专题1.1 集合的概念-2020-2021学年高一数学同步培优专练(人教A版2019必修第一册)

1.1 集合的概念一、单选题1．在2N,0N ,5Q Z +-∈∈-∈中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据数集的表示方法，逐个判定，即可求解.详解：由数集的表示方法知N 为自然数集，N +为正整数集，Q 为有理数集，可得2N -∈，0N +∈Q 不正确；5Z -∈正确；故选：A.2．已知集合(){}22,|2,,A x y x y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）A ．4B ．9C ．8D ．6答案：A解析：根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果.详解：因为222x y +≤，x N ∈，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选：A.点睛：本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型.3．设集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素.故选C.4．若以集合A 的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形答案：A详解： 由集合元素的互异性可得a 、b 、c 、d 互不相等，所以四边形的四条边互不相等，结合各选项可得该四边形可能为梯形．选A ．点睛：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，对于集合中的元素的这三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到；解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．5．下面关于集合的表示正确的个数是（ ）①{}{}2332≠，，； ②{}{}()11x y x y y x y ，+==+=； ③{}{}11x x y y >=>； ④{}{}11x x y y x y +==+=．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C解析：∵集合中的元素具有无序性，∴①2，3}=3，2}，①不成立；（x ，y ）x+y=1}是点集，而yx+y=1}不是点集，②不成立； 由集合的性质知③④正确．故选C ．6．已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C解析：先求出集合A=-2，-1，0，1，2}，B=x|x ＜2，且x≠0}，从而C U B=x|x≥2或x=0}，由此能求出图中阴影部分表示的集合A∩（C U B ）．详解：图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．点睛：在解题时，需要清楚元素与集合的关系以及集合间的关系，能使用Venn 图表达集合的关系及运算．7．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的非空集合M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16答案：A解析：根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案.详解：2111==，200=，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=， 所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种；②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=.故选：A.点睛：本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣ D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =答案：B解析：利用集合的定义和元素的三个性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 详解：A.M 、N 都是点集，()3,2与()2,3是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故错误；B.2,3M ，{}3,2N =，根据集合的无序性，集合M ，N 表示同一集合，故正确；C.{}(,)1M x y x y =+=∣，M 集合的元素表示点的集合，{}1N y x y =+=∣，N 表示直线1x y +=的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；D.2,3M集合M 的元素是两个数字2，3，{}(2,3)N =，集合N 的元素是一个点()2,3，故错误；故选：B.点睛：本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.9．设集合{|21,},5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ）A ．a A ∈B ．a A -∈C ．{}a A ∈D ．{}a A ⊇答案：A解析：5221a ==⨯+,结合集合A,即可得出结果.详解：5221a A ==⨯+∈． 故选:A点睛：本题考查元素和集合的关系,考查学生对基本概念的理解,属于基础题.二、多选题1．若集合A ＝x∈N|x 2≤1}，1a =-，则下列结论不正确的是A ．a A ∉B ．a∈AC ．a}∈AD ．a}∉A答案：BCD解析：本题先将集合A 用列举法表示，再判断a 与A 的关系即可.详解：集合A ＝x∈N|x 2≤1}＝0，1}，1a =-，根据元素和集合的关系得到a A ∉.故选：BCD.点睛：本题考查元素与集合的关系，是基础题.2．设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是（ ）A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A -∈D ．0A ∈答案：AC解析：求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，利用元素与集合的关系能判断正确结果．详解：解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，0A ∴∈，1A -∈，{}0A ⊂，{}1A -⊂，1A ∉．∴AC 选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3．（多选题）已知集合2{4,21,}A a a =--，{}5,1,9B a a =--，下列结论正确的是（ ）A ．当5a =时，9()AB ∈⋂B ．当3a =时，9()A B ∈⋂C ．当3a =-时，9()A B ∈⋂D ．当5a =时，{9}()A B =⋂ E.当3a =-时，{9}()A B =⋂答案：ACE解析：分别就5a =，3a =，3a =-根据集合交集运算的基本关系，求出A B ，即可求出结果. 详解：当5a =时，{4,9,25}A =-，{0,4,9} B =-，{4,9}A B =-，A 正确，D 错误；当3a =时，512a a -=-=-，不满足集合中元素的互异性，B 错误；当3a =-时，{4,7,9}A =--，{8,4,9}B =-，{9}A B =，C 、E 正确.故选：ACE.点睛：本题主要考查了集合之间的交集运算的关系，熟练掌握子集的概念是解决本题的关键.4．若集合{}2|210A x px x =++=中有且只有一个元素，则实数p 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．1答案：AD 解析：分0p =，和0p ≠两种情况讨论，可得0p =，或1p =.详解：当0p =时，可得1={}2A -，符合题意；当0p ≠时，因为方程210px x ++=有唯一解，所以440,1p p ∆=-=∴=.故选：AD.5．已知集合{}22133A a a a =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2-答案：ABD解析：由已知条件可得出关于实数a 的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数a 的值. 详解：已知集合{}22133A a a a =+++,,且1A ∈，则11a +=或2331a a ++=，解得0a =或1a =-或2a =-.若0a =，则{}2,1,3A =，合乎题意；若1a =-，则{}2,0,1A =，合乎题意；若2a =-，则{}2,1,1A =-，合乎题意.综上所述，0a =或1a =-或2a =-.故选：ABD.三、填空题1．定义P*Q ＝ab|a∈P，b∈Q}，若P ＝0，1，2}，Q ＝1，2，3}，则P*Q 中元素的个数是________．答案：6解析：由题意结合描述法、列举法表示集合可得集合P*Q ，即可得解.详解：若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1，2，3；若a ＝2，则ab ＝2，4，6；故P*Q ＝0，1，2，3，4，6}，共6个元素．故答案为：6.点睛：本题考查了描述法、列举法表示集合的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．由实数x ，－x ，|x|________个元素.答案：2解析：化简根式可知不论x 取何值所给实数最多只能写成两种形式.详解：因为|x|x ,x =-，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故集合中最多含有2个元素.故答案为：2点睛：本题考查根式的化简、集合的概念，属于基础题.3．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________答案：1详解：由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．4．某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．答案：0解析：根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果. 详解：解：∵集合既可以表示成b ，b a，0}，又可表示成a ，a ＋b ，1}∴a＋b 一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b.∴b＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.点睛：本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性.5．若集合{}2|40,?A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．答案：4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根，∴164k 0∆=-=，解得：4k =，故答案为4.四、解答题1．已知集合A 含有两个元素3a -和21a -，a R ∈，若3A -∈，求实数a 的值.答案：0a =或1a =-解析：根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果.详解：因为3A -∈，所以33213a a -=-⎧⎨-≠-⎩或33213a a -≠-⎧⎨-=-⎩ 解得0a =或1a =-点睛：本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知集合A=x|ax 2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．答案：（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥解析：（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A 中至多只有一个元素就是A 为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.详解：（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-12，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A 是空集，则方程ax 2+2x+1=0无解，此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1.（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a=0或a≥1.点睛：本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.3．有下列三个集合：①x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②y|y＝x2+1，x∈R}；③（x，y）|y＝x2+1}；（1）它们是不是相同的集合？（2）它们的各自含义是什么？答案：（1）不是；（2）答案见解析.解析：（1）由各个集合的特征进行判断；（2）由用描述法表示集合的方法进行判断详解：解：（1）①x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝[0，+∞）；②y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合；（2）①x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示函数的定义域；②y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合.。

