湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年度上学期九年级入学考试数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市湖南广益实验中学数学九上开学经典试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE ＝2，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则平行四边形的周长为（）A ．14B ．24C ．20D ．282、（4分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A ．12m B ．13m C ．16m D ．17m 3、（4分）下列对一次函数y=﹣2x+1的描述错误的是（）A ．y 随x 的增大而减小B ．图象经过第二、三、四象限C ．图象与直线y=2x 相交D ．图象可由直线y=﹣2x 向上平移1个单位得到4、（4分）下列图象中，表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB BF =．添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDF ∠=∠6、（4分）如果a b <，那么下列各式一定不成立．．．的是（）A ．22a b -<-B ．34a b b +<C ．1212a b -<-D ．(0)ac bc c <>7、（4分）在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＝1D ．a ≤18、（4分）数据2，3，5，5，4的众数是（）.A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）因式分解：32-=m n m ____________．10、（4分）若平行四边形中相邻两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是__________度．11、（4分）在平行四边形ABCD 中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____．12、（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt △ABC 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为_____．13、（4分）计算：（﹣4ab 2）2÷（2a 2b ）0＝_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，直线l 1交x 轴于A （3，0），交y 轴于B （0，﹣2）（1）求直线l 1的表达式；（2）将l 1向上平移到C （0，3），得到直线l 2，写出l 2的表达式；（3）过点A 作直线l 3⊥x 轴，交l 2于点D ，求四边形ABCD 的面积．15、（8分）如图，AD 是△ABC 边BC 上的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点E ，F 是BE 的中点，连结CE ．求证：四边形ADCE 是平行四边形．16、（8分）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BD 与CE 相交于点O ，连接线段AO ，AO 恰好平分BAC ∠．求证：OB OC =．17、（10分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图2，求证：BE ⊥DQ ；②若△BCP 是等边三角形，请画出图形，判断△DEP 的形状，并说明理由．18、（10分）如图，已知点A 在反比例函数9y x =（x ＞0）的图像上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足是C ，AC=OC ．一次函数y=kx+b 的图像经过点A ，与y 轴的正半轴交于点B ．（1）求点A 的坐标；（2）若四边形ABOC 的面积是152，求一次函数y=kx+b 的表达式．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如果一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是4，则另一组数据x 1+3，x 2+3，…，x n +3的方差是_____．20、（4分）已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为4cm ，则其面积为_______cm 1．21、（4分）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线'D 处．若3AB =，4=AD ，则ED 的长为_____．22、（4分）若解分式方程144x m x m -=++产生增根，则m ＝_____．23、（4分）若关于13311ax x x x x -+=--的分式方程有增根，则a =_____；二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB CE =，//AB ED ，//AC FD ，AD 交BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分，25、（10分）如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．(1)通过计算说明边长分别为2，3ABC ∆是否为直角三角形；(2)请在所给的网格中画出格点ABC ∆．26、（12分）如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，CE 与DF 交于点P ，连接EF ，BP ．(1)求证：四边形CDEF 是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，求BP 的值．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝8，AB＝CD，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵AD＝8，BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，∴CD＝AB＝6，∴▱ABCD的周长＝6+6+8+8＝1．故选D．本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．2、D【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．3、B【解析】分析：根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．详解：在y=﹣2x+1中，∵k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小；∵b=1＞0，∴函数与y轴相交于正半轴，∴可知函数过第一、二、四象限；∵k=﹣2≠2，∴图象与直线y=2x相交，直线y=﹣2x向上平移1个单位，得到函数解析式为y=﹣2x+1．故选B．点睛：本题考查了一次函数的性质，知道系数和图形的关系式解题的关键．4、C【解析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，所以A.B.D错误．故选C．本题考查了函数的概念，牢牢掌握函数的概念是解答本题的关键．5、D【解析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．【详解】添加A 、AD BC =，无法得到AD ∥BC 或CD=BA ，故错误；添加B 、CD BF =，无法得到CD ∥BA 或AD BC =，故错误；添加C 、A C ∠=∠，无法得到ABC CDA ∠=∠，故错误；添加D 、F CDF ∠=∠∵F CDF ∠=∠，CED BEF ∠=∠，EC BE =，∴CDE BFE ∆∆≌，CD AF P ，∴CD BF =，∵BF AB =，∴CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选D ．本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6、C 【解析】根据不等式的性质，可得答案.【详解】A 、两边都减2，不等号的方向不变，正确，不符合选项；B 、因为a b <，所以34a b b +<，正确，不符合选项；C 、因为a b <，所以1212a b ->-，错误，符合选项；D 、因为a b <，所以ac bc <（0c >），正确，不符合选项.故选：C .本题考查了不等式的性质的应用，不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变.7、B【解析】根据二次根式有意义的条件可得a ﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a ﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B ．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．8、D 【解析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故选：D ．本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、()()m m n m n +-【解析】先提公因式m ，再利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：3222()()()m n m m m n m m n m n -=-=+-，故答案为：()()m m n m n +-．本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式．10、45【解析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C=3∠B，得出∠B+3∠B=180°，得出∠B=45°即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∵∠B：∠C=1：3，∴∠C=3∠B，∴∠B+4∠B=180°，解得：∠B=45°，故答案为：45°．本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11、120【解析】根据平行四边形的性质可得到答案.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，又∠A－∠B＝60°，故可知∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故答案为120°.本题主要考查了平行四边形的基本性质，解本题的要点在于熟记平行四边形的对角相等.12、60 17【解析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【详解】∵四边形CDEF是正方形，AC=5，BC=12，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=5-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DE AD BC AC=，∴5 125x x-=，解得：x=60 17，故答案为60 17．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．13、16a2b1【解析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：（-1ab2）2÷（2a2b）0=16a2b1÷1=16a2b1，故答案为：16a2b1．本题主要考查了整式的乘除运算和零指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）直线l1的表达式为：y＝23x﹣2；（2）直线l2的表达式为：y＝23x+3；（3）四边形ABCD的面积＝1．【解析】（1）利用待定系数法求直线l1的表达式（2）根据一次函数沿着y轴向上平移的规律求解（3）根据题意可知四边形为平行四边形，又各点的坐标，可直接求解【详解】（1）设直线l1的表达式为：y＝kx+b，由题意可得：032k bb=+⎧⎨-=⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线l1的表达式为：y＝23x﹣2；（2）将l1向上平移到C（0，3）可知，向上平移了5个单位长度，由几何变换可得：直线l2的表达式为：y＝23x﹣2+5=23x+3；（3）根据题意可知AB∥CD,CB∥DA,可得四边形ABCD为平行四边形∵已知B（0，﹣2）C（0，3）A（3，0）∴BC ＝5，OA ＝3，∴四边形ABCD 的面积＝5×3＝1．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图形与几何变换，平行四边形的面积，解题关键在于利用待定系数法求出k,b 的值15、证明见解析．【解析】根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AD 是△ABC 边BC 上的中线，F 是BE 的中点，∴BF=EF ，BD=CD ，∴DF ∥CE ，∴AD ∥CE ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．16、见解析.【解析】由角平分线的性质得出OE=OD ，证得△BOE ≌△COD ，即可得出结论．【详解】∵BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AO 恰好平分BAC ∠∴OE OD =，90BEO CDO ∠=∠=︒∵BOE COD∠=∠∴BOE COD≌∴OB OC=本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质、证明三角形全等是解题的关键．17、（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②作图见解析；△DEP 为等腰直角三角形，理由见解析．【解析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ ，得到△BCP ≌△DCQ ；（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP 的形状．【详解】（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，∴∠BCP=∠DCQ ，在△BCP 和△DCQ 中，BC CD BCP DCQ PC QC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△BCP ≌△DCQ ；（2）①如图b ，∵△BCP ≌△DCQ ，∴∠CBF=∠EDF ，又∠BFC=∠DFE ，∴∠DEF=∠BCF=90°，∴BE ⊥DQ ；②画图如下，∵△BCP 为等边三角形，∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD ，∴∠CPD=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，∴△DEP 为等腰直角三角形．本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．18、（1）()3,3；（2）y=13x +2【解析】（1）由AC=OC ，设A （m,m ）代入反比例函数得m 2=9，求出A 点坐标；（2）利用四边形ABOC 的面积求出B 点坐标，再用待定系数法确定函数关系式即可求出AB 的解析式.【详解】（1）∵AC=OC ∴可设A （m,m ）∵点A （m,m ）在y=9x 的图像上∴m 2=9∴m=±3∵x ＞0∴m=3（2）∵AC ⊥x 轴，OB ⊥x 轴∴S 四边形ABOC =1)••2AC OB OC （+=(3+OB)·312⨯=152∴OB=2∴B （0，2）∵y=kx+b 过点A （3，3），B （0，2）∴332k b b +=⎧⎨=⎩∴132 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴一次函数的表达式为y=13x+2此题主要考查反比例函数钰一次函数综合，解题的关键是求出A点坐标.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】试题分析：数据x1，x2，…，x n的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的平均数为a＋3，根据方差公式：S2＝1n[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(x n－a)2]＝1．则数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的方差S′2＝1n{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2＋3)－(a＋3)]2＋…(x n＋3)－(a＋3)]2}＝1n[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(x n－a)2]＝1．故答案为1．点睛：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．20、3或【解析】首先根据题意画出图形，由菱形有一个锐角为60°，可得△ABD是等边三角形，然后分别从较短对角线长为4cm与较长对角线长为4cm，去分析求解即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，AO=OC ，BO=OD ，∴△ABD 是等边三角形，①BD=4cm ，则OB=1cm ，∴AB=BD=4cm ；∴OA=cm ），∴cm ），∴S 菱形ABCD =12AC•BD=cm 1）；②AC=4cm ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=1cm ，∠BAO=30°，∴AB=1OB ，∴222AB =OB +OA ，即2224OB =OB +2，∴OB=233（cm ），BD=433cm ∴S 菱形ABCD =12AC•BD=3（cm 1）；综上可得：其面积为3cm 1或1．故答案为：3或本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质．21、1.5【解析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D ′EC ，设ED=x ，则D ′E=x ，AD ′=AC-CD ′=2，AE=4-x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4-x ）2，再解方程即可．【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3，BC=4∴，根据折叠可得：△DEC ≌△D'EC ，∴D'C=DC=3,DE=D'E ，设ED=x,则D'E=x,AD'=AC−CD'=2，AE=4−x ，在Rt △AED'中：(AD')2+(ED')2=AE 2，即22+x 2=(4−x)2，解得：x=1.5.故ED 的长为1.5.本题考查折叠问题、矩形的性质和勾股定理，解题的关键是能根据折叠前后对应线段相等，表示出相应线段的长度，然后根据勾股定理列方程求出线段的长度.22、-5【解析】试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x =-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m ，解得m =-5故答案为-5.23、1【解析】方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出a 的值．【详解】解：方程两边都乘（x ﹣1），得1－ax +3x =3x ﹣3，∵原方程有增根∴最简公分母x ﹣1=0，即增根为x =1，把x =1代入整式方程，得a =1．此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、详见解析【解析】连接BD ，AE ，判定△ABC ≌△DEF (ASA )，可得AB =DE ，依据AB //DE ，即可得出四边形ABDE 是平行四边形，进而得到AD 与BE 互相平分．【详解】证明：如图，连接BD ，AE ，∵FB =CE ，∴BC =EF ，又∵AB ∥ED ,AC ∥FD ，∴∠ABC =∠DEF ，∠ACB =∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEFBC EFACB DFE ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABC ≌△DEF (ASA )，∴AB =DE ，又∵AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分.本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论.25、(1)能构成直角三角形；(2)见解析.【解析】（1）根据勾股逆定理判断即可；（2）由（1）可知2,3【详解】解：(1)∵2222313+==∴能构成直角三角形(2)如图即为所求.本题考查了直角三角形的判定，由勾股逆定理可知若三角形三边长满足222+=a b c ，则其为直角三角形.26、(1)证明见解析；(2)BP 的值为．【解析】(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求,可证得结论CD ＝CF ＝DE;(2)过P 作于PG ⊥BC 于G,在Rt △BPG 中可求得PG 和CG 的长,则可求得BG 的长,在Rt △BPG 中,由勾股定理可求得BP 的长.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDF ＝∠DFC ，∵DF 平分∠ADC ，第21页，共21页∴∠EDF ＝∠CDF ，∴∠DFC ＝∠CDF ，∴CD ＝CF ，同理可得CD ＝DE ，∴CF ＝DE ，且CF ∥DE ，∴四边形CDEF 为菱形；(2)解：如图，过P 作PG ⊥BC 于G ，∵AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，且四边形CDEF 为菱形，∴CF ＝EF ＝CD ＝AB ＝2，∠ECF ＝12∠BCD ＝12∠A ＝60°，∴△CEF 为等边三角形，∴CE ＝CF ＝2，∴PC ＝12CE ＝1，∴CG ＝12PC ＝12，PG ＝2PC ＝2，∴BG ＝BC ﹣CG ＝3﹣12＝52，在Rt △BPG 中，由勾股定理可得BP ，即BP ．本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质是解题的关键.。

