高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案

2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。

离散型随机变量的分布列.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质..会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(重点).理解二点分布的定义，并能简单的运用.(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的分布列阅读教材～例以上部分，完成下列问题..定义要掌握一个离散型随机变量的取值规律，必须知道：①所有可能取的值，，…，；取每一个值的概率，，…，，需要列出下表：此表称为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列..性质()≥，＝，…，；()＋＋…＋＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( ) ()离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.( )()在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为.( )【解析】()×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[]范围内.()×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件.()√由分布列的性质可知，该说法正确.【答案】()×()×()√教材整理二点分布阅读教材例以下部分，完成下列问题.如果随机变量的分布列为则称离散型随机变量服从二点分布，并称＝(＝)为成功概率.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则＝.【解析】设二级品有个，∴一级品有个，三级品有个，总数为个.∴分布列为＝(ξ＝)＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量的分布列为(＝)＝(＝)，求：()(＝或＝)；().【精彩点拨】先由分布列的性质求，再根据＝或＝，<<的含义，利用分布列求概率.【自主解答】()∵＝＋＋＋＝，∴＝，。

．．离散型随机变量预习课本～，思考并完成以下问题．随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？．随机变量与函数的关系？．随机变量试验结果()定义：在一个对应关系下，随着变化而变化的变量称为随机变量．()表示：随机变量常用字母，，ξ，η等表示．．离散型随机变量一一列举出来如果随机变量的所有可能的取值都能，则称为离散型随机变量．．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )()手机电池的使用寿命是离数型随机变量．( )答案：()√()×．下列变量中，是离散型随机变量的是( )．到年月日止，我国被确诊的爱滋病人数．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高．某人在车站等出租车的时间．某人投篮次，可能投中的次数答案：．袋中有大小相同的红球个，白球个，从袋中无放回的条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为( )．，…，．，…，．，…．，…，答案：．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得分，回答不正确得－分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是．答案：, , －, －[典例] ()抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )．抛掷硬币的次数．出现正面的次数．出现正面或反面的次数．出现正面和反面的次数之和()件产品中有件次品，件正品，从中任取件，则可以作为随机变量的是( )．取到的产品个数．取到的正品个数．取到正品的概率．取到次品的概率[解]()抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是，故选．而项中抛掷次数就是，不是随机变量；项中标准不明；项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．()由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除、项，又取到的产品个数是一个确定值，排除项．故选项．[答案]() ()判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即()试验在相同条件下是否可重复进行；()试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；()每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．[活学活用]指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：()某人射击一次命中的环数；()掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；()某个人的属相随年龄的变化．。

2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。

3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。

【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。

2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。

【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。

我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。

2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。

3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。

【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。

观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。

那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章 计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习（P6） 1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9； （2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6. 2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12； （2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12） 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）. 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）. 3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）. 对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）. 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A 中选横坐标，有6个选择；第二步，从A 中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）. （2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）. 习题1.1 B 组（P13） 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）. 2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合 练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=； （2）777!5040A ==； （3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25） 1、（1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁； （2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯； （2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯； （3）3276351520C C -=-=； （4）328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=； （2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =； （2）19732002001313400C C ==； （3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n nn A A n A A nA n A +-+--=+-==； （2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=； （2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=； 如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=； （4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =； （2）142198124234110C C ⋅=； （3）51982410141734C =； （4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词.习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<， 用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）.4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法； 解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理 练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=.3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nnC ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=， 2、∵0122k n n nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n n nnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135701682241281283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++； （2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -； （2）91482099520T a b =-； （3）7924T =； （4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-； （2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ， 由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除； （2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章 复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=； （3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=； 说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=； 说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =； （2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=； 说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =； （2）23397442320C C ⋅=； （3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章 复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =； （2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=； 说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，就能确定一个映射，对应的元素可以相同，所以是“有重复排列”问题.（4）2426106500000A ⨯=； （5）481258C -=； 说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中， 排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -= （6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--； （2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8m n l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法.根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）. 5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=， 上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n C C +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数. 解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C C C C +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章 随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值.2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量.练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X说明：这是一个两点分布的例子，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正 1(2)({})0.25P X P ====正正 因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为 5448552()i i C C P X i C -==，i =0，1，2，3，4.因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A 组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X ，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X ＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X ＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X ＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X ＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X ＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X ＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义 12345X ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X 是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X ＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X ＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X ＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X ＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X ＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km 所用时间X 不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4minY >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间 它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}.4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即 （1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11n i i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯. 说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的 篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的 取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列 为即（2112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000.2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯= （3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，。