1.1 集合的概念一、单选题1．设集合1|6A x x a a Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,，1|23b B x x b Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭,，1|26c C x x c Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,，则集合A 、B 、C 的关系是（ ）A ．ABC B ．A C B C ．A B C =D ．C A B2．集合{}13A x N x =∈-<<的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．83．方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}2,3x y ==B ．{}2,3C ．(){}2,3D ．23x y =⎧⎨=⎩4．已知集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．95．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．76．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（ ）A ．1∈MB ．0∈MC ．－1∈MD ．－2∈M7．已知{}A xx x R =≤∈∣，a =b = ）A ．a A ∈且b A ∉B ．a A ∉且b A ∈C ．a A ∉且b A ∈D ．a A ∉且b A ∉ 8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3-9．下列关系中，正确的个数为（ ）R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈. A ．6B ．5C ．4D ．310．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9二、填空题1．列举法表示方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=的解集为______．2．若{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，则实数m 的取值范围为___________. 3．已知集合{}1,,3,A a ={}21,2,1,B a a a =++-，若3();A B ∈⋂则实数a =________.4．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______． 5．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是________. 三、解答题1．设n 为正整数，集合A=12{|(,,,)n t t t αα=，{0,1}k t ∈，1k=，2，，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n=3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤． （Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．2．用适当的方法表示下列集合.（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.3．选择适当的方法表示下列集合． （1）绝对值不大于3的整数组成的集合； （2）方程(35)(2)0x x -+=的实数解组成的集合； （3）一次函数6y x =+图像上所有点组成的集合； （4）满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合．4．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值．5．已知集合A 可表示为a,a 2,1a },求实数a 应满足的条件.参考答案一、单选题 1．C解析：将三个集合分别化简后判断集合间的关系. 详解：集合161|,66a A x x a a Z x x a Z ⎧+⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,， 集合132|,236b b B x x b Z xb Z ⎧-⎫⎧⎫==-∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,， 集合131|,266c c C x x c Z x x c Z ⎧+⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,，a Z ∈时，61a +表示被6除余1的数；b Z ∈时，32b -表示被3除余1的数；c Z ∈时，31c +表示被3除余1的数； 所以A B C =， 故选：C. 2．C解析：先化简集合A ，再列举出所有真子集，从而可得答案． 详解：因为{}{}130,1,2A x N x =∈-<<=，所以A 的真子集为{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2∅ 可得真子集的个数为7， 故选：C ． 3．C解析：首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集； 详解：解：因为5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩所以方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为(){}2,3故选：C 4．B解析：根据集合A ，得出表示圆221x y +=上及其内部的整数点，结合图象，即可求解. 详解：由题意，集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈表示如图所示的圆221x y +=上及其内部的整数点,共5个. 故选： B.点睛：本题主要考查了集合表示，其中解答中正确理解集合表示表示方法是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题. 5．B解析：根据集合A 中的元素，集合B 中的元素特征，求出x y -，利用集合元素的互异性即可求解. 详解：{}1,2,3A =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =，当1x =时，0,1,2x y -=--， 当2x =时，1,0,1x y -=-， 当3x =时，2,1,0x y -=即2,1,0,1,2x y -=--，即 {}2,1,0,1,2B =--共有5个元素. 故选：B 点睛：本题考查了集合元素的特征，理解集合的表示以及集合中的元素特征，考查了基本运算，属于基础题.6．C解析：首先根据2∈M，把2代入方程x 2－x ＋m ＝0即可求得m ＝－2，从而解方程x 2－x －2＝0即可得解. 详解：由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解， 所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2． 所以方程为x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2． 故方程的另一根为－1． 故选：C ． 7．B解析：根据已知中{}A xx x R =≤∈∣，判断a b ，的值与a b ，与集合A 的关系. 详解：根据题意得：a ==>b ==<a A ∉，b A ∈； 故选:B. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断元素是否满足集合的条件． 8．C解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项. 详解：因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-， 当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意， 所以实数a 的值为1-或2-. 故选：C. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 9．D解析：利用元素与集合的关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 详解：R ，故①正确；在②中，13Q ∈，故②正确；在③中，0{0}∈，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误； 在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z ，故⑥正确. 故选：D. 点睛：本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 10．B解析：根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 详解：因为x A ∈，y A ，xy ∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B. 点睛：本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.二、填空题 1．{}a 1,a 2++解析：根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案． 详解：根据题意，方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=变形可得()()x a 1x a 20⎡⎤⎡⎤-+-+=⎣⎦⎣⎦，有2个解：1x a 1=+，2x a 2=+， 则其解集为{}a 1,a 2++； 故答案为{}a 1,a 2++． 点睛：本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．2．[)4,3--解析：根据题意可知34m <-≤，解出即可.详解：{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，{}{}{}2001,2,3x Nx mx x Nx m **∴∈+<=∈<<-=，34m ∴<-≤，即43m -≤<-.故答案为：[)4,3--. 点睛：本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 3．2-解析：由3()A B ∈⋂得13a +=或23a +=或213a -=求出a 值并根据集合元素互异性检验得解. 详解：3()A B ∈⋂,13a ∴+=或23a +=或213a -=解得2a =或1a =或2a =-，代入检验，根据集合元素互异性得2a =- 故答案为：2- 点睛：本题考查集合元素互异性，属于基础题.4．x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}． 故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}． 点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题. 5．1x ≠解析：利用集合元素的互异性可得结果。

1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。