2024-2025学年湖南省长沙广益中学九年级数学第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，△ABC 是等边三角形，点P 是三角形内的任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为12，则PD +PE +PF ＝()A ．12B ．8C ．4D ．32、（4分）为了解某校八年级900名学生每天做家庭作业所用的时间，随机抽取其中120名学生进行抽样调查下列说法正确的是（）A ．该校八年级全体学生是总体B ．从中抽取的120名学生是个体C ．每个八年级学生是总体的一个样本D ．样本容量是1203、（4分）在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A ．x<1B ．x≤1C ．x>1D ．x≥14、（4分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）已知点A 的坐标是(1,2)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是（）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)--D ．(2,1)6、（4分）若关于x 的一元二次方程 2 3 0x x a -+=的一个根是1，则a 的值为()A ．-2B ．1C ．2D ．07、（4分）两个相似三角形的最短边分别为4cm 和2cm 它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为（）A ．18cm B ．24cm C ．28cm D ．30cm 8、（4分）如图，直线y=kx+b 过A(-1,2),B(-2,0)两点,则0≤kx+b≤-2x 的解集为()A ．x≤-2或x≥-1B ．0≤y≤2C ．-2≤x≤0D ．-2≤x≤-1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知a =b ﹣，则代数式222a ab b -+的值为_____．10、（4分）将2019个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点1A ，2A ⋯，2019A 分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为__2cm ．11、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝5，AB ＝1．若M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ．若△NBC 是直角三角形．则所有符合条件的M 点所对应的AM 长度的和为_____．12、（4分）古语说：“春眠不觉晓”，每到初春时分，想必有不少人变得嗜睡，而且睡醒后精神不佳．我们可以在饮食方面进行防治，比如以下食物可防治春困：香椿、大蒜、韭菜、山药、麦片．春天即将来临时，某商人抓住商机，购进甲、乙、丙三种麦片，已知销售每袋甲种麦片的利润率为10%，每袋乙种麦片的利润率为20%，每袋丙种麦片的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙三种变片的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%：那么当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为2：3；4时，这个商人得到的总利润率为_____（用百分号表最终结果）．13、（4分）关于的一元二次方程x 2+mx-6=0的一个根为2，则另一个根是．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y 1＝k x 与直线y 2＝－x-(k+1)在第二象限的交点.AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32．（1）求这两个函数的解析式；（2）求△AOC 的面积．（3）直接写出使y 1＞y 2成立的x 的取值范围15、（8分）知y+3与5x+4成正比例，当x=1时，y=—18，（1）求y 关于x 的函数关系。

湖南广益实验中学2020-2021学年度第一学期月考试卷九年级数学总分：120分时量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 有实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ） A. 0<+b aB. 0>+b aC. 0=-b aD. 0<-b a2. 下列计算正确的是（ ） A. 2725a a a =+B. ()632623b b b -=⋅-C. 738326a a a =÷D. ()()22422b a b a a b -=-+3. 国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现异地扶贫搬迁、有了温暖的新家. ”其中3400000用科学记数法表示为（ ） A. 71034.0⨯B. 6104.3⨯C. 5104.3⨯D. 51034⨯4. ⎩⎨⎧-==21y x 是关于x 、y 的二元一次方程5=-ay x 的一组解，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）ABCD6. 关于反比例函数xy 3-=，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点()3,1- B. y 随x 的增大而增大 C. 图象关于原点对称D. 图象与坐标轴没有交点7. 下列说法正确的是（ ） A. 一个游戏的中奖概率是101，则做10次这样的游戏一定会中奖 B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8D. 若甲组数据的方差01.02=s ，乙组数据的方差1.02=s ，则乙组数据比甲组数据稳定 8. 某农业大镇2019年葡萄总产量为2.1万吨，预计2021年葡萄总产量达到6.1万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A. ()6.112.12=+xB. ()2.116.12=-xC. ()6.1212.1=+xD. ()6.112.12=+x9. 已知圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为3cm ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. ︒216B. ︒270C. ︒288D. ︒30010. 如图，O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，︒=∠20DCF ，则EOD ∠等于（ ）A. ︒10B. ︒20C. ︒40D. ︒80第10题图第11题图11. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，D不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD 垂直平分弦AB ，1=CD 寸，10=AB 寸，求圆的直径”（1尺10=寸）根据题意，直径长为（ ） A. 10寸B. 20寸C. 13寸D. 26寸12. 关于x 的一元二次方程0212=++bx ax 有一个根是1-，若二次函数212++=bx ax y 的图象的顶点在第一象限，设b a t +=2，则t 的取值范围是（ ）A. 2141<<tB. 411≤<-tC. 2121<≤-t D. 211<<-t二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 分式方程1212=--x x 的解为 ； 14. 设a 、b 是方程020212=-+x x 的两个实数根，则()()11--b a 的值为 ； 15. 设()11,y x A 、()22,y x B 是反比例函数xy 2-=图象上的两点，若021<<x x ，则1y 与2y 之间的关系是 ；16. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为 ；17. 如图，ABC ∆中，AC AB =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和D ，再分别以B 、D 为圆心，大于BD 21长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ，若2=AE ，1=BE ，则EC 长度是 ；第17题图第18题图18. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 图象如图所示，下列结论：①0>abc ；②02=+b a ；③当1≠m 时，bm am b a +>+2；④0>+-c b a ；⑤若222121bx ax bx ax +=+，且21x x ≠，则221=+x x . 其中正确的有 （填序号）.三、解答题（本题共8个小题，共66分.19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分）19. 计算：()()22021218312-⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯-+-π.20. 先化简，：⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--2522932m m m m m ，再从不等式612<-m 的正整数解中选一个适当的数代入求值.21. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承中华民族优秀传统文化，湖南广益实验中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整.请你根据统计图解答下列问题：（1）参加比赛的学生共有 名；（2）在扇形统计图中，m 的值为 ，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度； （3）学校决定从本次比赛获得A 等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛，已知A 等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率.22. 如图，已知()n A ,4-、()4,2-B 是一次函数b kx y +=的图象和反比例函数xm y =的图象的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围.23. 如图1，已知O 与ABC ∆的边BC 、AC 分别相切于点D 、E ，BO 是ABC ∠的平分线，与O 相交于点G .（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）已知O 的半径为2，如图2，点F 是AB 与O 的切点，连接OF 、FG 、DG ，若DG OF //.①求证：四边形OFGD 是菱形； ②求阴影部分的面积.24. 我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果A 特别受欢迎，某超市以市场价格10元每千克在我市收购了6000千克A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①水果A 的市场价格每天每千克上涨1.0元图2图1CA②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售③每天的冷藏费用为300元④该水果最多保存11天（1）若将这批A水果存放x天后一次性出售，则x天后这批水果的销售单价为元；（2）将这批A水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？（3）将这批A水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？25. 已知点M 为关于x 的二次函数22222+-+-=m am amx ax y （0≠a ，m 为常数）的顶点.（1）若此二次函数与x 轴只有一个交点，试确定m 的值； （2）已知以坐标原点O 为圆心的圆半径是54，试判断点M 与O 的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；（3）对于任意实数m ，点M 都是直线l 上一点，直线l 与该二次函数相交于A 、B 两点，a 是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A 、B 在以O 为圆心的圆上.①求O 的半径；②求该二次函数的解析式.26. 我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是 ； ②如图1，若四边形ABCD 是“等线四边形”，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH ，请判断四边形EFGH 的形状 ；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,2-A 、()0,8B 、()8,9-P ，以AB 为直径作圆，该圆与y 轴的正半轴交于点C ，若Q 为坐标系中一动点，且四边形AQBC 为“等线四边形”，当PQ 的长度最短时，求经过A 、B 、Q 三点抛物线的解析式；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是“等线四边形”，A 在x 负半轴上，D 在y 轴的负半轴上，且41=AD ，点B 、C 分别是一次函数343+-=x y 与y 、x 轴的交点，动点P 从点D 开始沿y 轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t 秒，以点P 为圆心，半径5854+=t R 单位长度作圆，问：①当P 与直线BC 初次相切时，求此时运动的时间0t ；②当运动的时间t 满足0t t >且54≤CP 时，P 与直线BC 相交于点M 、N ，求弦长MN 的最大值.图1FBC图2图3。

2024-2025学年湖南省广益实验中学九上数学开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若分式的值为零，则的值为()A ．B ．C ．D ．2、（4分）下列条件中，不能判定四边形ABCD 为菱形的是（）．A ．AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分B ．AB=BC=CD=DA C ．AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BD D ．AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD 3、（4分）在平行四边形ABCD 中，70A ∠=，则B ∠的度数为()A ．110°B ．100°C ．70°D ．20°4、（4分）已知一次函数y ＝（m +1）x +m 2﹣1的图象经过原点，则m 的值为（（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．±15、（4分）如图，已知ABO 的顶点A 和AB 边的中点C 都在双曲线4(0)y x x =>的一个分支上，点B 在x 轴上，则ABO 的面积为A ．3B ．4C ．6D ．86、（4分）如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0ky k x =≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7、（4分）要使分式有意义，则x 的取值范围是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣mx ﹣4=0的一个根为m ，则m 的值是（）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．任意实数二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在□ABCD 中，∠A ＝105º，则∠D ＝__________．10、（4分）命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是_____________．11、（4分）当3x =______．12、（4分）一次函数()32y m x =--的图象经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是__________．13、（4分）如图，∠A ＝∠D ＝90°，请添加一个条件：_____，使得△ABC ≌△DCB ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y 元，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围：（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由.15、（8分）已知：12x x 、是一元二次方程2510x x --=的两实数根.（1）求1222+x x 的值；（2）求x 1-x 2的值．16、（8分）计算：（1）()220161312-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（2）（﹣1）2﹣））17、（10分）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A 、B 两种清洁剂共100瓶，其中A 种清洁剂6元/瓶，B 种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A 种清洁剂最少应购买多少瓶？18、（10分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下：甲1061068乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.（1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知关于x 的方程m 2x 2+2(m ﹣1)x+1＝0有实数根，则满足条件的最大整数解m 是______．20、（4分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点P 为AD 上一点，沿BP 折叠ABP ∆，点A 恰好与点E 重合，则AB AD 的值为______.21、（4分）方程240x x -=的解为_________.22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x ﹣3和y=kx +b 的图象交于点P （m ，1），则关于x 的不等式2x ﹣3＞kx +b 的解集是_____．23、（4分）如图，点E ，F 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．点(4,4)A 在线段EF 上，过A 作AB EF ⊥分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，点P 为线段AE 上任意一点（P 不与A ，E 重合），连接CP ，过E 作ED CP ⊥，交CP 的延长线于点G ，交CA 的延长线于点D ．有以下结论①AC AE =，②CP BE =，③8OB OF +=，④16ABE BOC S S -=V V ，其中正确的结论是_____．（写出所有正确结论的番号）二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与函数的图象相交于点，轴于点B ．平移直线，使其经过点B ，得到直线l ，求直线l 所对应的函数表达式．25、（10分）如图所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB 于B ，EC ⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD ．26、（12分）在中，，，是的角平分线，过点作于点，将绕点旋转，使的两边交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：(1)当绕点旋转到如图1的位置，点在线段上，点在线段上时，且满足.①请判断线段、、之间的数量关系，并加以证明②求出的度数.(2)当保持等于(1)中度数且绕点旋转到图2的位置时，若，，求的面积.一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式的值为零，∴x2−1＝0且x2＋x−2≠0，解得：x＝−1．故选：C．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．2、C【解析】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD，可得此四边形是平行四边形；B、根据AB=BC=CD=DA，可知四边形是平行四边形；C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．故选C．本题考查菱形的判定．3、A【解析】根据平行四边形邻角互补进行求解即可.【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=180°-∠A=110°，故选A.本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的邻角互补，对角相等．