是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4．
《离散型随机变量的分布列》导学案
【学习目标】
1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式；
2．理解并运用两点分布和超几何分布．
新知3：两点分布列：
0
1
称 服从；
称 为
例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
变式：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数 的分布列？
新知4：超几何分布列：
0
1
…
…
※动手试试
练1．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
1在某项体能测试中，跑1km成绩在4min之内为优秀，某同学跑1km所花费的时间 是离散型随机变量吗?如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
2下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；
练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为 ．
（1）写出 可能取的值；
（2）写出 所表示的事件
【当堂检测】
1.下列先项中不能作为随机变量的是（）．
A．投掷一枚硬币 次，正面向上的次数B．某家庭每月的电话费

2.1.2 离散型随机变量的分布列【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质。

【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率。

【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝ ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的 。

2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1，2，3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ 。

【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率。

请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)。

（1）求常数a 的值； （2）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；（3）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710。

小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率。

跟踪训练1 （1）下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列：试说明该同学的计算结果是否正确。

（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)。

探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列。

第二章 2.1 2.1.1离散型随机变量【基础练习】1．下面给出三个变量：①2018年10月北京市下雨的天数ξ；②从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数η；③一同学放学后到食堂就餐，到达某个窗口时已经在此排队的学生数X.其中是随机变量的是()A．②B．①③C．②③D．①②③【答案】C2．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率【答案】B3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点【答案】D4.(2019年西安月考)抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D5．一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取2个使用，比赛结束后又放回盒中，则此盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值是________．【答案】4,5,66．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X ＝4表示的试验结果是________．【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标7．某校为学生定做校服，规定凡身高(精确到1 cm )不超过160 cm 的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm 的学生，身高每超出1 cm 多交5元钱．若学生应交校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量．而η＝⎩⎪⎨⎪⎧80，ξ≤160，(ξ－160)×5＋80，ξ＞160，所以η也是一个离散型随机变量． 8．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的次数为ξ.【解析】(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．【能力提升】9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前4次击中目标 【答案】C【解析】ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．故选C.10．袋中装有号码分别为1,2,3,4,5的5张卡片，从中有放回地抽2张卡片，记顺次抽出的2张卡片号码之和为X ，则“X ＝4”所表示的试验结果是( )A ．抽到4号卡片B ．抽到4张号码为1的卡片C ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号D ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号；或两次都抽到2号【答案】D【解析】“x ＝4”表示抽出的2张卡号码之和为4，有1＋3,3＋1,2＋2共3种情况．11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【答案】100，－100,300，－300【解析】由题意得，结果有4种情况，①答对3题，得300分；②答对2题，得100分；③答对1题，得－100分；④全部答错，得－300分．12．某同学的钱夹只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各1张，他决定随机抽出2张．用ξ表示这两张金额之和．写出ξ的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．【解析】ξ的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.ξ＝3表示抽到的是1元和2元；ξ＝6表示抽到的是1元和5元；ξ＝7表示抽到的是2元和5元；ξ＝11表示抽到的是1元和10元；ξ＝12表示抽到的是2元和10元；ξ＝15表示抽到的是5元和10元；ξ＝21表示抽到的是1元和20元；ξ＝22表示抽到的是2元和20元；ξ＝25表示抽到的是5元和20元；ξ＝30表示抽到的是10元和20元．。

2． 1．1离散型随机变量【教学目标】1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.【教学重难点】教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【教学过程】一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达.如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536；D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量六、课后作业：2．1．1离散型随机变量课前预习学案一、预习目标通过预习了解什么是随机变量，什么是离散型随机变量二、预习内容1、随机变量2、随机变量的表示方法3、随机变量的取值4、离散型随机变量三、提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.二、学习重难点：教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、学习过程（一）随机变量、离散型随机变量问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2：：随机变量和函数有类似的地方吗？问题3：（电灯的寿命X是离散型随机变量吗？（二）归纳小结：（三）典型例题例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.例2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?（五）当堂检测1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．n D ．不能确定取所有可能值的概率之和为1；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D课后练习与提高1.10件产品中有4件次品，从中任取2件，可为随机变量的是（ ）A ．取到产品的件数 B.取到次品的件数C.取到正品的概率D.取到次品的概率2.有5把钥匙串成一串，其中有一把是有用的，若依次尝试开锁，若打不开就扔掉，直到打开为止则试验次数ξ的最大取值为（ ）A.5B.2C.3D.43.将一颗骰子掷2次，不是随机变量为（ ）A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和D.两次出现相同的点数的种数4离散型随机变量是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.一次掷2枚骰子，则点数之和ξ的取值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.答案：1.B 2.A 3.D 4. 所有取值可以一一列出的随机变5.2,3,4,4,5,6,7,8,9,10,11,12.2． 1．2离散型随机变量的分布列【教学目标】1. 知道概率分布列的概念。