1.1 集合的概念1．集合M ＝x|x 2－x －6＝0}，则以下正确的是( )A ．－2}∈MB ．－2⊆MC ．－3∈MD ．3∈M答案：D解析：∵集合{}2|60M x x x =--= ∴集合{}2,3M =-∴2M -∈，3M ∈故选D.2．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =对于x S ∈,如果11x S x S +∉-∉,,那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有个A ．6个B ．12个C ．9个D ．5个答案：A解析：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得．详解：解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，4，5，6}，5，6，7}，6，7，8}共6种可能故选A ．点睛：本题考查新定义，读懂新定义并列举是解决问题的关键，属基础题．3．设集合{}A 4,8=，则集合A 的子集个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D解析：对于集合A 的子集个数，由于A 中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，进行求解．详解：集合A 中元素的个数为2，故子集的个数为22=4 个．分别为∅，{}4，{}8和{}48，．故选D ． 点睛：本题考查知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．4．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果.详解：当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-；当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个. 故选：B.5．若1{0,}a ∈，则实数a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1答案：C解析：根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.详解：因为1{0,}a ∈，根据集合性质可得：1a =.故选：C6．下列叙述正确的是（ ）A ．集合x|x<3，x∈N}中只有两个元素B ．x|x 2－2x ＋1＝0}＝1}C ．整数集可表示为Z}D ．有理数集表示为x|x 为有理数集}答案：B解析：根据集合与元素的关系，以及集合的表示方法，判断选项.详解：A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为x|x 为有理数}，错.故选：B.7．下列元素的全体不能组成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形答案：B解析：根据集合元素的确定性，即可得答案；详解：地球上的小河流没有一个明确的标准，∴无法构成集合， 故选：B.8．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A=0，1}，B=x|（x 2-ax ）（x 2-ax+1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．4答案：A解析：根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax+1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值．详解：解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M=0，-2，2}，故d （M ）=3．故选：A ．点睛：本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．9．下列式子表示正确的有（ ）Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断.详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误；③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确，故选C.点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题.10．若{}2213,1,1a a a -∈---，则a=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1答案：C 解析：根据元素与集合的关系，分类讨论，根据所等到的方程，解方程，最后符合集合元素的互异性即可.详解：因为{}2213,1,1a a a -∈---，所以有211a a --=-或211a -=-.当211a a --=-时，解得0a =或1a =，当0a =时，2211a a a --=-，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以1a =.当211a -=-时，解得0a =，由上可知舍去，综上：1a =.故选：C点睛：本题考查已知集合的元素求参数问题，考查了集合元素的互异性，属于基础题.11．已知集合M =2|1x x =}，N =|1x ax =}，若N M ⊆，则实数a 等于（ ）A ．1B ．1-C ．±1D ．±1或0答案：D解析：先求出集合M =2|1x x =}=﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N=1a }，由N M ⊆得11a =-或1a =1．由此能求出实数a 的取值集合． 详解：∵集合M =2|1x x =}=﹣1，1}，N =|1x ax =}，N M ⊆，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N=1a }，∵N M ⊆，∴11a=-或1a =1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a 的取值集合为1，﹣1，0}．故选：D ．点睛：易错点点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，容易漏考虑N =∅的情况.12．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．4答案：A 解析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.13．下列四个关系中，正确的是A ．{},a a b ∈B ．{}{},a a b ∈C ．{}a a ∉D ．{},a a b ∉答案：A解析：根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.详解： 元素a 与集合{}{}a a b 、，是属于关系，故A 对，C 、D 错误，而{}{},a a b 、之间是包含关系，所以B 错误，故本题选A.点睛：本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间的关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.14．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B QC ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈答案：C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解.详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；Q 不正确；根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确，又由0是自然数，所以0N ∈，故选C.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．已知集合{}{}{}0,2,3,4,5,7,1,2,3,4,6,|,A B C x x A x B ===∈∉，则C 的元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B详解：试题分析：由题意可知{}{}|,0,5,7C x x A x B =∈∉=，即集合C 中有三个元素，故选B. 考点：集合的表示及运算.16．方程组3231x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合是（ ） A ．x=2，y=1}B ．2，1}C ．(2，1)}D ．∅答案：C 解析：先解方程组，再利用列举法表示.详解：方程组3231x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以方程组的解的集合是(2，1)}，故选：C点睛：本题主要考查集合的表示，属于基础题.17．已知集合(){}22,|2,,A x y x y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）A ．4B ．9C ．8D ．6答案：A 解析：根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果.详解：因为222x y +≤，x N ∈，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选：A.点睛：本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型.18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D解析：由集合元素的互异性可得解.详解：根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.19．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，则实数k 的值是（ ）. A ．2-B ．1-或2C ．1-或2±D ．1-或2-答案：C 解析：集合A 中有且只有1个真子集，等价为集合A 只有一个元素，然后分20k +=、20k +≠两种情况讨论即可.详解：集合2{|(2)210}A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，∴集合A 只有一个元素．若20k +=，即2k =-时，方程等价为410x -+=，解得14x =，满足条件．若20k +≠，即2k ≠-时，则方程满足△0=，即244(2)0k k -+=，220k k ∴--=，解得2k =或1k =-． 综上：2k =-或2k =或1k =-．故选：C20．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．某校高一(1)班成绩优秀的学生C ．所有有理数D ．小于π的正整数答案：B解析：根据集合元素的“确定性”，可知B 项中的对象不符合集合的定义，而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项．详解：对于A ，“拥有手机的人”其中的对象是明确的，能构成集合；对于B ，“成绩优秀的学生”其中对象是不明确的，不能构成集合；对于C ，“所有有理数”其中对象是明确的，能构成集合；对于D ，“小于π的正整数”其中对象是明确的，能构成集合.故选：B.点睛：本题考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题.。

第一章 集合与函数概念 专题01 1.1.1 集合的含义与表示第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合A ＝{y |y 2﹣y ﹣2≤0，y ∈Z }，则A ＝（ ） A ．{y |﹣1≤y ≤2} B ．{y |y ≤﹣1或y ≥2} C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．若﹣1∈{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}，则a ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．0 或13．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．44．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．45．设集合{}2|40B x x x m =-+=，若1B ∈，则B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1,0C ．{}1,3-D ．{}1,56．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个7．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( ) ①{}(){}3,1,3,1M P =-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P ==；③{}{}221,1M y y x P t t x ==-==-；④{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-A ．①B ．②C ．③D ．④8．已知关于x 的不等式12x x a+<+的解集为P ，若1P ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(1,0]-C ．[1,0]-D ．(,1)(0,)-∞-+∞第II 卷（非选择题）二、填空题9．