题） 第二层：传输的符号如何精确携带所需要的含义？（语义问题） 第三层：所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为？ （效用问题）
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次：
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息

第6章_连续消息和连续信道

第6章_连续消息和连续信道

东南大学移动通信国家重点实验室
1
“信息论与编码”课件
第六章 连续消息和连续信道
东南大学移动通信国家重点实验室
2
“信息论与编码”课件
本章内容提要
连续消息的信息 连续消息在信道上的传输问题 香农信道容量公式 连续消息的识别和理想接收机 连续信源的数字处理及其编码
东南大学移动通信国家重点实验室
第二项，当x0时它趋于无限大，称为绝对熵，用 H(x0)表示： H ( x 0 ) p ( x ) lb x d x (6.7)

东南大学移动通信国家重点实验室
9
“信息论与编码”课件
6.1 连续消息的信息度量
6.1.1 基本思路
相对熵分析 由于H(x)=E[I(x)]，连续消息每一样值只有对应的概率 密度，其所占概率为0，根据自信息量的定义，连续消 息每一样值的自信息量都是无限大，况且量化前样值 集合的幅度连续，有无限多幅度值。 但经量化后，样值集合的幅度值变为有限，样值与样 值之间的差异也就变为有限。 反映在信息特性上，就是相对熵，它仅与连续信源的 概率密度有关，不同概率密度的信源具有不同的相对 熵，因此它表征了信源间平均信息量的差异，故又称 之为“熵差”。
h ( x1 ) h ( x 2 ) lo g 1
2
东南大学移动通信国家重点实验室
17
“信息论与编码”课件
6.1 连续消息的信息度量
6.1.2 几种连续信源的相对熵
3. 指数分布 指数分布连续信源X的信源空间为
(0, ) X : X P : P (X ) : p(x)
当m = 0时，方差就是高斯连续信源X的p(x) p ( x ) d x 1 (6.14) 高斯分布连续信源的概率 密度函数的曲线描绘如图

信息论与编码技术CHAP6信道编码.ppt

信息论与编码技术CHAP6信道编码.ppt
位发生了错误。 • 例如：R (110000)，而C (100001) ，则 E C R (010001)，可知接
收的消息序列 R 中的第“2”位和第“6”位出现了错误。
(3) 重复码和奇偶校验码 前面已述信道编码的任务是构造出以最小多余度的代价换 取最大抗干扰性的“好“码。下面，从直观概念出发， 说明多余度与抗干扰性能的关系，介绍两种极端情况： 一是高可靠性，低有效性的重复码；二是高有效性，低 可靠性的奇偶校验码。
• 垂直奇偶校验方法的编码效率为：
k k 1
• 这种奇偶校验方法能检测出每个分组中的所有奇数位的错， 但检测不出偶数位的错。对于突发性错误，由于出错码元 为奇数个或偶数个的概率各占一半，因而对差错的漏检率 接近于1/2。
• 水平奇偶校验
为了降低对突发错误的漏检率，可以采用“水平奇偶校
验”，它是以分组为单位，对一组中的相同位的码元进行 奇偶校验。在水平奇偶校验中，把信号序列先以适当的长 度划分成个组，每组位码元，并把每组按顺序一列一列地 排列起来，如表6.1.3所示
图6.1.3 发送码元重复一次
对这种情况可得结论：重发一次，效率降低一倍，可以换 取在传输过程中允许产生一个错误(收端能发现它)，但不 能纠正这个错误。 • 重复二次时为(3，1)重复码，如图6.1.4所示：
图6.1.4 发送码元重复二次
(3，1)重复码用“000”来代表信息“0”，用“111”来代表 信息“1”，码本中共有两个码字。
按照每个码元的取值来分，可有二元码和多元码。由于目 前的传输或存储系统大都采用二进制的数字系统，所以一 般提到的纠错码都是指二元码。
综上所述，纠错码分类如图6.1.1所示。
图6.1.1 纠错码的分类
6.1.2 与纠错编码有关的基本概念