(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出 X 的所有可能取值，并求出相应
的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．
[解析] (1)解法一：记“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)
C35C12C12C21 2
晨鸟教育
2.1.2 离散型随机变量的分布列
情景引入
自主预习·探新知
投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪些数字？ξ 取各个数字的概率分别是多少？ 可否用列表法表示 ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记为 ξ ，则 ξ 可能的取值有哪些，你能列出表示 ξ 取各值的概率与 ξ 取值的对应关系吗？
10 10 『规律总结』
5
5
5 15 15 5 5
n
1.利用分布列的性质 Σ pi＝1，可以初步检验所求分布列是否正确，即若 i＝1
n
的Σ ．pi≠i＝11，则所求的分布列一定是错误
2．{X＝xi}所表示的事件是互斥的． 3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率
Earlybird
晨鸟教育
C2C12＋C12C2 1
P(X＝2)＝
＝；
C130 C24C12＋C14C P(X＝3)＝
C130
30 2 ＝；
15
2
C26C12＋C16C2
P(X＝4)＝
＝；
C130
10
3
C28C12＋C18C
P(X＝5)＝ C130
8
2
＝． 15
所以随机变量 X 的概率分布列为：

第二章随机变量及其分布2019年射箭世锦赛在荷兰赫托根博什举行，一次射箭成功击中十环的可能性究竟有多大？你买过福利彩票吗，七乐彩30个号码选7个，7个全中的机会有多大？在我们的周围现实世界中存在着大量的随机现象，随机现象的不确定性和大量重复试验中的统计规律性就是本章我们重点学习的内容．学习本章要注意体会随机现象的统计规律性和随机模拟思想，体会概率模型的作用和概率思想的基本特征．2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量自主预习·探新知情景引入在2020年射击世界杯北京站射击比赛中，统计某运动员的射击结果知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环，8环，9环，10环的概率依次成等差数列．你知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？新知导学1．一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下__重复__进行；(2)试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__一个__，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随着__试验结果__变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．__所有取值可以一一列出__的随机变量，称为离散型随机变量．预习自测1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(B)A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…[解析]依题意知最多取7次一定能取到白球，故选B．2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(B)A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位HC．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X[解析]水位在(0,18]内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是__{6,3,0，－3}__．[解析]三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．[解析]含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶随机变量的概念典例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．[解析](1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．『规律总结』(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．┃┃跟踪练习1__■指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(4)某个人的属相随年龄的变化．[解析](1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．命题方向❷随机变量的判定典例2(2020·山东泰安第一中学检测)有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是(C)A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④[思路分析]判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．[解析]随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．『规律总结』判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤(1)根据题意分析变量是否为随机变量．(2)求随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．┃┃跟踪练习2__■指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)小明回答20道选择题，答对的题数；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(4)武汉市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X．[解析](1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．学科核心素养离散型随机变量的取值典例3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．[思路分析]明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．[解析](1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．『规律总结』因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果．还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．┃┃跟踪练习3__■写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ．[解析](1)ξ的所有可能取值为2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．易混易错警示离散型随机变量的可能取值搞错致误典例4小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．[错解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．X＝0表示一关没过；X＝1 000表示只过第一关；X＝3 000表示只过第二关；X＝6 000表示只过第三关．[辨析]①对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．[正解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．X＝0表示“第一关就没有通过”；X＝1 000表示“第一关通过，而第二关没有通过”；X＝3 000表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；X＝6 000表示“三关都通过”．[误区警示]理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．课堂达标·固基础1．下列变量中，不是随机变量的是(B)A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数[解析]标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为(A)A．0B．1C．2D．3[解析]由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X 不可能取0.故选A．3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__300,100，－100，－300__．[解析]可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是__前3次未击中目标，第4次击中目标__．[解析]由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k －1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．5．同时掷两枚质地均匀的硬币．(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？(2)X<2和X>0各表示什么？[解析](1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．。