已知集合{}2=40A x x x k -+=中只有一个元素，则实数k 的值为______ ． 10．用列举法表示集合62∣⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭A Z x N x ＝_____11．若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈=________． 12．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *Z ；（2）x |x ＜}，x |x ＞4}； （3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．三、解答题13．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．14．已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 15．已知集合{}2210A x ax x a R =++=∈，，若A 中至多只有一个元素，求a 取值范围. 16．已知集合A 有三个元素：a －3，2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0，1，x . （1）若－3∈A ，求a 的值； （2）若x 2∈B ，求实数x 的值； （3）是否存在实数a ，x ，使A ＝B．参考答案1．C 【详解】解不等式得{}2=20,{|}=1,0,1,2A y y y y Z --≤∈-，故选：C. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的表示，属于基础题. 2．B 【详解】因为﹣1∈{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}，①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去， ∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解； 由①②知：a ＝0． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合元素的特性，属于基础题. 3．A 【详解】223x y +≤ 23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-； 当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个，【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 4．A 【详解】因为x ∈Z ，y ∈Z ，所以有： 当1x =-时，0,1y =±； 当0x =时，0,1y =±；当1x =时，0,1y =±，所以A 中元素的个数为9. 故选：A 【点睛】本题考查了集合元素个数问题，考查了集合的列举法表示，属于基础题. 5．A 【详解】因为集合{}2|40B x x x m =-+=，1B ∈，所以140m -+=， 解得3m =，所以{}{}2|430=13B x x x =-+=，. 故选：A 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【详解】根据定义知12a b ⊕=分两类进行考虑，,a b 一奇一偶，则12ab =，,a b N *∈，所以可能的取值为(1,12),(12,1),(3,4),(4,3), 共4个，,a b 同奇偶，则12a b +=，由,a b N *∈，所以可能的取值为(2,10),(10,2),(1,11),(11,1),3,9（），(9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6),共11个，所以符合要求的共15个，故选B.本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题. 7．C 【详解】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题. 8．C 【解析】 由题意可得：1121a +≥+，或者111a++没有意义， 所以01aa≤+，或1a =- 所以[]a 1,0∈- 故选：C 9．4 【详解】{}2=40A x x x k -+=集合中只有一个元素，∴一元二次方程240x x k -+=有两个相等的根，=1640k ∴∆-=即4k = 故答案为4 【点睛】本题主要考查了集合元素问题，只需按照题意解一元二次方程即可，较为基础 10．{﹣3，﹣6，6，3，2，1} 【详解】 因为x ∈N ，且62∈-Z x ：当x ＝0时，632=--x ； x ＝1时，662=--x ； x ＝3时，662x =-； x ＝4时，632x =-； x ＝5时，622x =-； x ＝8时，612x =-； ∴A ＝{﹣3，﹣6，6，3，2，1}． 故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.11．{}1313? --，，，【详解】∵13a b ==，时，21a b -=-， 15a b ，==时，23a b -=-，23a b ==，时，21a b -=， 25a b ==，时，21a b -=-， 33a b ==，时，23a b -=， 35a b ，==时，21a b -=， ∴{}{}*2,1313? A B a b a A b B =-∈∈=--，，，， 故答案为{}1313? --，，，．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题． 12．∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【详解】（1）*0N ∉Z ；，2，22(23)>，∴>，∴{|<x x ；22(32)4>，即4>，∴{|4}>x x ；，3，(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}．故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，考查了理解辨析能力，属于基础题目. 13．0a = 【详解】 ∵1A ∈，∴若21a +=，则1a =-，此时2331a a ++=，不合题意；若2(1)1a +=，则0a =或2a =-，2a =-时，2331a a ++=，不合题意，0a =时，{2,1,3}A =，满足题意；若2331a a ++=，则1a =-或2a =-，由以上分析均为合题意． 综上0a =． 【点睛】本题考查集合的概念，在求集合的参数值时，需进行检验，主要是检验元素的互异性，如果涉及到集合的运算，还需检验集合运算的结果是否符合题意． 14．(,3]m ∈-∞ 【详解】 由题：B A ⊆当121m m +>-，即2m <时，B =∅，符合题意；当121m m +≤-，即2m ≥时，B ≠∅，B A ⊆，{12215m m +≥--≤，得23m ≤≤； 综上：(,3]m ∈-∞ 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，易错点在于弄错不等关系，结合数轴依次分类讨论既可避免此类问题. 15．1a ≥或0a = 【详解】当0a =时，{}{}212102102A x ax x a R x x ⎧⎫=++=∈=+==-⎨⎬⎩⎭，，符合题意；当0a ≠时，若集合A 中至多只有一个元素，则方程2210ax x ++=无实数根或有两个相等实根，所以440∆=-≤a 即1a ≥； 所以a 取值范围为1a ≥或0a =. 【点睛】本题考查了描述法表示集合的应用，考查了分类讨论思想与转化化归思想，属于基础题. 16．（1）a ＝0或－1；（2）x ＝－1；（3）不存在. 【详解】解：（1）集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，3A -∈，33a ∴-=-或213a -=-，解得0a =或1a =-，当0a =时，{3A =-，1-，1}，成立； 当1a =-时，{4A =-，3-，2}，成立．a ∴的值为0或1-．（2）集合B 中也有三个元素：0，1，x ．2x B ∈， 当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，0x ∴≠，1x ≠-，1x ∴=-．∴实数x 的值为1-．（3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠， 若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠， ∴不存在实数a ，x ，使A B =．【点睛】本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

1.1 集合的概念1．由实数x ，x -，x 所组成的集合，最多含有（ ）A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素答案：A解析：分0x =、0x >、0x <三种情况讨论，即可得答案.详解：x ，x =-， 当0x =时，它们均为0；当0x >时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当0x <时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．故选：A点睛：本题主要考查了集合元素的互异性，涉及根式的化简，属于基础题.2．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若R A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥答案：C解析：由题知|1{R B x x =≤或}4x ≥，在结合集合关系即可得答案.详解：因为{}{},14||A x x a B x x =<=<<，所以|1{R B x x =≤或}4x ≥，因为R A B ⊆，所以1a ≤.故实数a 的取值范围为{}|1a a ≤故选：C3．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：由集合B 的描述知{1,2}a ∈、{1,2}b ∈，可求出x a b =-，即得集合B 的元素个数. 详解：解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3.故选：C.4．若正实数x ，y ，z ，w 构成集合A ，以A 中四个元素为边长的四边形可能是（ ）A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形答案：A解析：根据集合中元素的互异性判断对应四边形的形状.详解：由于集合中的元素具有互异性，所以正实数互不相等.结合平行四边形、菱形、矩形均有相等的边，而梯形的四条边可以不相等，可知以A 中四个元素为边长的四边形可能是梯形，故选A.点睛：本题考查集合中元素的特性：互异性，难度较易.互异性：集合中的任意两个元素不相同.5．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N 为． A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5答案：B 解析：由23,x x *-<∈N ，解得1,2,3,4x =，再根据集合的表示方法，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为23x -<，解得5x <，又由x *∈N ，所以1,2,3,4x =， 所以{}{}23,1,2,3,4x x x *-<∈=N ． 故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确运算与改写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1,2-D ．{}1,2答案：B解析：直接根据交集的定义计算可得；详解：解：∵{}1,0,1,2A =-，{}12B x x =-<<，∴{}0,1A B =，故选：B.7．已知集合{}2|ln 1A x N x =∈<，则A =（ ）A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2答案：D解析：通过解不等式2ln 1x <，可得：1ln 1x -<< ，所以1x e e <<，再结合x ∈N ，即可得解. 详解：由2ln 1x <，可得：1ln 1x -<< ，所以1x e e <<，又因为：x ∈N ，所以{}1,2A =，故选：D点睛：本题考查了求集合元素，考查了对数不等式的计算，需注意描述对象的取值范围，属于基础题.8．下面四个命题正确的个数是（ ）.①集合*N 中最小的数是1；②若*N a -∈，则*N a ∈；③若**N ,N a b ∈∈，则a b +的最小值是2；④296+=x x 的解集是{}3,3.A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C解析：由*N 是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误.详解：*N 是正整数集，最小的正整数是1，故①正确； 当0a <时，*a N -∈，但*a N ∉，故②错误；若*a N ∈，则a 的最小值为1.