4、C 【解析】先根据一次函数y ＝（m+1）x+（m 2﹣1）的图象经过原点得出关于m 的不等式组，求出m 的值即可．【详解】∵一次函数y ＝（m+1）x+（m 2﹣1）的图象经过原点，∴21010m m +≠⎧⎨-=⎩，解得m ＝1．故选：C ．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数y ＝kx+b （k≠0）中，当b ＝0时函数图象经过原点是解答此题的关键．5、C 【解析】,结合图形可得:S △ABO=S △AOM+S △AMB,分别求解出S △AOM 、S △AMB 的值，过点A 、C 分别作AM ⊥OB 于M 、CD ⊥OB 于D,设点A 坐标为(x,y),设B 的坐标为(a,0),已知点C 是线段AB 的中点,由点A 位于反比例函数的图象上可得:xy=4,即S △AOM=2,接下来,根据点C 的坐标为(,22a x y +),同理可解得S △CDO 的面积，接下来,由S △AMB=12×AM ×BM,MB=|a−x|,AM=y,可解得S △AMB ，即可确定△ABO 的面积.【详解】解:过点A 、C 分别作AM ⊥OB 于M 、CD ⊥OB 于D,设点A 坐标为(x,y)∵顶点A 在双曲线y=4x (x ＞0)图象上∴xy=4∵AM ⊥OB ∴S △AMO=12×AM ×OM=12×xy ，S △AMB=12×AM ×BM (三角形的面积等于一边与此边上高的乘积的一半)∵S △AMO=12×xy ，xy=4∴S △AMO=2设B 的坐标为(a,0)∵点C 是线段AB 的中点点A 、B 坐标为(x,y)、(a,0)∴点C 坐标为(,22a x y +)∵CD ⊥OB 点C 坐标为(,22a x y +)∴S △CDO=12×CD ×OD=12×(2a x +)×(y 2)=2(三角形的面积等于一边与此边上高的乘积的一半)故ay=2∵S △AMB=12×AM ×BM ，MB=|a−x|，AM=y ∴S △AMB=12×|a−x|×y=4∵S △ABO=S △AOM+S △AMB ，S △AOM=2，S △AMB=4∴S △ABO=6即△ABO 的面积是6,答案选C.本题考查反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握计算法则是解题关键.6、D 【解析】过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24(9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB ∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =∴13OB OA =，23OC OA =∴21(9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k =，解得k=±8又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．7、A 【解析】根据分式分母不为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得x-1≠0，解得：x ≠1，故选A.8、C 【解析】根据一元二次方程的解的定义把x m =代入方程22x mx 40--=得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】把x=m 代入方程2x 2﹣mx ﹣4=0得2m 2﹣m 2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2，学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………故选C ．本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、75︒【解析】根据平行四边形的对角相等的性质即可求解．【详解】解：在□ABCD 中，//AB CD 180A D ∴∠+∠=︒∠A ＝105º，∴180********D A ∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：75︒本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．10、矩形的对角线相等【解析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，原命题的条件是对角线相等，结论是矩形，互换即可得解.【详解】原命题的条件是：对角线相等的四边形，结论是：矩形；则逆命题为矩形的对角线相等.此题主要考查对逆命题的理解，熟练掌握，即可解题.11、2【解析】把x=3代入二次根式，可得.【详解】把x=32==.故答案为：2本题考核知识点：二次根式化简.解题关键点：熟练进行化简.12、m ＜3【解析】根据一次函数y=（m-3）x-2的图象经过二、三、四象限判断出m 的取值范围即可．【详解】∵一次函数y=（m-3）x-2的图象经过二、三、四象限，∴m-3＜0，∴m ＜3，故答案为：m ＜3.此题考查一次函数的图象与系数的关系，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＜0时函数的图象在二、三、四象限．13、∠ABC ＝∠DCB ．【解析】有一个直角∠A ＝∠D ＝90°相等，有一个公共边相等，可以加角，还可以加边，都行，这里我们选择加角∠ABC ＝∠DCB 【详解】解：因为∠A ＝∠D ＝90°，BC=CB，∠ABC ＝∠DCB ，所以△ABC ≌△DCB ，故条件成立本题主要考查三角形全等三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A 地区，20台甲型收割机全部派往B 地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析．【解析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x 进行分类即可；根据一次函数的单调性可直接判断每天获得租金最高的方案，得出结论．【详解】解：（1）由于派往A 地的乙型收割机x 台，则派往B 地的乙型收割机为（30-x ）台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为（30-x ）台和（x-10）台．∴y=1600x+1200（30-x ）+1800（30-x ）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x 是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A 地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B 地区；②当x=29时，派往A 地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B 地区；③当x=30时，派往A 地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B 地区；∵y=200x+74000中，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=30时，y 取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，∴农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区，20台甲型收割机全部派往B 地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．故答案为：（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A 地区，20台甲型收割机全部派往B 地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析．本题考查利用一次函数解决实际问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．15、（1）27；（2）【解析】（1）根据根与系数的关系，求出12 x x +和12x x 的值，即可得到答案；（2）根据题意，可得212x x -=（）1222122x x x x -+，计算即可得到答案.【详解】解：（1）∵12,x x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，∴12x x 5+=，12x x 1=-，∴122221212225227x x x x x x =+-=+=+()；（2）根据题意，212x x -=（）122212227229x x x x -=+=+，∴12x x -=；本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握12b x x a +=-，12c x x a =，然后变形计算即可.16、（1）（2）【解析】（1）根据绝对值的意义、有理数的乘方、二次根式的性质、负整数指数幂的意义化简，进而求和即可；（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．【详解】（1）原式=314--+=8-；（2）原式=4(32)--=41-=3-本题考查了实数的混合运算．熟练掌握相关法则是解答本题的关键．17、（1）甲工程队单独完成需要12天；（2）A 种清洁剂最少应购买1瓶【解析】（1）可设甲工程队单独完成此工程需要x 天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；（2）可设A 种清洁剂应购买a 瓶，则B 种清洁剂应购买（100-a ）瓶，根据购买总费用不多于780元，列出不等式即可求解．【详解】解：（1）设甲工程队单独完成此工程需要x 天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，依题意有416x x x +=+，解得x=12，经检验，x=12是原方程的解．故甲工程队单独完成此工程需要12天；（2）设A 种清洁剂应购买a 瓶，则B 种清洁剂应购买（100-a ）瓶，依题意有6a+9（100-a ）≤780，解得a≥1．故A种清洁剂最少应购买1瓶．考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．18、（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙．【解析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：15[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S21n=[x1x-）2+（x2x-）2+…+（x n x-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】分m=1即m≠1两种情况考虑，当m=1时可求出方程的解，从而得出m=1符合题意；当m≠1时，由方程有实数根，利用根的判别式即可得出△=-8m+4≥1，解之即可得出m的取值范围.综上即可得出m的取值范围，取其内最大的整数即可.【详解】解：当m＝1时，原方程为2x+1＝1，解得：x＝﹣1 2，∴m＝1符合题意；当m≠1时，∵关于x的方程m2x2+2(m﹣1)x+1＝1有实数根，∴△＝[2(m﹣1)]2﹣4m2＝﹣8m+4≥1，解得：m≤12且m≠1．综上所述：m≤12．故答案为：1．本题考查的是方程的实数根，熟练掌握根的判别式是解题的关键.20、233【解析】【分析】由矩形性质可得AB=CD,BC=AD;由对折得AB=BE，设AB=x,根据勾股定理求出BC 关于x的表达式，便可得到332AB BE x AD BC ===.【详解】设AB=x,在矩形ABCD 中,AB=CD=x,BC=AD;因为，E 为CD 的中点，所以，CE=12x ，由对折可知BE=AB=x.在直角三角形BCE 中2x ==，所以，332AB BE x AD BC ===.故答案为图（略），233x【点睛】本题考核知识点：矩形性质，轴对称.解题关键点：利用轴对称性质得到相等线段，利用勾股定理得到BE 和BC 的关系.21、120,4x x ==【解析】采用分解因式法解方程即可.【详解】解：()2440x x x x -=-=，解得120,4x x ==.本题考查了分解因式法解方程.22、x ＞1．【解析】把点P （m ，1）代入y=1x ﹣3即可得1m-3=1，解得m=1，所以点P 的坐标为（1，1），观察图象可得不等式1x ﹣3＞kx+b 的解集是x ＞1．23、①③④.【解析】如图，作AM ⊥y 轴于M ，AN ⊥OE 于N ．首先证明四边形AMON 是正方形，再证明△AMF ≌△ANB （ASA ），△AMC ≌△ANE （ASA ），△AFC ≌△ABE （SSS ）即可解决问题.【详解】解：如图，作AM ⊥y 轴于M ，AN ⊥OE 于N ．∵A （4，4），∴AM=AN=4，∵∠AMO=∠ONA=90°，∴四边形ANON 是矩形，∵AM=AN ，∴四边形AMON 是正方形，∴OM=ON=4，∴∠MAN=90°，∵CD ⊥EF ，∴△AMF≌△ANB（ASA），∴FM=BN，∴OF+OB=OM+FM+ON-BN=2OM=8，故③正确，同法可证△AMC≌△ANE（ASA），∴CM=NE，AC=AE，故①正确；∵FM=BN，∴CF=BE，∵AC=AE，AF=AB，∴△AFC≌△ABE（SSS），-S△BOC=S△AFC-S△BOC=S四边形ABOF=S正方形AMON=16，故④正确，∴S△ABE当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，故答案为①③④．本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、．【解析】求出A点的坐标，求出B点的坐标，再用待定系数法求出正比例函数的解析式，最后求出一次函数的解析式即可．【详解】解：将代入中，，∴∵轴于点B，．将代入中，，解得∴设直线l所对应的函数表达式为．将代入上式，得，解得．∴直线l 所对应的函数表达式是．故答案为：．本题考查平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．25、见解析【解析】求出EC=EB ，∠ECA=∠EBA=90°，∠CAE=∠BAE ，根据AAS 推出△CAE ≌△BAE ，根据全等三角形的性质得出AC=AB ，根据SAS 推出△CAD ≌△BAD 即可．【详解】证明：∵AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴EC=EB ，∠ECA=∠EBA=90°，∠CAE=∠BAE ，在△CAE 和△BAE 中CAE BAE ECAEBA AE AE ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,∴△CAE ≌△BAE ，∴AC=AB ，在△CAD 和△BAD 中AC AB CAD BAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△CAD ≌△BAD ，∴BD=CD ．考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等是三角形的对应边相等，对应角相等．26、(1)①，理由见解析；②；(2).【解析】(1)①根据角平分线的性质得到根据全等三角形的性质和判定即可得到答案；②根据全等三角形的性质即可得到答案；(2)根据全等三角形的性质和判定即可得到答案；【详解】(1)①∵∴，∵平分∴又∵∴∴∵中，∴∴∴∴∵∴②∵∴∴∵∴∴(2)∵∴又∵∴∴∵∴∴设，则∵，∴∴，∴∴∴∴∴∴本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线的性质、全等三角形的性质和判定.。

2020-2021长沙广益实验学校初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°2．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -=B ．213()24x +=C ．215()24x +=D ．215()24x -= 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．84．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间7．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，60B ∠=o ，1BC =，''A B C V 由ABC V 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 43 8．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角9．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（2，0）10．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．14．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____. 15．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；16．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．17．若圆锥的底面周长为4π，母线长为6，则圆锥的侧面积等于________．（结果保留π）18．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．19．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．已知关于x 的方程（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．22．如图，△DEF 是△ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D ，点B 与点E ， 点C 与点F 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P （a+3，4﹣b ）与点Q （2a ，2b ﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a ，b 的值．（3）求图中△ABC 的面积．23．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?24．解方程：2411231x x x -=+-- 25．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC ＝90°，求出∠DCE ＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD ，如图，∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∵∠DOE ＝40°，∴∠DCE ＝20°，∴∠A ＝90°−∠DCE ＝70°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14 215()24x+=.故选C【点睛】考点：配方的方法.3．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R180π，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．5．D【解析】【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，∴a 2+2a ﹣3＝0，解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，故选：D ．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．7．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．8．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.9．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).故选B..10．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 12．A解析：A【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 14．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故解析：k≤43且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可.【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0，解得k≤43且k≠0，故答案为：k≤43且k≠0【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.15．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．16．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD ＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：3 2【解析】【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝12·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，∴EA⊥BD，∴S△DEB＝12•x（6﹣3x）＝﹣32x2+3x=﹣32（x﹣1）2+32，∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .故答案为：32．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.17．