高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的分布列的定义及性质①一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格形式表示为：表示为P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．(2)特殊分布①两点分布X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．②超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，即其中m＝如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．一、离散型随机变量的分布列1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．解：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为(2)X的取值不小于P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.注：求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．解：随机变量X的可能取值为1,2,3.当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝C24C35＝610＝35；当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝C23C35＝310；当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为3．若随机变量X则当P (X <a ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)解析：选C 随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.4．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )A.124B.116C.18D.14解析：选C 由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝18.故选C. 5．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝( )A.35B.1325C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a ＝125，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.6．已知随机变量X 所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X ＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C 由分布列的性质可知，P (X ＝0)＝1－P (X ＝－2)－P (X ＝3)－P (X ＝5)＝16. 7．已知随机变量ξ的分布列为设η＝ξ2－2ξ解析：由题意，可知P (η＝3)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝3)＝14＋112＝13. 答案：13二、离散型随机变量分布列的性质1．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解： 题目所给随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45.法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.注：(1)利用离散型随机变量的分布列的两个性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：(1)求q 的值；(2)求P (X ＜0)，P (X ≤0)的值． 解：(1)由分布列的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22.(2)P (X ＜0)＝P (X ＝－1)＝12；P (X ≤0)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.三、两点分布及超几何分布1．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．解： (1)从10张奖券中任意抽取1张，只有中奖与不中奖两种情况，X 的取值只有1和0，故属于两点分布．(2)从10张奖券中任意抽取2张，属于超几何分布．(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35. 因此X 的分布列为(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115，因此随机变量Y 的分布列为注：(1)由于在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．(2)可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，往往由差异明显的两部分组成．2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取的概率为C33C34C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为3ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：选C设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝1 3，所以P (ξ＝0)＝13.故选C.4．已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8解析：选B 设抽取的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8，故选B.5．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.故该批产品被接收的概率是243245.答案：2432456．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X 的分布列．解：X 的可能取值是1,2,3，P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为7.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.巩固练习：1．设随机变量X 等可能地取值为1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y ＜10)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选B Y ＜10，即2X －1＜10，解得X ＜5.5，即X ＝1,2,3,4,5，所以P (Y ＜10)＝0.5.2．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113等于( )A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55解析：选B 根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x ＝2，y ＝5.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝2)D ．P (X ＝1)解析：选B 由已知，得X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 222C 226，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.4．设随机变量X 的分布如下表，则P (|X －3|＝1)＝( )A.712B.512C.14D.16解析：选B 因为|X －3|＝1，所以X ＝2或X ＝4，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝1－13－14＝512.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________.解析：由离散型随机变量分布列的性质，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋(1－2q )＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，0≤q 2≤1，故q＝1－22.答案：1－226．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析：取出的4个球红球个数可能为4,3,2,1，黑球相应个数为0,1,2,3，其分值为ξ＝4,6,8,10分．P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44C 03C 47＋C 34C 13C 47＝1335.答案：13 357．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布．则P(ξ＝0)＝C03C29C212＝3666＝611，P(ξ＝1)＝C13C19C212＝2766＝922，P(ξ＝2)＝C23C09C212＝366＝122.所以随机变量ξ的分布列为ξ01 2P 6119221228．某班50名同学参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目的个数及对应的人数如下表：答对题目的个数012 3人数5102015(1)从50名同学中任取2名，求答对题目的个数之和为4或5的概率；(2)从50名同学中任选2名，设随机变量ξ为这2名同学答对题目的个数之差的绝对值，求ξ的分布列．解：(1)记“从50名同学中任选2名，答对题目的个数之和为4或5”为事件A，从50名同学中任选2名，基本事件总数为C250，事件A所包含的基本事件分为三类：第一类，从答对1个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C110C115种选法；第二类，从答对2个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C120C115种选法；第三类，从答对2个问题的同学中选2人，共有C220种选法．由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝C110C115＋C120C115＋C220C250＝128245.(2)ξ的所有可能取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C25＋C210＋C220＋C215C250＝27，P(ξ＝1)＝C15C110＋C110C120＋C120C115C250＝2249，P(ξ＝2)＝C15C120＋C110C115C250＝1049，P(ξ＝3)＝C15C115C250＝349.所以ξ的分布列为。