又*b N ∈，则b 的最小值为1，当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C点睛：本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题.9．集合(){}**,|4,,x y x y x N y N +=∈∈用列举法可表示为（ ）A ．{}1,2,3,4B ．()(){}1,3,2,2C ．()(){}3,1,2,2D ．()()(){}1,3,2,2,3,1答案：D解析：根据集合中的元素的特性，求得x 的范围，取逐次取x 的合适的值，得到对应的y 的值，然后组成对应的有序数对(x,y),由所有的这些有序数对列举写在大括号内，即为集合的列举法表示.详解：由y∈N *,所以y≥1，又 x+y=4,得x≤3,又x∈N *，所以x=1,2,3，对应y 的值依次为3,2,1,有序数对（x,y ）的值分别为(1,3),(2,2),(3,1),题中集合用列举法表示为(1,3),(2,2),(3,1)}，故选：D.点睛：本题考查集合的描述法转化为列举法表示，属基础题.注意题中所给集合的代表元素为（x,y ） ．10．把集合2|450{}x x x --=用列举法表示为（ ）A ．{|1,5}x x x =-=B ．{|15}x x x =-=或C ．2{450}x x --=D ．{-1,5}答案：D解析：先解一元二次方程2450x x --=的根，然后直接利用列举法表示集合.详解：解方程2450x x --=得1x =-或5x =，因此集合2|450{}x x x --=用列举法表示为{1,5}-. 故选：D.点睛：本题考查了一元二次方程的求解和集合列举法的应用，属于基础题.11．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-=B ．{(-1,3)}C ．{3,-1}D ．{-1,3}答案：B 解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解.详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}，故选：B.12．下列说法正确的是A NB ．1N -∈C ．12N ∈D ．9N ∈答案：D解析：由题意，AB 中，10-<，C 中，12不是自然数，可判定A 、B 、C 都不正确，即可得到答案.详解：由题意，对于AN 不正确；对于B 中，10-<，所以1N -∈不正确；对于C 中，12不是自然数，所以12N ∈不正确； 故选D.点睛：本题主要考查了常见数集的表示问题，以及元素与集合的关系，其中解答中熟记常见数集的表示形式，以及元素与集合的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13．关于集合下列正确的是A ．0N ∉B ．R ∅∈C ．*0N ∉D ．12Z ∈答案：C详解：0∉N 错误，R ∅∈错误，0∉N *正确，12∈Z 错误，故选C.14．以下五个关系：{}{},,a b b a ⊆，{}0∅∈，0∈∅，{}{}0∅⊆，{}0∅，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：∅是集合，0是元素，注意集合与集合、元素的关系表示符号.详解： {}{},,a b b a 、是相等的集合，具有子集关系，故正确；∅与{}0是集合与集合的关系，不能使用∈符号，故错误；0与∅是元素与集合的关系，但是∅中不包含元素0，故错误；{}∅表示集合中包含的元素也是集合，且是∅，而{}0表示集合中包含的是元素是数字0，两者之间没有关系，故错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故正确.正确的有2个.故选B.点睛：本题考查元素与集合、集合与集合的关系判断，难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.15．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200答案：D详解： 当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．考点：推理与证明．16．已知集合且，则实数的值为 A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可答案：A详解：试题分析：由题意可知2m =或2322m m -+=，集合集合元素的互异性可知3m =考点：元素集合的关系17．设，，则的元素个数是 A ．5B ．4C ．3D ．无数个 答案：C详解： 试题分析：依题意有，代入得到，故有个元素. 考点：绝对值不等式，元素与集合的关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.18．下列所给对象能构成集合的是（ ）A ．2020年全国I 卷数学试题的所有难题B ．比较接近2的全体正数C ．未来世界的高科技产品D ．所有整数答案：D解析：选项,,A B C 的对象都具有不确定性，选项D 的对象具有确定性，即可判断得解. 详解：选项,,A B C 的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项D 的对象具有确定性，能构成集合.故选：D点睛：本题主要考查集合元素的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.19．已知集合{}1,2,3,,4A a A =∈，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：由元素与集合的关系即可求解.详解：{}A a A=∈,1,2,3,,4a∴=4故选：D20．下列关系中，正确的有（）Q① 1A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：根据元素与集合之间的关系判断可得答案.详解：1|－3|＝3是非负整数，|. 2因此，①②③正确，④错误.故选：C.点睛：本题考查了元素与集合之间的关系，考查了几个特殊的数集，属于基础题.。

1.1 集合的概念1．已知{|450}A x x =->，则有（ ）A ．3A ∈B ．1A ∈C ．0A ∈D ．1A -∉答案：C解析：首先求出集合A ，再根据元素与集合的关系得出结论；详解：解：{|450}A x x =->4|5A x x ⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭ 0A ∴∈，1A -∈，1A ∉，3A ∉故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.2．已知集合A=(x ，y)|x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4答案：A解析：根据x ，y 满足的关系式求得x ，y 的可能值，从而求得集合元素个数.详解：由x 2+y 2≤3知，33,33x y -. 又x∈Z，y∈Z，所以x∈-1，0，1}，y∈-1，0，1}，易知，x 与y 的任意组合均满足条件，所以A 中元素的个数为339⨯=，故选：A.3．方程23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是． A ．{}5,1B ．{}1,5C ．(){}5,1D ．(){}1,5答案：C 解析：解方程组求得,x y ，利用点集表示出解集.详解：由23211x y x y -=⎧⎨+=⎩得：51x y =⎧⎨=⎩ ∴解集为：(){}5,1 本题正确选项：C点睛：本题考查利用集合表示方程组的解集，属于基础题.4．设集合{}3M x x ≥＝，m =A ．{}m M ∈B ．{}{}m M ⊆C ．{}m M ∈D ．m M ∈答案：D解析：m =, {}3M x x ≥＝是集合,且m ={}3M x x ≥＝,故应该用元素与集合之间的关系.详解：3成立所以m ={}3M x x ≥＝ ,所以m M ∈故选D.点睛：本题主要考查元素与集合的关系.5．设{4,5,6}A =，{1,2,3}B =，则集合{|,,}C x x m n m A n B ==-∈∈中的所有元素之和为（ ）A ．15B ．14C ．27D ．14-答案：A解析：由C ＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，先求出C ，然后再求集合C 中的所有元素之和．详解：∵C＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，∴C＝1，2，3，4，5}，∴集合 C 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．6．下列各组对象可构成一个集合的是（ ）A ．与0非常接近的数B ．我校爱跑步且身材好的女生C ．我国的山川名流D ．到定直线距离等于定长的所有点的集合答案：D解析：根据集合元素的确定性逐一判断即可.详解：根据集合元素的确定性，ABC 均不符合，只有D 符合，故选：D.点睛：本题考查集合元素的确定性，是基础题.7．下列各组中的两个集合表示同一个集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.1415926}N =B ．{0,1}M =，{(0,1)}N =C ．2{|1}M x x =∈=R ，{0,1}N =D ．*{|11}M x x =∈-<≤N ，{1}N =答案：D解析：判断两个集合为同一集合即判断集合中的元素是否一致,由此依次判断选项即可 详解：A 选项,集合M 中元素为无理数,集合N 中元素为有理数,故M 与N 不是同一个集合；B 选项,集合M 中元素为实数,集合N 中元素为有序数对,故M 与N 不是同一个集合；C 选项,集合M 中元素为1-,1,集合N 中元素为0,1,故M 与N 不是同一个集合；D 选项,集合M 中的元素为1,故M 与N 是同一个集合故选：D点睛：本题考查同一集合问题,考查描述法、列举法表示集合,属于基础题8．已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）A ．[]1,1-B ．[1,)(,1]+∞-∞-C ．[]{}1,10-D ．{}[)1,,10(]+∞-∞-答案：D解析：将问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，对a 分0a =和0a ≠两种情况讨论，即可求解．详解：解：由题意，原问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，当0a =时，方程为20x -=，解得0x =，此时方程只有一个实数根，符合题意；当0a ≠时，方程220ax x a -+=为一元二次方程，所以2440a ∆=-≤，解得1a ≤-或1a ≥．综上，实数a 的取值范围为{}(][,11),0-∞-+∞．故选：D ．9．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{}{}2560,3|2,M x x x N =-+==B ．{}(){}1,2,1,2M N ==C ．{|{|M x y N y y ==D ．(){}(){}2,3,3,2M N ==答案：A解析：由A 选项：.由{}2{|560}3,2M x x x =-+==；B 选项：N 为点集，M 为数集；C 选项：{}{}|,10|M x x N y y =≥=≥；D 选项：集合,M N 中的元素是不同的点，可得选项.详解：A 选项：.由{}2{|560}3,2M x x x =-+==，M N ∴=；B 选项：N 为点集，M 为数集，集合中元素不同，M N ∴≠；C 选项：{}{}|,10|M x x N y y =≥=≥，M N ∴≠；D 选项：集合,M N 中的元素是不同的点，M N . 故选：A.点睛：本题考查判断集合是否是同一集合，明确集合中的元素是解决问题的关键，属于基础题.10．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ）A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈答案：B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论．详解：集合{}|330A x N x =∈->＝ x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A，故选：B ．点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．11．已知{}2320A x x x =-+=，{}1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 取值的集合为（ ）A ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．10,2,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．12,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：A解析：先化简集合A ，根据集合的包含关系，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别求解，即可得出结果.