《信息论》(电子科大)第六章 连续信源与连续信道

《信息论》(电子科大)第六章 连续信源与连续信道

电子科技大学
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx
a
b
相对熵不能反映连续信源的平均不确定 度. 定义相对熵的目的: 定义相对熵的目的: 在形式上与离散信源熵统一; ①在形式上与离散信源熵统一; 熵差具有信息测度的意义. ②熵差具有信息测度的意义.
电子科技大学
同理,可以定义其它相对熵: 同理,可以定义其它相对熵: 两个连续随机变量的联合熵
b b
= lb (b a ) + lbe [ ∫
b
a
= lb (b a )
b 1 dx ∫ p( x )dx ] a ba
电子科技大学
平均功率受限条件下的最大熵定理 随机变量的平均功率被限定, 随机变量的平均功率被限定,则均值为 零,方差为该平均功率的高斯分布的连 续信源具有最大熵, 续信源具有最大熵,即
p( x ) = 1 2π σ
2 (xm)2 2σ 2
e
,∞ < x < ∞
其中,m = E[ X] = ∫ xp( x)dx 其中 ,
σ = E[( X m ) ] = ∫ ( x m ) p( x)dx
2 2 2
∞
∞ ∞
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx ∞ (xm )2 ∞ 1 2σ 2 e )dx = ∫ p( x )lb ( 2 ∞ 2π σ
∫
b
a
p( x)dx = 1
电子科技大学
H c ( X) = ∫ p( x)lbp ( x)dx
ba dx = ∫ p( x )lbp ( x ) a ba
b
b
a
1 dx = ∫ p( x )lb (b a)dx + ∫ p( x)lb a a (b a)p( x ) b b 1 dx = lb (b a)∫ p( x)dx + lbe ∫ p( x) ln a a (b a)p( x) b 1 ≤ lb (b a ) + lbe ∫ p( x )[ 1]dx a (b a)p( x)

信息论课件.ppt教学文案

信息论课件.ppt教学文案

– 先验概率：选择符号 ai 作为消息的概率----P(ai)
– 自信息：ai 本身携带的信息量
I(ai
)
log 1 P(ai
)
– 后验概率：接收端收到消息(符号) bj 后而发送端
发的是 ai 的概率 P(ai/bj)
– 互信息：收信者获得的信息量-----先验的不确定 性减去尚存在的不确定性
I(ai;bj)loP g(1 ai)loP g(ai1/bj)
第一章 绪论
信息论
通信技术 概率论 随机过程 数理统计
相结合逐步发展而形 成的一门新兴科学
奠基人：美国数学家香农（C.E.Shannon） 1948年“通信的数学理论”
本章内容：
信息的概念 数字通信系统模型 信息论与编码理论研究的主要内容及意义
1.1 信息的概念
信息是信息论中最基本、最重要的概念，既抽象又复杂
– 信息具有以下特征： （1）信息是可以识别的 （2）信息的载体是可以转换的 （3）信息是可以存贮的 （4）信息是可以传递的 （5）信息是可以加工的 （6）信息是可以共享的
1.2 信息论研究的对象,目的,内容
一、 研究对象 – 前面介绍的统一的通信系统模型。人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共 同规律。
消息：用文字等能够被人们感觉器官所感知的形式， 把客观物质运动和主观思维活动的状态表达出来。 知识：一种具有普遍和概括性质的高层次的信息 ， 以实践为基础，通过抽象思维，对客观事物规律性的 概括。 情报：是人们对于某个特定对象所见、所闻、所理解 而产生的知识 。
它们之间有着密切联系但不等同 ，信息的含义更深刻、广泛
– 它的主要目的是提高信息系统的可靠性、有效性、 保密性和认证性，以便达到系统最优化；