2014新编人教A高中数学选修2-3全册教案导学案含答案目录1. 1. 两个原理 11. 2.1 排列的概念 61.2.2 排列应用题 131.2.3组合181.2.4组合应用题231.2.5排列组合综合应用271.2.6排列组合综合应用35§1.3.1 二项式定理42§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质482. 1.1离散型随机变量552.?1.2离散型随机变量的分布列612.?2.1条件概率与事件的相互独立性682.?2.1条件概率与事件的相互独立性712.2.2独立重复实验与二项分布732.2.2独立重复实验与二项分布772. 3.1离散型随机变量的期望 802.3.2离散型随机变量的方差902. 4.1正态分布99小结与复习1103. 1.1回归分析的基本思想及其初步应用1153.1.2回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用1243. 2.1独立性检验的基本思想及其初步应用1273.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用1321. 1. 两个原理【教学目标】准确理解两个原理,弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。

【教学重难点】教学重点:两个原理的理解与应用教学难点:学生对事件的把握【教学过程】情境设计1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法?2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法?(请画分析图)3、课件中提供的生活实例。

新知教学引出原理:分类计数原理:完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中有m2种不同的方法,……,在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 Nm1+m2+…+mn种不同的方法.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有Nm1×m2×…×mn种不同的方法。

高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ①一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)两点分布与二项分布的均值①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p . ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . (2)离散型随机变量的方差、标准差 随机变量X 的分布列为则把D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 叫做随机变量X 的方差，D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ①若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；②若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． (3)离散型随机变量方差的性质 ①D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②D (C )＝0(C 是常数)．一、离散型随机变量的均值1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝C14C33C47＝435.P(X＝6)＝C24C23C47＝1835.P(X＝7)＝C34C13C47＝1235.P(X＝8)＝C44C03C47＝135.随机变量X的分布列为所以E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.注：求离散型随机变量的均值的一般步骤：(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；(2)求随机变量取每一个值的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)根据均值的计算公式求出E(X)．2．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.∴X的分布列为∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是()A．0.2 B．0.8 C．1 D．0解析：选B因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.4．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于()A．4 B．5 C．3 D．4.5解析：选A P(X＝2)＝1C25＝110，P(X＝3)＝C12C25＝210＝15，P(X＝4)＝C13C25＝310，P(X＝5)＝C14C25＝410＝25，故E(X)＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.5．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：(1)从这402名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－C15C115C120C340＝419 494.(2)由题意知X＝0,1,2，P(X＝0)＝C25＋C215＋C220C240＝61156，P(X＝1)＝C15C115＋C115C120C240＝2552，P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝0×61156＋1×2552＋2×539＝115156.二、离散型随机变量均值的性质 1．已知随机变量X 的分布列如下：(1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解： (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3， 所以Y 的分布列如下：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215. 注：若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)，一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (Y )．2．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为12，z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，∴E (z )＝3，又x ＋y ＋z ＝6，∴X ＝x ＋y ＝6－z ， ∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝6－3＝3.3．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 B ．11 C ．2.2 解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.5．已知η＝2ξ＋3，且E (ξ)＝35，则E (η)＝( ) A.35 B.65 C.215 D.125解析：选C E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.三、两点分布、二项分布的均值1．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解： (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝435， P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243. 注：此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．2．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：903．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np .故选B.4．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25. 答案：255．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83.四、均值的实际应用1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解:(1)利润X可以取6,2,1，－2；(2)利用均值的定义求值；(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解．(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.2．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是12，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额，求E(ξ)．解：法一：ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.故ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.法二：设X i 为第i 名学生获得的“支持”数(i ＝1,2,3)，ξi 为第i 名学生获得的“资助”额(i ＝1,2,3)，则X i ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且ξi ＝5X i (i ＝1,2,3)，ξ＝ξ1＋ξ2＋ξ3.因此E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＋E (ξ3)＝5E (X 1)＋5E (X 2)＋5E (X 3)＝3×5×2×12＝15. 3．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B (4，12)． ∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.即实际支出的数学期望为2 100元．4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.五、求离散型随机变量的方差1．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为则E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以，当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. 所以⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.注求离散型随机变量ξ的方差的步骤： (1)理解ξ的意义，明确其可能取值；(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；(3)求ξ取每个值的概率；(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验；(5)根据方差定义求D (ξ).2.了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X 的分布列及其数学期望、方差．解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．P (X ＝0)＝3×3A 44＝38，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝4)＝1A 44＝124.故X 的分布列为∴E (X )＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，D (X )＝(0－1)2×38＋(1－1)2×13＋(2－1)2×14＋(4－1)2×124＝1. 