详解： 因为{}()(){}{}23201201,2A x x x x x x =-+==--==，又{}1B x ax ==，当B =∅时，方程1ax =无解，则0a =，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，0a ≠，此时{}11B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，为使B A ⊆，只需11a =或12a =， 解得1a =或12a =，综上，实数a 取值的集合为10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A.12．已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C解析：先求出集合A=-2，-1，0，1，2}，B=x|x ＜2，且x≠0}，从而C U B=x|x≥2或x=0}，由此能求出图中阴影部分表示的集合A∩（C U B ）．详解：图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．点睛：在解题时，需要清楚元素与集合的关系以及集合间的关系，能使用Venn 图表达集合的关系及运算．13．若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x －y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B ＝－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x∈A，y∈A，则x ＋y∈A．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 解析：逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案. 详解：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B ，这与－2∈B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x －y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x ＋y∈A.点睛：本题以新定义的形式考查了元素与集合关系的判断，同时考查了运算求解的能力.14．一次函数y x 2=+ 和y 2x 8=-+的交点组成的集合是A ．{}24，B ．{}x 2,y 4==C ．()2,4D ．(){},|2y 4x y x ==且答案：D解析：先联立方程组成方程组，求得方程组的解，从而可得交点坐标，进而用集合表示即可．详解：由题意，联立方程组可得228y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得4y =， 2x = ∴一次函数2y x =+与28y x =-+的图象的交点为()2,4∴组成的集合是(){},|2y 4x y x ==且故选D ．点睛：本题以函数图象交点为载体，考查集合概念的理解15．用列举法表示集合2{(,)|}y x x y y x ⎧=⎨=-⎩，正确的是 A ．(1,1)-，(0,0)B ．{(1,1),(0,0)}-C ．{10,1}x y =-=或或0D ．{1,0,1}-答案：B 解析：解方程组解得x ，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案．详解：解方程组2y x y x ⎧=⎨=-⎩，可得11x y =-⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩ 故答案为()(){}1,1,0,0-故选B点睛：本题主要考查了集合的方法，属于基础题，注意点集的表示方法．16．若1∈x，x 2}，则x=（ ）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-答案：B解析：根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果详解：根据题意，若1∈x，x 2}，则必有x=1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x 2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B ．点睛：本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.17．下列说法中正确的是（ ）A ．班上爱好足球的同学，可以组成集合B ．方程x （x ﹣2）2＝0的解集是2，0，2}C ．集合1，2，3，4}是有限集D ．集合x|x 2+5x+6＝0}与集合x 2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合答案：C解析：根据构成集合中对象的确定性判断A ，由集合中元素的互异性判断B ，根据集合有限集的定义判断C ，分析集合中元素判断D.详解：班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A 不正确；方程x （x ﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B 不正确；集合1，2，3，4}中有4个元素，所以集合1，2，3，4}是有限集，选项C 正确；集合x 2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D 不正确．故选：C ．18．设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案. 详解：根据“好元素”定义，可知由S 中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数，所以不含“好元素”的集合共有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，共6个. 故选：C .19．设集合A=1,0,1,2 ，{}|,2B x x A x A =∈-∈ 则B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16答案：C解析：逐一判断集合A 中的元素是否在集合B 中来确定集合B ，再写出集合B 的所有子集，即得结果.详解：依题意，1x A =-∈时，23x A -=∉，故1B -∉；0x A =∈时，22x A -=∈，故0B ∈； 1x A =∈时，21x A -=∈，故1B ∈；2x A =∈时，20x A -=∈，故2B ∈；故{}0,1,2B =，有3个元素，其子集为：{}{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2∅，共8个. 故选：C.20．i 是虚数单位，若集合S ={}1,0,1-，则（ ）A ．10i S ∈B ．13i S ∈C ．15i S ∈D ．2i∈3答案：A解析：利用虚数单位的性质化简选项中的复数,判断是否属于集合S即可. 详解：根据虚数单位的运算规律可知，10=-1i S∈，13i i S=∉，153i=i=-i S∉，那么22ii=-S∉，故选A.点睛：本题主要是考查了元素与集合关系，以及虚数单位性质的运用，属于基础题.。

1.1 集合的概念一、单选题1．集合{}1,2的子集的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知集合A=1,2,3,4}，B=2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，1B y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，()1,C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，下列结论正确的是（ ） A ．A B =B ．AC =C ．B C =D ．A B C ==4．设集合{123}n S n =，，，，，n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量是奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，若3n =，则n S 的所有偶子集的容量之和为 A ．6B ．8C ．12D ．165．下列说法中正确的是( ) A ．联合国所有常任理事国组成一个集合 B ．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C ．1，2，3}与2，1，3}是不同的集合D ．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 6．集合中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．127．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 的值为（ ） A ．1-或32-B ．1-C ．32-D ．18．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U A （ ） A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-9．已知集合{}3,1M m =+，4M ∈,则实数m 值为 A ．4B ．3C ．2D ．110．已知集合(){}10A x x x =-=，那么下列结论正确的是（ ） A ．0A ∈ B ．1A ∉ C ．1A -∈ D ．0A ∉二、填空题1．集合{}22,,1A a a =+，且1A ∈，则实数a 的值为__________.2．已知{}210,,x x ∈，则x =__________3．已知集合{}220A x R ax x =∈++=，若A 为单元素集合，则a =__________. 4．用列举法表示集合{}4,,x x y x N y N *+=∈∈=______5．已知集合2{|}A x x px q x =++=，2{|(1)(1)1}B x x p x q x =-+-+=+，当{2}A =时，则集合B =________．三、解答题1．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.2．用适当的方法表示下列集合：（1）所有能被3整除的整数；（2）图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合； （3）满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B.3．已知集合{}2|340A x R ax x =∈--=，①若A 是空集，求a 的范围； ②若A 中只有一个元素，求a 的值；4．已知集合{}22,A y y x x x ==-∈R ，{}226,B y y x x x ==-++∈R ．（1）求A B ；（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A B ．（3）若集合A 变为{}22,A x y x x x ==-∈R ，其他条件不变，求A B ；（4）若集合A ，B 分别变为(){}2,2,A x y y x x x ==-∈R ，(){}2,26,B x y y x x x ==-++∈R ，求A B ．5．已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．参考答案一、单选题 1．C解析：直接列出即可. 详解：解：集合{}1,2的子集为：∅，{}1，{}2，{}1,2共4个. 故选：C. 2．B 详解：由题意可得{}2,4A B =，故A B 中元素的个数为2，所以选B. 【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．3．A解析：根据函数1y x =定义域和值域求出集合A 与B ，由A 、B 都是数集，C 是点集可得出A 、B 、C 的关系.详解：函数1y x =的定义域为{}10A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬⎩⎭，值域为{}10B y y y y x ⎧⎫===≠⎨⎬⎩⎭，由于集合A 、B 都是数集，C 是点集，因此，A B =，故选A. 点睛：本题考查集合相等，解题时要从集合相等的定义除法来理解，但要注意集合元素的类型要一致，考查计算能力，属于基础题. 4．D由题意可知：当3n =时，集合{}1,2,3n S =∴n S 所有的偶子集为：∅，{}2，{}1,2，{}2,3，{}1,2,3∴当3n =时，集合n S 所有的偶子集的容量之和为0226616 故选D点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．5．A 详解：年龄较小不确定,所以B 错; 1，2，3}与2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.6．B 详解：共6 个．故选B7．