信息论基础教学课件ppt-连续信息与连续信源

信息论基础教学课件ppt-连续信息与连续信源
北京邮电大学信息论
信息论基础
第4章
连续信息与连续信源
1
本章主要内容
4.1 连续随机变量集合的熵
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4
连续随机变量的离散化 连续随机变量的熵 连续随机变量差熵的性质 连续随机变量的相对熵
4.2 离散时间高斯信源的熵
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4
55
4.6.2 语音信源
●语音（Speech）是指人所发出的声音 ●语音功率谱频率范围通常从500到4kHz，按每 倍频程8到10dB速率衰减。 ●语音信号的剩余度表现在如下几方面： （1）语音信号样本间相关性很强。 （2）浊音具有准周期性； （3）声管形状及其变化的速率较慢； （4）数字语音码符号的概率不均匀。
，则
(4.21b)
即经过平移和旋转变换后的连续信源的差熵不变。
17
4.1.4 连续随机变量的相对熵
与离散情况类似，我们可以定义连续随机变量的
相对熵（信息散度）。设p和q为定义在同一概率 空间的两个概率密度，定义p相对于q的相对熵为：
(4.23)
18
4.2 离散时间高斯信源的熵
4.2.1 一维高斯随机变量的熵 4.2.2 多维独立高斯随机矢量的熵 4.2.3 多维相关高斯随机矢量的熵 4.2.4 高斯马尔可夫过程的熵率
率密度，其协方差矩阵也为 根据定理4.2（散度不等式）有 所以：
34
§4.3.2 限功率最大熵定理
证明（续）
所以： 上面利用了两概率分布具有相同的自协方差矩阵的 条件，其中 仅当 为高斯分布时等式成立。证毕。
35
§4.3.4 熵功率
限功率最 大熵定理
熵功率：
（4.50 ）

《信息论》(电子科大)复习资料

《信息论》(电子科大)复习资料

信息论导论参考资料作者 龙非池第一章 概论● 在认识论层次研究信息时，把只考虑到形式因素的部分称为语法信息， 把只考虑到含义因素的部分称为语义信息；把只考虑到效用因素的部分称为语用信息。

目前，信息论中主要研究语法信息● 归纳起来，香农信息论的研究内容包括： 1) 信息熵、信道容量和信息率失真函数2) 无失真信源编码定理、信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理 3) 信源编码、信道编码理论与方法● 一般认为，一般信息论的研究内容除香农信息论的研究内容外，还包括 维纳的微弱信号检测理论：包括噪声理论、信号滤波与预测、统计检测与估计理论、调制理论等。

信息科学以信息为研究对象，信息科学以信息运动规律为研究内容，信 息运动包括获取、传递、存储、处理和施用等环节。

第二章 离散信源及离散熵● 单符号离散信源的数学模型：1212()()()()n n x x x X P x P x P x P X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭自信息量：()log ()i x i I x P x =-，是无量纲的，一般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，自信息量的单位为比特(bit,binary unit)；对数底为e 时，其单位为奈特(nat,nature unit)；对数底为10时，其单位为哈特(Hart, Hartley)自信息量性质：I(x i )是随机量；I(x i )是非负值；I(x i )是P(x i )的单调递减函数。

● 单符号离散信源的离散熵：1()[()]()()ni i i i H X E I x P x lbP x ===-∑，单位是比特/符号(bit/symbol)。

离散熵的性质和定理：H(X)的非负性；H(X)的上凸性； 最大离散熵定理：()H X lbn ≤● 如果除概率分布相同外，直到N 维的各维联合概率分布也都与时间起点 无关，即：111111()()()()()()k l k k l l k k k N l l l N P X P X P X X P X X P X X X P X X X ++++-++-===则称该多符号离散信源为N 维离散平稳信源。

连续信源和连续信道

连续信源和连续信道

当信源的概率密度符合正态分布时，其相对熵仅与随机 变量的方差 2 有关，而方差在物理含义上往往表示信号
的交流功率,即p 2
在限制信号平均功率的条件下，正态分布的信源可输出最
大相对熵 而增加。
Hc
(X
)
1 2
log 2
2e
2
其值随平均功率的增加
如果噪声是正态分布，则噪声熵最大，因此高斯白噪声 获得最大噪声熵。
i 1
bi
ai
i 1
0
N
x bi ai i 1
N
N
Hc ( X ) log2 (bi ai ) log2 (bi ai )
i 1
i 1
HcX1 HcX2 HcXN
连续随机矢量中各分量相互统计独立时，其矢量熵就 等于各单个随机变量的熵之和，与离散信源情况类似。
2. 高斯分布的连续信源的熵：与数学期望无关，仅与方 差有关
单变量连续信源X呈正态分布的概率密度函数为
p(x)
1
e
(
xm) 2 2
2
2 2
且：
p(x)dx 1
Hc
(X
)
1 2
log 2
2e
2
xp(x)dx m
x2 p(x)dx P
E X m2 E X 2 m2 P2 m2 2
当连续信源输出信号的均值为零、平均功率受限 时，只有信源输出信号的幅度呈高斯分布时，才会有 最大熵值。
连续信源的熵具有相对性，有时称为相对熵,在取两熵 之间的差时才具有信息的所有特性.
例2.3.1有一信源概率密度如图所示，求连续熵
解:
由图(a)得
Hc(X )
P(x) log 2P(x)dx