3．已知随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是( ) A.13 B.23 C.59 D.79解析：选C 由分布列的性质可知a ＋b ＋12＝1，∴a ＋b ＝12.又E (X )＝－a ＋12＝13，解得a ＝16，b ＝13，∴D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，求D (X )．解：由题知X ＝6,9,12.P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴X 的分布列为∴E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.六、常见分布的方差1．(1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分．用ξ表示抛掷一枚硬币的得分数，求E (ξ)，D (ξ)；(2)某人每次投篮时投中的概率都是12.若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差；(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X ，求X 的分布列及其均值、方差．解： (1)ξ服从两点分布，抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为12，所以E (ξ)＝12，D (ξ)＝14.(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，所以E (ξ)＝10×12＝5.D (ξ)＝10×12×12＝52. (3)X 可能取的值是0,1,2.P (X ＝0)＝C 02C 33C 35＝110，P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝35，P (X ＝2)＝C 22C 13C 35＝310，所以X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2.D (X )＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，均值E (ξ)为3，标准差D (ξ)为62.(1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：由题意知，ξ～B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0.1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32， 得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12. ξ的分布列为(2)记“得P (A )＝164＋332＋1564＋516＝2132， 所以需要补种沙柳的概率为2132.3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X 表示是否取到白球，即X ＝⎩⎨⎧1(当取到白球时)，0(当取到红球时)，则X 的方差D (X )＝( )A.21100B.750C.110D.310解析：选A 显然X 服从两点分布，P (X ＝0)＝710，P (X ＝1)＝310.故X 的分布列为所以E (X )＝310，故D (X )＝710×310＝21100.4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝( )A.34B.89C.38D.25解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为13，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则D (X )＝4×13×23＝89.5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (X )＝24，则D (X )的值为( )A ．8B ．12 C.29 D ．16解析：选A 由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴E (X )＝23n ＝24. ∴n ＝36.∴D (X )＝36×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝8.6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差． 解：(1)易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.七、离散型随机变量的均值与方差的应用1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表所示．A机床B机床问哪一台机床加工的质量较好？解：由表中数据可知，E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以它们的期望相同，再比较它们的方差．D(X1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，D(X2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.926 4.因为0.606 4<0.926 4，所以A机床加工的质量较好．2．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，甲运动员参加较好．4．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有P (X <300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.巩固练习：1．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18解析：选A 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13.故选A.2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为()A.323 B.283 C.143 D.163解析：选D由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<23，0<b<1.2 a＋13b＝3a＋2b2⎝⎛⎭⎪⎫2a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝16 3，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，故2a＋13b的最小值为163.故选D.3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A.37 B.47 C.27 D.17解析：选B当k＝±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时d＝1 3；当k＝±3时，d＝12；当k＝±52时，d＝23；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以E(ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，所以E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案：475．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：由P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p )(1－p )＝112可得p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝32舍去， 从而P (X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝23·C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16. 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：536．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，则P(A)＝1－C16C15C110C110＝1－30100＝710.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C26C210×C15C110＝16，P(X＝1)＝C14C16C210×C15C110＋C26C210×C15C110＝1330，P(X＝2)＝C24C210×C15C110＋C14C16C210×C15C110＝13，P(X＝3)＝C24C210×C15C110＝115，所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×16＋1×1330＋2×13＋3×115＝1310.7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P (A )＝1－P (A )＝0.91.8．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)＝( ) A ．3×2－2 B ．3×2－10 C ．2－4 D ．2－8解析：选B 由E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3，得p ＝12，n ＝12，所以p (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210＝3×2－10.故选B. 9．设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，现已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选C 由题意得P (X ＝x 1)＋P (X ＝x 2)＝1，所以随机变量X 只有x 1，x 2两个取值，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29.解得x 1＝1，x 2＝2x 1＝53，x 2＝23舍去，所以x 1＋x 2＝3，故选C.10．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为则E (X )的最大值是．解析：由分布列的性质可知p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，则E (X )＝p ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，故E (X )的最大值为32.∵D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p (p ＋1)2＋p (p ＋1－1)2＋12(p ＋1－2)2＝－p 2－p ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋54，又p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴当p ＝0时，D (X )取得最大值1. 答案：32 111．已知随机变量X 的分布列为①E (X )＝－13；②E (X ＋4)＝－13；③D (X )＝2327； ④D (3X ＋1)＝5；⑤P (X >0)＝13.解析：E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，E (X ＋4)＝113，故①正确，②错误．D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，D (3X ＋1)＝9D (X )＝5，故③错误，④正确．P (X >0)＝P (X ＝1)＝16，故⑤错误．答案：212．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1(万元)和Y 2(万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )取最小值3.。