C解析：根据3A -∈，分别考虑223,253a a a -=-+=-，注意借助集合元素的互异性进行分析. 详解：当23a -=-时，1a =-，此时{}3,3,12A =--，不满足集合中元素的互异性，当2253a a +=-时，32a =-或1-（舍），此时7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件，综上可知：a 的值为32-. 故选：C. 点睛：本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 8．B解析：先求出集合A ，根据补集运算，即可求出U A . 详解：由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- .点睛：本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 9．B 详解：因为集合{}3,1M m =+，4M ∈，故必有m+1=4,m=3,选B10．A解析：求解A 中的方程，得到集合A=0,1}，进而作出判定. 详解：(){}{}100,1x x x -==，,1A A ∈∈∴0，故选A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，是容易题.二、填空题 1．0解析：根据元素与集合的关系，分类求解，并用集合元素的互异性进行检验即可. 详解：因为1A ∈，所以有1a =或211a +=.当1a =时，有212a +=，不符合集合元素的互异性，故舍去；当211a +=时，解得0a =，此时集合{}2,0,1A =，符合集合元素的互异性. 故答案为：0 点睛：本题考查了根据元素与集合的关系求参数问题，考查了集合元素的互异性，属于基础题. 2．1-解析：对集合中的元素分类讨论，根据集合中元素的互异性可得结果. 详解：当1x =时，21x =，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 当21x =时，1x =（舍）或1x =-（符合）. 故答案为：1-本题考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 3．0或18解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，根据方程220ax x ++=只有一根可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 详解：当0a =时，{}{}{}220202A x R ax x x x =∈++==+==-，合乎题意；当0a ≠时，要使A 为单元素集合，只需180a ∆=-=，解得18a =. 综上所述：0a =或18. 故答案为：0或18.4．{}0,1,2,3解析：直接利用集合的列举法写出结果即可． 详解：集合{|4,,}{0,1,2,3}x x y x N y N *+=∈∈=． 故答案为：{}0,1,2,3． 点睛：本题考查集合的表示方法，列举法，考查计算能力．5．{3-+解析：先由2x =是方程2x px q x ++=的解可得34p q =-⎧⎨=⎩,故2{|(1)3(1)41}B x x x x =---+=+,从而解方程即可 详解：解:当{2}A =时,方程2x px q x ++=有两个相等的实根,为2，所以2422(1)40p q p q ++=⎧⎨∆=--=⎩,解得34p q =-⎧⎨=⎩ 所以2{|(1)3(1)41}B x x x x =---+=+由2(1)3(1)41x x x ---+=+,即2670x x -+=,得3x =所以{3B =-+故答案为{3-+ 点睛：本题考查列举法表示集合,考查解方程,考查运算能力三、解答题 1．答案见解析.解析：由于（1）（3）表示的集合都是无限集，所以利用描述法表示，（2）表示的是有限的5个元素，所以利用列举法表示 详解：解：（1）{(,)|0,0}x y x y <<，它是无限集； （2）{}2,0,2,4,6,8-，共有6个元素，是有限集； （3）{|107,}x x k k Z =+∈，它是无限集. 点睛：此题考查了集合的表示方法，属于基础题.2．（1）{|3,}x x n n =∈Z .（2）1(,)|12,1,02x y x y xy -≤≤-⎧⎫⎨≤≤⎩≥⎬⎭.（3）{|||,}B x x x x ==∈Z .解析：由题意并利用集合表示方法中的描述法来一一表示三个集合. 详解：(1)由题意所有能被3整除的整数为：3,x n n =∈Z ，所以集合表示为{|3,}x x n n =∈Z ； (2)由图象可知，对于第一象限的阴影部分可得：02,01x y <≤<≤，则对应的点(含边界)为(){},|02,01x y x y ≤≤≤≤；对于第三象限的阴影部分可得：110,02x y -≤<-≤<，则对应的点(含边界)为()1,|10,02x y x y ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以综上可得，满足图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为：()1,|12,1,02x y x y xy ⎧⎫-≤≤-≤≤≥⎨⎬⎩⎭.(3)由集合描述法可将满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B 表示为{|||,}B x x x x ==∈Z .点睛：本题考查了集合表示方法的正确应用，理解集合元素的意义是解题的关键，属于基础题.3．①9,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；②0或916- 解析：①当0a =时，可知集合43A，不合题意；当0a ≠时，一元二次方程无实根，则∆<0，从而解得所求范围；②当0a =时，可知集合43A，符合题意；当0a ≠时，一元二次方程有两个相等实根，则0∆=，解得a 的另一个取值.详解：①当0a =时，234340ax x x --=--=，解得：43x =- 43A ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭，不合题意 当0a ≠时，若A 为空集，则2340ax x 无实根 9160a ∴∆=+<，解得：916a 综上所述：a 的取值范围为：9,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭②由①知，当0a =时，43A，满足题意 当0a ≠时，2340ax x 有两个相等实根 9160a ∴∆=+=，解得：916a 综上所述：a 的值为0或916- 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求解参数值的问题；易错点是忽略对于二次项系数是否为零的讨论，造成丢根的情况出现.4．（1）{}17A B y y ⋂=-≤≤（2）{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-（3）{}7A B y y ⋂=≤（4）()(){}3,3,1,3A B =-解析：（1）将二次函数配方，得到其二次函数的值域，从而求得A B ；（2）由于集合A ，B 中的元素都为整数，所以题意就是求（1）中所得的A B 中的整数元素，可得解；（3）集合A 表示的是二次函数22,y x x x =-∈R 的定义域，所以得A =R ，再求A B ； （4）集合A 、B 表示的是二次函数图象上的点，求A B 实际上是求这两个二次函数的交点，联立其方程可得解. 详解：（1）∵()222111y x x x =-=--≥-，()2226177y x x x =-++=--+≤， ∴{}1A y y =≥-，{}7B y y =≤，∴{}17A B y y ⋂=-≤≤． （2）由已知，得{}1A y y =∈≥-Z ，{}7B y y =∈≤Z ， 所以{}17A B y y ⋂=∈-≤≤Z ∴{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-．（3）由已知，得A =R ，{}7B y y =≤，∴{}7A B y y ⋂=≤．（4）由22226y x x y x x ⎧=-⎨=-++⎩，得2230x x --=，解得3x =或1x =-．∴33x y =⎧⎨=⎩，或13x y =-⎧⎨=⎩， ∴()(){}3,3,1,3A B =-． 故得解. 点睛：本题考查集合的交集运算，求解的关键是理解集合中的元素具体含义，特别是分清集合表示的是点集还是数集，属于基础题.5．{}2或φ解析：,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆，可得集合A ． 详解：{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．。

1.1 集合的概念1．已知集合{},A xx a π==∣a 与集合A 的关系是（ ）. A ．a A ∈B ．a A ∉C ．a A =D ．{}a A ∈答案：B解析：比较a =π的大小关系，得到答案. 详解：1.732≈ 3.146≈π，∴a A ∉. 故选：B.点睛：本题考查了元素与集合的关系，属于基础题.2．设P 是一数集，且至少含有两个数，若对任意,a b P ∈，都有a b +、-a b 、ab 、a P b ∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，数集{,}F a a b Q =+∈也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）A ．①②④B ．②③④C ．③④D ．②④ 答案：C解析：根据题中定义，结合特殊值法逐一判断即可.详解：①例如a=1，b=2，除法为12Z ∉不满足条件，故①不正确；②若MM ，则集合M 就不是数域，②不正确；③因为数域中的元素可以任意取两个，进行连续的四则运算，可产生无数个元素，所以数域必为无限集，③正确；④因为任意两个数，即可产生一个数域，故数域有无穷多个，④正确；故选择：C ．3．已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．∅B ．31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．{}-1D ．32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：D解析：分23a -=-，2253a a +=-讨论，求出a ，再带入集合{}22,25,12A a a a =-+看是否满足互异性即可.详解：解：3A -∈，当23a -=-，即1a =-时，{}3,3,12A =--，集合中有相同元素，舍去；当2253a a +=-，即1a =-（舍）或32a =-时，7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，符合， 故由a 的值构成的集合是32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：D点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.4．已知集合A ＝a ，|a|，a －2}，若2∈A，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．4D ．2或4答案：A解析：根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.详解：依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠； 若2=a ，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而4a=，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠. 综上所述，a 的值为2-.故选：A点睛：本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.5．下列说法不正确的是（ ）A ．*0∈NB ．0∈NC ．0.1∉ZD ．2∈Q答案：A解析：根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项.详解：*N 为正整数集，则*0∉N ，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确；Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确；故选：A点睛：本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题.6．下列各组对象能构成集合的是（ ）A ．新冠肺炎死亡率低的国家B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．x 的近似值答案：C解析：根据集合的定义判断即可.详解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合，而选项A 、B 、D 都没有明确的判定标准判定某个个体是否在全体中.故选：C.点睛：本题考查集合的概念及判断，属于简单题.7．已知集合2{|680,}M x ax x a =-+=∈R ，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．