《信息论》第六章资料

《信息论》第六章资料

窃听者 密钥
k2
密 钥 源 K2
明文空间 ： 密钥空间 ：
M m1m2 mi mn
K k1k2 k j km
密文空间 ： C c1c2 cl cL
则：明文熵：
n
H (M ) p(mi ) log p(mi ) i 1
m
密钥熵为： H (K ) p(k j ) log p(k j ) j 1
a. 减少信源冗余度： 直接法：采用信源编码的方法。
间接法：采用扩散与混淆的方法，将信源冗余度在更 大的范
围上扩展开，或者加以扰乱混淆。
序列（流）加密即属于扩散法； 分组加密则同时采用混淆与扩散方式。
b. 增大密钥量
H (K) log K ，K为密钥量
由于对数关系，单从增大K来增大 ud 是不
阐明了一系列的重要概念，宣告以单钥制为基础 的保密学理论的建立，从此，保密学由技术性学科发 展为工程理论学科。
（1）保密系统的数学模型和基本定理
1、保密系统的实质： 保密系统是以研究通信系统的安全性为目的的专用通信
系统。其实质是为了提高通信系统中信息传输和存储的安全 和保密。 广义的安全性包括： a．在接收端防止窃听——狭义保密学，简称保密学。 b．在发端防止伪造——现代保密学研究的重点，称为认证 技术。
已知密文C条件下的明文熵（含糊度）：
H (M | C)
p(cl )P(mi | ci ) log P(mi | ci )
il
已知密文C条件下的密钥熵（含糊度）：
H(K | C)
p(cl )P(k j | cl ) log P(k j | ci )
jl
保密问题的实质： 要解决系统在安全保密指标下的优化
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电子科技大学
第6章 连续信源与连续信道
信源分为离散信源和连续信源，在讨论 了离散信源整体测度的基础上，本章讨 论的第一个问题是：
从连续信源的整体出发，它的信息量应 该如何度量？
信道也分为离散信道和连续信道，在讨 论了离散信道中流通信息量的整体测度 及能达到的最大值的基础上，本章讨论 的第二个问题是：
1、单变量连续信源的数学模型
P(XX)ap(xx) b
b
并满足 a p(x)dx1
式中，p(x)为随机变量的概率密度函数。
2、单变量连续信源的熵 假定概率密度函数p(x)如图所示
4
p(x)
p(xi )
b
a
n
电子科技大学
a
a+(i-1)△ x ia+i△ b x
随机变量落在第i个小区的概率为
a i
②熵差具有信息测度的意义。
7
同理，可以定义其它相对熵： 两个连续随机变量的联合熵
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Hc(X)Y p (x)yl b(x p)ydxdy R2
两个连续随机变量的条件熵
H c(X/Y ) p(xy)lb p (x/y)d xd y R 2
H c(Y/X )p (x)y lb(yp/x)dxdy R2 8
b
b
p(x)lb(xp )d xlim lb p(x)dx
a
n a
0
b
p(x)lb(px)dxlim lb
a
n
0
6
(2)连续信源的相对熵
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定义连续信源的相对熵
b
Hc(X)ap(x)lb(x p)dx
相对熵不能反映连续信源的平均不确定 度。 定义相对熵的目的：
①在形式上与离散信源熵统一；
P (a (i 1 ) X a i ) p (x )dx a (i 1 )
根据中值定理，有
ai
a(i1)p(x)dxp(xi)
5
(1)连续信源的绝对熵
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n
H(X)n l i 0m {i1p(xi)lb [p(xi)]}
n
n
n l i 0m i1p(xi) lb(xip )n l i 0m i1p(xi) lb
13
可直接由定义证明：
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Hc(X)Y p (x)ylb(xp)ydxdy
R2
p (x)lyb (x)p dxdp (y x)lyb (y/p x)dxd