2.3.1离散型随机变量的数学期望【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望。

2．理解离散型随机变量数学期望的性质。

3．掌握两点分布、二项分布的数学期望。

4．会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。

【学法指导】离散型随机变量的数学期望是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得数学期望。

利用随机变量的数学期望可以帮助我们对实际问题做出决策。

【知识要点】1．离散型随机变量的数学期望或期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝为随机变量X的数学期望或期望，它反映了离散型随机变量取值的。

2．离散型随机变量的数学期望的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。

3．两点分布与二项分布的数学期望（1）如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)。

（2）如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝。

【问题探究】探究点一离散型随机变量的数学期望公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2离散型随机变量的均值有什么作用？问题3若一组数据x i(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为a x＋b。

那么离散型随机变量Y＝aX＋b 是否也具有类似性质？如何证明？例1已知随机变量X的分布列如下：（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。

小结对于aX＋b型的随机变量，可利用数学期望的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。

描述：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章随机变量及其分布 2.3离散型随机变量的均值与方差一、学习任务了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差．二、知识清单离散型随机变量的数字特征三、知识讲解1.离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值①一般地，若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量 的均值（mean）（mean）或或数学期望（mathematical expectation）（mathematical expectation）．它反映了离散型随机变量取值的平均水平.．它反映了离散型随机变量取值的平均水平.②若 ，其中 ， 为常数，则 也是随机变量．因为所以， 的分布列为于是，即③一般地，如果随机变量 服从两点分布，那么 ；如果 ，那么 ．离散型随机变量的方差① 设离散型随机变量 的分布列为则 描述了 （，，，）相对于均值 的偏离程度．而X Px 1p 1x2p2⋯⋯x i p i⋯⋯x n p nE (X )=++⋯++⋯+x 1p 1x 2p 2x i p i x n p nX Y =aX +b a b Y P (Y =a +b )=P (X =),i =1,2,⋯,n ,x i x i Y Y Pa +b x 1p 1a +b x 2p 2⋯⋯a +b x i p i ⋯⋯a +bx n p n.E (X )=(a +b )+(a +b )+⋯+(a +b )+⋯+(a +b )x 1p 1x 2p 2x i p i x n p n=a (++⋯++⋯+)+b (++⋯+)x 1p 1x 2p 2x i p i x n p n p 1p 2p n =aE (X )+bE (aX +b )=aE (X )+b .X E (X )=p X ∼B (n ,p )E (X )=np X X P x 1p 1x 2p 2⋯⋯x i p i⋯⋯x n p n(−E (X )x i )2x i i =12⋯n E (X )D (X )=(−E (X )∑i =1nx i )2p iE (X )D (X )例题：为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 与其均值 的平均偏离程度．我们称 为随机变量 的方差（variance），并称其算术平方根 为随机变量 的标准差（standard deviation）．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．② 若 服从两点分布，则 ；若 ，则 ．③ ．X E (X )D (X )X D (X )−−−−−√X X D (X )=p (1−p )X ∼B (n ,p )D (X )=np (1−p )D (aX +b )=D(X )a 2某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，据统计，随机变量 的概率分布如下：则 的值和 的数学期望分别是（ ）A．， B．， C．， D．，解：B由概率分布可知：，解得 ，所以 ．ξξξP 00.110.322a 3aa ξ0.2 1.80.2 1.70.1 1.80.1 1.70.1+0.3+2a +a =1a =0.2E (ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7从饭店到火车站途中有 个交通岗，一出租车司机，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 ．（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了 个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数 的数学期望．解：（1）因为这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以（2）因为 ，所以 ．