98C ．0或98D ．98-答案：C解析：当0a =时,方程只有一个实数根；当0a ≠时,0∆=,求解即可详解：当0a =时,方程268680ax x x -+=-+=只有一个实数根,满足题意；当0a ≠时,由题意得()22(6)320648a a -∆=--⋅==-,解98a = 故选：C点睛：本题考查由元素的个数求参数,考查分类讨论思想8．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<答案：D解析：由题意结合交集的定义可得结果.详解：由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.9．设集合{}{},,1,2,4a b ab =，则a b +=（ ）A ．2B ． 3C ．5D ．6答案：C解析：根据集合的互异性，进行分类讨论，然后求解即可详解：①当1a =时, {}{}1,,1,2,4b b =,则24b b =⎧⎪⎨=⎪⎩或42b b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 当24b b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当42b b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，解得4b = ②当1b =时，{,1,}{1,2,4}a a =，则24a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或42a a =⎧⎪⎨=⎪⎩. 当24a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当42a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，解得4a = ③当1ab =，即1ab =时，显然0a ≠，则1b a =，此时1,,1{1,2,4}a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当214a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当412a a=⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解. 综上所述，1a =，4b =或4a =，1b =，故5a b +=故选：C点睛：本题考查集合的互异性，考查学生的分类思想，属于基础题10．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则属于N ；（3）若则的最小值为2；（4）的解可表示为； 其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：A详解： （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -∉，但0.5N ∉，（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性11．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：B 解析：本题可根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭得出201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，然后通过计算以及元素的互异性得出a 、b 的值，即可得出结果.详解： 因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.点睛：易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.12．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ）A ．1A ∈B ．2A ∉C ．3A ∈D ．4A ∉答案：D解析：根据元素与集合的关系可得答案.详解： 因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉故选：D点睛：本题考查的是元素与集合的关系，较简单.13．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U A （ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-答案：B解析：先求出集合A ，根据补集运算，即可求出U A .详解：由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- .故选：B.点睛：本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.14．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{}0,1,2A答案：B解析：根据元素和集合间，以及集合与集合间的关系即可判断.详解：集合{0,1,2}A =，0A ∴∈，故A 错误，B 正确；又{1}A ⊆，∴C 错误；而{}0,1,2A =，D ∴错误.故选：B .点睛：本题主要考查的是元素和集合间，集合和集合间的关系，考查的是学生的理解能力，和解决问题的能力，是基础题.15．已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12答案：C解析：根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 详解：因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个，所以集合C 中的元素个数为11.故选C点睛：本题主要考查集合中元素的个数，由列举法列举出所有元素即可，属于基础题型.16．下列集合符号运用不正确的是( )A ．2Z ∈B ．}{}{1,2,31,2⊆C ．{}12⋂∅=∅，D ．N R R ⋃=答案：B解析：根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.详解：对于A,由2Z ∈,故A 正确;对于B,因为}{}{1,21,2,3⊆,故B 错误;对于C,因为{}12⋂∅=∅，,故C 正确; 对于D,因为N R R ⋃=,故D 正确.故选:B.点睛：解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.17．集合{|,M m m N =∈且8}m N -∈，则m 的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9答案：D解析：根据条件m N ∈，且8m N -∈，确定集合的元素m ．详解：m 是自然数，8m -也是自然数，故m 可以是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8，N 代表的是自然数集．{}0,1,2,3N =，集合中有0．故选：D ．点睛：本题主要考查集合元素的确定，是基础题．18．用列举法表示集合{}|5x N x ∈<正确的是A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,5答案：C解析：根据列举法的定义，即可选出答案．详解： {}|5x N x ∈<表示小于5的自然数构成的集合，则为{}0,1,2,3,4故选C点睛：本题考查集合的列举法，属于基础题．19．下列叙述正确的是（ ）．A ．方程2210x x -+=的根构成的集合为{}1,1-B ．{}22401030x x R x x R x ⎧⎫+>⎧∈+==∈⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭C ．集合(){,5M x y x y =+=且}20x y -=表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是不同的集合答案：B解析：解出2210x x -+=、520x y x y +=⎧⎨-=⎩可判断AC 的正误，由集合的无序性可得D 的正误，{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，可得B 的正误. 详解：方程2210x x -+=的根为1x =，故A 错误；{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，故B 正确； 由520x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得53103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 错误； 集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是相同的集合，故D 错误故选：B20．方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（ ）A ．x ＝2，y ＝1}B ．21x y ⎧⎫=⎧⎨⎨⎬=⎩⎩⎭C ．2，1}D ．（2，1）}答案：D 解析：利用“消元法”即可得出．详解：31x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②可得：2x ＝4，解得x ＝2，把x ＝2代入①可得2+y ＝3，解得y ＝1．∴方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（2，1）}， 故选D ．点睛：本题考查了方程组的解法、“消元法”，考查了计算能力，属于基础题．。

专题1.1 集合的含义姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|组成的集合B ．P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形3．由实数－a ，a ，|a |，2a 所组成的集合最多含有的元素个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是( ) A ．(－5，4)B ．(5，－4)C ．{(－5，4)}D ．{(5，－4)}5.集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B6．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算“※”：当m ，n 都为偶数或奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为偶数，另一个为奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )A ．18B ．17C ．16D ．157．(多选)下列说法正确的是( )A ．N *中最小的数是1B ．若－a ∉N *，则a ∈N *C ．若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2D ．x 2＋4＝4x 的实数解组成的集合中含有2个元素 8．(多选)已知x ，y ，z 为非零实数，代数式xyz xyz z z y y x x +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∈MD ．4∈M二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．10．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，1，2}，Q ＝{1，2，3}，则P *Q 中元素的个数是________．11．集合A 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝－x 2＋1.若t ∈A ，则t 的值为________．12．(一题两空)已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A 有且只有2个元素，则集合A 的个数是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则a11∈A (a ≠1)．求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．14．集合A 中共有3个元素－4，2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5，1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．15.已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值；(2)若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．16．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }．(1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论．、。