【解析】【分析】底面周长即为侧面展开图扇形的弧长然后根据圆锥的侧面积列式进行计算即可得解【详解】解：圆锥的侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的计算熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键解析：12【分析】底面周长即为侧面展开图扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面积12lr=列式进行计算即可得解．【详解】解：圆锥的侧面积11641222==⨯⨯=lrππ．故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．18．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概解析：1 4【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41 164=，故答案为：14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答19．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为解析：1 24；【分析】先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24．故答案为1 24．20．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠解析：2【解析】【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．三、解答题21．（1）证明见解析（2）x1517-，x2517+【解析】(1)首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；(2)将p=2代入方程，利用公式法求出方程的解.【详解】（1）证明：方程可变形为x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=1+4p 2．∵p 2≥0，∴4p 2+1＞0，即△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根．（2）解：当p=2时，原方程为x 2﹣5x+2=0，∴△=25﹣4×2=17， ∴x=517±， ∴x 1=5172-，x 2=5172+． 22．见解析【解析】【分析】(1)利用坐标格可读出各点坐标，观察坐标数值即可发现两个对应点关于原点O 对称；(2)由(1)中得到的对应点之间关于原点O 对称的关系即可求解；(3)通过观察坐标格，将△ABC 的面积转化为几个面积的差即可.【详解】解：（1）A （2，3）与D （﹣2，﹣3）；B （1，2）与E （﹣1，﹣2）；C （3，1）与F （﹣3，﹣1）．对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；（2）由（1）可得a+3=﹣2a ，4﹣b=﹣（2b ﹣3）．解得a=﹣1，b=﹣1；（3）三角形ABC 的面积=2×2﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1=． 【点睛】本题结合了平面直角坐标系考察了中心对称的知识.23．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒Q ，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴=g g 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ，则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=g g （） 212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =．答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程. 24．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．25．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，所以都选择A通道通过的概率为18，故答案为：18；（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为41 82 ．【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．。

2020-2021年湖南广益实验中学九年级上学期第八次周考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列计算正确的是（）A．B．C．D．2．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．B．C．D．4．下列说法正确的是（）A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B．数据2，0，，1，3的中位数是C．可能性是的事件在一次实验中一定会发生D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生5．抛物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题中假命题是（）A．正六边形的外角和等于B．位似图形必定相似C．对角线相等的四边形是矩形D．两组对角相等的四边形是平行四边形9．若点，，，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．10．如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6B．7C．8D．912．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在x轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（）A．B．8C．10D．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．分解因式：。

14.在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是．15．已知，是方程的两个根，则的值是．16．已知一个n边形的每一个外角都为，则n等于．17．如图，以长为18的线段为直径的⊙交△的边于点，点在上，直线与⊙相切于点．已知，则的长为．18．如图，等边△中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为．三．解答题（本大题共8小题，共66分）19.（6分）计算：20．（6分）化简并求值，其中．21．（8分）某校为了解八年级学生一学期参加公益活动的时间情况，抽取50名八年级学生为样本进行调查，按参加公益活动的时间t（单位：小时），将样本分成五类：类，类，类，类，类，绘制成尚不完整的条形统计图．（1）样本中，类学生有人，请补全条形统计图；（2）该校八年级共600名学生，求八年级参加公益活动时间的学生数；（3）从样本中选取参加公益活动时间在的2人做志愿者，求这2人参加公益活动时间都在中的概率．22．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．（1）求处到灯塔的距离；（2）已知灯塔的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？23．随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间个养老床位），双人间个养老床位），三人间个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？24．如图，是⊙的直径，弦与交于点，且，连接，．（1）求证：△≌△；（2）若，，求弦的长；（3）在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是⊙的切线．25．定义：若实数x，满足，，且，t为常数，则称点为“线点”．例如，点和是“线点”．已知：在直角坐标系中，点．（1）和两点中，点是“线点”；（2）若点是“线点”，用含t的代数式表示，并求t的取值范围；（3）若点是“线点”，直线分别交x轴、轴于点，，当时，直接写出t的值．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记△的面积为，△的面积为，求的最大值；（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使△∽△．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1~12BBAAD CCCCBDD13.()()422x x +-14.(2,1)15.-216.1217.7π18219.520.化简得2x -，当2020x =时，原式=201821.（1）5（2）216（3）31022.解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°，∴PB=AB=60海里；（2）作PH ⊥AB 于H ．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=60，在Rt △PBH 中，PH=PB•sin60°=60×32=，∵＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的23.解：（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x ，由题意可列出方程：221 2.88x +=（），解得：1x =0.2=20%，2x =-2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）①设规划建造单人间的房间数为t （10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100-3t ，由题意得：t+4t+3（100-3t ）=200，解得：t=25．答：t 的值是25．②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，由题意得：y=t+4t+3（100-3t ）=4300t -+（10≤t≤30），∵k=-4＜0，∴y 随t 的增大而减小．当t=10时，y 的最大值为300-4×10=260（个），当t=30时，y 的最小值为300-4×30=180（个）．答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．24.解析：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=AB ，AC=BD ，∴△ADB ≌△BCA （HL ）；（2）解：如图，连接DC ，∵OD ⊥AC ，∴ AD DC=∴AD=DC ，∵△ADB ≌△BCA ，∴AD=BC ，∴AD=DC=BC ，∴∠AOD=∠ABC=60°，∵AB=4，∴AC ＝AB•sin60°＝4×32=23；（3）证明：如图，连接OC ，∵BC=BP=2∴∠BCP=∠P ，∵∠ABC=60°，∴∠BCP=30°，∵OC=OB ，∠ABC=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°，∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线．25.（1）2p （2）3t >（3）6或10326.（1）213222y x x =--（2）45（3）（689，349）或（62415+，3415+）。

湖南广益实验中学2020-2021学年度第一学期期中考试试卷九年级 数学2总分：120分 时量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是（ ）B. C. 2.港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道.将数字55000用科学记数法表示为（ ）A.45.510⨯B.35510⨯C.35.510⨯D.50.5510⨯ 3.下列说法正确的是（ ） A.“清明时节雨纷纷”是必然事件B.为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C.甲乙两组身高数据的方差分别为20.02S =甲、20.1S =乙，那么乙组的身高比较整齐D.一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是54.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.赵爽弦图 笛卡尔心形线 科克曲线 斐波那契螺旋线5.如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A. 若∠D=36°，则∠EAB的度数为（）A.36°B.60°C.64°D.54°6.我区在2020年1月至4月组织了“区公益广告作品征集”活动，某校九（1）班班委会收到全班同学上传作品六十余份，评出一等奖6份准备参加校级评比，其中社会主义核心价值观类2份、中国梦类1份、志愿服务类2份、优秀传统文化类1份．学校分配给九（1）班参评作品指标为1份，班委会将一等奖6份作品打乱顺序编号为1，2……，6号，从1，2……，6号作品中抽取一份参赛恰好是社会主义核心价值观类作品的概率是（）A.16B.14C.13D.127.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，已知点E（4-，2），F（2-，2-），以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点1E的坐标是（）A.（2-，1）B.（8-，4）C.（8-，4）或（8，4-）D.（2-，1）或（2，1-）9.如图，点P是△ABC边AB上一点（AB AC>），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（）A.AC APAB AC= B.PC ACBC AB= C.∠ACP=∠B D.∠APC=∠ACB10.数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题.例如：如果2a >，那么24a >.下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A.两直线平行，同位角相等B.如果1a =，那么1a =C.全等三角形的对应角相等D.如果x y >，那么mx my >11.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）A. B. C.21米 D.42米12.分别以矩形OABC 的边OA ，OC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是（4，2），将矩形OABC 折叠使点B 落在G （3，0）上，折痕为EF ，若反比例函数y=的图象恰好经过点E ，则k 的值为（ ）A.2B.32C.3D.4 二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.函数y =x 的取值范围是 . 14.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 . 15.对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=.因此，{min = ；若(){}22min1,1x x -=，则x = .16.如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠ABC=60°，P 是AB 上一动点，过B 点作直线CP 的垂线，垂足为Q ，当点P 从点A 运动到点B 时，点Q 的运动路径长为 .三、解答题（本题共9个小题，共72分）17.（6分）计算：216sin6023-⎛⎫︒- ⎪⎝⎭.18.（6分）解不等式组()31612x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩，并写出它的所有整数解.19.（6分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（图2）（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA= ，PA= ，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．20.（8分）面对今年的新冠疫情，某区所有中学开展了“停课不停学”活动.该区教育主管部门随机调查了一些家长对该活动的态度（A：无所谓；B：赞成；C：反对），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为°；（2）将图②补充完整；（3）根据抽样调查结果，估计该区30000名中学生家长中有多少人持赞成态度.21.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.22.（9分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数.23.（（9分）如图，已知PB与O相切于点B，A是O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB.（1）求证：直线PA是O的切线；（2）①求证：点D是△PAB的内心；②若PA=13，5sin13APE∠=，求DE的长；（3）已知CDAE=，求tan C.24.（10分）“穆尔说：所谓科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数”我们约定：经过点G 的所有函数称之为“G -函数系”（1）已知关于x 的一次函数32y mx m =-+，不论m 为何值，该函数的图象都经过定点G ，若反比例函数ky x=是“G -函数系”家族一员，直接写出点G 的坐标以及k 的值； （2）已知二次函数2y ax bx c =++图象的顶点为G ，若反比例函数4y x=-和一次函数22y x =--都属于“G -函数系”，且该二次函数经过（3，3），求此二次函数的解析式；（3）已知点G （0，1k -），关于x 的“G -函数系”中二次函数()22386y ax k k x c =+-++的顶点为P ，若实数k 满足22990k k -+<，求经过P ，G 两点的直线l 与坐标轴所围成的三角形面积S 的取值范围.25.（10分）如图1，已知直线2y kx k =+（k 为常数，0k ≠）与x 轴相交于点A ，点B与点A 关于y 轴对称，点C 在y 轴的正半轴上，OC =，连接AC ，BC. （1）求△ABC 的面积及sin ACB ∠；（2）如图2，已知P ，Q 分别是线段AC ，BC 上的一动点，且始终满足∠POQ=60°. ①求AP ·BQ 的值及△CPQ 面积的最大值；②当△AOP 与△OQP 的面积相等时，抛物线21y ax bx c =++经过P ，Q 两点，经过点P 的直线2y mx n =+满足：对于任意的实数x ，都有12y y ≥成立.记12w y y =+，若函数w 与x 轴相交于M ，N 两点，且线段1MN ≤，求a 的取值范围.。