6132ξP =(1−)×(1−)×=.131313427ξ∼B (6,)13E (ξ)=6×=213已知随机变量 的分布列为：求．解：，所以ξξP 00.110.1520.2530.2540.1550.1D (ξ)Eξ=0.1×0+0.15×1+0.25×2+0.25×3+0.15×4+0.1×5=2.5D (ξ)=(0−2.5×0.1+(1−2.5×0.15+(2−2.5×0.25+(3−2.5×0.25+(4−2.5×0.15+(5−2.5×0.1=2.05)2)2)2)2)2)2如果 是离散型随机变量，且 ，那么（ ）A．，B．，C．，D．，解：A由随机变量的均值与方差的性质可得答案．ξη=3ξ+2E (η)=3E (ξ)+2D (η)=9D (ξ)E (η)=3E (ξ)D (η)=3D (ξ)+2E (η)=3E (ξ)+2D (η)=9D (ξ)+4E (η)=3E (ξ)+4D (η)=3D (ξ)+2某人投弹击中目标的概率为 ．（1）求投弹一次，击中次数 的均值和方差；（2）求重复投弹 次，击中次数 的均值和方差．解：（1）由题意可知 服从两点分布，其分布列为所以（2）由题意可知击中次数 服从二项分布，即 ，所以p =0.8X 10Y X X P00.210.8E (X )=0×0.2+1×0.8=0.8,D (X )=(0−0.8×0.2+(1−0.8×0.8=0.16.)2)2Y Y ∼B (10,0.8)E (Y )=np =10×0.8=8,D (Y )=10×0.8×0.2=1.6.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为 、， 和 的分布列如表．试对这两X Y X Y四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）名工人的技术水平进行比较．解：工人甲生产出次品数 的数学期望和方差分别为工人乙生产出次品数 的数学期望和方差分别为由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术水平比较稳定．X P 061011102310Y P051013102210X E (X )=0×+1×+2×=0.7,610110310D (X )=(0−0.7×+(1−0.7×+(2−0.7×=0.81.)2610)2110)2310Y E (Y )=0×+1×+2×=0.7,510310210D (Y )=(0−0.7×+(1−0.7×+(2−0.7×=0.61)2510)2310)2210E (X )=E (Y )D (X )>D (Y )答案：1. 下列有关离散型随机变量的期望与方差的说法中，不正确的是 A ．离散型随机变量的期望 反映了 取值的平均值B ．离散型随机变量的方差 反映了 取值的集中与离散的程度C ．离散型随机变量 的期望和方差都是一个数值,它们不随试验结果而变化D ．离散型随机变量的方差是非负的A()ξEξξξDξξξ答案：解析：2. 已知离散型随机变量 的概率分布列如下表，则其数学期望 等于 ．A ．B ．C ．D ．D所有随机变量取值概率之和是ξE (ξ)()ξP 10.53m 50.210.62+3m 2.41答案：解析：3. 已知 ，，，则 与 的值分别为 A ． 和B ． 和C ． 和D ． 和A ，，解得 ，．X ∼B (n ,p )E (X )=8D (X )=1.6n p ()100.8200.4100.21000.8E (X )=np =8D (X )=np (1−p )=1.6p =0.8n =10答案：解析：4. 在 个电子产品中，有 个次品， 个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，如果两个次品找出为完成一次测试，那么测试次数 的数学期望是 A ．B ．C ．D ．D由题意知 的可能取值是 ，结合变量对应的事件写出变量的概率，当 时，表示取出的 只都是次品，当时，表示第三次取出的是次品，前两次中一个正品一个次品，以此类推，得到结果．624ξ()17151115536415ξ2,3,4,5ξ=22ξ=3高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

．离散型随机变量及其分布列．离散型随机变量．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)．了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)．会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量阅读教材～，完成下列问题．．随机变量()定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一表示．在这个对应关系下，个数字确定的数字随着的变化而变化．像试验结果这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．用字母，，()表示：随机变量常，ξ表示．η…，．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) ()在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()()随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )()试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( )()在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有个取值．( )【解析】()√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．()√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是.()√因为由随机变量的定义可知，该说法正确．()√因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．()√因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为个．【答案】()√()√()√()√()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。