R 2
R 2
p(x)lb(xp )d xp (x)lyb(yp /x)dxdy
R
R 2
H c(X )H c(Y /X )
14
③最大相对熵定理
H c (X ) 1 2 ln 2 e ( 2 ) 1 2 ln 2 e( ),P x
18
设p(x)是除高斯分布以外的任何概率密电子科技大学
度函数，且
p(x)dx1
x2p(x)dxP
H c(X )p(x)l
b(xp )dx
x2
22 e 22
p(x)lbp(x)
x2 dx
Hale Waihona Puke 22 e 2219
x2
x2 电子科技大学
e 22
p(x)lb
dx
p(x)l b
e 22
dx
2 2
2 2 p(x)
可利用不等式ln z≤z-1进行证明
设p(x)是定义域(a,b)上除均匀分布以外 的任何概率密度函数，且
b
a p(x)dx1
16
b
Hc(X)ap(x)lb(x p)dx
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bp(x)lb(x p)badx
a
ba
b
b
1
ap (x)lb (ba)d x ap (x)lb (ba)p (x)dx
2E [X (m )2](xm )2p (x )dx
H c(X ) p p((xx))llbb ((xp )1dx e(x2 m 2)2)dx
2 2
10
lb p e(x )(x2 m 2)2d x lb 2 2 p (x )d 电子科技大x 学
2 l b 2 e (xm )2p (x)d xlb22
1lbleb22 1lb (2 e 2)
2
2
(3)指数分布连续信源的相对熵
p(x)1em x ,0x m
11
其 中 m E ， [X ]x(p x)dx 0
电子科技大学
H c(X )0p(x)lb(x p )dx
p(x)lb(1em x)dx
0
m
lb e p(x)xd xlbm p(x)dx
1
电子科技大学
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
电子科技大学
从整体的角度，如何度量在连续信道中 流通的信息量？该信息量能达到的最大 值是多少？
3
一、连续信源及其相对熵
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b
b
lb (b a ) p (x )d x lbp e (x )ln
1
dx
a
a (b a )p (x )
b
1
lb (ba)lbap e(x)([ba)p (x)1]dx
17
l( b ba )lb [be1d xbp (x)d]x电子科技大学
aba a lb(ba)
•平均功率受限条件下的最大熵定理 随机变量的平均功率被限定，则均值为 零、方差为该平均功率的高斯分布的连 续信源具有最大熵，即
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连续信源没有一般意义下的最大熵，只 有限制条件下的最大熵。
通常讨论三种限制条件下的最大熵：
•取值范围受限；
•平均功率受限；
•均值受限。
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•取值范围受限条件下的最大熵定理
随机变量取值被限定在一定范围内，则 在该有限定义域内均匀分布的连续信源 具有最大熵，即
H c (X ) l( b b a ), a x b
3、几种连续信源的相对熵
(1)均匀分布连续信源的相对熵
p(x) 1 ,axb ba
b
Hc(X)ap(x)lbp(x)dx
b1
1
a
lb dx ba ba
lb(ba)
电子科技大学 9
(2)高斯分布连续信源的相对熵
电子科技大学
p(x)
1
(xm)2
e 22 , x
2 2
其中 m E ， [X ]x(p x)dx
0m
0
lbexp(x)dxlbm
m0
lbe lb m lb (em )
12
4、相对熵的性质及最大相对熵定理 电子科技大学 ①相对熵不具有非负性 例如，当b-a<1时，均匀分布连续信源的 相对熵 H c(X )lb (ba)0 ②相对熵的可加性 H c (X ) Y H c (X ) H c (Y /X ) H c (X ) Y H c (Y ) H c (X /Y )