2024-2025学年湖南长沙市广益中学九年级数学第一学期开学联考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）下列关于直线25y x =-的说法正确的是（）A ．经过第一、二、四象限B ．与x 轴交于点()2,0C ．y 随x 的增大而减小D ．与y 轴交于点()0,5-3、（4分）如图，在菱形ABCD 中MN 分别在AB 、CD 上且AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO 若∠DAC =62°，则∠OBC 的度数为（）A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°4、（4分）已知直线12y x b =+经过点()4,1P -，则直线2y x b =+的图象不经过第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四5、（4分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中不能说明△ABC 是直角三角形的是（）A ．a ＝32，b ＝42，c ＝52B ．a ＝9，b ＝12，c ＝15C ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3D ．∠C ﹣∠B ＝∠A6、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A ．4cm B ．3cm C ．2cm D ．1cm7、（4分）如图，□ABCD 中，AB =3，BC =5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则CE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．48、（4分）如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2018的坐标是（）A ．（﹣2018，0）B ．（21009，0）C ．（21008，﹣21008）D ．（0，21009）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN 的取值范围是______．10、（4分）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD ，点E 在BC 上，把△ECD 沿ED 折叠，使点C 恰好落在AD 上点C ′处，点M 、N 分别是线段AC ′与线段BE 上的点，把四边形ABNM 沿NM 向下翻折，点A 落在DE 的中点A ′处．若原正方形的边长为12，则线段MN 的长为_____．11、（4分）如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE=2，则BC=．12、（4分）已知m 是一元二次方程240x x --=的一个根，则代数式22m m +-的值是_____13、（4分）关于x 的方程()21410k x x -++=有解，则k 的范围是______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）(1)化简：212(1)11x x x --÷--．(2)若(1)中x 的值是不等式“112x x -≤+”的一个负整数解，请你在其中选一个你喜欢的数代入(1)中求值.15、（8分）如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的15，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325，求小路的宽．16、（8分）先化简，再求值：22211122x x x x x ++⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭[其中，x =17、（10分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：分组/分频数频率50≤x ＜6060.1260≤x ＜70a 0.2870≤x ＜80160.3280≤x ＜90100.2090≤x ≤100c b 合计50 1.00（1）表中的a=______，b=______，c=______；（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．18、（10分）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AH 是边BC 上的高．（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF ．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．20、（4分）已知长方形的面积为6m 2+60m +150（m ＞0），长与宽的比为3：2，则这个长方形的周长为_____．21、（4分）若关于x 的方程232x a x +=+的解是负数，则a 的取值范围是_______．22、（4分）菱形的两条对角线长分别为10cm 和24cm ，则该菱形的面积是_________；23、（4分）已知点(4)P a -，与点(3)Q b -，关于y 轴对称，则a b +=__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某校计划成立下列学生社团:A ．合唱团:B ．英语俱乐部:C ．动漫创作社;D ．文学社:E.航模工作室为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.请根据以上信息，解决下列问题:(1)本次接受调查的学生共有多少人;(2)补全条形统计图，扇形统计图中D 选项所对应扇形的圆心角为多少；(3)若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数.25、（10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝60︒．（1）求证：AB ⊥AC ；（2）若DC ＝2，求梯形ABCD 的面积．26、（12分）已知反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D （1）求这个反比函数的表达式；（2）求△ACD 的面积．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】根据中心对称图形的概念即可解答．【详解】选项A，旋转180°，与原图形不能够完全重合，不是中心对称图形；选项B，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项C，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项D，旋转180°，能与原图形能够完全重合，是中心对称图形；故选D．本题考查了中心对称图形的概念，熟练运用中心对称图形的概念（在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）是解决问题的关键．2、D【解析】直接根据一次函数的性质即可解答【详解】A.直线y=2x−5经过第一、三、四象限，错误；B.直线y=2x−5与x轴交于(52,0)，错误；C.直线y=2x−5，y随x的增大而增大，错误；D.直线y=2x−5与y轴交于(0,−5)，正确故选：D.此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质3、A【解析】连接OB，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．解：连接OB，∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵MAO NCOAM CN AMO CNO ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=62°，∴∠BCA=∠DAC=62°，∴∠OBC=90°-62°=28°．故选：A．本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．4、B【解析】把点p代入12y x b=+求出b值，再观察k>0，b<0，根据一次函数图象与k，b的关系得【详解】因为直线12y x b =+经过点()4,1P -，所以b=-3，然后把b=-3代入2y x b =+，得23y x =-直线经过一、三、四象限，所以直线的图象不经过第二象限.故选：B 本题考查一次函数y=kx=b （k ≠0）图象与k ，b 的关系（1）图象是过点（-b k ，0），（0，b ）的一条直线（2）当k >0，b >0时,图象过一、二、三象限；当k>0，b<0时,图象过一、三、四象限；当k <0，b >0时,图象过一、二、四象限；当k <0，b <0时,图像过二、三、四象限.5、A 【解析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】A.a+b=32+42=25=52=c ，构不成三角形，也就不可能是直角三角形了，故符合题意；B.a 2+b 2=92+122=225=152=c 2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC 是直角三角形，故不符合题意；C.设∠A 、∠B 、∠C 分别是5x 、2x 、3x ，5x+2x+3x=180，x=18，∠A=90°，所以△ABC 是直角三角形，故不符合题意；D.∠C ﹣∠B ＝∠A ，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形，故不符合题意，故选A.本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6、C【解析】连接AM 、AN 过A 作AD BC ⊥于D ，先求出AB 、AC 值，再求出BE 、CF 值，求出BM 、CN 值，代入--＝MN BC BM CN 求出即可．连接AM 、AN ，过A 作AD BC ⊥于D ∵在ABC ∆中，AB AC ＝，120∠︒＝A ，6cm BC ＝∴30∠∠︒＝＝B C ，3cm ＝＝BD CD ∴在Rt ABD ∆中，2AB AD =∴在Rt ABD ∆中，AB =∴AD =，AB AC =∵AB 的垂直平分线EM ∴12==BE AB 同理CF ∵30∠∠︒＝＝B C ∴2BM ME =∴在BME ∆中，BM =∴2cm BM =同理2cm＝CN ∴2cm--=＝MN BC BM CN 故选：C ．本题考查垂直平分线的性质、含30°直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．7、B【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.8、B【解析】根据正方形的性质找出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、…的坐标，根据坐标的变化可找出变化规律“A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）”，依此规律即可求出点A2018的坐标（根据点的排布找出第8n+2个点在x轴正半轴，利用排除法亦可确定答案）．【详解】解：∵A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16），A10（32，0），…，∴A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）．∵2018＝252×8+2，∴点A2018的坐标为（21009，0）．故选：B．本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）”是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=22BD，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．【详解】∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=12CE，PM∥CE，∵点P，N分别是DC，BC的中点，∴PN=12BD，PN∥BD，∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DB C=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴PM=PN=12BD ，∴MN=22BD ，∴点D 在AB 上时，BD 最小，∴BD=AB-AD=4，MN 的最小值；点D 在BA 延长线上时，BD 最大，∴BD=AB+AD=10，MN 的最大值为，∴线段MN 的取值范围是．故答案为：．此题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定证明△PMN 是等腰三角形．10、【解析】作A ′G ⊥AD 于G ，A ′H ⊥AB 于H ，交MN 于O ，连接AA ′交MN 于K ．想办法求出MK ，再证明MN ＝4MK 即可解决问题；【详解】解：如图，作A ′G ⊥AD 于G ，A ′H ⊥AB 于H ，交MN 于O ，连接AA ′交MN 于K ．由题意四边形DCEC ′是正方形，△DGA ′是等腰直角三角形，∴DG ＝GA ′＝3，AG ＝AD ﹣DG ＝9，设AM ＝MA ′＝x ，在Rt △MGA ′中，x 2＝（9﹣x ）2+32，∴x ＝5，AA =∵sin ∠MAK ＝MK A G AM AA ''=，∴5MK =，∴MK ＝2，∵AM ∥OA ′，AK ＝KA ′，∴MK ＝KO ，∵BN ∥HA ′∥AD ，DA ′＝EA ′，∴MO ＝ON ，∴MN ＝4MK ＝，故答案为．本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11、1.【解析】试题分析：根据题意画出图形，再由三角形的中位线定理进行解答即可．试题解析：∵△ABC 中，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，DE=2∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC=2DE=2×2=1．考点：三角形中位线定理．12、2-.【解析】把x m =代入方程240x x --=，得出关于m 的一元二次方程，再整体代入.【详解】当x m =时，方程240x x --=为240m m --=，即24m m -=，所以，()2222242m m m m +-=--=-=-.故答案为：2-.本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想.13、k ≤5【解析】根据关于x 的方程()21410k x x -++=有解，当10k -=时是一次方程，方程必有解，10k -≠时是二元一次函数，则可知△≥0，列出关于k 的不等式，求得k 的取值范围即可．【详解】解：∵方程()21410k x x -++=有解①当10k -=时是一次方程，方程必有解，此时=1k ②当10k -≠时是二元一次函数，此时方程()21410k x x -++=有解∴△=16-4（k-1）≥0解得：k ≤5.综上所述k 的范围是k ≤5.故答案为：k ≤5.本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)x+1；(2)-2.【解析】（1）先将括号内的进行通分，再把除法转化为乘法，约分化简即可；（2）求出不等式的解集，再取一个满足（1）成立的x 的负整数值代入求解即可.【详解】(1)原式=21122(1)(1)1112x x x x x x x x x ----+-÷=⨯----=x+1；(2)解不等式“112x x -≤+”得，3x ≥-∴其负整数解是-3、-2、-1.∴当3x =-时，原式=-3+1=-2分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．要注意代入求值时，要使原式和化简的每一步都有意义．15、小路的宽为2米．【解析】根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325”，建立方程求解即可得出结论．【详解】设小路的宽为x 米，由题意得，（5x ）2+（40+50）x ﹣2×x×5x=325×40×50解得，x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）答：小路的宽为2米．考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.16、33+【解析】分析：先化简，再把x =.详解：()()2121=.22x x x x x ++-÷++原式()()212·21x x x x x ++=+-，1.x x +=当x=时，原式=3.3=点睛：本题考查了分式的化简求值.17、（1）14；0.08；4；（2）详见解析；（3）80.【解析】（1）根据频率分布表确定出总人数，进而求出a ，b ，c 的值即可；（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图，如图所示；（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：a=6÷0.12×0.28=14，b=1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）=0.08，c=6÷0.12×0.08=4；故答案为：14；0.08；4；（2）频数分布直方图、折线图如图，（3）根据题意得：1000×（4÷50）=80（人），则你估计该校进入决赛的学生大约有80人．此题考查了频数（率）分布折线图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF ∥AB ，DE ∥AC ，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD ，FH=AF ，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC 的中位线.∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、x≥1【解析】直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x﹣1≥0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.20、10m+1【解析】对面积表达式进行变形，根据面积=长×宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达式，继而得出周长．【详解】解：∵6m2+60m+11=6（m2+10m+25）=6（m+5）2=[3（m+5）][2（m+5）]，且长：宽=3：2，∴长为3（m+5），宽为2（m+5），∴周长为：2[3（m+5）+2（m+5）]=10m+1．故答案为：10m+1本题考查了用提取公因式和完全平方公式进行因式分解的实际应用，熟练掌握并准确分析是解题的关键.21、6a <且4a ≠【解析】把方程232x a x +=+进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a 的范围．【详解】把方程232x a x +=+移项通分得()232x a x +=+，解得x ＝a−6，∵方程232x a x +=+的解是负数，∴x ＝a−6＜0，∴a ＜6，当x ＝−2时，2×（−2）＋a ＝0，∴a ＝1，∴a 的取值范围是：a ＜6且a ≠1．故答案为：a ＜6且a ≠1．此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．22、110cm 1．【解析】试题解析：S=12×10×14=110cm 1．考点：菱形的性质．23、-1【解析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a 、b 的值，然后相加即可得解．【详解】∵点P (a ,−4)与点Q (−3,b )关于y 轴对称，∴a =3，b =−4，∴a +b =3+(−4)=−1.故答案为：−1.考查关于y 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）200；（2）补全条形统计图见解析；D 选项所对应扇形的圆心角度数=72°；（3）估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数为900人．【解析】（1）由社团人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去其它社团人数可求得的人数，再用乘以社团人数所占比例即可得；（3）总人数乘以样本中、社团人数和占被调查人数的比例即可得．【详解】解：（1）本次接受调查的学生共有（人，（2）社团人数为（人，补全图形如下：扇形统计图中选项所对应扇形的圆心角为，（3）估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数为（人．答：估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数为900人．本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．25、（1）见解析；（2）【解析】（1）利用等腰梯形的性质可求得60DCB ∠=︒，再利用平行的性质及等边对等角可求出30ACB ∠=︒，然后根据三角形内角和即可求出90BAC ∠=︒，从而得到结论；（2）过点A 作AE BC ⊥于点E ，利用含30°角的直角三角形的性质可求出BE 、BC ，根据勾股定理求出AE ，然后利用面积公式进行计算即可．【详解】证明：（1）∵//AD BC ，AB CD =，60B ∠=︒，∴60DCB B ∠=∠=︒，DAC ACB ∠=，又∵AD DC =，∴DAC DCA ∠=∠，∴60302DCA ACB ︒∠=∠==︒，∴()()180180603090B A ACB B C ∠=︒-=︒-︒+︒∠=∠+︒，∴AB AC ⊥；（2）过点A 作AE BC ⊥于E ，∵60B ∠=︒，∴30BAE ∠=︒，又∵2AB DC ==，∴1BE =，∴在Rt ABE △中，AE ===∵30ACB ∠=︒，AB AC ⊥，∴24BC AB ==，∴11()(24)22ABCD S AD BC AE =+⋅=⨯+⨯梯形．26、（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）将B点坐标代入y＝中，求得k值，即可得反比例函数的解析式；（2）分别求得点C、点A、点D的坐标，即可求得△ACD的面积．试题解析：(1)将B点坐标代入y＝中，得＝2，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝.(2)∵点B与点C关于原点O对称，∴C点坐标为(－3，－2)．∵BA⊥x轴，CD⊥x轴，∴A点坐标为(3，0)，D点坐标为(－3，0)．∴S△ACD＝AD·CD＝×[3－(－3)]×|－2|＝6。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）给出下列四个数：﹣2，0，1.41，π，其中为无理数的是（）A．﹣2B．0C．1.41D．π2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．（3分）下列说法中正确的是（）A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差为s12＝0.4，乙组数据的方差为s12＝0.05，则甲组数据更稳定4．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝2D．x1＝1，x2＝3 6．（3分）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A．±B．4C．±或4D．4或﹣7．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形8．（3分）某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（）A．＝10B．＝10C．＝10D．＝109．（3分）无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3B．5C．4.2D．411．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜012．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，P A＝PF，且∠APF＝90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CE＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是．14．（3分）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为．15．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．18．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．三、解答题（本题共8个小题，共66分）19．（6分）计算：（）﹣2+﹣+|1﹣|．20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22．（8分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．23．（9分）“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？24．（9分）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长为．25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），且对一切实数x，都有x ≤ax2+bx+c≤x2+x+成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝2t时，二次函数y＝ax2+bx+c 的值为y2，若对一切﹣1≤t≤1，都有y1＜y2，求实数m的取值范围．2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）给出下列四个数：﹣2，0，1.41，π，其中为无理数的是（）A．﹣2B．0C．1.41D．π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数；B.0是整数，属于有理数；C.1.41是有限小数，属于有理数；D．π是无理数．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），故选：C．【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．3．（3分）下列说法中正确的是（）A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差为s12＝0.4，乙组数据的方差为s12＝0.05，则甲组数据更稳定【分析】根据统计初步知识进行解答．对样本、样本容量、总体、个体、众数、中位数极差等概念要非常熟悉．【解答】解：A、在统计中，把组成总体的每一个考察对象叫做个体，而不是样本容量，故本选项错误；B、为了解全国中学生的心理健康情况，由于人数多，工作量大，应该采取抽查方式，故本选项错误；C、将6，8，7，8，8，9，10按从小到大依次排列，得到6，7，8，8，8，9，10，可见众数和中位数都是8，故本选项正确．D、若甲组数据的方差为s12＝0.4，乙组数据的方差为s12＝0.05，则乙组数据更稳定，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了统计的初步知识，属于基本概念的范畴，要注意平日的积累，难度不大．4．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝2D．x1＝1，x2＝3【分析】将点（1，0）代入y＝x2﹣3x+m，求出m，即可确定一元二次方程为x2﹣3x+2＝0，即可求解；【解答】解：将点（1，0）代入y＝x2﹣3x+m，解得m＝2，∴y＝x2﹣3x+2，∴x2﹣3x+2＝0的两个根为x＝1，x＝2；故选：C．【点评】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程的解；熟练掌握点与解析式的关系，正确求解一元二次方程是解题的关键．6．（3分）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A．±B．4C．±或4D．4或﹣【分析】把y＝8直接代入函数即可求出自变量的值．【解答】解：把y＝8代入函数，先代入上边的方程得x＝，∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝﹣；再代入下边的方程x＝4，∵x＞2，故x＝4，综上，x的值为4或﹣．故选：D．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．7．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，解决本题的关键是熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．8．（3分）某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（）A．＝10B．＝10C．＝10D．＝10【分析】根据引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．9．（3分）无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【解答】解：当m＜0时，5﹣2m＞0，点A（m，5﹣2m）在第二象限，当0＜m时，点A（m，5﹣2m）在第一象限，当m时，点A（m，5﹣2m）在第四象限．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．10．（3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3B．5C．4.2D．4【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【解答】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c ＜0．【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．12．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，P A＝PF，且∠APF＝90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CE＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】利用等角的余角相等得到∠BAP＝∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≌△PEF，则BP＝EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE＝EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≌△ADH，于是可对②进行判断；利用GF∥CE得到∠EPF＝∠GFP，加上∠BAP＝∠EPF，所以∠BAP＝∠GFP，则可对③进行判断；通过证明△APF为等腰直角三角形得到AF＝AP，则AP2＝AF2，由于利用勾股定理得到AP2＝AB2+BP2，加上AB＝BC，BP＝CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．【解答】解：∵∠APF＝90°，∴∠APB+∠FPE＝90°，而∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠FPE，在△ABP和△PEF中，∴△ABP≌△PEF，∴BP＝EF，∵四边形CEFG都是正方形，∴CE＝EF，∴BP＝CE，所以①正确；∵∠BAP≠∠DAH，∴不能判断△ABP≌△ADH，∴不能确定AP＝AH，所以②错误；∵四边形CEFG都是正方形∴GF∥CE，∴∠EPF＝∠GFP，而∠BAP＝∠EPF，∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确；∵∠APF＝90°，AP＝PF，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF＝AP，∴AP2＝AF2，∵AP2＝AB2+BP2，而AB＝BC，BP＝CE，∴BC2+CE2＝AF2，所以④错误；∵S正方形ABCD+S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2，S△APF＝AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是﹣1．【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．14．（3分）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为﹣8．【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把代入方程组得：，①×3+②×2得：5a＝﹣5，即a＝﹣1，把a＝﹣1代入①得：b＝﹣3，则原式＝a2﹣b2＝1﹣9＝﹣8，故答案为：﹣8【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．15．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．【分析】此题既可以利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．16．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1＜y2．（填“＞”或“＜”）．【分析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为1．【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+mx﹣m得，①﹣②得2a＝2am，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．三、解答题（本题共8个小题，共66分）19．（6分）计算：（）﹣2+﹣+|1﹣|．【分析】利用负整数指数幂、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．【解答】解：原式＝4+﹣2+﹣1＝4+﹣2+﹣1＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是20，其中C类女生有2名，D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为36度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360°乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是（1+2）÷15%＝20，C类女生有20×25%﹣3＝2（名），D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20、2、1、36；（2）补全图形如下：（3）画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为＝．【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，BE＝2，∴AE＝1，BF＝BE＝2AE＝2，∴AB＝，∴菱形BFDE的面积为：2×＝2．【点评】此题考查翻折问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答．23．（9分）“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为（200﹣m）件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m为整数，可求得m的值，即可得进货方案；②用含m的式子表示出W，根据一次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意得：解得：答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元．（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为（200﹣m）件，由题意得：解得：75＜m≤78∵m为整数∴m的值为：76，77，78．进货方案有三种，分别为：方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件．②由题意得：W＝（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）＝5m+1000∵5＞0∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78∴当m＝78时，W最大，W的最大值为：5×78+1000＝1390元．答：当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确分析题目的数量关系并列式，是解题的关键．24．（9分）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长为．【分析】（1）证明△BDF是等腰三角形，可证明BF＝DF，可通过证明∠EBD＝∠FDB 实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决．（2）①先判断四边形BFDG是平行四边形，再由（1）BF＝FD得到结论；②要求FG的长，可先求出OF的长，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出BF的长．在Rt△BF A中，知AB＝6、AF+BF＝AD＝8，可求出BF的长，问题得以解决．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠的性质可知：∠EBD＝∠CBD，∴ADB＝∠EBD，∴BF＝FD∴△BDF是等腰三角形（2）①四边形BFDG是菱形．理由：∵FD∥BG，DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形又∵BF＝DF，∴四边形BFDG是菱形②设AF＝x，则FD＝8﹣x，∴BF＝FD＝8﹣x在Rt△ABF中，62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴FD＝8﹣＝，在Rt△ABD中，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10∵四边形BFDG是菱形，∴OD＝BD＝5，FO＝FG，FG⊥BD，在Rt△ODF中，∵FO2+DO2＝FD2，即FO2+52＝（）2，∴FO＝，∴FG＝2FO＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、矩形的性质、菱形的性质及判定、勾股定理等知识，学会分析、把各个知识点有机的联系在一起是解决本题的关键．25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（√）；②y＝（m≠0）（√）；③y＝3x﹣1（×）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．【分析】（1）根据“H函数”的定义判断即可．（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp ＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t＝，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|＝＝2，再利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴﹣＞2，。

广益实验中学2021-2022学年度九年级上学期第三次练习数 学总分：120分 时量：120分钟一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．某市今年累计向6500多名贫困学生发放资助资金约1179万元，此数据用科学记数法表示为（ ） A ．61.17910⨯B ．71.17910⨯C ．81.17910⨯D ．91.17910⨯2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d3．要使2161x bx -+成为完全平方式，那么常数b 的值是（ ） A ．4B ．8-C ．4±D ．8±4．抛物线265y x x =-+的顶点坐标为（ ）A ．（3，4-）B ．（3，4）C ．（3-，4-）D ．（3-，4） 5．在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ） A ．AO=CO B ．AO=BO C ．AO⊥BO D ．AB⊥BC 6．已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=的一个根为1，则另一个根是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 7．如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．B ．2CD ．1第7题图 第8题图 第9题图8．如图，Rt⊥ABC 中，⊥A=90°，AD⊥BC 于点D ，若BD=3，CD=2，则tanB 的值为（ ）A ．32B ．23C ．2D ．39．⊥O 的半径为5，M 是圆外一点，MO=6，⊥OMA=30°，则弦AB 的长为（ ）A ．4B ．6C ．D ．810．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：⊥勒洛三角形是中心对称图形；⊥图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等；⊥图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；⊥使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥ C ．⊥⊥ D ．⊥⊥二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若分式211x x --的值为0，则x 的值为 ．12．若点A （21x -，5-）和点B （3，3y -）关于原点对称，则yx 的值为 ． 13．已知点M （6a -，3a -）是第二象限的点，则a 的取值范围是 ．14．一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为 ． 15．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2，0），则点E 的坐标是 ．第15题图 第16题图16．如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >）的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为 ．三、解答题（共9小题，满分72分）17．（6211cos 452-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭．18．（6分）先化简，再求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，其中4x =．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，⊥ABC 的顶点都在格点上．（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将⊥ABC 放大为原来的2倍后的位似图形⊥A 1B 1C 1；（2）已知⊥ABC 的面积为72，则⊥A 1B 1C 1的面积是 ．20．（8分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为；（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．21．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊥O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊥O的切线；（2）若BC=4，求DE的长．22．（9分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小马同学在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡比i=1AB=10米，AE=21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：1.41≈ 1.73≈，4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 533︒≈．) （1）求点B 距水平地面AE 的高度．（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．23．（9分）如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，交AC 于点O ，分别连接AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）过E 点作AD 的垂线EP 交AC 于点P ，求证：2AE 2=AC ·AP ； （3）若AE=10cm ，⊥ABF 的面积为24cm 2，求⊥ABF 的周长．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x b =-+（b 为常数）与函数ky x=（k 为常数，0k >，0x >）交于A ，B 两点（B 在A 右侧），与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求tan DCO ∠的值；（2）如图1，若点B 的坐标为（6，1），在x 轴上是否存在点P ，使△ACP 与△CDO 相似，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，将直线AB 平移到直线EF ，其中点E 为（0，1），点F 在x 轴上，连接AE ，若AE ⊥EF 且AB=2EF ，求k 的值．25．（10分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形⊥菱形⊥正方形（2）如图1，Rt⊥ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，3sin5C ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，己知∠BOC+∠AOD=180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；⊥当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．广益实验中学2021-2022学年度九年级上学期第三次练习数学参考答案时间：120分钟总分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）11．1-12．113．3a<14．2115．（4，0）16．8三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．原式=62+18．22xx+-，当4x=时，原式=3-19．（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）∵△ABC和△A1B1C1关于原点位似，∴S△A1B1C1=S△ABC=4×72=14．20．（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%=60（人），则最喜欢C套餐的人数为240-（60+84+24）=72（人），∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×72240=108°；（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×84240=336（人）；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，∴甲被选到的概率为61 122=．21．（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠ODB=∠A，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线；（2）DE=22．点B距水平地面AE的高度为5米（2）在Rt△ABM中，∴BM=12AB=5（米）=NE，AM=2∴ME=AM+AE=（+21）米=BN，∵∠CBN=45°，∴CN=BN=ME=（）米，∴CE=CN+NE=（+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，∴DE=AE •tan53°≈21×43=28（米）， ∴CD=CE ---2≈6.7（米）＜7米，∴符合要求，23．（1）证明：当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ， ∴OA=OC ，∠AOE=∠COF=90°， ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠EAO=∠FCO ， 在△AOE 和△COF 中，AOE COF OA OCEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△COF （ASA ）， ∴OE=OF ， ∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形， ∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形．（2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP ， ∴△AOE ∽△AEP ， ∴AE AOAP AE=， 即AE 2=AO •AP ，∵AO=12AC ， ∴AE 2=12AC •AP ，∴2AE 2=AC •AP ．（3）解：设AB=xcm ，BF=ycm ． ∵由（1）四边形AFCE 是菱形， ∴AF=AE=10cm ． ∵∠B=90°， ∴x 2+y 2=100．∴（x+y ）2-2xy=100①． ∵△ABF 的面积为24cm 2， ∴12xy=24．即xy=48 ②． 由①、②得（x+y ）2=196．∴x+y=14或x+y=-14（不合题意，舍去）．∴△ABF 的周长为：x+y+AF=14+10=24（cm ）． 24．（1）1tan 2DCO ∠=第 11 页 共 11 页 （2）点P 的坐标为（2，0）或（12，0） （3）149k = 25．（1）③（2）3DE =（3）①设AC ，BD 相交于点E 如图所示∵12DCA AOD ∠=∠，12BDC BOC ∠=∠，∠BOC+∠AOD=180° ∴()111809022DCA BDC AOD BOC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ∴∠CED=90°即AC ⊥BD又∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形 ∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”②⊙O。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）给出下列四个数：﹣2，0，1.41，π，其中为无理数的是（）A．﹣2B．0C．1.41D．π2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．（3分）下列说法中正确的是（）A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差为s12＝0.4，乙组数据的方差为s12＝0.05，则甲组数据更稳定4．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝2D．x1＝1，x2＝3 6．（3分）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（）A．±B．4C．±或4D．4或﹣7．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形8．（3分）某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（）A．＝10B．＝10C．＝10D．＝109．（3分）无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3B．5C．4.2D．411．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0 12．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，P A＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CE＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是．14．（3分）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为．15．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．18．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．三、解答题（本题共8个小题，共66分）19．（6分）计算：（）﹣2+﹣+|1﹣|．20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22．（8分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．23．（9分）“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？24．（9分）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长为．25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），且对一切实数x，都有x ≤ax2+bx+c≤x2+x+成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝2t时，二次函数y＝ax2+bx+c 的值为y2，若对于t＝±1，有y1＜y2，求实数m的取值范围．。

湖南省长沙市广益实验中学2021－2021学上学期第一次月考初三数学试卷时量：120分钟 总分：120分一、选择题（每小题3分，共36分）1．2021的相反数是（ ）A ．－2021B ．2021C ．20181-D ．20181 2.中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，讲67500用科学记数法表示为（ ）A ．4106.75⨯吨B ．31067.5⨯C ．3100.675⨯D ．-4106.75⨯3．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．42232a a a =+C ．236a a a =÷D ．6332)(b a ab =4．下列长度的4根木条中，能与4cm 和9cm 长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（ ）A ．4cmB ．9cmC ．5cmD ．13cm5.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ） A ． B ． C ． D ．6.不等式组⎩⎨⎧+≤>+85062x x x 的解集在下列数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．7.如图，'''C B A ∆是ABC ∆以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若'''C B A ∆的面积与ABC ∆的面积比是4:9，则OB OB :'为（ ）A ．2：3B ．3：2C ．4：5D ．4：98.•3.0,1416.3,64,3-,,7223π中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9.如果点()4,3-在反比例函数xk y =的图像上，那么下列各点中，在此图像上的是（ ） A ．()4,3 B ．()-6,2- C ．()6,2- D ．()4-,3-10.“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟则一直坚持爬行，最终赢得比赛，下列函数图像可以体现这一故事过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，⊙A 过点()0,0O ,()0,3C ，()10，D ，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则OBD ∠的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12.设二次函数),0)()((21211x x a x x x x a y ≠≠--=的图像与一次函数20y dx e(d )=+≠的图像交于点)0,(1x ，若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点，则（ ）A ．d x x a =-)(21B ．d x x a =-)(12C ．d x x a =-221)(D ．d x x a =-212)(二、填空题（每小题3分，共18分） 13.计算：=---2422x x x ． 14.点)1,2(+-a a P 在y 轴上，则a = ．15.关于x 的一元二次方程0222=-+m x x 有实数根，则m 的取值范围是 ．16.如图，A 是双曲线xk y =上的一点，过点A 作x AB ⊥轴于B ，若AOB ∆的面积为8，则k = ． 第16题图 第17题图 第18题图17.如图，︒=∠=∠15BOE AOE ，==⊥OF EC C OB EC OB EF 则，若于∥,1, ．18.如图，在菱形ABCD 中，︒=∠120ABC ，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处，（不与D B 、重合），折痕为EF ，若DG =2，BG =6，则BE 的长为 ．三、解答题（共46分）19．（6分）计算：()()；︒---⎪⎭⎫ ⎝⎛÷--30tan 3213220π20．（6分）解分式方程：33211-=--x x x x ；21．经过调查研究显示，机动车尾气是某城市5.2PM 的最大来源，一辆车每行驶20千米平均向大气排放0.035千克污染物，某校环保志愿小分队从××局了解到此城市100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数（天） 10 a 12 8 25 b（1）表中a = ，图中严重污染部分对应的圆心角n = °（2）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米，已知该市一天中出行的机动车至少要向大气中排放多少克污染物？22.（8分）如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为20米，坡角α为60°，（1）求斜坡CD 的水平长度是多少？（2）根据有关部门的规定，≤∠α39°时才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（参考数据： 2.2451.7331.4120.8139tan ,78.039cos 63.039sin ≈≈≈≠︒≈︒≈︒，，，，，结果取整数。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1. 给出下列四个数：−2，0，1.41，π，其中为无理数的是( ) A.−2 B.0 C.1.41 D.π2. 在平面直角坐标系中，点P(−3, −5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A.(3, −5) B.(−3, 5) C.(3, 5) D.(−3, −5)3. 下列说法中正确的是（ ）A.在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量B.为了解全国中学生的心理健康情侣，应该采用普查的方式C.一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D.若甲组数据的方差为s 12=0.4，乙组数据的方差为s 12=0.05，则甲组数据更稳定4. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.5. 已知二次函数y ＝x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1, 0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m ＝0的两实数根是（ ） A.x 1＝1，x 2＝−1 B.x 1＝1，x 2＝−3 C.x 1＝1，x 2＝2 D.x 1＝1，x 2＝36. 若函数y ={x 2+2(x ≤2),2x(x >2),则当函数值y =8时，自变量x 的值是( )A.±√6B.4C.±√6或4D.4或−√67. 下列说法正确的是（ ）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形C.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形8. 某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x 个口罩，则由题意可列出方程（ ） A.10002x+8000x =10 B.1000x +80002x =10 C.10002x+7000x=10D.1000x+70002x=109. 无论m 为何值，点A(m, 5−2m)不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限10. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）A.3B.5C.4.2D.411. 已知二次函数y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A.abc >0B.b 2−4ac <0C.9a +3b +c >0D.c +8a <012. 正方形ABCD 、正方形CEFG 如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA ＝PF ，且∠APF ＝90∘，连结AF 交CD 于H ，有下列结论：①BP ＝CE ；②AP ＝AH ；③∠BAP ＝∠GFP ；④BC +CE =12AF 2；⑤S 正方形ABCD +S 正方形CEFG ＝2S △APF ．以上结论正确的个数有（ ）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题（本大题共6小题，共18分）如图，数轴上点A 表示的实数是________．已知{x =3y =−2 是方程组{ax +by =3bx +ay =−7 的解，则代数式(a +b)(a −b)的值为________．二次函数y =−x 2+2x −3图象的顶点坐标是________．如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x +b 的图象相交于点A(2, 1)，当x <2时，y 1 < y 2．（填“>”或“<”）．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为________．在平面直角坐标系中，若点P(a, b)的坐标满足a ＝b ≠0，则称点P 为“对等点”．已知二次函数y ＝x 2+mx −m 的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为________． 三、解答题（本题共8个小题，共66分）计算：(12)−2√63√8+|1−√2|．先化简，再求值(1−4x+3)÷x 2−2x+12x+6，其中x =√2+1．王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A （非常好）、B （良好）、C （一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是________，其中C 类女生有________名，D 类男生有________名，扇形统计图中D 类所对应的圆心角为________度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若四边形BFDE 是菱形，BE＝2，求菱形BFDE 的面积．“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的35，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG // BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长为________．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x(________)；②y=mx(m≠0)(________)；③y＝3x−1(________)．（2）若点A(1, m)与点B(n, −4)是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)，且对一切实数x，都有x≤ax2+bx+c≤14x2+12x+14成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝2t时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y2，若对一切−1≤t≤1，都有y1<y2，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1.【答案】D【考点】无理数的识别【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解:A，−2是整数，属于有理数；B，0是整数，属于有理数；C，1.41是有限小数，属于有理数；D，π是无理数．故选D.2.【答案】C【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．【解答】点P(−3, −5)关于原点对称的点的坐标是(3, 5)，3.【答案】C【考点】方差众数中位数总体、个体、样本、样本容量全面调查与抽样调查【解析】根据统计初步知识进行解答．对样本、样本容量、总体、个体、众数、中位数极差等概念要非常熟悉．【解答】解：A、在统计中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本，而不是样本容量，故本选项错误；B、为了解全国中学生的心理健康情况，由于人数多，工作量大，应该采取抽查方式，故本选项错误；C、将6，8，7，8，8，9，10按从小到大依次排列，得到6，7，8，8，8，9，10，可见众数和中位数都是8，故本选项正确．D、若甲组数据的方差为s12=0.4，乙组数据的方差为s12=0.05，则乙组数据更稳定，故本选项错误；故选C．4.【答案】D【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．5.【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点【解析】将点(1, 0)代入y＝x2−3x+m，求出m，即可确定一元二次方程为x2−3x+2＝0，即可求解；【解答】将点(1, 0)代入y＝x2−3x+m，解得m＝2，∴y＝x2−3x+2，∴x2−3x+2＝0的两个根为x＝1，x＝2；6.【答案】D【考点】分段函数【解析】把y=8直接代入函数y={x2+2(x≤2)2x(x>2)即可求出自变量的值．【解答】解：把y=8代入函数y={x2+2(x≤2),2x(x>2),先代入上边的方程得x=±√6，∵x≤2，x=√6不合题意舍去，故x=−√6；再代入下边的方程得x=4，∵x>2，故x=4，综上，x的值为4或−√6．故选D．7.【答案】B【考点】多边形【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．【解答】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；8.【答案】D【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】根据引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】由题意可得，1000 x +70002x=10，9.【答案】C【考点】点的坐标【解析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +)；第二象限(−, +)；第三象限(−, −)；第四象限(+, −)．【解答】当m<0时，5−2m>0，点A(m, 5−2m)在第二象限，当0<m<52时，点A(m, 5−2m)在第一象限，当m>52时，点A(m, 5−2m)在第四象限．10.【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【解答】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42＝(10−x)2，解得：x＝4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选：C．11.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】根据二次函数的图象求出a<0，c>0，根据抛物线的对称轴求出b＝−2a>0，即可得出abc<0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2−4ac>0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是(−1, 0)，求出与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a−8a+c＝8a+ c，根据图象得出8a+c<0．【解答】A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a<0，c>0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴−b2a=1，∴b＝−2a>0，∴abc<0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是(−1, 0)，∴与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝−2a，∴y＝ax2−2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a−8a+c＝8a+c<0，12.【答案】C【考点】四边形综合题【解析】利用等角的余角相等得到∠BAP＝∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≅△PEF，则BP＝EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE＝EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≅△ADH，于是可对②进行判断；利用GF // CE得到∠EPF＝∠GFP，加上∠BAP＝∠EPF，所以∠BAP＝∠GFP，则可对③进行判断；通过证明△APF为等腰直角三角形得到AF=√2AP，则AP2=12AF2，由于利用勾股定理得到AP2＝AB2+BP2，加上AB＝BC，BP＝CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．【解答】∵∠APF＝90∘，∴∠APB+∠FPE＝90∘，而∠APB+∠BAP＝90∘，∴∠BAP＝∠FPE，在△ABP和△PEF中{∠BAP=EPF ∠B=∠EAP=PF，∴△ABP≅△PEF，∴BP＝EF，∵四边形CEFG都是正方形，∴CE＝EF，∴BP＝CE，所以①正确；∵∠BAP≠∠DAH，∴不能判断△ABP≅△ADH，∴不能确定AP＝AH，所以②错误；∵四边形CEFG都是正方形∴GF // CE，∴∠EPF＝∠GFP，而∠BAP＝∠EPF，∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确；∵∠APF＝90∘，AP＝PF，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF=√2AP，∴AP2=12AF2，∵AP2＝AB2+BP2，而AB＝BC，BP＝CE，∴BC2+CE2=12AF2，所以④错误；∵S正方形ABCD +S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2，S△APF=12AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以⑤正确．二、填空题（本大题共6小题，共18分）【答案】√5−1【考点】数轴实数在数轴上表示实数【解析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【解答】由图形可得：−1到A的距离为√12+22=√5，则数轴上点A表示的实数是：√5−1．【答案】−8【考点】二元一次方程组的解【解析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】把{x=3y=−2代入方程组得：{3a−2b=33b−2a=−7，①×3+②×2得：5a＝−5，即a＝−1，把a＝−1代入①得：b＝−3，则原式＝a2−b2＝1−9＝−8，【答案】(1, −2)【考点】二次函数的三种形式【解析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．【解答】解：∵y=−x2+2x−3=−(x2−2x+1)−2=−(x−1)2−2，故顶点的坐标是(1, −2)．故答案为：(1, −2)．【答案】<【考点】两直线平行问题两直线相交非垂直问题两直线垂直问题相交线【解析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．【解答】由图象知，当x<2时，y2的图象在y1上方，∴y1<y2．【答案】3√3【考点】线段垂直平分线的性质矩形的性质等边三角形的性质与判定【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD=√BD2−AB2=√62−32=3√3；【答案】1【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】设这两个“对等点”的坐标为(a．a)和(−a, −a)，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】设这两个“对等点”的坐标为(a．a)和(−a, −a)，代入y＝x2+mx−m得{a=a 2+am−m−a=a2−am−m，①-②得2a＝2am，解得m＝1，三、解答题（本题共8个小题，共66分）【答案】原式＝4+√63−2√2+√2−1＝4+√2−2√2+√2−1＝3．【考点】负整数指数幂二次根式的混合运算分母有理化【解析】利用负整数指数幂、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．【解答】原式＝4+√63−2√2+√2−1＝4+√2−2√2+√2−1＝3．【答案】(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2=x−11⋅2(x−1)2=2x−1，当x=√2+1时，原式=√2+1−1=√2．【考点】分式的化简求值【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2=x−11⋅2(x−1)2=2x−1，当x=√2+1时，原式=√2+1−1=√2．【答案】20,2,1,36补全图形如下：画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为36=12． 【考点】列表法与树状图法总体、个体、样本、样本容量 条形统计图 扇形统计图【解析】（1）由A 类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C 类别对应百分比，再减去男生人数可得C 类别中女生人数；由条形图可直接得出D 类男生人数；用360∘乘以D 类别人数占总人数的比例即可得； （2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A 类别1男2女，D 类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】这次随机抽取的样本容量是(1+2)÷15%＝20， C 类女生有20×25%−3＝2（名），D 类男生有1名， 扇形统计图中D 类所对应的圆心角为360∘×220=36∘， 故答案为：20、2、1、36； 补全图形如下：画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种， 所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为36=12． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠C ＝90∘，AB ＝CD ，AB // CD ， ∴ ∠ABD ＝∠CDB ， ∴ ∠EBD ＝∠FDB ， ∴ EB // DF ， ∵ ED // BF ，∴ 四边形BFDE 为平行四边形． ∵ 四边形BFDE 为菱形，∴ BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ， ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD ＝BC ，∠ABC ＝90∘， ∴ ∠ABE ＝30∘，∵ ∠A ＝90∘，BE ＝2，∴ AE ＝1，BF ＝BE ＝2AE ＝2， ∴ AB =√3，∴ 菱形BFDE 的面积为：2×√3=2√3． 【考点】 菱形的性质平行四边形的性质与判定 矩形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和面积解答即可． 【解答】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠C ＝90∘，AB ＝CD ，AB // CD ， ∴ ∠ABD ＝∠CDB ， ∴ ∠EBD ＝∠FDB ， ∴ EB // DF ， ∵ ED // BF ，∴ 四边形BFDE 为平行四边形． ∵ 四边形BFDE 为菱形，∴ BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ， ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD ＝BC ，∠ABC ＝90∘， ∴ ∠ABE ＝30∘，∵ ∠A ＝90∘，BE ＝2，∴ AE ＝1，BF ＝BE ＝2AE ＝2， ∴ AB =√3，∴ 菱形BFDE 的面积为：2×√3=2√3．【答案】甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元 当m ＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元 【考点】二元一次方程组的应用——行程问题 二元一次方程的应用二元一次方程组的应用——其他问题 一元一次不等式组的应用 一次函数的应用【解析】（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；（2）①若购进甲种纪念文化衫m 件，则乙种纪念文化衫为(200−m)件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m 为整数，可求得m 的值，即可得进货方案；②用含m 的式子表示出W ，根据一次函数的性质可得答案． 【解答】设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意得： {x −y =152x +3y =255 解得：{x =60y =45答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元． ①若购进甲种纪念文化衫m 件，则乙种纪念文化衫为(200−m)件，由题意得：{50m +40(200−m)≤8780m >35(200−m)解得：75<m ≤78 ∵ m 为整数∴ m 的值为：76，77，78． 进货方案有三种，分别为：方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件； 方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件； 方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件． ②由题意得：W ＝(60−50)m +(45−40)(200−m)＝5m +1000 ∵ 5>0∴ W 随m 的增大而增大，且75<m ≤78∴ 当m ＝78时，W 最大，W 的最大值为：5×78+1000＝1390元． 答：当m ＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元． 【答案】四边形BFDG 是菱形．理由：∵ FD // BG ，DG // BE ， ∴ 四边形BFDG 是平行四边形 又∵ BF ＝DF ，∴ 四边形BFDG 是菱形 152【考点】 四边形综合题 【解析】（1）证明△BDF 是等腰三角形，可证明BF ＝DF ，可通过证明∠EBD ＝∠FDB 实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决．（2）①先判断四边形BFDG 是平行四边形，再由（1）BF ＝FD 得到结论；②要求FG 的长，可先求出OF 的长，在Rt △BFO 中，BO 可由AB 、AD 的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出BF 的长．在Rt △BFA 中，知AB ＝6、AF +BF ＝AD ＝8，可求出BF 的长，问题得以解决． 【解答】四边形BFDG 是菱形．理由：∵ FD // BG ，DG // BE ， ∴ 四边形BFDG 是平行四边形 又∵ BF ＝DF ，∴ 四边形BFDG 是菱形 设AF ＝x ，则FD ＝8−x ， ∴ BF ＝FD ＝8−x 在Rt △ABF 中， 62+x 2＝(8−x)2， 解得：x =74，∴FD＝8−74=254，在Rt△ABD中，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10∵四边形BFDG是菱形，∴OD=12BD＝5，FO=12FG，FG⊥BD，在Rt△ODF中，∵FO2+DO2＝FD2，即FO2+52＝(254)2，∴FO=154，∴FG＝2FO=152．【答案】√,√,×∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝−1，∴A(1, 4)，B(−1, −4)，代入y＝ax2+bx+c(a≠0)得{a+b+c=4a−b+c=−4，∴{b=4a+c=0，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴−b2a>2，∴−42a>2，∴−1<a<0，∵a+c＝0，∴0<c<1，综上所述，−1<a<0，b＝4，0<c<1．∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H(p, q)和(−p, −q)，代入得到{ap2+2bp+3c=qap2−2bp+3c=−q，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2>0，∴a，c异号，∴ac<0，∵a+b+c＝0，∴b＝−a−c，∵(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，∴(2c−a−c−a)(2c−a−c+3a)<0，∴(c−2a)(c+2a)<0，∴c2<4a2，∴c2a2<4，∴−2<ca<2，设t=ca，则−2<t<0，设函数与x轴交于(x1, 0)，(x2, 0)，∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−2ba)2−4⋅3ca=√4(a+c)2a2−12ca=√4[1+2ca+(ca)2−3ca]＝2√1+2t+t2−3t＝2√(t−12)2+34，∵−2<t<0，∴2<|x1−x2|<2√7．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据“H函数”的定义判断即可．（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．（3）设“H“点为(p, q)和(−p, −q)，代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入(2c+b−a)(2x+b+3a)<0，求出ca的取值，设函数与x轴的交点为(x1, 0)，(x2, 0)，t=ca，利用根与系数的关系得到|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√(t−12)2+34，再利用二次函数的性质即可求解．【解答】①y＝2x是“H函数”．②y=mx(m≠0)是“H函数”．③y＝3x−1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝−1，∴ A(1, 4)，B(−1, −4)， 代入y ＝ax 2+bx +c(a ≠0) 得{a +b +c =4a −b +c =−4 ， ∴ {b =4a +c =0，∵ 该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧， ∴ −b2a >2， ∴ −42a >2，∴ −1<a <0， ∵ a +c ＝0， ∴ 0<c <1，综上所述，−1<a <0，b ＝4，0<c <1． ∵ y ＝ax 2+2bx +3c 是“H 函数”， ∴ 设H(p, q)和(−p, −q)， 代入得到{ap 2+2bp +3c =qap 2−2bp +3c =−q，解得ap 2+3c ＝0，2bp ＝q ， ∵ p 2>0， ∴ a ，c 异号， ∴ ac <0，∵ a +b +c ＝0， ∴ b ＝−a −c ，∵ (2c +b −a)(2c +b +3a)<0，∴ (2c −a −c −a)(2c −a −c +3a)<0， ∴ (c −2a)(c +2a)<0， ∴ c 2<4a 2， ∴ c 2a 2<4， ∴ −2<ca <2， 设t =ca ，则−2<t <0，设函数与x 轴交于(x 1, 0)，(x 2, 0)，∴ x 1，x 2是方程ax 2+2bx +3c ＝0的两根， ∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√(−2b )2−4⋅3c=√4(a +c)2a 2−12c a=√4[1+2c a +(c a )2−3c a] ＝2−3t ＝2√(t −12)2+34， ∵ −2<t <0， ∴ 2<|x 1−x 2|<2√7． 【答案】∵ 不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14对一切实数都成立， ∴ 当x ＝1时也成立，即1≤a +b +c ≤1，∴ 当x ＝1时，y ＝1；∵ 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)， ∴ a −b +c ＝0①，又当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②， 由①②可得b =12，a +c =12， ∴ y ＝ax 2+12x +12−a ，∴ x ≤ax 2+12x +12−a ≤14x 2+12x +14，即ax 2−12x +12−a ≥0及(a −14)x 2+14−a ≤0恒成立，∴ a >0且△=14−4a(12−a)≤0，及△′＝0−4(a −14)(14−a)≤0， 解得：a =14，∴ c =14，∴ 二次函数的表达式为y =14x 2+12x +14； ∵ −1≤t ≤1，都有y 1<y 2，∴ y 1−y 2<0，即[14(t +m)2+12(t +m)+14]−[14(2t)2+12×2t +14]<0，整理得：−34t 2+(12m −12)t +14m 2+12m <0， ∵ 当t ＝1或t ＝−1时均成立，∴ −34+12m −12+14m 2+12m <0，及−34−12m +12+14m 2+12m <0， 解得−5<m <1及−1<m <1，∴ 实数m 的取值范围是：−1<m <1． 【考点】二次函数与不等式（组）待定系数法求二次函数解析式 【解析】（1）取特殊值x ＝1代入不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14即可求得答案；（2）将(−1, 0)代入二次函数y ＝ax 2+bx +c ，可得a −b +c ＝0①，当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②，由①②可解得b 的值及a 与c 的关系，再由二次函数的值与判别式的关系可得a 和c 的值； （3））由−1≤t ≤1，都有y 1<y 2，将x ＝t +m 代入并整理，然后取特殊值t ＝1或t ＝−1，解得m 的值即可． 【解答】∵ 不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14对一切实数都成立， ∴ 当x ＝1时也成立，即1≤a +b +c ≤1， ∴ 当x ＝1时，y ＝1；∵ 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)， ∴ a −b +c ＝0①，又当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②， 由①②可得b =12，a +c =12， ∴ y ＝ax 2+12x +12−a ，∴ x ≤ax 2+12x +12−a ≤14x 2+12x +14，即ax 2−12x +12−a ≥0及(a −14)x 2+14−a ≤0恒成立，∴ a >0且△=14−4a(12−a)≤0，及△′＝0−4(a −14)(14−a)≤0，解得：a =14， ∴ c =14，∴ 二次函数的表达式为y =14x 2+12x +14； ∵ −1≤t ≤1，都有y 1<y 2，∴ y 1−y 2<0，即[14(t +m)2+12(t +m)+14]−[14(2t)2+12×2t +14]<0，整理得：−34t 2+(12m −12)t +14m 2+12m <0， ∵ 当t ＝1或t ＝−1时均成立，∴ −34+12m −12+14m 2+12m <0，及−34−12m +12+14m 2+12m <0，解得−5<m <1及−1<m <1，∴ 实数m 的取值范围是：−1<m <1．。